MN là đường trung bình của tam giác ABH nên MN//AB Do AB BC nên MNBC Tam giác BCM có hai đường cao cắt nhau tại N nên N là trực tâm Câu b.. Do đó KMBM.[r]
(1)TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài (3,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 3 b) Cho các số a, b, c thoả mãn ( a b) (b c) (c a) 2016 Tính giá trị biểu thức P (a b)(b c)(c a) 2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q x y xy x y 2019 Bài (3,0 điểm) a) Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x y là số chính phương Chứng minh rằng: x y là tổng hai số chính phương b) Cho đa thức f ( x ) có các hệ số là số nguyên thỏa mãn f (1) f (2) 2015 Chứng minh đa thức f ( x) không có nghiệm nguyên Bài (2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH AC H ( H AC ) Gọi M và N là trung điểm AH và BH a) Chứng minh rằng: N là trực tâm BCM b) Gọi K là trung điểm CD Tính số đo BMK Bài (1,5 điểm) Cho dãy số xác định sau: 1 1 1 a1 1 ; a2 1 ; a3 1 ; ……; an 1 n 1 1 2 nan Chứng minh rằng: a1 2a2 3a3 , với số tự nhiên n >1 ==== HẾT ===== Cán coi thi không giải thích gì thêm! (2) TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG Bài Bài ĐÁP ÁN ĐỀ KSCL HSG LẦN NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN Nội dung trình bày chính Câu a A = x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 – x + 2015x2 + 2015x + 2015 = x(x-1)(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)((x2 - x + 2015) Câu b - Chứng minh nhận xét: Nếu x + y + z = thì x3 + y3 + z3 = 3xyz - Đặt x = a-b; y = b-c; z = c-a x3 y z 2016 P 3xyz 672 3 Ta có: x + y + z = nên Điểm 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Câu c Q x y xy x y 2019 =( x y ) 4( x y ) y y 2014 =( x y 2) (2 y 1) 2014 2014 Bài Vây minQ = 2014 Xảy y = 0,5 và x = 1,5 Câu a a x2 y Đặt x2 + 2y = a2, suy Ta có: a x a x 2(a x ) x y x 2 2 (a x) (a x) ax a x ( ) ( ) 2 Mặt khác có: (a+x)(a-x)= 2y 2 (1) a + x + a – x = 2a 2 (2) Từ (1) và (2) suy a + x và a – x chẵn ax a x x y ( ) ( ) 2 Vậy là tổng hai số chính phương Câu b Giả sử f ( x) có nghiệm nguyên x a Khi đó f ( x ) ( x a ).g ( x) , đó g ( x) là đa thức có các hệ số nguyên Ta có: f (1) f (2) (1 a)(2 a) g (1) g (2) = 2015 (*) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 (3) Do a, a là hai số nguyên liên tiếp và g (1); g (2) là các số nguyên nên f (1) f (2) (1 a)(2 a) g (1) g (2) chẵn mà 2015 là số lẻ nên (*) vô lí 0,5 Vậy phương trình đa thức f ( x) không có nghiệm nguyên A B N M H Bài D K C Câu a MN là đường trung bình tam giác ABH nên MN//AB Do AB BC nên MNBC Tam giác BCM có hai đường cao cắt N nên N là trực tâm Câu b Ta có MN = ½ AB; CK = ½AB nên MN = CK (1) Lại có MNBC nên MN // CK (2) Từ (1) và (2) có tứ giác CKMN là hình bình hành Suy KM // CN, mà N là trực tâm tam giác BCM nên CNBM Do đó KMBM Vậy BMK 90 1 k 2 ta cã k.a k k.a k 1.a k ( v× a k a k ) Ta cã: a k a k a k 1 ak a k 1.a k k.a k a k 1 Suy k.a k a k a k Bài 0,5 0,5 1,0 0,5 0,25 0,25 0,25 Cho k = 2; 3; ; n ta cã: 1 1 1 1 2 2a a1 a ; 3a a a ; ; na n a n a n 0,25 Cộng vế các bđt trên ta đợc: 1 1 1 1 1 1 2a na n a1 a a a a n a n a a n a1 1 1 2 a1 2a na n (®pcm) 0,25 0,25 Chú ý: Học sinh làm cách khác có lập luận logic và đúng cho điểm tối đa (4)