CHỦ đề bất ĐẲNG THỨC TRONG đề TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN 2021

BẤT ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG THCS CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập rèn luyện Câu (Đề thi vào 10 chuyên ĐH Vinh - 21) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca  3abc  a + b2 b2 + c2 c2 + a2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a + b + b + c + c + a −   + +  2a + 2b 2b + 2c 2c + 2a   Câu (Đề thi vào 10 chuyên Ninh Thuận - 21) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng: −  xy + yz + zx x + y + z Câu (Đề thi vào 10 chuyên Quảng Bình - 21) Cho ba số thực x, y, z  5;7  Chứng minh rằng: xy + + yz + + zx +  x + y + z Câu (Đề thi vào 10 toán chung Lai Châu - 21) Cho a, b số không âm thỏa mãn a + b  , tìm giá trị lớn biểu thức: M = a 3b ( a + 2b ) + b 3a ( b + 2a ) a + b + ab + + c = Chứng minh rằng: 2a + 2b + 2c + + + 5 a a + b + 2c  10 b a +1 b +1 c+2 Câu (Đề thi vào 10 chuyên toán Hà Nội - 21) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = a −b b−c c−a + + =0 Chứng minh: + c2 + a + b2 Câu (Đề thi vào 10 chuyên toán Hà Nội - 21) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: 2a + 2ab + abc  18 Câu (Đề thi vào 10 chuyên toán Nam Định - 21) Cho a, b, c  a + b + c = Chứng minh Câu Cho số dương a, b, c thỏa mãn rằng: a + bc b + ca c + ab + + 2 b+c c+a a+b Câu (Đề thi vào 10 chuyên Nam Định lớp chuyên xã hội - 21) Cho x, y , z số dương thỏa  x x2 y z y z  + +  2 + +  yz xz xy  y+z x+z x+ y Câu 10 (Đề thi vào 10 chuyên Nam Định lớp chuyên tự nhiên - 21) Cho x, y , z số dương 1 thỏa mãn điều kiện + +  2021 Chứng minh rằng: x y z mãn xyz = Chứng minh rằng: x − xy + y + y − yz + z + z − zx + x  2021 Câu 11 (Đề thi vào 10 chuyên PTNK- TP.Hồ Chí Minh - 21) Cho dãy n số thực x1; x2 ;; xn ( n  ) thỏa: x1  x2  xn x1 + x2 +  xn = TOP THCS TỐN CHUN – TCD BOOKS x1 + x2  xn 2 b Chứng minh xn  tìm số nguyên dương k  n cho  x1 + x2 + + xk  3 Câu 12 (Đề thi vào 10 chuyên Bến Tre - 21) Cho x, y , z số dương thỏa mãn xy + xz = a Chứng minh xn  Chứng minh rằng: yz xz xy + + 8 x y z Câu 13 (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Định - 21) Cho a, b, c số dương thỏa mãn 1 1 + + = Chứng minh rằng: abc  1+ a 1+ b 1+ c Câu 14 (Đề thi vào 10 chuyên Tiền Giang - 21) Cho a, b, c số dương thay đổi thỏa mãn 1 + + abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = a + 2b + b + 2c + c + 2a + Câu 15 (Đề thi vào 10 chuyên Vĩnh Long - 21) Cho số thực x thỏa mãn  x  Tìm giá trị lớn 3+ x 6− x + giá trị nhỏ biểu thức: T = x 3− x Câu 16 (Đề thi vào 10 chuyên Quốc học Huế - 21) Cho f ( n ) = (n  N* ) ( 2n + 1) n + + n ( ) 1 1  * Chứng minh: f ( n )   −  với n  N f (1) + f ( ) + + f ( 2021)  2 n n +1  Câu 17 (Đề thi vào 10 chuyên Quốc học Huế - 21) Cho x, y , z số dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x ( y + 3z ) + y ( z + 3x ) + z (2x + 3y )  Câu 18 (Đề thi vào 10 chuyên Kiên Giang - 21) Cho x, y , z số thực lớn 2021 thỏa mãn 1 + + = Chứng minh rằng: x + y + z  x − 2021 + y − 2021 + z − 2021 x y z 2021 Câu 19 (Đề thi vào 10 chuyên Lào Cai - 21) Cho ba số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z  Chứng minh rằng: ( x + y + z ) + ( x3 + y + z )  + x + y + z Câu 20 (Đề thi vào 10 chuyên Quảng Ngãi - 21) Cho số thực a, b, c đôi khác 1 + + 1 thỏa mãn ( c + a )( c + b ) = Chứng minh rằng: 2 ( a − b) (c + a ) (c + b) Câu 21 (Đề thi vào 10 chuyên Quảng Trị - 21) Cho số thực x, y , z thỏa mãn  x, y, z  Chứng minh rằng: x + y + z − ( xy + yz + zx ) + xyz  Câu 22 (Đề thi vào 10 chuyên Cần Thơ - 21) Cho x, y , z là các số thực dương Chứng minh rằng: ( x + 2) y+z + ( y + 2) z+x + ( z + 2) x+ y  12 Câu 23 (Đề thi vào 10 chuyên Bình Phước- 21) Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: a a3 b a− a + b2 2 b a3 b3 c3 a+b+c + +  2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a BẤT ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG THCS Câu 24 (Đề thi vào 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa - 21) Cho ba số thực x, y , z thỏa mãn 18 2020 + +  Tìm giá trị lớn điều kiện x  , y  , z  18 x + 17 x + 2020 z + 2021 18 2020 biểu thức: A = (18 x − 1)( y − 1)( 2020 z + 1) Câu 25 (Đề thi vào 10 Gia Lai - 21) Cho x, y số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = ( x + y )( y + x ) + 151xy Câu 26 (Đề thi vào 10 Quảng Bình- 21) Cho x, y  5;7  Chứng minh xy + + yz + + zx +  x + y + z Câu 27 (Đề thi vào 10 Đại học Khoa học, Huế - 21) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh ( ab + bc + ca )  ( a + b + c )  ( ab + bc + ca ) Câu 28 (Đề thi vào 10 Tây Ninh - 21) Cho x, y , z số thực thỏa mãn  x, y, z  Tìm giá trị lớn biểu thức T = ( x + y + z ) − ( x y + y z + z x ) Câu 29 (Đề thi vào 10 Bình Dương - 21) Cho x, y , z  thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh rằng: 10 x + 10 y + z  Dấu xảy nào? Câu 30 (Đề thi vào 10 Quảng Nam - 21) Cho ba số thực dương x, y , z thỏa mãn xy + yz + zx = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: H = x2 y2 z2 + + 2 z + zx x + xy y + yz Câu 31 (Đề thi vào 10 Bà Rịa – Vũng Tàu - 21) Xét số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều a b c + + kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = + bc + ca + ab Câu 32 (Đề thi vào 10 Quảng Trị - 21) Cho a, b, c số thực tùy ý a Chứng minh ( a − ab + b )  ( a + b ) b Chứng minh ( a + b )( b − bc + c )( 3c + 2ca + 3a )  ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 2 Câu 33 (Đề thi vào 10 Thái Bình - 21) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3abc Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c T= + + 2 2 3a + 2b + c 3b + 2c + a 3c + 2a + b Câu 34 (Đề thi vào 10 Quảng Ninh - 21) Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x  y  xy  x + y Chứng minh x + y  100 Câu 35 (Đề thi vào 10 chuyên Lào Cai - 21) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y  giá trị nhỏ A = 53x + 53 y + Tìm 1 + x2 y Câu 36 (Đề thi vào 10 Khánh Hòa - 21) Cho số thực x1 , x2 , x21 thỏa mãn x1 , x2 , x21  −2 x13 + x23 + + x21 = 12 Chứng minh x1 + x2 + + x21  18 Câu 37 (Đề thi vào 10 Lâm Đồng - 21) Cho a, b, c số dương và a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a3 b3 c3 + + 2 a + 4ab + b b + 4bc + c c + 4ca + a 2 TOP THCS TOÁN CHUYÊN – TCD BOOKS Câu 38 (Đề thi vào 10 Hà Nam - 21) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z  Chứng     minh  − 1  − 1  − 1  512 z x  y    Câu 39 (Đề thi vào 10 Daklak - 21) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = b ( a + 1) a ( b + 1) + c ( b + 1) b ( c + 1) + a ( c + 1) c ( a + 1) Câu 40 (Đề thi vào 10 Quảng Ngãi - 21) Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn 1 điều kiện ( c + a )( c + b ) = Chứng minh + + 1 2 ( a − b) (c + a ) (c + b) Đây là bài toán khá khó trình độ THCS Câu 41 (Đề thi vào 10 Đắk Nông - 21) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a, b   2021, 2022 Tìm giá  2021 2021  trị lớn biểu thức A = ( a + b )  +  b   a Câu 42 (Đề thi vào 10 Hịa Bình - 21) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 1 +  Chứng minh xy xz Câu 43 (Đề thi vào 10 Bình Định - 21) Cho số thực x, y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x− y biểu thức T = x + y4 + Câu 44 (Đề thi vào 10 Hịa Bình - 21) Cho x, y , z ba số dương thỏa x + y + z = Chứng minh P = − x2 − y − z + + 6 x + yz y + zx z + xy Câu 45 (Đề thi vào 10 Cà Mau - 21) Cho a, b hai số thực dương cho a + b = Chứng 3a + b + 3b + a  3a + b 3b + a Câu 46 (Đề thi vào 10 Bình Định - 21) Cho a, b số dương thỏa mãn a + 2b  Tìm giá trị minh 9ab + ( + a ) b3 nhỏ biểu thức P = ab Câu 47 (Đề thi vào 10 Thanh Hóa - 21) Cho ba số thực dương x, y , z thỏa mãn z + y + z = xy + yz + zx Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 15 ( x + y + z ) + x y + y2z + z2x 3a + a 2b + Câu 48 (Đề thi vào 10 Hải Phòng - 21) Cho số thực dương x, y , z Chứng minh x xy 2x + y + y yz 2y + z + x zx  3xyz 2z + x Câu 49 (Đề thi vào 10 Yên Bái - 21) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 18abc = a + 2b + 3c ( )( )( ) Chứng minh + a + 4b + 9c  Câu 50 (Đề thi vào 10 Ninh Bình - 21) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn 1 + + = 12 Tìm giá trị lớn biểu thức x+ y y+z z+x BẤT ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG THCS P= 1 + + x + y + 3z 3x + y + 3z 3x + y + z Câu 51 (Đề thi vào 10 Phú Thọ - 21) Cho ba số dương x, y , z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= xz y2 + + y + yz xz + yz x+ z x Câu 52 (Đề thi vào 10 Bình Thuận - 21) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn điều kiện xz yx zy x + y + z = Chứng minh + + 1 x + yz + y + zx + z + xy + TOP THCS TOÁN CHUYÊN – TCD BOOKS Gợi ý giải Câu Vì ab + bc + ca  3abc  a+b = Ta có ( a + b) a+b = 1 + +  a b c a + b 2ab  a + b2 2ab  +    +  a+b a +b a + b  2 a+b ab bc ac + + = a+b b+c a+c Do đó: P  + 1 + a b + 1 + b c = 1 + a c + x+ y + y+z x+z 1 ; y = ; z = x + y + z  a c b 9 1 + +    = x+ y y+z x+z x+ y + y+z + x+z 3.6 3( x + y + z ) Với x = Vì 3 Dấu '' = '' xảy x = y = z = hay a = b = c = = 2 Suy P  Câu Đặt p = x + y + z ; q = xy + yz + zx Điều cần chứng minh trở thành Mà ( xy + yz + zx )  3xyz ( x + y + z ) = 3 ( x + y + z )  q2  p 8 Nên ta cần chứng minh  3p  p  Thật  2p + 3 2 1 3p q −  q p 2p +  3p  p   p − 12 p +  p +    ( p − 3)  (luôn đúng) Suy điều phải chứng minh Câu Do x, y  5;7   x − y   ( x − y )   x − xy + y   ( x + y )  ( xy + 1) 2  x + y  xy + Chứng minh tương tự ta có: y + z  yz + ; z + x  zx + Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, ta có: ( x + y + z )   xy + + ( xy + + x− y =2  yz + + zx +  x + y + z Dấu xảy  y − z =  z−x =2 yz + + zx ) (1) x − y = x − y =   Vì x  y  z nên giả sử x  y  z Ta có (1)   y − z =   x − z = (vô nghiệm) x − z = x − z =   Vậy xy + + yz + + zx +  x + y + z Câu Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm ta có: 3b + ( a + 2b )  3b ( a + 2b ) ; 3a + ( b + 2a )  3a ( b + 2a )  M = a 3b ( a + 2b ) + b 3a ( b + 2a )  a  a + 5b b + 5a a b2 +b = + 5ab + 2 2 a + b2 a + b2 + 5 = ( a + b )  3.2 = Dấu " = " xảy  a = b = 2 Vậy Max M =  a = b = M  Câu a Áp dụng bất đẳng thức AM – GM: ( a + 1) + ( b + 1)  ( a + 1)( b + 1) BẤT ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG THCS  ab + a + b +  a+b+2 a+b+2  = ab + a + b + + c  + c  a + b + + 2c  12 2 a + = b +  a = b Vậy a + b + 2c  10 2a + 2b + 2c + 2a + 2b + 2c + + + 5  −2+ −2+ −  −1 b Ta có: a +1 b +1 c+2 a +1 b +1 c+2 −1 −1 −2 1  + +  −1  + + 1 a +1 b +1 c + a +1 b +1 c +  a + b + 2c  10 Dấu “=” xảy Ta có: ( ) 2+ 1 2 + +  +  a +1 b +1 c + (a + 1)(b + 1) c + (a + 1)(b + 1) + c + 1 16 16 + +  =  = (ĐPCM) a + b + c + a + b + + c + a + b + 2c + 10 + 2a + 2b + 2c + + + 5 Vậy a +1 b +1 c+2 a −b a −b b−c c −a b−c c−a = + + + + Câu Ta có: VT = 2 2 ab + bc + ca + c 1+ c 1+ a 1+ b ab + bc + ca + a ab + bc + ca + b a −b b−c c−a VT = + + (a + c)(b + c) (a + b)(c + a) (a + b)(b + c)  VT = (a − b)(a + b) + (b − c)(b + c) + (c − a)(c + a) (a + b)(a + c)(b + c) Từ có điều phải chứng minh 7−a b+c+2 Câu Ta có 2a + 2ab + abc = 2a + ab(c + 2)  2a + a     2a + 2ab + abc  2a + a      a − 14a + 49  18  a − 14a + 57 a − 72   (a − 3) (a − 8)  (luôn Ta chứng minh: 2a + a  với  a  ) a + bc a ( a + b + c ) + bc ( a + b )( a + c ) = = Câu Ta có: b+c b+c b+c b + ac ( b + c )( a + b ) c + ab ( a + c )( c + b ) = = Tương tự: ; a+b a+c a+b a+c ( a + b )( a + c ) + ( b + c )( b + a ) + ( c + a )( c + b )  a + bc b + ca c + ab + + 2  Do đó: b+c c+a a+b b+c c+a a+b 2 Theo BĐT Cauchy ta có: ( a + b )( a + c ) + ( b + c )( b + a )  ( a + b )( a + c )  ( b + c )( b + a ) = ( b + c )( b + a ) + b+c ( c + a )( c + b ) c+a b+c ( a + b )( a + c ) c+a ( c + a )( c + b ) ( a + b ) (1) +  ( c + a ) ( 3) b+c a+b  ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) ( c + a )( c + b )  + + Cộng vế các BĐT (1) , ( ) , ( 3) được:    4(a + b + c) b+c c+a a+b   Tương tự:  c+a a+b  (b + c ) ( 2) ; a + bc b + ca c + ab + +  ( ĐPCM) b+c c+a a+b Câu Với x, y , z số dương và xyz = ta có:  x x2 y z y z  + +  2 + +  yz xz xy y + z x + z x + y  TOP THCS TOÁN CHUYÊN – TCD BOOKS  x y z   x3 + y + z   + +   y+z x+z x+ y Ta có: x + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) x − xy + y  xy suy ra: x + y  ( x + y ) xy  x3 + y  Tương tự ta có: y + z  x+ y z y+z z+x z + x3  x y  1 1 1 1 1 Cộng vế theo vế các BĐT ta có: ( x3 + y + z )  x  +  + y  +  + z  +  y z z x     x y 1 1 + 2 = x y x y xy Mặt khác áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có: xy  mà 1 1 x+ y 4z 1  +   z +   x y x+ y x y x+ y 1 1 4x 4y 1 1 Tương tự ta có: y  +   ; x +   y z y +z  z x z+ x   Suy ra: ( x3 + y + z )   x y z  4x 4y 4z + +  x3 + y + z   + +  y+z z+x x+ y y + z z + x x + y  Bất đẳng thức xảy dấu khi: x = y = z = Câu 10 Theo bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương a, b, c ta có: a + b + c  3 abc 1 1 1 1 1  1 1 + +  33  (a + b + c) + +      + +  a b c abc a +b + c 9 a b c  a b c Đẳng thức xảy a = b = c Với x , y , z số dương ta có: x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y )  ( x + y )  x − xy + y  x + y  x − xy + y 2  2 1 11 1  =   + +  2x + y x + x + y  x x y  Dấu “=” xảy x = y Tương tự ta có: 1 1 1   + +  Dấu “=” xảy y = z 9 y y z  y − yz + z 2 11 1    + +  Dấu “=” xảy z = x 9 z z x  z − yz + x 2 Cộng các BĐT ta x − xy + y 2 + y − yz + z 2 +  3  2021   + +  9 x y z  z − zx + x 2 2021 Câu 11 a Giả sử x1 + x2  xn   , xi  với  i  n 1 Do n  nên x1 + xn −1  x1 + x2 + x3 + x4  ( x1 + x2 )   xn  Mâu thuẫn với giả thiết  xn  3 1 b Nếu xn  ,  xn  Từ x1 + x2 + + xn =   x1 + x2 +  + xn −1 = − xn  3 3 Dấu xảy x = y = z = BẤT ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG THCS Nếu xn  1 Suy xi  với i 3  x1 + x2 + + xk  (1) 3 Ta chứng minh tồn l  n − cho x1 + xl  x1 + xl +1  ( 2) 3 1 Thật khơng tồn l x1  , suy x1 + x2  , ngược lại 3 Do ( ) nên  x1 + x2  , mâu thuẫn với (1) 3 Lý luận tương tự x1 + x2 + xn −1  , mâu thuẫn Do tồn l thỏa ( ) suy xl +1   xn (vô lý) Vậy điều giả sử sai Do tồn k thỏa đề yz xz xy yz yz xz xy yz xz xz xy xy Câu 12 Đặt M = , ta có: M = ; + + = + +3 + +4 +3 +4 + x y x z x x y y y z z z Giả sử không tồn k thỏa đề bài, tức khơng có k để  yz xz   yz xy   xz xy  M =  +  + 3 +  +  +  x y x z z       y yz xz yz xy xz xy  + 3.2  + 4.2  x y x z y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: M   M  2z + y + 8x  M  ( z + x ) + ( y + x ) Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: M  2.2 xz + 6.2 xy  x = y = z x= y=z=  M  ( xz + xy ) = 4.2 = Dấu “ = ” xảy  xz + xy =   Vậy x = y = z = M  1 + + =2 Câu 13 Vì a , b , c số dương, nên: 1+ a 1+ b 1+ c  1 b c AM − GM =1− +1− = +  1+ a 1+ b 1+ c 1+ b 1+ c Tương tự: AM − GM  1+ b AM − GM ca  ; (1 + c )(1 + a ) + c Nhân vế theo vế ba BĐT trên:  (1 + a )(1 + b )(1 + c ) 8 1   8 1+ a 1+ b 1+ c abc (1 + a )(1 + b )(1 + c ) bc (1 + b )(1 + c ) ab (1 + a )(1 + b ) bc  ca  ab (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b )  abc  b c  a 1 + a = + b = + c a=b=c= Dấu “=” xảy  abc =  1 1 =   Câu 14 Ta có: a + b  2ab ; b +  2b  a + 2b + ( a + b ) + ( b + 1) + 2 ab + b + TOP THCS TOÁN CHUYÊN – TCD BOOKS 1 1 1 ;     b + 2c + bc + c + c + 2a + ac + a + 1  1  Suy ra: M    + +   ab + b + bc + c + ac + a +  Tương tự: Thay abc = ta được: M  M  abc abc   + +   ab + b + bc + c + abc ac + a + abc   ab b   + + =  ab + b + ab + b + ab + b +  + x − x − x2 + 6x − x2 2x2 − 6x − + = = Câu 15 Ta có: T = x 3− x x (3 − x ) x − 3x Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy Max M =  Tx − 3Tx − x + x + =  (T − ) x + ( − 3T ) x + = (1) Ta có:  = ( − 3T ) − (T − ) = 9T − 72T + 108 = (T − 8T + 12 ) T  Để phương trình (1) có nghiệm    (T − 8T + 12 )   T − 8T + 12    T  2x − 6x − =  x − x − = x − x (phương trình vô nghiệm) Với T =  x − 3x 2x2 − 6x − =  x − x − = x − 18 x  x − 12 x + =  x = (nhận) Với T =  x − 3x  Min T =  x = 2 x − x − 13 =  x − 12 x − 18 = 13 x − 39 x  x − 27 x + 18 = Với x = , ta có: T = x − 3x x = x = 13  x − 3x + =    (nhận)  Max T = x = x = Câu 16 Ta có: f ( n ) = ( 2n + 1) ( n +1 + n ) = n +1 − n 2n + n +1 − n  1  =  −  n + n  n n +1  Dấu “ = ” xảy n + = n  = (vơ lí) 1 1 1 1 1   − + + − − Vậy f ( n )      f (1) + f ( ) + + f ( 2021)   2 n 1+1 2021 2021 +  n +1   2n + = ( n + 1) + n  n + n  f ( n )  = 1   1  1 −    = Vậy f (1) + f ( ) + + f ( 2021)  2  2 2022  Câu 17 Ta có: VT = 5 x ( y + 3z ) + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 10 5 y ( z + 3x ) + x ( y + 3z )  5z ( x + y ) x + ( y + 3z )  5 x ( y + 3z )  5 x + y + 3z BẤT ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG THCS Tương tự ta có:  VT  y ( z + 3x )  5 ; y + z + 3x  5z ( x + y ) 5 + + x + y + 3z y + z + 3x z + x + y (  VT  5z + x + y 5+ 5+ 10 ( x + y + z ) ) = 18 5 = 10.3 (Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz) Vậy: x ( y + 3z ) Câu 18 Ta có: + y ( z + 3x ) + z (2x + 3y )  1 2021 2021 2021  + + = + + =2 x y z 2021 x y z x − 2021 y − 2021 z − 2021  2021   2021   2021  + + =1  1 −  + 1 −  + 1 −  = 3−  x y z x y z        x − 2021 y − 2021 z − 2021  Suy x + y + z = ( x + y + z )  + +  (*) x y z   Do x, y , z  2021 nên x − 2021, y − 2021, z − 2021  Vì thế, cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai ba số thực dương từ ( * ) ta được: x + y + z  Do đó, x+ y+z  ( (  x − 2021 y − 2021 z − 2021  , , x , y , z   ,  x y z   ) x − 2021 + y − 2021 + z − 2021 ) y − 2021 + z − 2021 Dấu “=” xảy x = y = z = x − 2021 + 6063 Câu 19 Ta có: x +  x = x ; y +  y = y ; z +  z = z  x + y + z  ( x + y + z ) −  VT  ( x + y + z ) − + x + y + z Tương tự: x + x  x x = x ; y + y  y y = y ; z + z  z z = z  x3 + y + z  ( x + y + z ) − ( x + y + z )  VT  ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + ( x + y + z ) −  VT  ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + ( x + y + z ) −  ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + 3.3 −  VT  ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + Mà: x +  x = x ; y +  y = y ; z +  z = z  x + y + z  ( x + y + z ) −  VT  ( x + y + z ) − − ( x + y + z ) + = ( x + y + z ) + (đpcm) Câu 20 Đặt c + a = x ; c + b = y Khi xy = Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: Ta có: ( x − y) + 1 + 1 x2 y 1 x2 + y ( x − y ) + xy + = + 2 = + 2 x y x y x2 y x − y x − y ( ) ( ) + ( x − y) ( x − y) + = + 16 ( x − y) = ( x − y) + ( x − y) 16 + 11 TOP THCS TOÁN CHUYÊN – TCD BOOKS Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: Vậy ( a − b) + (c + a ) + (c + b) ( x − y) + ( x − y) 16 +  ( x − y) ( x − y) 16 + =1 1  xy ( z − 1)   Câu 21 Ta có:  x, y , z    yz ( x − 1)   3xyz  xy + yz + zx  xyz − ( xy + yz + zx )  (1)   xz ( y − 1)  Lại có ( x − 1)( y − 1)( z − 1)   xyz − xy − yz − zx + x + y + z −  ( ) Cộng vế theo vế (1) ( ) ta được: xyz − ( xy + yz + zx ) + x + y + z −   x + y + z − ( xy + yz + zx ) + xyz  (đpcm) Dấu “=” xảy ( x; y; z ) = (1;1;1) ; ( 0;1;1) ; (1;0;1) ; (1;1;0 ) x2 y z ( x + y + z ) + +  a b c a+b+c Câu 22 Áp dụng bất dẳng thức: x y z = = a b c Dấu “=” xảy ( a , b, c  )  x y c  Chứng minh BĐT phụ: Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopxki cho hai số  ; ;   a b c ( a; b; c )  x2 y z  x2 y z ( x + y + z ) ta có:  + + +  + (a + b + c)  ( x + y + z )  a b c a+b+c b c   a ( x + 2) ( y + 2) ( z + 2) ( x + y + z + 6) y+z z+x x+ y 2( x + y + z ) 2 2 ( x + ) + ( y + ) + ( z + )  ( x + y + z ) + 12 ( x + y + z ) + 36  y+z z+x x+ y 2( x + y + z ) 2 ( x + 2) ( y + 2) ( z + 2) x + y + z 18 Khi ta có:    + y+z ( x + 2) + y+z ( x + 2) y+z + + z+x ( y + 2) z+x ( y + 2) z+x + + + ( z + 2) x+ y x+ y +  x+ y ( z + 2) 2 2  + x+ y+z +6 x+ y+z 18  + (Bất đẳng thức Cauchy) x+ y+z  + = 12 x+2 y +2 z +2 y+ z = z+ x = x+ y x= y=z     x= y=z=2 Dấu “=” xảy   x + y + z 18   ( x + y + z ) = 36 =  x+ y+z a ( a + b ) − ab a3 ab = = a − a + b2 a + b2 a + b2 ab ab b a− =a− Theo BĐT Cauchy ta có a − 2 a +b 2ab b3 c c3 a a3 b3 c3 a+b+c  b −  c −  + +  b Tương tự theo câu a ta có : , 2 2 2 2 b +c c +a a +b b +c c +a 2 Câu 23 a Ta có: 12 2 BẤT ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG THCS a3  a + ab + b a3 a3 =  2 a +b a + b2 a2 + + b2 c3 c3 b3 b3     2 , Tương tự ta có: 2 c + ca + a c + a2 b + bc + c b +c Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta có: Ta có: a3 b3 c3  a3 b3 c3  a + b + c + +   + +  2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 a +b b +c c + a2  18 2020 Câu 24 Ta có: 1− +1− 18 x + 17 7y + 2020 z + 2021 = y −1 2020 z + y − 2020 z + + 2 y + 2020 z + 2021 y + 2020 z + 2021 (1) 18 x − 2020 z + 2 ( 2) ; 7y + 18 x + 17 2020 z + 2021 Chứng minh tương tự, ta được: 2020 18 x − y − 2 2020 z + 2021 18 x + 17 y + ( 3) Nhân (1) , ( ) , ( 3) vế theo vế ta được: 18.7.2020 (18 x − 1)( y − 1)( 2020 z + 1)  (18 x − 1)( y − 1)( 2020 z + 1) (18x − 1)( y − 1)( 2020 z + 1) 18.7.2020 = 31815  A  31815 5 9 1009 1009 Dấu “=” xảy  x = ; y = ; z = Vậy Max A = 31815  x = ; y = ; z = 14 14 2020 2020 Câu 25 Đặt t = xy sử dụng điều kiện x + y = ta tính P theo t sau  (18 x − 1)( y − 1)( 2020 z + 1)  P = 25t − 10t + 280 = ( 5t − 1) + 279 Bạn đọc tự hoàn thiện tiếp Câu 26 Ý x, y  5;7  suy x − y  Từ + xy  ( x − y) + xy = ( x + y) Dấu xảy x − y = Câu 27 Bài này quá Vế trái ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  Còn vế phải 2 dùng a  a ( b + c ) xong Câu 28 Cách Ta dự đoán giá trị lớn đạt x = y = z = Để xuất đánh giá 2 liên quan đến x y , y z , z x , ta sử dụng điều kiện để suy (1 − x ) (1 − y )  2 Suy − x y  − x − y Cộng bất đẳng thức bất đẳng thức tương tự, ta có − x y − y z − z x  − ( x + y + z + x + y + z ) Từ T = ( x3 + y + z ) − x y − y z − z x  ( x3 + y + z ) + − ( x + y + z + x + y + z ) = − x (1 − x )(1 + x ) − y (1 − y )(1 + y ) − z (1 − z )(1 + z )  Dấu xảy x = y = z = Cách 2: Trước hết ta chứng minh x − x y  x − xy Thật vậy, điều cần chứng minh tương đương ( ) ( ) ( ) với x − x − xy − x   x − x ( − y )  Tương tự y − y z  y − yz , z − z x  z − zx Suy T  ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) (1) Ta lại có (1 − x )(1 − y ) + (1 − y )(1 − z ) + (1 − z )(1 − x )  suy + xy + yz + zx − ( x + y + z )  ( 2) 13 TOP THCS TOÁN CHUYÊN – TCD BOOKS Từ (1) ( ) suy T  Dấu xảy chẳng hạn x = y = z = Cách 3: Dành cho thầy cô giáo học sinh THPT Nếu để ý T biểu thức bậc T ( ka, kb, kc ) = k 3T ( a, b, c ) Ta thấy GTLN T phải đạt có biến nào Chẳng hạn z = ( ( ) ) Khi T = x + y + − x y − y − x  x + x + y + y + − − x y − y − x = − − x (1 − y )  Vậy giá trị lớn cần tìm Câu 29 Ý tưởng dùng AM-GM có trọng số Các hệ số x, y giống nên x, y có vai trị   a2  a2  a2 x2 + z a2 y + z Ta tách 10 −  x + 10 −  y + +  ( 20 − a ) xy + axz + ayz 2 2 2   Ta chọn a cho vế trái số, tức 20 − a = a Giải a = 1 Dấu xảy x = y x = y = z , tức z = y = , z = 3 1 1 1 Câu 30 Ý để giải bài này là đưa điều kiện + + = đặt a = , b = , c = x y z x y z Điều kiện a + b + c = dĩ nhiên là dễ sử dụng a b c + + Lúc H = 9b + 9c + 9a + Ta dùng AM-GM để đánh giá các số hạng H sau a a + 9ab − 9ab 9ab 9ab 3ab = =a− a− =a− 2 9b + 9b + 9b + 6b Cộng bất đẳng thức bất đẳng thức tương tự, ta suy (ở ta dùng bất đẳng thức quen 3 1 thuộc ( ab + bc + ca )  ( a + b + c ) ) H  a + b + c − ( ab + bc + ca )  − = 2 Dấu xảy a = b = c = , tức z = y = z = Câu 31 Có thể ‘đoán’ giá trị nhỏ giá trị lớn (bài toán gốc là vậy), xử lý tiếp nào? Ý tưởng chung là tìm cách ‘quy đồng mẫu số’ đánh giá trung gian Ở chiều giá trị lớn nhất, ta chứng minh a a  + bc a + b + c ( 3) Điều ln a = cịn với a  tương đương với ( a + b + c )  (1 + bc ) 2 Khai triển áp dụng giả thiết, điều này tương đương với 2ab + 2ac  a + b + c + 2b 2c + 2bc  ( a − b − c ) + 2b 2c  Dấu xảy a = b + c bc = Từ ta tìm giá trị lớn S , c=0 chẳng hạn a = b = Ở chiều giá trị nhỏ nhất, ta lại phải dùng đánh giá khác, ý a  nên a + abc  a + Cho nên 14 a ( b2 + c2 ) =a+ a (1 − a ) =a+ a (1 + a )(1 − a ) a+ 1.2 (1 − a ) =1 a a2 =  a Cộng bất đẳng thức tương tự lại ta có S  a + b + c + bc a + abc đạt BẤT ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG THCS Dấu xảy ra, chẳng hạn a = 1, b = c = Câu 32 Khai triển biến đổi tương đương Câu 33 Ta dùng AM-GM để đánh giá mẫu số 3a + 2b + c  6 a 6b 4c = 6a b 2c a Từ Cộng bất đẳng thức bất đẳng thức tương tự cho hai số  2 3a + 2b + c b 2c 1 1  hạng lại, ta có T   + +  3 2 6 b c ca a 2b  Tiếp tục dùng AM-GM ta có +  b c b 2c ( 4) 1 1 suy + +  +  , +  + + ( 5) 3 3 2 2 a b c c a ca a b bc ca ab a 2b  1  ab + bc + ca a + b + c c Kết hợp ( ) ( ) , ta T   + +  =  = 6 a b c  abc abc Dấu xảy a = b = c = Câu 34 Trước hết, để ý x  hiển nhiên x + y  62 + 82 = 100 nên ta Tương tự cần xét trường hợp x  Ta khai thác điều kiện x  y  xy  x + y, ( − x )( − y )  Suy xy + 64  x + y , suy x + y + 64  x + y Từ x + y  64 Vì  x  y  nên y − z  Suy ( y − x )  ( y − x ) Từ suy x + y  xy + ( y − x ) = x + y + ( y − x ) = x + y = y ( x + y ) +  64 + = 100 2 2 Chứng minh hoàn tất 1 , nên dùng AM – GM tương ứng với điểm rơi này 3 1 27 x + 27 x +  3 27 = 27 Hay 54 x +  27 Tương tự 54 y +  27 x x y Câu 35 Ta dự đoán điểm rơi là Từ A = 54 x + 1 160 + 54 y + − ( x + y )  27 + 27 − = x2 y 3 Câu 36 Ý tưởng là ta tìm cách đánh giá xi qua xi3 biểu thức hiển nhiên dương Biểu thức thứ hiển nhiên xi + (từ điều kiện xi  −2 ) Còn biểu thức thứ hai bình phương dạng ( xi + a ) Để xuất xi3 xi ta chọn a = −1 Vậy ta dùng ( xi + )( xi − 1)  Suy xi3 − xi +  hay xi3 +  xi Cho i = 1, 2, , 21 cộng lại, ta 12 + 42  ( x1 + x2 + + x21 ) suy x1 + x2 + + x21  18 Chứng minh hoàn tất Câu 37 ( x + y + z ) − = ( x + y + z )( y + z ) −1  x x2 x2 Từ cần chứng minh ( x + y + z )( y + z )( y + z + x )( z + x )( z + x + y )( x + y )  512 x y z Câu 38 Sử dụng điều kiện x + y + z  ta có Cái cuối dùng AM-GM 15 TOP THCS TOÁN CHUYÊN – TCD BOOKS Câu 39 Đặt x = a2 + b2 + c2 + x2 y z , y= , z= P = + + a b c y z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có x2 y z 1 P= + +  x+ y+ z = a+b+c+ + +  a+b+c+ y z x a b c a+b+c 5 13   = a + b + c +  4+ = + a+b+c a+b+c 2  13 Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 40 Đặt x = c + a, y = c + b xy = ( a − b ) = ( x − y ) , x  y xy = Ta quy đề toán chứng minh ( x − y) + 1 +  ( 6) x2 y Không tính tởng qt giả sử x, y  Ta cần chứng minh Đặt t = xy ( x − y) + xy xy + 4 x2 y (7) x t  , bất đẳng thức cuối này tương đương với + t +  , y t ( t − 1) t + t ( t − 1) + ( t − 1)  4t ( t − 1) , t − 6t + 11t − 6t +  ( ) 2 2 ( ) tương đương u − − 6u + 11   ( u − 3)  Vậy ta có điều phải chứng minh t Câu 41 Việc đưa các số 2021, 2022 vào làm rối thêm, bớt đẹp Đặt u = t + 1 1 Cứ để a, b thuộc 1;2 tìm GTLN ( a + b )  +  chân phương a b a + b2 1 1 Ta cần tìm giá trị lớn ( a + b )  +  = + ab a b ( ) ( ) Ta có ( 2022a − 2021b )( 2022b − 2021a )  nên từ suy 2021 − 2022 a + b  20212 + 20222 ab , a +b 2021 + 2022  ab 2021.2022 2021 − 2022 ( a + b )  ( 20212 + 20222 ) ab Suy Từ tìm giá trị lớn cần tìm 4042 + 2 2021( 20212 + 20222 ) = 6064 + 20212 2022 2021.2022 Lời giải hoàn tất Câu 42 Bài này bản, phù hợp đề thi tuyển sinh 10 Ta cần áp dụng AM-GM hai lần 1 4 +  =  = Chứng minh hoàn tất xy xz xy + xz x ( y + z )  x + y + z      Câu 43 Gợi ý ( x − y )  ( x + y ) x + y  (x + y2 ) Câu 44 Sử dụng đồng bậc hóa − x = ( x + y + z ) − x = ( x + y + z )( y + z ) , x + yz = x ( x + y + z ) + yz = ( x + y )( x + z ) Từ đặt a = y + z , b = z + x, c = x + y (b + c ) a + ( a + a ) b + ( a + b ) c = b + a + c + a + b + c VT = Chứng minh hoàn tất bc ca ab a b a c c b 16 BẤT ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG THCS Câu 45 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz cho thức vế trái, ta có : 3a + b + 3b + a  ( 3a + b + 3b + a ) = 8a + 8b 8a + 8b  Bất đẳng thức cần chứng minh ta chứng minh 8a + 8b  Ta biến đổi tương đương ( 3a + b )( 3b + a ) ( 3a + b )( 3b + a ) ( a + b )  ( 3a + b )( 3b + a ) , ( a + b ) + 4ab − ( a + b )  ( ) a + b = , suy a + b + 2t = , tức a + b = − 2t Đặt ab = t Theo giả thiết Thay vào ( ) , ta cần chứng minh (1 − 2t ) + 4t − (1 − 2t )  hay 16t − 8t +   ( 4t − 1)  2 1 , từ tính a = b = 4 3 Câu 46 Gợi ý điểm rơi là a = , b = Dấu xảy t = Câu 47 Gợi ý ( ) ( 2 2 2 ( x + y + z )  x + y + z x y + y z + z x  x + y + z )( x + y + z ) Câu 48 Bài này khá bạn quen sử dụng AM-GM Cauchy-Schwarz để đánh giá Chia hai vế bất đẳng thức cho x 3z ( x + y ) + y 3x ( y + z ) + 3xyz ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng z 3y ( 2z + x ) 1 3z ( x + y )  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mẫu thức, ta có thức tương tự Do VT  3z + x + y bất đẳng 2x 2y 2z + + 3z + x + y 3x + y + z y + z + x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2x  3z + x + y  x ( 2x + y + 2z ) =1 ( 3z + x + y ) + y ( 3x + y + z ) + z ( y + z + x ) Từ suy điều cần chứng minh ( )( )( ) Câu 49 Đặt x = a, y = 2b, z = 3c 3xyz = x + y + z ta cần chứng minh + x + y + z  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có xyz = x + y + z  3 xyz ( )( )( ) Từ suy xyz  Lại áp dụng AM-GM ta có + x + y + z  x.2 y.2 z = xyz  Chứng minh hoàn tất 1 1 16 + + +  cho biểu thức vế trái a b c d a+b+c+d Câu 51 Lời giải thông qua vài phép đánh giá, dự đoán điểm rơi x a b 1 a b x y + + + = 1+ +1+ + − Đặt a = , b = = ab P = z y z b + a + ab b +1 a + ab Câu 50 Sử dụng bất đẳng thức  ( a + b + 1)  = ( a + b + 1)  + −  + − + a+b+2 a+b  b + a +  ab Đặt t = a + b P −  ( t + 1) 8t ( t + 1) + ( t + ) − 7t ( t + ) t − 4t + ( t − ) + − = = = 0 t+2 t 2t ( t + ) 2t ( t + ) 2t ( t + ) Suy P  Dấu xảy t = , tức a = b = , hay x = y = z 17 TOP THCS TOÁN CHUYÊN – TCD BOOKS Câu 52 Ý tưởng thay mẫu số mẫu số chung thông qua đánh giá Hãy chứng minh x + yz +  ( xy + yz + zx ) cách thay 18 ( x + y + z) ... (Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz) Vậy: x ( y + 3z ) Câu 18 Ta có: + y ( z + 3x ) + z (2x + 3y )  1 2021 2021 2021  + + = + + =2 x y z 2021 x y z x − 2021 y − 2021 z − 2021  2021   2021. .. hai vế bất đẳng thức cho x 3z ( x + y ) + y 3x ( y + z ) + 3xyz ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng z 3y ( 2z + x ) 1 3z ( x + y )  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mẫu thức, ta có thức tương... b a c c b 16 BẤT ĐẲNG THỨC & ỨNG DỤNG THCS Câu 45 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz cho thức vế trái, ta có : 3a + b + 3b + a  ( 3a + b + 3b + a ) = 8a + 8b 8a + 8b  Bất đẳng thức cần chứng