ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY 1/Các kiến thức căn bản : Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong C có phương trình y= fx [r]
(1)NGUYÊN HÀM Ví du 1: Tìm nguyeân haøm caùc haøm soá sau: a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = 2x + x x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx Giaûi 1 x4 3 f ( x ) dx (x 3x + ) dx x dx xdx dx x ln x C x x a) x x f ( x )dx (2 x + 3x ) dx 2 x dx 3 x dx C ln ln b) d (5 x 3) (5x 3)6 f ( x )dx (5x+ 3) dx (5x+ 3) 30 C c) d) 4 f ( x )dx sin x cosxdx sin x d (sin x ) sin x C Ví du 2ï: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=1+ sin3x bieát F( )= Giaûi Ta coù F(x)= x – cos3x + C Do F( ) = - cos + C = C = - Vaäy nguyeân haøm caàn tìm laø: F(x)= x – cos3x - Bài tập đề nghị: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y x3 b dx x2 a (2 x x 5)dx c.sin x dx d (e2 x 5)e2 x dx e. dx 2x 2.Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=sin x.cosx, bieát giaù trò cuûa nguyeân haøm baèng ) 0 Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = e1-2x , bieát F( 2 x 3x 3x 1) x x 1 Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = , bieát F( TÍCH PHÂN Ví duï1: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau: a/ ( x ( x 1 b/ 1)dx 3 1)dx ( b/ 1 a/ = 4 3sin x )dx cos2 x Giaûi c/ x dx 2 3 x4 81 x dx dx ( x ) ( 3) ( 1) 24 4 1 1 1 4 4 ( 3sin x ) dx dx sin xdx (4 tan x cos x ) 2 cos x cos x 4 4 x= (2) c/ (4 tan cos ) [4 tan( ) cos( )] 4 4 =8 = x dx x dx x dx (1 x )dx ( x 1)dx x2 x2 ) 2 ( x )1 =(x- =5 =2 +1 =2 +1 Dạng 1: Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 1: Phöông phaùp giaûi: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) dx = u(t) dt 2 b2: Đổi cận: x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = b b3: Vieát f(x)dx a tích phân theo biến mới, cận tính tích phân Ví duï: Tính : ( chọn , thoả đk đặt trên) 1 x dx [0; ] §Æt x = sint dx = cost.dt Víi x [0;1] ta cã t x 2 t 1 s in2t 2 2 x dx cos t.dt (1 cos 2t).dt= ( t )0 20 2 §æi cËn: VËy = = Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dấu tích phân có dạng : [ ; ] 2 a a x thì ñaët x= sint t 2 ( ; ) 2 a a x thì ñaët x= tgt t 2 a [ ; ] 0 2 x a thì ñaët x= sin t 2 \ t ⇒ b f[ (x)] '(x)dx Daïng 2: Tính tích phaân a Phöông phaùp giaûi: b1: Ñaët t = (x) dt = '( x ) dx phương pháp đổi biến b2: Đổi cận: x = a ⇒ t = (a) ; x = b ⇒ t = (b) b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm 1 2x 1 I dx J x 3.x.dx x x 1 0 Ví duï : Tính tích phaân sau : a/ b/ Giaûi: a/ Ñaët t = x + x +1 dt = (2x+1) dx Đổi cận: x t 1 3 Vaäy I= b/ Ñaët t= x t2= x2+ tdt = x dx dt ln t ln t 1 (3) x t Đổi cận: Bài tập đề nghị: 2 Vaäy J = t3 t dt 3 2 (8 3) (3 cos x).dx Bµi TÝnh caùc tích phaân sau: 1/I= 2/J= (e x 2)dx 3/K= Bµi Tính caùc tích phaân sau: 1/ e ex ln x dx dx x e 1 x 2/ 3/ e (6 x x )dx sin x .cos x.dx x( x 3)5 dx 4/ Chú ý: đổi biến thì phải đổi cận Dấu hiệu : Chứa (biểu thức)n Đặt u = biểu thức Chứa √ ❑ Đặt u = √ ❑ Chứa mẫu Đặt u = mẫu Chứa sinx.dx Đặt u = cosx Chứa cosx.dx Đặt u = sinx dx Chứa Đặt u = lnx x Dấu hiệu: dx π π Đặt x = sint , t − ; 2 √1 − x dx 2 Đặt x = a.sint , t − π2 ; π2 √a − x dx π π 1+ x2 Đặt x = tant , t − ; 2 dx π π a2 + x Đặt x = a.tant , t − ; 2 Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn: [ [ ] ] ( ( ) ) b Công thức phần : u.dv u.v a b a b v.du a b Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: u x v ' cos x a/ Ñaët : u ' 1 v sin x a/ I= u.v '.dx u.v a x.cos x.dx Giaûi b a b v.u ' dx a e x.ln x.dx b/J= (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx ) (4) Vaäy I = x cosx - sin x.dx u' u ln x x v ' x v x b/ Ñaët : e e = cosx = -1 x e e e 1 e x2 e dx xdx x x 21 4 Vaäy J= lnx - Tính tích phân số hàm hữu tỉ thường gặp: a) Dạng bậc tử lớn hay bậc mẫu: Phương pháp giải:Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng phần nguyên và phần phân số tính Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: 2 2x 1 ò x - dx =ò(1 + x - 1)dx = [ x + ln x - 1]1 =1 + ln ln a/ = 0 3 x + x +1 x x 23 ò x - dx =ò( x + x + + x - 1)dx = [ + + x + ln x - 1]- = - ln - b/ - b) Daïng baäc1 treân baäc 2: Phöông phaùp giaûi: Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính *Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt: 5( x - 1) dx ò x2 - x - Ví duï: Tính caùc tích phaân : Giaûi x A B A( x - 3) + B( x + 2) ( ) x- = + = ( x + 2)( x - 3) Ñaët x - x - = ( x + 2)( x - 3) x + x - A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3 cho x=3 B=2 2 2 5( x - 1) dx ò x2 - x - ò( x +2 + x - Vaäy ta coù: = * Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: (2 x +1)dx ò x2 - 4x +4 Ví duï: Tính caùc tích phaân : CI: 2 )dx = (3ln x + + ln x - ) = ln Giaûi 16 27 (2 x +1)dx 2x - d ( x - x + 4) = ( + ) dx = ò x2 - 4x + ò x - 4x + x - 4x + ò x - x + + 5ò ( x - 2)2 dx 0 0 5 ) ln x 2 =(ln x +1 x +1 A B A( x - 2) + B = = + = Û A( x - 2) + B = x +1 2 x - ( x - 2) ( x - 2)2 CII: Ñaët x - x + ( x - 2) A 2 A 2 Ax -2A+B= A B 1 B 5 x2 4x (5) Vaäy x +1dx ò x - x + = ò[ x - + ( x - 2)2 ]dx 0 (2ln x-2 ) ln x-2 = *Trường hợp mẫu số vô nghiệm: Ví duï: I=ò - (2 x - 3)dx +2x +4 òx Tính caùc tích phaân :I= - 2x +2 dx x +2x + Giaûi: d ( x + x + 4) dx = ò ( x +1)2 + ò x + x + - 5J - 1 d ( x + x + 4) ò x + x + ln/x2 +2x+4/ 0 ln ln ln Ta coù = ò ( x +1)2 + 3dx Tính J= - ; Ñaët x+1= 3tgt (t 2 ) dx= 3(1 tg t )dt Khi x= -1 thì t = ; x=0 thì t= J= 3(1 tg2 t ) 36 dt 1dt (3 3tg t ) 3 5( 6) Vaäy I= ln 3/ Tính tích phaân haøm voâ tæ: b R( x, n Daïng1: a b ax b )dx R( x, n Daïng 2: a n Ñaët t= ax b ax b )dx cx d Ví duï: Tính tích phaân I = ax b Ñaët t= cx d n xdx Giaûi Ñaët t = x t = 1-x x= 1-t dx= -3t dt x 1 t t4 t.( 3t )dt 3t dt 3 Đổi cận: Vaäy I= 4/ Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp 3 sin ax.cos bxdx, sin ax.sin bxdx, cos ax.cos bxdx Daïng: Phöông phaùp giaûi: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu các tích phân giải sin n xdx; cos n xdx Daïng: Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến Ví duï : (6) sin n 1 xdx sin x sin xdx (1 cos2 x )n sin xdx Ñaët t =cosx 2n n cos x cos2 n xdx (cos2 x )n dx dx Daïng: R(sin x ).cos xdx Ñaëc bieät: Daïng: Ñaëc bieät: Các trường hợp còn lại đặt x=tgt Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: a/ b/ sin 3x.cos x.dx Giaûi a/ sin x.cos x.dx b/ sin 2n x.cos2 k 1 xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx R(cos x ).sin xdx sin sin n 1 x.cos2 k xdx cos xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx cos xdx c/ x sin2 xdx d/ = 1 cos x cos x 2 (sin x s in x ) dx ( )0 2 2 cos2 x sin x 2 sin xdx dx ( x )0 2 0 cos xdx t 0 cos x.cos x.dx (1 sin x ).cos x.dx c/ I= =0 Đaët t =sinx dt = cosx dx Đổi cận x cos x sin2 xdx 2 (1 t ).dt (t Vaäy: I= cos x sin x.cos x.dx (1 sin x )sin x.cos x.dx d/J = =0 Đaët t = sinx dt = cosx dx Đổi cận x Bài tập đề nghị: x.e Bµi : 1/ 3x dx x cos 2/ x x 3x dx x Bµi : 1/ I= Bµi : 1/ I= t3 t5 2 (1 t ) t dt ( t t ) dt ( ) 15 0 VËy: J= Tính caùc tích phaân sau: t t3 ) 3 dx x 5x x 2 e dx ln x.dx 2/ J= 2 x.ln( x 1).dx 3/ 4/ 2 x 5x dx x 1 1 2x dx x x 2/ I= x 3/ I= 2 3x dx 4x e cos x.dx 5/ x (7) x 1 xdx Bµi 4: 1/ 2/ x dx 2 x cos 3 sin x.cos x.dx x.dx sin dx sin x x cos x.dx Bµi : 1/ 2/ 3/ 4/ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1/Các kiến thức : a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đó diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) :y=f(x) b S f ( x ) dx a và các đường thẳng x= a; x=b; y= là : b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] đó diện tích hình phẳng b giới hạn đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) và (C’) B2: Tính dieän tích hình phaúng caàn tìm: S f ( x ) g ( x ) dx a b S f ( x) dx a Cách tính TH1: Nếu phương trình f(x) = vô nghiệm (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: b S f ( x ) dx a TH2: Nếu phương trình f(x) = có nghiệm là x1 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 b S f ( x ) dx a f ( x)dx x1 TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x 1; x2 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng x1 S f ( x )dx x1 x2 f ( x)dx f ( x )dx b caàn tìm laø: Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp * Dạng toán là trường hợp đặc biệt dạng toán đường cong g(x)=0 Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ] và Ox Giaûi: a x2 Ta coù :sinx = coù nghieäm x= 0;2 vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: 2 2 sin x dx sin xdx sin xdx 2 cos x cos x S= = =4 Ví dụ2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P 1): y = x –2 x , và (P2) y= x2 + và các đường thẳng x = -1 ; x =2 Giaûi Pthñgñ : x2 –2 x = x2 + Û 2x +1= Û x = -1/2 (8) ò (x - 1/ 2 - x ) - ( x +1) dx = Do đó :S= - - 1/ 2 ò [( x - ò ( x +1) dx + - x ) - ( x +1)]dx + ò ( x +1) dx ( x + x) ò [( x 2 - x ) - ( x +1)]dx - 1/ 2 - - + ( x + x) - 1 25 13 + = (dvdt) =4 - 1/ = -1 = Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y2 = x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 4 y y2 GiaûiTa coù (P): y2 = x x = vaø (d): 2x+y-4 = x= y 2 y2 y Phương trình tung độ giao điểm (P) và đường thẳng (d) là: = y ( y y2 y y2 y2 y3 )dy (2 )dy (2 y ) 9 4 12 4 Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: S= 2/ Bài tập tương tự : Baứi Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số y = - x2 với đờng thẳng (d): y = x x 1 Cho hµm sè y = Baøi nã t¹i A(0,1) (C) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña 3x Baứi Cho hàm số y = 2x (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và các trục Ox; Oy và đờng th¼ng x = Baứi Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đờng (C): y x và các đờng thẳng (d): x + y - = ; y = Baứi Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đờng (P): y = x2 - 2x + ;tiếp tuyến (d) nó điểm M(3;5) vµ Oy 3x 5x x Baøi Cho hµm sè y = (C) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C); tiÖm cËn cña nã vµ x = 2; x= ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY 1/Các kiến thức : Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng xung quanh trục Ox là: b V f ( x) dx a 2/ Bài tập áp dụng : Ví duï 1: Tính theå tích khoái caàu sinh quay hình troøn coù taâm O baùn kính R quay xung quanh truïc Ox Giaûi: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2 R R x dx R x3 R3 R x R3 R R= = = (ñvtt) Theå tích khoái caàu laø : V= R Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh truïc Ox: x = –1; x = 2; y = 0; y = x2–2x Giaûi: Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : 2 1 1 S ( x x )2 dx ( x x x )dx (9) 18 x5 ( x4 x3 ) = = (ñvtt) Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đờng sau : π y = 0, y = √ x sin x , x = 0, x = u x §Æt : v ' sin x π V = π x sin xdx Gi¶i: u ' 1 v cos x π V = π x sin xdx [ π π = π ( − x cos x)∨❑ − cos xdx ] = Bµi TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh bëi phÐp quay xung quanh trôc Oy cña h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®2 êng y = x , y = 2, y = vµ x = Gi¶i: V= Π ydy=¿ ( (Πy )∨❑42 = 12 Bài tập đề nghị : Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: Trục hoành, y x 1, x 0, x 1 2 Parabol: y 6 x x , các đường thẳng x = -1, x = và trục hoành y s inx, y 0, x 0, x 2 y x , y x y x x 1, y 6 x Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn các đường sau quay quanh trục hoành: y 4 x và y 0 y s inx, y 0, x 0, x / y cot x, y 0, x 0, x Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: Trục hoành, y x 1, x 0, x 1 2 Parabol : y x x, các đường thẳng x = -1, x = và trục hoành y cosx, y 0, x 0, x 2 y x , y 2 x cosx (0 x ) và hai trục toạ độ Tính thể tích khối Bài 4: Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = tròn xoay tạo thành quay hình đó quanh trục Ox Bài 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn các đường sau quay quanh trục hoành: y x v à y 0 x y e , y 0, x 0, x 2 x 4m (C m ) Bài 6: Cho hàm số y = 1 x , (m là tham số) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), tiệm cận ngang và các đường x = 2, x =4 (10) (11)