Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ CHỦ ĐỀ BIỂU THỨC CHỨA CHỮ Thông thường toán cho dạng tổng hợp gồm: -Một câu hỏi chính: Rút gọn biểu thức -Các câu hỏi phụ: + Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (hay tìm điều kiện xác định) + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến + Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức + Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức + Tìm giá biến để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Phương pháp giải A xác định A �0 xác định A �0 A Bài tập mẫu Câu 1: Cho biểu thức M x y yy x x xy Tìm điều kiện xác định rút gọn M (Đề thi vào 10 tỉnh Khánh Hòa năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết �x �0 �x �0 � �� Điều kiện: �y �0 �y �0 � xy �0 � x yy x x y x y yy x x Với x �0, y �0 ta có: M xy xy xy x y xy x y x y xy xy x y Vậy M x y với x �0, y �0 � x � Câu 2: Cho biểu thức N � � x 1 x 1 � �: x Tìm điều kiện xác định rút gọn N � � Giải chi tiết �x �0 � �x �0 � x �0 �� Điều kiện: � �x �1 �x �0 � x �0 � � � N x � 0, x � Với ta có: � x 1 � Vậy N x x 1 x 1 x 1 � � x 1 x � x 1 � � x 1 x 1 � x 1 � � x 1 � � x 1 � � x 1 với x �0, x �1 x 1 � x 1 � Câu 3: Cho biểu thức P � � �x � x 3 x � � Tìm điều kiện xác định rút gọn N Giải chi tiết �x �0 �x �0 � Điều kiện: �x �0 � � �x �9 � � x �0 Với x �0, x �9 ta có: � � x 1 � x 1 � P� �( x +3)( x -3) x � � x 3 � x 3 x 3 � � � x 3 x 1 Vậy P x 3 x 3 x 3 x 3 � � x 3 x 3 � � x 3 x 3 với x �0, x �9 x 3 Câu 4: Cho biểu thức Q x 11 x x 1 Tìm điều kiện x để biểu thức Q có nghĩa, x x 2 x 1 x 2 rút gọn Q Giải chi tiết �x �0 � �x �0 �x �0 �x x �0 �� �� Để Q có nghĩa, điều kiện là: � �x �4 � x �2 � x �0 � x �0 � Với điều kiện ta có: Q x 1 x x 1 x x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 6 x x x 12 x 1 x x 1 x x x 11 x Vậy Q x x 1 x 11 x 1 x 1 x 2 x x 1 x 1 x 2 x 11 x x x x x 1 x 2 x 6 với x �0 x �4 x 1 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Phương pháp giải Bài tập mẫu x 1 x x 1 Câu 1: Tính giá trị biểu thức A Giải chi tiết 1 1 2 1 1 Thay x vào A ta được: A Vậy A x Câu 2: Cho biểu thức A 2x x Tính giá trị A x x 2 (Thi thử THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết 2x x x 2 x Với x �0, x �4 ta có: A x x x 2 x 2 Khi x 3 2 x 2 x 1 x 2 3.1 12 1 x 1 � x , thay vào A ta được: A x 1 1 1 1 1 x 2 x 2 x 2 Vậy x A Ta thấy x rút gọn cách đưa bình phương hiệu Do vậy, ta cần rút gọn x trước thay vào biểu thức A Câu 3: Cho biểu thức B 2 x 2 x , điều kiện x �0, x �1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B x 17 12 (Đề thi vào 10 tỉnh Ninh Thuận năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết a) Với x �0, x �1 ta có: B 2 x x 1 Vậy B 2 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x x x 1 2 x x 1 x với x �0, x �1 x 1 32 2 b) Ta có: x 17 12 2.3.2 x 2 2.1 Thay x vào B ta được: B 1 2 2 (thỏa mãn điều kiện x �0, x �1 ) 1 1 2 1 1 1 Vậy x 17 12 B Câu 4: Cho biểu thức: C x x 1 x 1 (với x �1; x �0 ) Rút gọn C, sau tính giá trị C x 1 x 1 x 2020 2019 Giải chi tiết Với x �1; x �0 ta có: x x x x 1 x 1 C x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 Vậy C x với x �1; x �0 x 1 x Suy C x 1 x 1 x 1 Ta có x 2020 2019 (thỏa mãn điều kiện x �1, x �0 ) Có x 2019 2019 2019 2019.1 12 2019 � x 2019 1 2019 2019 Thay vào biểu thức C ta : C x 2020 2019 2019 Vậy C Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phương pháp giải Chứng minh đẳng thức: Ta biến đổi vế trái vế phải vế phải vế trái biến đổi hai vế biểu thức trung gian Chứng minh bất đẳng thức A m Bài tập mẫu x x 1 x x Câu 1: Chứng minh với x x �1 Giải chi tiết Với x x �1 ta có: x x 1 x x VT x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x x Vậy với với x x �1 x 1 x � x 1 �� x 4� � Câu 2: Cho biểu thức P � �(với x x �4 ) � x 2 x4� � � x 1 x � � �� � Chúng minh P x Giải chi tiết Với x x �4 ta có: � x 1 �� x 4� P� x � � � � x x �� x � � �� � � x 1 �� x 2 �� x � � x4 x �� x � �� x � x 4� x � � x x2 x x 22 x x x 4 x3 x x4 x4 x4 x x x 3 x x 3 Vậy P x với x 0, x �4 � � �1 �� a a 5 � Câu 3: Cho biểu thức P � �a a a a a � �� a 1�với a 0, a �1 � �� � � � a) Rút gọn P b) Đặt Q a a P Chứng minh Q Giải chi tiết Với a 0, a �1 ta có: � P� � a 1 a � a 1 a 1 a a 5 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 �� � (a a 1) a � � a 5 � � � a a 1 a a a �� �� � � a 1 a a4 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a 1 a a 1 a a b) Ta có: Q a a P a a 1 a Xét Q a a a a a a a a a a a 1 a � a a 1 � � a � Vì a a 0, a 0, a �1 nên Q � Q Vậy Q với a 0, a �1 Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức Phương pháp giải Câu 1: Cho hai biểu thức: A � x 1 x4 x 2� (với x �0, x �1 ) B � (với �: � x 2 x 1 x 1 � � � x 1 x �0, x �4 ) Tính giá trị nhỏ biểu thức P 18 A.B (Phòng GD & ĐT Ba Đình – Hà Nội – Lần năm học 2018 – 2019) Phân tích đề Rút gọn B tính P Ta thấy P 18 x 1 x 2 có dạng bậc tử thức băng bậc mẫu thức (phương pháp 3) nên phân tích tử để biến đổi P dạng P n m x 2 Giải chi tiết Với x �0, x �1 ta có: � x 1 x 2� B� � � x 2 �: x x � � x 1 x x 2 �P x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 18 18 x 54 18 A.B x 2 x2 54 x 2 x 2 Vì x 0��� 54 27 nên P 18 54 �18 27 9 x 2 Hay P �9, x �0 Đẳng thức xảy x Vậy P 9 x Câu 2: Rút gọn tìm giá trị lớn biểu thức: � � x 1 x2 x A� : , với x �0, x �1 � � 1 x x x 1 x x 1 � � � (Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Với x �0, x �1 ta có: � � x 1 x x x x x x2 x A� : � � 1 x x x 1 x x 1 � x 1 x 1 x x � � x x 1 Vậy A x 1 x 1 x x 1 với x �0, x �1 x x 1 A đạt giá trị lớn � x x đạt giá trị nhỏ Vì x �0 nên x x �1 � A �3 x x 1 Đẳng thức xảy � x Vậy max A x m (với m số dương, p x biểu thức chứa biến x), áp p x Ta thấy A có dạng A dụng phương pháp Câu 3: Cho hai biểu thức P x3 Q x 2 x 1 x với x 0, x �4 x4 x 2 P đạt giá trị nhỏ Q Tìm giá trị x để biểu thức (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2015 - 2016) Phân tích đề P P x3 Nhận thấy có dạng bâc tử lớn bâc mẫu nên đưa dạng Q Q x Rút gọn biểu thức Q tính P m P1 x Sau áp dụng bất đẳng thức Cơ-si để tìm giá trị nhỏ Q x Giải chi tiết Với x 0, x �4 ta có: Q x 1 x x4 x 2 x2 x x4 � x x 2 x 2 5 x 2 x4 x 2 x 1 x 2 x3 x 25 x 2 x4 x x 2 P x3 x �2 (Do bất đẳng thức Cô-si) Q x x Đẳng thức xảy x Vậy giá trị nhỏ � x3 x P x Q 3 x 5 Câu 4: Cho biểu thức P x x x 1 3 x x x 3 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ P Giải chi tiết Điều kiện: x �0, x �9 a) Với x �0, x �9 ta có: 3 x 5 x 2 x 3 x 1 x ( x 1)( x 3) P 3 x 3 x x 3 x 1 3 x ( x 1)( x 3) 3x x x x x x x 15 x 17 x x 1 Vậy P x 3 x 15 x x x 1 x 3 x 1 x 3 x x 3 5 x 2 x 1 x 2 với x �0, x �9 x 1 b) Ta có P Vì x 3 x 1 x 2 x 57 5 x 1 x 1 x 1 nên P có giá trị nhỏ � x 1 lớn � x 1 x nhỏ � x Khi P 2 Vậy P 2 x � x4 � 1�: Câu 5: Cho biểu thức P � với x �0, x � , x �1, x �4 �x x �2 x x a) Rút gọn biểu thức P b) Với x �5 , tìm giá trị nhỏ T P 10 x Giải chi tiết Với x �0, x � , x �1, x �4 ta có: � x 2 � x4 � P� 1�: � �x x �2 x x � x � 1� � � x 2 � � x 2 � � � x 1� � x 1 x 1 � � x 2 x x 1 x 1 4x 1 Vậy P x với x �0, x � , x �1, x �4 b) Xét T P 10 10 x 10 10 x 4x 1 1 x x x Áp dung bất đẳng thức Cơ-si ta có: x 10 x 10 �2 4 x x x 1 x 1 Đẳng thức xảy � Lại có: x 10 � x (do x �0 ) x 18 x �18 (vì x �5 ) nên T �4 18 21 Vậy T 21 x Nhận xét T có chứa biểu thức nghịch đảo 4x 10 nên ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức Cô-si Nhưng x áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 4x T 4x 10 thì: x 10 10 �2 x 10 x x Đẳng thức xảy � x 10 10 (không thỏa mãn điều kiện x �5 ) � x2 � x x Tức 10 giá trị nhỏ T Dạng 5: Tìm giá trị biến để giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Bài tốn Tìm x để biểu thức A m (m số) Bài tốn Tìm x để biểu thức A m (hoặc A m A �m A �m (m số)) Bài tập mẫu �x x x x � x x Câu 1: Cho biểu thức A � �x x x x � �: � � x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A A c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Giải chi tiết a) Điều kiện: x 0, x �1 �x x x x � x x A� �x x x x � �: � � x 1 � x 1 x x � � x x 1 � x 1 x x 1 � �: � x x 1 � x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 Vậy A x 1 với x 0, x �1 x 1 b) A A � A � 0� x 1 x 1 x 1 � x Kết hợp với điều kiện ta x A A c) Ta có: A 2 x 1 x 1 Để A nguyên x 1 x 1�U hay x 1� 1;1; 2; 2; 4; 4 Ta có bảng sau: x 1 x x, 4 2 1 3 1 ( loại loại (loại) 25 (thỏa mãn) (thỏa mãn) (thỏa mãn) x 0, x �1 ) Vậy x � 4;9; 25 Nhận xét Muốn tìm giá trị nguyên x để biểu thức A mẫu) đạt giá trị nguyên ta cần phân tích A A1 x Khi A nguyên � P x Q x (trong bậc tử lớn bậc m với m số Q x m nguyên � Q x ước m Q x � x x x 2� x x �: Câu 2: Cho biểu thức B � � x2 4 x � x2 � � x x a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để B c) Tìm giá trị x để B có giá trị âm Giải chi tiết Điều kiện: x 0, x �4, x �9 a) Với x 0, x �4, x �9 ta có: � x 1 x � x 3 x x 2 B� �: � x 2 x (2 x )(2 x ) � � � x 2 x 1 x 2 x x2 x2 x2 x2 x x x 2 2x x x x x x2 Vậy B x2 x 3 x x2 x3 b) B � c) B � x x2 x 2 x x2 x2 x 3 x x 3 x x2 x2 x 3 x x x3 với x 0, x �4, x �9 x2 x3 x2 x3 2� x 2 x 6� � x (vì x � x 64 (thỏa mãn điều kiện) x 0) � x � x Kết hợp với điều kiện ta x x �4 x �� 10 x � � : x 2 Câu 3: Cho biểu thức P � �� � với x 0, x �4 x �� x 2� �x x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Q x P đạt giá trị nguyên (Phòng GD & ĐT Hải Hậu - Nam Định - Lần năm học 2018 – 2019) Giải chi tiết a) Với x 0, x �4 ta có: x �� 10 x � � P� : x 2 �� � x �� x 2� �x x x x � x � � x x � � � �: �x 10 x � � � x 2� x2 � x2 �� � � � x � x2 � � x2 x 2� � x2 x2 � � � x2 Vậy P x2 x2 x2 x2 1 x2 x2 6 x2 x2 x2 1 x2 1 x 1 với x 0, x �4 b) Với x 0, x �4 ta có Q x P x Để Q nguyên x2 ��� x 2�� 4 hay x2 x2 1 x2 x � 1;1; 3;3 Ta có bảng: x 2 1 3 x 1 (thỏa mãn) (thỏa mãn) loại 25 (thỏa mãn) x , , x 0, x �4 Vậy x � 1;9; 25 Q nhận giá trị nguyên Câu 4: Cho biểu thức A x 3 B x 4 x x 12 với x �0, x �16 x 16 x 4 a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm m để phương trình A m có nghiệm B (THCS Mạc Đĩnh Chi - Ba Đình - Hà Nội năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết x x 12 x 16 x 4 a) Ta có: B Vậy B x x 12 x 12 x 4 x 4 x với x �0, x �16 x 4 x 4 x 3 x 4 x 4 x4 x x 4 x 4 x 12 x 4 x x 4 x 4 b) ta có: � x 3 x : m 1 � x 4 x 4 A m 1 � B x x m 1 x Để phương trình 0� x 3 m 1 x m x 0 x A m x m có nghiệm phương trình có nghiệm, tức là: B x �x �3 �x m0 � � �m � � � � m x m x � � x � � �� có nghiệm � � m m� x �x �16 � �3 �4 � � � � x � 16 � m � A Vậy m 0, m � phương trình m có nghiệm B BÀI TẬP TỰ LUYỆN �x x x 1 � x 1 Câu 1: Rút gọn biểu thức: B � với x 0, x �1 � x 1 x x � �: x � � Tính giá trị B x 12 (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Dương năm học 2018 - 2019) Câu 2: Cho biểu thức A x x 1 B x 4 x 1 x với x 0, x �4, x �16 x 2 x x a) Tính giá trị A x 25 b) Rút gọn biểu thức B c) Cho P A.B So sánh P với (Thi thử Quận Hai Bà Trưng năm học 2018 - 2019) Câu 3: Cho biểu thức A �x x x3 � x 3 B � với x �0, x �9 � � x9 x 3 x 3� � � x 1 a) Tính giá trị A x 16 b) Rút gọn biểu thức B c) Cho P A Tìm giá tri nhỏ P B (Thi thử THCS Thái Thịnh năm học 2018 - 2019) � x 12 x Câu 4: Cho biểu thức P � � x 3 x 9 � � � x 5 với x �0, x �9, x �64 � x 8 � a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm điều kiện x để P �1 (Phòng GD & ĐT Giao Thủy - Nam Định năm học 2018 - 2019) Câu 5: Cho hai biểu thức A x 1 B x 3 a) Tính giá trị biểu thức A x x x với x �0, x �1 x 3 x 1 x x 16 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm x để A 1 � B (THPT Nhân Chính - Hà Nội năm học 2018 - 2019) �2 x 1 � 2017 2018 Câu 6: Cho biểu thức: A � � x 1 x 1 � �: x Tìm x để A x x � � (THCS Bạch Liêu - Nghệ An năm học 2018 - 2019) Câu 7: Cho biểu thức A x 1 B x 2 x 1 x x 4 với x �0, x �4 x 1 x 2 x x 2 a) Tính giá trị A x b) Chứng minh rằng: B c)Tìm x để 2 x B 1 A (Phịng GD & ĐT Thanh Trì - Hà Nội năm học 2018 - 2019) �2 x 9 x x 1�x x Câu 8: Cho biểu thức A � � x x x x � �x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x 2 11 12 c) Tính giá trị lớn A (THCS Sơn Tây - Hà Nội năm học 2018 - 2019) Câu 9: Cho hai biểu thức A B x 8 x x 24 với x �0, x �9 x 9 x 3 a) Tính giá trị biểu thức A x 25 b) Chứng minh B x 8 x 3 c) Tìm x để biểu thức P A.B có giá trị số nguyên (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2016 - 2017) �� x 1 x � � Câu 10: Cho biểu thức p � x � �: � x �� x x � � � x � a) Chứng minh P 0, x 0, x �1 b) Tính giá trị P biết x 2 c) Tìm giá trị x thỏa mãn: P x x x Gợi ý giải Câu 1: �x x x 1 � x 1 x 1 x 1 x B� : ( x ): x 1 � x 1 x x � � x x x x x � � Với x 12 thay vào B ta được: 2 2 B 12 1 2 1 1 2 Câu 2: a) Thay x 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A x 1 x x 2 x x b) B x x 5 x 8 x x 2 c) Ta có: P A.B x 1 x 8 x 2 x x 2 x6 x 8 x x 2 x 2 x x 4 x 2 x 25 25 31 25 x x 1 x x 2 x 4 x x x 1 x x x 1 x 4 x x 1� � x � � Xét x x 1 x x 1 � 2� P2 2 0, x x x x Vậy P với x 0, x �4, x �16 Câu 3: a) Thay x 16 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A 16 19 16 � � � x3 x 2 � x �x x x � B b) � x 3 x � x 1 � x 3 x 3 x 3 � � � x x 1 x 3 c) Ta có: P x 3 x 3 x 1 x 1 x 3 x 3 x 3 x 1 x 1 x 3 A x3 x 1 x3 : x 1 2 B x 3 x 3 x 1 x 1 � � x 3 � x 1 � x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x �1 2 x 1 P � x (thỏa mãn) x 1 x 1 Đẳng thức xảy � x 1 x ta được: x 1 Vậy P x Câu 4: � x 12 � x P a) Ta có: � x 3 x 9 � � x 5 � x � x 8 � x 3 � � x 5 x 8 x 3 x 3 x 3 x x x x 3 x 3 x x x � � x x 24 Vậy P x x 24 x 3 x 3 x 3 � x 5 � x 3 � x 8 � x 12 x 5 x 8 x 5 với x �0, x �9, x �64 x 3 1 � b) Ta có P �� x 5 �1� � x 3 x 5 x 3 x 3 x x Kết hợp với điều kiện �x x �64 Vậy với �x x �64 P �1 Câu 5: 16 1 13 16 : a) Thay x (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A có: A 3 13 16 3 Vậy A 16 x 13 x x x 3 x 1 x x b) Ta có: B x 1 x Vậy B x 3 x 3 4 x x 1 x 1 với x �0, x �1 x 3 x 1 x 3 x x 3 x 1 x 1 x 1 x 3 x x 3 x 1 c) Ta có: Khi đó: (vì A 1 � x 1 � x 1 � � x 1� �: x B � � A 1 �� �� B � x 1 x 1 x x x 3 x 1 x 1 0�� x 7 � x 1 x 0 x 49 x ) Câu 6: x 2 với x �0, x �1 x 1 Rút gọn biểu thức A Ta có: VT A x 2 1 1 �1 (vì x �0 ) x 1 x 1 1 Vì x �0 nên AVP x 2017 x 2018 �2 Do VT VP Vậy x Câu 7: a) Ta có: x � x , thay vào A ta được: A b) HS tự rút gọn biểu thức B c) B 1 � x Tìm x đối chiếu với điều kiện ta �x A Câu 8: a) Đáp số: A x với x �0, x �4, x �9 x x 1 b) Ta có: x 2 11 12 Thay x 16 vào A ta được: A 1 3 2 12 16 13 c) Khi x A Khi x �0, x �4, x �9 ta có: A x x x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: Đẳng thức xảy � x Vậy maxA x Câu 9: a) a 13 x x 1 x� ��� 2� x x � x (thỏa mãn) x x 1 x 1 x 1 x A b) HS tự rút gọn biểu thức B x 8 x 8 x 3 c) Ta có: P A.B x 3 x �U hay Để P nhận giá trị nguyên �1 � x � 1;1; 7;7 � x �� ;16 � �4 Câu 10: a) Rút gọn biểu thức P b) Ta có x Do P x 1 0, x 0, x �1 x 2 42 2 2 2 11 1 3 1 1 1 � x 1 c) Điều kiện: x �4 Ta có: P x x x � x 1 x x x x � x x 1 x x � x4 x 4 x4 � � x 2 � x 2 x4 0� � � x � � x4 ... cần rút gọn x trước thay vào biểu thức A Câu 3: Cho biểu thức B 2 x 2 x , điều kiện x �0, x �1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B x 17 12 (Đề thi vào 10 tỉnh Ninh Thuận... Cho hai biểu thức A B x 8 x x 24 với x �0, x �9 x 9 x 3 a) Tính giá trị biểu thức A x 25 b) Chứng minh B x 8 x 3 c) Tìm x để biểu thức P A.B có giá trị số nguyên (Đề thi... �3 x x 1 Đẳng thức xảy � x Vậy max A x m (với m số dương, p x biểu thức chứa biến x), áp p x Ta thấy A có dạng A dụng phương pháp Câu 3: Cho hai biểu thức P x3 Q x
Ngày đăng: 10/10/2021, 16:56
Xem thêm:
