Nghiên cứu cộng hưởng electron phonon và cộng hưởng từ phonon trong giếng lượng tử

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM TUẤN VINH NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON VÀ CỘNG HƯỞNG TỪ-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Huế, 2021 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM TUẤN VINH NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON VÀ CỘNG HƯỞNG TỪ-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 44 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ ĐÌNH PGS TS LƯƠNG VĂN TÙNG Huế, 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Huế, tháng 08 năm 2021 Tác giả luận án Phạm Tuấn Vinh i LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận án này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Đình PGS.TS Lương Văn Tùng Đây người thầy tận tình dạy dỗ, hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập nhiều đóng góp q báu để tác giả hoàn thành luận án Qua đây, tác giả gửi lời tri ân đến GS TS Trần Công Phong người dẫn dắt truyền nhiệt huyết để tác giả vào hướng nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn PGS TS Huỳnh Vĩnh Phúc người anh, người thầy động viên để tác giả hồn thiện thân hơm Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế; Ban đào tạo Sau đại học, Ban Giám đốc Đại học Huế tạo điều kiện tốt để tác giả học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Đồng Tháp tạo điều kiện thuận lợi thời gian kinh phí để tác giả học tập nâng cao trình độ chun mơn hồn thành luận án Cảm ơn quý Thầy, Cô, đồng nghiệp khoa Sư phạm Khoa học Tự nhiên động viên tác giả suốt trình nghiên cứu thực luận án Đây cống hiến thầm lặng, thông cảm lâu dài thành viên thân yêu gia đình nhỏ; xin cảm ơn rất nhiều tất Luận án hồn thành Bộ mơn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế./ Tác giả luận án Phạm Tuấn Vinh ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục từ viết tắt vi Danh mục số kí hiệu vii Danh mục hình vẽ viii PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Tổng quan đối tượng phương pháp nghiên cứu Tổng quan bán dẫn thấp chiều giếng lượng tử 1.1.1 Bán dẫn thấp chiều 1.1.2 Cấu trúc giếng lượng tử 1.1.3 Hàm sóng phổ lượng electron giếng Chương 1.1 lượng tử với giam giữ 10 1.1.4 Hàm sóng phổ lượng electron giếng lượng tử có mặt từ trường 11 1.2 1.1.5 Giếng lượng tử tam giác 12 1.1.6 Giếng lượng tử hyperbol bất đối xứng đặc biệt 13 Tổng quan phương pháp chiếu toán tử 14 1.2.1 Hamiltonian hệ electron tương tác với phonon 16 1.2.2 Biểu thức giải tích tenxơ độ dẫn có điện trường xoay chiều cao tần đặt vào hệ 18 1.2.3 Biểu thức tenxơ độ dẫn công suất hấp thụ tuyến tính 21 1.2.4 Biểu thức tenxơ độ dẫn công suất hấp thụ phi tuyến 24 iii 1.3 Phương pháp hàm Green biểu diễn qua lý thuyết nhiễu loạn 28 1.3.1 Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 28 1.3.2 Xác suất dịch chuyển ảnh hưởng nhiễu loạn 29 1.3.3 Tương tác electron-phonon-photon 31 1.3.4 Xác suất dịch chuyển hệ số hấp thụ quang từ có mặt từ trường biểu diễn qua hàm Green 33 1.4 Phương pháp profile 36 Chương Cộng hưởng electron-phonon giếng lượng tử tam giác 2.1 38 Cơng suất hấp thụ tuyến tính phi tuyến giếng lượng tử tam giác 38 2.2 2.1.1 Biểu thức công suất hấp thụ tuyến tính 38 2.1.2 Biểu thức công suất hấp thụ phi tuyến 44 Kết tính số thảo luận 47 2.2.1 Điều kiện cộng hưởng ODEPR 47 2.2.2 Sự phụ thuộc công suất hấp thụ độ rộng vạch phổ vào điện trường 49 2.2.3 Sự phụ thuộc công suất hấp thụ độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ 50 Chương Cộng hưởng electron-phonon giếng lượng tử hyperbol bất đối xứng đặc biệt 3.1 53 Công suất hấp thụ tuyến tính phi tuyến giếng lượng tử hyperbol bất đối xứng đặt biệt 53 3.2 Kết tính số thảo luận 55 3.2.1 Điều kiện cộng hưởng ODEPR 55 3.2.2 Sự phụ thuộc công suất hấp thụ độ rộng vạch phổ vào thông số a 57 3.2.3 Sự phụ thuộc công suất hấp thụ độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ 58 iv Chương Cộng hưởng từ-phonon giếng lượng tử tam giác 4.1 61 Hệ số hấp thụ quang từ tuyến tính phi tuyến giếng lượng tử tam giác 61 4.2 Kết tính số thảo luận 64 4.2.1 Điều kiện cộng hưởng ODMPR 64 4.2.2 Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ độ rộng vạch phổ vào điện trường 65 4.2.3 Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ độ rộng vạch phổ vào từ trường 67 4.2.4 Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ 69 Chương Cộng hưởng từ-phonon giếng lượng tử hyperpol bất đối xứng đặc biệt 5.1 72 Hệ số hấp thụ quang từ tuyến tính phi tuyến giếng lượng tử hyperbol bất đối xứng đặc biệt 72 5.2 Kết tính số thảo luận 74 5.2.1 Điều kiện cộng hưởng ODMPR 74 5.2.2 Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ độ rộng vạch phổ vào thông số a 75 5.2.3 Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ 79 5.2.4 Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ quang từ độ rộng vạch phổ vào từ trường 81 KẾT LUẬN CHUNG 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 PHỤ LỤC P1 v DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt MBE Molecular beam epitaxy Epitaxy chùm phân tử MOVPE Metal organic vapor phase epitaxy Epitaxy pha kim loại hữu MOCVD Metal organic chemical vapor deposition Lắng đọng kim loại hữu 2DEG Two dimensional electron gas Khí điện tử hai chiều QW Quantum well Giếng lượng tử TrQW Triangular quantum well Giếng lượng tử tam giác SAsHQW Special asymmetric hyperbolic-type quantum well Giếng lượng tử hyperbol bất đối xứng đặc biệt EPR Electron-phonon resonance Cộng hưởng electron-phonon ODEPR Optically detected Cộng hưởng electron-phonon electron-phonon resonance dị tìm quang học MPR Magneto-phonon resonance Cộng hưởng từ-phonon ODMPR Optically detected Cộng hưởng từ-phonon magneto-phonon resonance dị tìm quang học AP Absorption power Công suất hấp thụ MOAC Magneto-optical absorption coefficient Hệ số hấp thụ quang từ FWHM Full-width at half maximum Độ rộng phổ toàn phần nửa cực đại (Độ rộng vạch phổ) vi DANH MỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU Kí hiệu Đại lượng tương ứng H Hamiltonian hệ V0 Thể tích hệ m0 Khối lượng electron tự m∗ Khối lượng hiệu dụng electron Hằng số điện chân không χ0 Hằng số điện môi tĩnh χ∞ Hằng số điện môi cao tần n Số lượng tử N Chỉ số mức Landau ωc Tần số cyclotron ac Bán kính cyclotron B Cảm ứng từ F Cường độ điện trường E0 Biên độ điện trường Ω Năng lượng photon ωLO Năng lượng phonon quang dọc B0 (Ω) Phần ảo hàm dạng phổ tuyến tính B1,2 (2Ω) Phần ảo hàm dạng phổ phi tuyến P0 (Ω) Cơng suất hấp thụ tuyến tính P1 (Ω) Công suất hấp thụ phi tuyến K(Ω) Hệ số hấp thụ quang từ “X” Vectơ X (X ) vii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Minh họa hình dạng mật độ trạng thái bán dẫn khối (3D), giếng lượng tử (2D), dây lượng tử (1D) chấm lượng tử (0D) Hình 1.2 Mơ hình cấu trúc giếng lượng tử GaAlAs/GaAs/GaAlAs 10 Hình 1.3 Sự phụ thuộc giam giữ tam giác theo hướng z vào giá trị khác điện trường F Hình 1.4 Hình dạng giếng lượng tử kiểu hyprebol bất đối xứng đặc biệt với ba giá trị khác thông số a Hình 1.5 48 Sự phụ thuộc công suất hấp thụ phi tuyến vào lượng photon Ở đây, T = 200 K F = 10 × 105 V/m Hình 2.3 36 Sự phụ thuộc cơng suất hấp thụ tuyến tính vào lượng photon Ở đây, T = 200 K F = 10 × 105 V/m Hình 2.2 13 Độ rộng vạch phổ xác định từ đồ thị biểu diễn phụ thuộc công suất hấp thụ vào lượng photon Hình 2.1 12 49 Sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào lượng photon giá trị khác điện trường nhờ a) q trình hấp thụ tuyến tính b) q trình hấp thụ phi tuyến Các đường liền nét (màu đen), đường gạch gạch (màu đỏ) đường chấm chấm (màu xanh) tương ứng với F = × 105 V/m, F = 10 × 105 V/m F = 15 × 105 V/m Ở đây, T = 200 K Hình 2.4 49 Sự phụ thuộc FWHM vào điện trường Các chấm vuông (đặc, màu xanh) (rỗng, màu đen) tương ứng với trình hấp thụ tuyến tính phi tuyến Hình 2.5 50 Sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào lượng photon giá trị khác nhiệt độ nhờ a) q trình hấp thụ tuyến tính b) q trình hấp thụ phi tuyến Các đường liền nét (màu đen), đường gạch gạch (màu đỏ) đường chấm chấm (màu xanh) tương ứng với T = 100 K, T = 200 K T = 300 K Ở đây, F = 10 × 105 V/m 51 viii [61] Phong T C., Phuong L T T., Hien N D., and Lam V T (2015), “Influence of phonon confinement on the optically detected magneto-phonon resonance line-width in quantum wells”, Physica E, 71, pp 79–83 [62] Phong T C., Phuong L T T., and Phuc H V (2012), “Cyclotron-resonance line-width due to electron-LO-phonon interaction in cylindrical quantum wires”, Superlattices Microstruct., 52(1), pp 16 –23 [63] Phong T C., Phuong L T T., and Phuc H V (2012), “Cyclotron-resonance line-width due to electron-LO-phonon interaction in cylindrical quantum wires”, Superlattices Microstruct., 52, pp 16 –23 [64] Phong T C., Thu Phuong L T., Phuc H V., and Vinh P T (2013), “Influence of phonon confinement on the optically-detected electrophonon resonance linewidth in rectangular quantum wires”, J Korean Phys Soc., 62, pp 305–310 [65] Phuc H V (2015), “SA-phonon-assisted cyclotron resonance via two-photon process in graphene on GaAs substrate”, Superlattices Microstruct., 88, pp 518–526 [66] Phuc H V and Dinh L (2015), “Surface optical phonon-assisted cyclotron resonance in graphene on polar substrates”, Mater Chem Phys., 163, pp 116–122 [67] Phuc H V., Dinh L., and Phong T C (2013), “Phonon-assisted cyclotron resonance in quantum wells via the multiphoton absorption process”, Superlattices Microstruct., 59, pp 77–86 [68] Phuc H V., Hien N D., Dinh L., and Phong T C (2016), “Confined optical-phonon-assisted cyclotron resonance in quantum wells via two-photon absorption process”, Superlattices Microstruct., 94, pp 51–59 [69] Phuc H V and Hieu N N (2015), “Nonlinear optical absorption in graphene via two-photon absroption process”, Opt Commun., 344, pp 12–16 96 [70] Phuc H V., Hieu N N., Dinh L., and Phong T C (2015), “Nonlinear optical absorption in parabolic quantum well via two-photon absorption process”, Opt Commun., 335, pp 37 –41 [71] Phuc H V., Hue L T M., Dinh L., and Phong T C (2013), “LO-phononassisted cyclotron resonance linewidth via multiphoton absorption process in cylindrical quantum wire”, Superlattices Microstruct., 60, pp 508–515 [72] Phuc H V., Khoa D Q., Hieu N V., and Hieu N N (2016), “Linear and nonlinear magneto-optical absorption in parabolic quantum well”, Optik, 127(22), pp 10519 –10526 [73] Phuc H V., Phong T C., and Hieu N N (2014), “Nonpolar Optical Phonon-Assisted Cyclotron Resonance Via Multiphoton Absorption Process in Cylindrical Quantum Wire”, Integr Ferroelectr., 155(1), pp 1–8 [74] Phuc H V., Thao N T T., Dinh L., and Phong T C (2014), “Confinedacoustic-phonon-assisted cyclotron resonance via multi-photon absorption process in GaAs quantum well structure”, J Phys Chem Solids, 75, pp 300 –305 [75] Phuc H V., Tung L V., Vinh P T., and Dinh L (2015), “Nonlinear optical absorption via two-photon process in asymmetrical Gaussian potential quantum wells”, Superlattices Microstruct., 77, pp 267–275 [76] Phuc H V and Van Tung L (2014), “Linear and nonlinear phonon-assisted cyclotron resonances in parabolic quantum well under the applied electric field”, Superlattices Microstruct., 71, pp 124–133 [77] Phuong L T T., Phuc H V., and Phong T C (2014), “Influence of phonon confinement on the optically-detected electrophonon resonance line-width in cylindrical quantum wires”, Physica E, 56, pp 102 106 [78] Păoschl G and Teller E (1933), “Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators”, Z Phys., 83, pp 143–151 97 [79] Poularikas A D (1999), The handbook of formulas and tables for signal processing, 1st ed., The electrical engineering handbook series, CRC Press; Springer; IEEE Press [80] Radovanovic J., Milanovic V., Ikonic Z., and Indjin D (2000), Intersubband absorption in PăoschlTeller-like semiconductor quantum wells, Phys Lett A, 269(2), pp 179–185 [81] Ridley B K (1982), “The electron-phonon interaction in quasi-two-dimensional semiconductor quantum-well structures”, J Phys C: Solid State Phys., 15(28), pp 5899–5917 [82] Ryu J Y., Hu G Y., and O’Connell R F (1994), “Magnetophonon resonances of quantum wires in tilted magnetic fields”, Phys Rev B, 49, pp 10437–10443 [83] Ryu J Y., Yi S N., and Choi S D (1990), “Cyclotron transition linewidths due to electron-phonon interaction via piezoelectric scattering”, J Phys Condens Matter., 2(15), pp 3515–3527 [84] Sari H., Kasapoglu E., Sakiroglu S., Yesilgul U., Ungan F., and Săokmen I (2017), Combined effects of the intense laser field, electric and magnetic fields on the optical properties of n-type double δ -doped GaAs quantum well”, Physica E, 90, pp 214–217 [85] Seeger K (1985), Semiconductor physics: An introduction, vol 40, SpringerVerlag Berlin Heidelberg [86] Sug J Y., Jo S G., Kim J., Lee J H., and Choi S D (2001), “Quantum transition processes in deformation potential interacting systems using the equilibrium density projection technique”, Phys Rev B, 64, pp 235210(1– 9) [87] Suzuki A and Ashikawa M (1998), “Quantum-statistical theory of nonlinear optical conductivity for an electron-phonon system”, Phys Rev E, 58, pp 4307–4320 98 [88] Tung L V., Vinh P T., and Phuc H V (2018), “Magneto-optical properties of semi-parabolic plus semi-inverse squared quantum wells”, Physica B: Condensed Matter, 539, pp 117 –122 [89] Ungan F., Yesilgul U., Sakiroglu S., Mora-Ramos M E., Duque C A., Kasapoglu E., Sari H., and Săokmen I (2013), “Simultaneous effects of hydrostatic pressure and temperature on the nonlinear optical properties in a parabolic quantum well under the intense laser field”, Opt Commun., 309, pp 158–162 [90] Vasilopoulos P (1986), “Magnetophonon oscillations in quasi-two-dimensional quantum wells”, Phys Rev B, 33, pp 8587–8594 [91] Weiler M., Aggarwal R., and Lax B (1974), “Magnetoabsorption in n-type InSb from to 15 µm”, Solid State Commun., 14, pp 299–302 [92] Xu W (1998), “Nonlinear optical absorption and LO-phonon emission in steady-state terahertz-driven three-dimensional electron gases”, Phys Rev B, 57, pp 12939–12950 [93] Xu W, Lewis R A., Koenraad P M., and Langerak C J G M (2004), “High-field magnetotransport in a two-dimensional electron gas in quantizing magnetic fields and intense terahertz laser fields”, J Phys.: Condens Matter, 16, pp 89–101 [94] Yu S., Pevzner V., Kim K., and Stroscio M (1998), “Electrophonon resonance in cylindrical quantum wires”, Phys Rev B, 58(7), pp 3580–3583 99 PHỤ LỤC Phụ lục Chứng minh biểu thức (1.33) Để giải tìm ρint (t), ta định nghĩa tốn tử mật độ biểu diễn Dirac có dạng [41] iHeq t/ ρD ρint (t)e−iHeq t/ int (t) = e (PL1.1) Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (PL1.1) theo thời gian ∂ρD ∂ρint (t) −iHeq t/ int (t) = −eiHeq t/ [Heq , ρint (t)]e−iHeq t/ + i eiHeq t/ e ∂t ∂t i Thay biểu thức (1.32) vào số hạng thứ hai vế phải rút gọn thành i ∂ρD int (t) = eiHeq t/ [Hint (t), ρeq ]e−iHeq t/ ∂t + eiHeq t/ [Hint (t), ρint (t)]e−iHeq t/ (PL1.2) Ta chứng minh được: eiHeq t/ Ae−iHeq t/ = eiLeq t/ A, cụ thể sau: * Giả sử xét toán tử A không phụ thuộc tường minh vào thời gian, phương trình ∂A ∂t Liouville cho A có dạng i = [Heq , A] = Leq A thỏa mãn: ∂A(t) ∂t |t=0 = ta chứng minh biểu thức cần tìm Trước tiên, thực khai triển Maclaurin vế trái (ML) biểu thức trên, ta được: ∞ ML = n=0 ∂ n iHeq t/ tn −iHeq t/ (e Ae )| = t=0 ∂tn n! ∞ M Li i=0 M L0 = A(0), ∂ iHeq t/ (e Ae−iHeq t/ )|t=0 t ∂t i ∂A −iHeq t/ −i e + eiHeq t/ A Heq e−iHeq t/ )|t=0 t = ( Heq eiHeq t/ Ae−iHeq t/ + eiHeq t/ ∂t i iHeq t/ −iHeq t/ = {e (Heq A − AHeq )e }|t=0 t M L1 = = = i i {eiHeq t/ [Heq , A]e−iHeq t/ }|t=0 t [Heq , A]t = i Leq At, P1 ∂ iHeq t/ t2 −iHeq t/ (e Ae )| t=0 ∂t2 2! t2 i ∂ iHeq t/ = {e [Heq , A]e−iHeq t/ }|t=0 ∂t 2! i t2 = ( )2 {eiHeq t/ (Heq [Heq , A] − [Heq , A]Heq )e−iHeq t/ }|t=0 2! t i = ( )2 {eiHeq t/ [Heq , [Heq , A]]e−iHeq t/ }|t=0 2! i t = ( )2 {eiHeq t/ [Heq , Leq A]e−iHeq t/ }|t=0 2! i t2 = ( )2 {eiHeq t/ Leq [Heq , A]e−iHeq t/ }|t=0 2! i iHeq t/ t = ( ) {e Leq Leq Ae−iHeq t/ }|t=0 2! i t2 = ( ) Leq Leq A 2! M L2 = Tính toán tương tự cho M L3 , M L4 , Kết i t2 i M L = A(0) + Leq At + ( )2 Leq Leq A + · · · 2! Tiếp theo, ta khai triển Maclaurin vế phải (MR) biểu thức trên, ta được: ∞ MR = n=0 (iLeq t/ )n A n! i t2 i = A(0) + Leq At + ( )2 Leq Leq A + · · · 2! hay ta suy ML =MR (đpcm) Cho nên biểu thức (PL1.2) viết lại thành i ∂ρD int (t) = eiLeq t/ Lint (t)ρeq + eiLeq t/ Lint (t)ρint (t) ∂t Tích phân hai vế biểu thức từ −∞ đến t với điều kiện ban đầu ρD int |t→−∞ = 0, ta t i ρD int (t) = t dueiLeq u/ Lint (u)ρeq + −∞ dueiLeq u/ Lint (u)ρint (u) (PL1.3) −∞ iLeq t/ ρ (t) vào vế trái (PL1.3) nhân bên trái hai vế Tiếp tục, thay ρD int int (t) = e P2 với e−iLeq t/ , ta kết t dueiLeq (u−t)/ Lint (u)ρeq i ρint (t) = −∞ t dueiLeq (u−t)/ Lint (u)ρint (u) + (PL1.4) −∞ Đổi biến tích phân t1 = t − u cận, ta ∞ i + i ρint (t) = ∞ dt1 e−iLeq t1 / Lint (t − t1 )ρeq dt1 e−iLeq t1 / Lint (t − t1 )ρint (t − t1 ) Đây biểu thức toán tử mật độ nhiễu loạn có trường ngồi thời điểm t Tốn tử mật độ lúc phân tích thành tổng hai thành phần, thành phần chứa toán tử mật độ trung bình thành phần chứa tốn tử mật độ nhiễu loạn thời điểm t − t1 Viết biểu thức cho ρint (t − t1 ) cách thay t (t − t1 ), sau thay biểu thức thu vào biểu thức ρint (t), ta ρint (t) = + (i )2 + (i )2 ∞ i dt1 e−iLeq t1 / Lint (t − t1 )ρeq ∞ ∞ dt1 dt2 e−iLeq t1 / Lint (t − t1 )e−iLeq t2 / Lint (t − t1 − t2 )ρeq ∞ ∞ dt1 dt2 e−iLeq t1 / Lint (t − t1 )e−iLeq t2 / Lint (t − t1 − t2 ) × ρint (t − t1 − t2 ) Tiếp tục thay biểu thức ρint (t − t1 − t2 ) ρint (t − t1 − − tn ), ta biểu thức khai triển ma trận mật độ đến số hạng thứ n, có dạng ∞ ρint (t) = n=1 (i )n ∞ ∞ ∞ dt2 · · · dt1 dtn e−iLeq t1 / Lint (t − t1 ) × e−iLeq t2 / Lint (t − t1 − t2 ) · · · e−iLeq tn / Lint (t − t1 − · · · − tn )ρeq ≡ ρ(1) (t) + ρ(2) (t) + · · · + ρ(n) (t) = ρ(k) (t) (đpcm) P3 Phụ lục Chứng minh biểu thức (1.78) (1.79) Để đơn giản hóa biểu thức (1.77), ta dùng tính chất nhiễu loạn V bé Giả sử, ban đầu (0) t ≤ hệ trạng thái ứng với hàm ψn Khi ak (0) = δkn , (PL2.1) (0) Khi t = 0, hệ chịu tác dụng nhiễu loạn nhỏ, hàm sóng ψn phụ thuộc vào thời gian Vì hệ số ak (t) thời điểm t >0 tìm dạng (0) (1) (2) ak (t) = ak (t) + ak (t) + ak (t) + , (0) (0) (1) (PL2.2) (2) ak (t) = ak = δnk Hiệu chỉnh ak (t) có cấp độ bé với nhiễu loạn, ak (t) bậc hai nhiễu loạn, Thay (PL2.2) vào (1.77) ta (1) i dam = dt a0k Vmk (t)eiΩmn t dt (PL2.3) k Khi bỏ tất số hạng có độ bé cấp hai cao nhiễu loạn, lấy tích phân (PL2.3) ta a(1) m (t) = i t vmn (t)eiΩmn t a(2) m (t) = i t vmn (t)eiΩmn t a(1) m (t) (đpcm) Phụ lục Chứng minh biểu thức (1.107) Trong lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian, xem xét cách tiếp cận thông thường để tính tốn xác suất chuyển dời trạng thái dừng electron biểu diễn V (R, t) Khi tâm tán xạ khơng có mặt, ψ(α, t) = ψα (R, t) l nghim ca biu thc Schrăodinger i − H0 (t) ψα (R, t) = 0, ∂t (PL3.1) với α số lượng tử, hàm trễ Green G0 (R, t; R , t ) hàm chuyển dời U0 (R, t; R, t ) xác định từ G0 = (R, t; R , t ) = φ(t − t ) U0 (R, t; R , t ), i (PL3.2) ψα∗ (R, t)ψα (R, t) (PL3.3) U0 (R, t; R , t ) = α P4 Hàm Green hàm chuyển dời thỏa mãn điều kiện sau ∂ − H0 (t) G0 (R, t; R , t ) = δ(R − R )δ(t − t ), ∂t ∂ i − H0 (t) U0 (R, t; R , t ) = δ(R − R ) ∂t i (PL3.4) (PL3.5) Hơn nữa, hàm chuyển dời có tính chất sau U0 (R, t; R , t ) = δ(R − R ) = ψα (R, t) = d3 R U0 (R, t; R , t )ψα (R , t ) = d3 R U0∗ (R, t; R , t )U0 (R, t; R , t ) = d3 R U0 (R1 t1 ; R , t ) = 1, d3 R1 U0∗ (R, t; R1 , t1 )U0 (R1 , t1 ; R , t ) = U0 (R, t; R , t ) (PL3.6) (PL3.7) Khi có mặt tán xạ V (R, t), hàm Green G(R, t; R , t ) hàm chuyển dời U (R, t; R , t ) thỏa mãn: G(R, t; R , t ) = φ(t, t ) U (R, t; R , t ) i ∂ − H0 (t) − V (R, t) G(R, t; R , t ) = δ(R − R )δ(t − t ), ∂t ∂ i − H0 (t) − V (R, t) U (R, t; R , t ) = δ(R − R ) ∂t i (PL3.8) (PL3.9) Bên cạnh đó, hàm chuyển dời phải có tính chất tương tự biểu thức (PL3.2) Do đó, hàm U (R, t; R , t ) thu từ G(R, t; R , t ) xác định biểu thức Dyson biểu diễn (R1 , t) G(R, t; R , t ) =G0 (R, t; R , t ) + (PL3.10) d3 R1 dt1 G(R, t; R1 , t1 )V (R, t; R1 , t1 ; R, t) Tích phân cho biểu thức (PL3.10) giải qua việc sử dụng phương pháp lặp φ(t − t ) G(R, t; R , t ) = i ∞ Un (R, t; R , t ), n=0 với P5 (PL3.11) i U1 = ψα∗ (R, t)ψα (R, t)Gα ,α (i )2 U2 = (PL3.12) α ,α ψα∗ (R, t)ψα (R, t)Gα,α1 Gα1 ,α (PL3.13) α ,α1 ,α Un = (i )n ψα∗ (R, t)ψα (R, t) α,α1 αn−1 ,α × Gα,α1 Gα1 ,α2 Gαn−1 α (t − t ), (PL3.14) t Gα,α1 = ψ(α , τ )V (R, t)ψ(α, τ )dτ (PL3.15) t Do đó, có mặt tâm tán xạ, hàm chuyển dời thu ∞ U (R, t; R , t ) = Un (R, t; R , t ) (PL3.16) n=0 Từ hàm chuyển dời, biên độ xác suất trung bình cho chuyển dời electron từ trạng thái ban đầu α thời điểm t đến trạng thái cuối α thời điểm t’ đạt d3 Rψα∗ (R, t) Pα ,α (t, t ) = d3 R ψα∗ (R , t )U (R, t; R , t ) ∞ n Pα,α (t, t ), =1+ (PL3.17) n=1 Gα ,α (t, t ) i Gα ,α1 (t, t )Gα1 ,α (t − t ), Pα2 ,α (t, t ) = (i )2 α Pα1 ,α (t, t ) = 1 Pαn ,α (t, t ) = (i )n Gα,α1 Gα1 ,α2 Gαn−1 α (t − t ) α,α1 αn−1 Hơn nữa, theo định nghĩa xác suất chuyển dời electron trạng thái dừng cho tán xạ electron từ trạng thái α đến trạng thái α cho Wα ,α = ∂|Pα ,α (t, t )|2 t,t →+∞ ∂(t − t ) lim Khi đó, đóng góp bậc xét dịch chuyển, ta (1) Wα ,α = ∂[G∗α ,α Gα ,α ] t,t →+∞ ∂(t − t ) lim P6 (đpcm) (PL3.18) Phụ lục Chứng minh biểu thức (4.14) Xuất phát từ biểu thức xác suất chuyển dời lượng tử (4.3) 2π Ω2 ± Wα,α = |M± |2 |Mrad α,α | α,α q, (a0 q⊥ )2 δ (εα − εα − ( !)2 22 Ω ∓ ωq ) , đây, đặt α ≡ λ, α ≡ λ , thành phần ma trận tương tác electron-phonon trình phát xạ hấp thụ phonon có dạng |M± |2 = |Vq |2 |JN N (u)|2 |Fn n (qz )|2 (Nq + α,α 1 ± )δ , 2 ky ,ky ±qy (PL4.1) với |JN N (u)|2 xác định [29, 83], cụ thể sau: +∞ JN N (X, qx , X ) ≡ = −∞ φ∗N (x − X) exp(iqx x)φN (x − X )dx +∞ 2N +N N !N !ac π dx exp − −∞ × HN (x − X)2 + (x − X )2 + iqx x 2ac x−X HN ac x−X 2a2c (PL4.2) Từ biểu thức (PL4.2), ta thấy JN N (X, qx , X ) thõa mãn biểu thức sau: JN N (X, qx , X ) = JN N (X ∗ ∗ , qx , X) = JN N (X, −qx , X ) = JN N (X , −qx , X), (PL4.3) với X = −ky /m∗ ωc thực đổi biến số z = x − 21 (X + X + ia2c qx ) /ac kết hợp sử dụng mối liên hệ [21] +∞ −∞ dze−z HN (z + a)HN (z + b)dz = 2N √ πN !bN −N (N −N ) LN (−2ab) (PL4.4) Xét trường hợp N < N , ta JN N (X, qx , X ) = N< ! N> ! 1/2 × exp − > −N< × LN N< X< − X> + iqx a2c √ 2ac X −X a c qx − 2ac (X − X ) + a4c qx2 2a2c P7 N> −N < + , iqx (X + X ) (PL4.5) đó, kí hiệu N> = max(N, N ), N< = min(N, N ), X> X< tương ứng với N> N< Bây giờ, xác định hàm |JN,N (u)|2 sau |JN,N (u)|2 ≡ K1 (N, N ; u) ≡ JN N (X, qx , X ± a2c qy )JN N (X ± a2c qy , −qx , X) = N ! −u N e u N! −N LN N −N (u) , u = a2c q⊥ /2 (PL4.6) đó, Mrad thành phần ma trận trạng thái dừng tương tác hạt mang-photon α,α xác định sau |Mrad α,α | = Ω2 A20 |e.e.rαα |2 , (PL4.7) đây, e vectơ lưỡng cực e.rαα = e α |x|α mơmen lưỡng cực Bây giờ, ta tính µαα = e α |x|α = e φN (x − x0 )|x|φN (x − x0 ) +∞ =e −∞ φ∗N (x − x0 )xφN (x − x0 )dx, với φN (x − x0 ) hàm sóng dao động điều hịa có tâm x0 = −a2c ky Biểu thức chúng viết sau φN (x − x0 ) = φN (x − x0 ) = −(x−x0 )/2ac HN √ e 2N N !ac π e−(x−x0 )/2ac HN √ 2N N !ac π Để xác định φN (x − x0 ) φN (x − x0 ), ta đặt t = x−x0 ac x − x0 , ac x − x0 ac → x = (ac t + x0 ) nên dx = ac dt; Do đó, ta suy φN (x − x0 ) = BN e−t /2 ∗ −t φ∗N (x − x0 ) = BN e HN (t) /2 HN (t) nên ∗ µαα = eBN BN +∞ e−t /2 −∞ ∗ = eBN BN ac ac +∞ −∞ HN (t)(ac t + x0 )e−t /2 HN (t)ac dt te−t HN (t)HN (t)dt + x0 P8 +∞ −∞ e−t HN (t)HN (t)dt Ở đây, ta đặt +∞ te−t HN (t)HN (t)dt I1 = −∞ +∞ e−t HN (t)HN (t)dt I2 = −∞ Áp dụng biểu thức tính tích phân [79] có dạng +∞ xe−x Hn (x)Hn (x)dx = (2n+n −1 n!n !)1/2 −∞ +∞ −∞ √ n + 1δn ,n+1 + √ nδn ,n−1 √ π √ e−x Hn (x)Hn (x)dx = (2n+n n!n !)1/2 πδn,n Từ đó, thực tính +∞ I1 = −∞ +∞ I2 = −∞ te−t HN (t)HN (t)dt = (2N +N −1 N !N !)1/2 √ √ N + 1δN ,N +1 + N δN √ ,N −1 π √ e−t HN (t)HN (t)dt = (2N +N N !N !)1/2 πδN,N , đây, tích số ∗ BN BN = 1 √ √ ac π 2N +N N !N ! Vì vậy, ta tính mơmen lưỡng cực √ eac √ √ + N δN ,N −1 + N + 1δN ,N +1 = eBαα ,N √ √ √ = x0 δN ,N + (ac / 2) N δN ,N −1 + N + 1δN ,N +1 , µαα = ex0 δN Bαα (PL4.8) Bên cạnh đó, ta xác định thành phần ma trận trạng thái dừng tương tác hạt mang-photon → |Mrad α,α | = Ω2 A20 e2 Ω2 A20 |e.e.rαα |2 = x0 δN 4 e2 Ω2 A20 = Bαα ,N √ √ + (ac / 2)( N δN ,N −1 + √ N + 1δN ,N +1 ) (PL4.9) Thay phương trình (PL4.9), phương trình (PL4.1) vào phương trình (PL4.1) Tiếp theo, thay kết thu vào phương trình (4.1) Đồng thời, ta xét trình hấp thụ photon (ứng với =1,2) Tức P9 2 =1 (a0 q⊥ )2 δ (εα − εα − ( !)2 22 a q⊥ Ω ∓ ωLO ) = + a0 q⊥ δ (εα − εα − Ω ∓ ωLO ) δ (εα − εα − Ω ∓ ωLO ) Vì vậy, biểu thức hệ số hấp thụ quang từ có dạng K(Ω) = V0 (I/ Ω) × 2π Ω2 α,α |V(q) |2 |JN N (u)|2 |Fn n (qz )|2 q e2 Ω2 A20 Bαα fα (1 − fα )δky ,ky ±qy α02 q⊥ Nq δ (εα − εα − Ω − ωLO ) + (Nq + 1)δ (εα − εα − Ω + ωLO ) + (PL4.10) a20 q⊥ Nq δ (εα − εα − Ω − ωLO ) + (Nq + 1)δ (εα − εα − Ω + ωLO ) 16 Bước tiếp theo, ta thực chuyển tổng theo q, α, α thành tích phân ( .) = q α Ly = 2π = α +∞ V0 (2π)2 Ly 2π +∞ ( .)q⊥ dq⊥ dqz −∞ Lx /2a2c dky = N,n −Lx /2a2c Lx Ly 2πa2c Lx /2a2c N ,n −Lx /2a c dky = = N,n Lx Ly 2πa2c S 2πa2c = N ,n N,n S 2πa2c N ,n Giả sử, ta xét toán tâm vùng Brilloun số hạng δky ,ky ±qy = qy = ky = ky Thế nên, biểu thức hệ số hấp thụ quang từ viết lại sau: K(Ω) = S V0 (I/ Ω) 2πa2c N,n N ,n +∞ × −∞ × |Fn n (qz )|2 dqz 2π V0 Ω2 (2π)2 +∞ 2πe2 χ∗ ωLO |JN N (u)|2 q⊥ dq⊥ × V0 q⊥ e2 Ω2 A20 Bαα fα (1 − fα ) (PL4.11) a20 q⊥ Nq δ (εα − εα − Ω − ωLO ) + (Nq + 1)δ (εα − εα − Ω + ωLO ) + α02 q⊥ Nq δ (εα − εα − Ω − ωLO ) + (Nq + 1)δ (εα − εα − Ω + ωLO ) 16 Để đơn giản, ta đặt HSK = S 2π e2 Ω2 A20 2πe2 χ∗ ωLO V0 S e4 χ∗ ωLO = V0 (I/ Ω) 4π a4c Ω2 V0 (2π)2 8V0 π nr c 20 a4c Ω +∞ +∞ |Fn n (qz )|2 dqz , In n = −∞ với Fn n (qz ) = P10 −∞ φ∗n (z)e±iqz z φn (z)dz X ± = εα − εα − Ω ± ωLO , ( = 1, 2) Vì vậy, biểu thức trở thành +∞ fα (1 − fα ) In n Bαα K(Ω) =HSK −∞ N,n N ,n × |JN N (u)|2 q⊥ dq⊥ × α2 q a20 q⊥ Nq δ X1− + (Nq + 1)δ(X1+ ) + ⊥ Nq δ X2− + (Nq + 1)δ X2+ 16 Để thu biểu thức hệ số hấp thụ quang từ, ta tính số hạng (PL4.11), cụ thể sau +∞ +∞ q⊥ dq⊥ |JN N (u)|2 = * Tính: I3 = N ! −(a2c q⊥2 /2) a2c q⊥ e N ! q⊥ dq⊥ a2c q⊥ Thực đổi biến cách ta đặt x = → dx a2c N −N LN N a2c q⊥ 2 = q⊥ dq⊥ , áp dụng biểu thức [90] Kết thu → I3 = +∞ a2c N ! −x N e (x) N ! −N N LN −N (x) dx = N ! (N + N − N )! = 2 ac N ! N! ac Tương tự, ta tính tích phân +∞ +∞ q⊥ dq⊥ |JN N (u)|2 = * Tính: I4 = q⊥ dq⊥ N ! −(a2c q⊥2 /2) a2c q⊥ e N ! N −N LN N a2c q⊥ 2 = (N + N + 1), ac tích phân bao phủ cho biểu thức +∞ * Tính: I5 = In n = −∞ dqz |Jn n (qz )|2 Vậy, ta xác định biểu thức MOAC có dạng KLO = = + 4πe2 ωLO ∗ χ V αc 4πe2 ωLO ∗ χ V αc C(λ)In ,n (P1 + P2 ) N,n N ,n N C(λ)|In n | Nq δ (εα − εα − Ω − ωLO ) + (Nq + 1)δ (εα − εα − Ω + ωLO ) N,n N ,n α02 (N + N + 1) Nq δ (εα − εα − Ω − ωLO ) + (Nq + 1)δ (εα − εα − Ω + ωLO ) 8a2c P11 ... pháp nghiên cứu; Chương 2: Cộng hưởng electron? ? ?phonon giếng lượng tử tam giác; Chương 3: Cộng hưởng electron? ? ?phonon giếng lượng tử hyperbol bất đối xứng đặc biệt; Chương 4: Cộng hưởng từ? ? ?phonon giếng. .. cộng [82] nghiên cứu cộng hưởng từ -phonon dây lượng tử đặt từ trường xiên Bhat cộng nghiên cứu ODMPR tán xạ electron phonon LO giam giữ, phonon bề mặt [8] phonon âm giam giữ [9] giếng lượng tử. ..ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM TUẤN VINH NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG ELECTRON- PHONON VÀ CỘNG HƯỞNG TỪ -PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 44