Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng..[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN - LỚP Ngày thi: 6/10/2016 Thời gian làm bài:150 phút Câu (4,0 điểm) xy x A x 1 : xy 1 xy 1) Rút gọn biểu thức x 2) Cho xy x xy x 1 xy với x 0; y 0; xy 1 10 21 , tính giá trị biểu thức P x2 x 2017 Câu (5,0 điểm) 1) Cho x 1 là nghiệm phương trình: ax + bx + = Với a, b là các số hữu tỉ Tìm a và b 2) Cho P là số nguyên tố lớn Chứng minh P20 – chia hết cho 100 3) Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác, chứng minh rằng: a b c 2a 2b2 2a 2c 2b 2c Câu (4,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên x cho x3 – 3x2 + x + là số chính phương 2) Giải phương trình: x2 + 3x + x + = 2x + x + +5 x Câu (6,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a Trên tia đối tia AB lấy điểm N, trên tia đối tia DB lấy điểm K cho AN + DK = 2a Gọi giao điểm CN với BD và AD thứ tự là I và M Tia BM cắt ND P 1) Chứng minh IC.CN = IN.CM 2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đó tính số đo góc BPD 3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn Câu ( 1,0 điểm) 1 Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh a5 + b5 + c5 + a b c ≥ HẾT -Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên và ký) (2) Giám thị (Họ tên và ký) PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM Câu Câu Hướng dẫn giải 1.1 Điểm với x; y 0, xy 1 x 1 xy 1 xy 1 xy : xy 1 xy xy 1 xy xy x xy 1 x 1 xy xy 1 xy x 1 xy xy x xy 1 xy 1 xy xy 1 xy xy x xy 1 x 1 xy A (2.0 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN - LỚP (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) xy xy x 1 x x y xy xy 0.75 0.5 0.75 Kết luận… x ( 1)3 ( 1)( 1) ( 20 1) 1.2 (2.0 điểm) 2( 2) 20 0.75 0.5 x x 0 P 0.5 Kết luận… 0.25 Câu Ta có x Vì x 1 = 3+ 2 1 là nghiệm phương trình: ax2 + bx + = Nên 17a + 12a + 3b + 2b + = 2.1 (2.0 điểm) (12a + 2b) = - 17a – 3b – Do a, b là các số hữu tỉ nên - 17a – 3b – và 12a + 2b là các số hữu tỉ => (12a + 2b) là số hữu tỉ 12a 2b 0 a 1 => 17a 3b 0 b Kết luận… 2.2 0.25 0.5 0.5 0.25 (3) Ta có p20 - 1= (p4 - 1)(p16 + p12 + p8 + p4 + 1) Do P là số nguyên tố lớn => p là số lẻ => p2 + và p2 – là các số chẵn 0.5 => p4 -1 chia hết cho (1.5 điểm) => p20 -1 chia hết cho Vì P là số nguyên tố lớn => p là số không chia hết cho Lập luận p4 -1 chia hết cho 16 12 Lập luận p + p + p + p + chia hết cho => p20 -1 chia hết cho 25 Mà (4 ; 25) = 0.75 0.25 => p20 -1 chia hết cho 100 a b c 2a 2b2 2a 2c 2b c a b c 2a 2b 2a 2c 2b 2c 2 a b c 2 2b c 0.75 0 2 2 2 a b c 2bc a b c 2bc 2.3 (2.0 điểm) a b c)( a b c (a b c )(a b c ) 0.5 Vì a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên: a b c 0; a b c 0; a b c 0; a b c 0.75 a b c)( a b c (a b c )(a b c) Kết luận… Câu Ta có: x3 - 3x2 + x + = (x-2)(x2 – x -1) * Xét x – = x = thỏa mãn bài toán; x2 – x -1 = (loại) 0.5 * Xét x - = x2 – x -1 Suy x = Xét x ≠ 2; x ≠ Với x nguyên ta chứng minh được: (x – ; x2 – x -1) = 3.1 (2.0 điểm) Nên x3 - 3x2 + x + là số chính phương x – và x2 – x -1 cùng là số chính phương Để x2 – x -1 là số chính phương thì x2 – x -1 = y2 với y Z 0.5 0.5 Tìm x = (không thỏa mãn x ≠ 2); x = -1 Thử lại x = - ta có x3 - 3x2 + x + có giá trị là -1 không phải là số chính phương => x = - loại Vây x = x = thì x3 - 3x2 + x + là số chính phương 0.5 (4) x2 + 3x + x + = 2x + x + Giải phương trình: Điều kiện: x > ( *) Û (2.0 điểm) x ( ( Û x- Û x- Nếu ( x + 2) ( x + 3) x+3 x x- + x + - 2x = ) ( x+3 xx Û 3.2 x2 + 5x + =0 x x ( x + 3) + x + - 2x - Û x 0.25 + (*) x 1.0 ) x +2 - x- x +2 = æx+3 ö ÷ ç ÷ ç x +2 ç - 2÷ =0 ÷ ç ÷ ç è x ø ) x +2 = x+3 - 2= x x + = Tìm x = thỏa mãn 0.75 x+3 - 2= x Nếu Tìm x = thỏa mãn Kết luận… Câu B A C I M N P D K 4.1 (2.0 điểm) + Do ABCD là hình thoi => AB =BC = CD = AD = a IC BC a + BI là đường phân giác tam giác BNC => IN BN BN 0.75 + AM // BC, Áp dụng định lý Ta lét tam giác NBC ta có: 0.75 MC AB a CN BN BN (5) MC IC a ( ) Nên CN IN BN => IC.CN = IN.CM 0.5 + Chứng minh hai tam giác BNC và DCM đồng dạng (g.g) BC BN => DM DC => DM.BN = a2 Ta có AB = AD = a và BD = a => tam giác ABD đều => ABD BDM 60 (1) 4.2 (2.5 điểm) a BN BD BN a => DM BD (2) Lại có DM.BN = a2 => DM Từ (1) và (2) => Hai tam giác MDB và DBN đồng dạng (c.g.c) => BND DBM Xét hai tam giác DBP và DNB có góc D chung và BND DBM => Hai tam giác DBP và DNB đồng dạng (g.g) => NBD BPD 60 1.5 0.5 0.25 0.25 Vì S(ABD) không đổi => S(ADKN) lớn S(ADKN) + S(ABD) lớn hay S(NBK) lớn 4.3 (2.0 điểm) NB.BK Sin600 Thật vấy: S(NBK) = (HS phải chứng minh công thức này) NB.BK => S(NBK) = 0.5 NB BK =4a2 Lại có NB.BK => S(NBK) a 0.5 Dấu “ =” xảy BN =BK = 2a, mà AN + DK = 2a, BA = BD = a Vậy N, K cách A, D khoảng là a Kết luận…, 0.5 1 5 Áp dụng bất đẳng thức cô si: a + a ≥ 2a² ; b + b ≥ 2b² ; c + c ≥ 2c² Câu (1.0 điểm) 1 Suy a5 + b5 + c5 + a b c ≥ 2(a² + b² + c²) 0.5 Mặt khác a² + ≥ 2a; b² + ≥ 2b; c² + ≥ 2c Suy a² + b² + c² ≥ 2a + 2b + 2c – = 0.5 Kết luận… Lưu ý chấm bài: Trên đây là sơ lược các bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì điểm theo thang điểm tương ứng (6)