hinh hoc giai tich

Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng P.. Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC của tam giác ABC.[r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz không gian z  k   i O j y x   i, j , k  O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ  Các trục tọa độ:  Ox : trục hoành  Oy : trục tung  Oz : trục cao  Các mặt phẳng toạ độ: (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi vuông góc với  là các véctơ đơn vị nằm trên các trục Ox, Oy, Oz       i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)       i  j  k 1 i  j k 1     và  i  j , j k , k i CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ      M  Ox  M  Oy  M  Oz  M(x;0;0)  M  (Oxy) M(0;y;0)  M  (Oyz)   M (Oxz)     O M x.i  y j  z.k  M ( x; y; z ) Tọa độ điểm: M(0;0;z)    M(x;y;0) M(0;y;z) M(x;0;z)      a a1.i  a2 j  a3 k  a (a1; a2 ; a3 ) Tọa độ vectở: CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ   a  x1 ; y1 ; z1  , b  x2 ; y2 ; z2  Cho Tổng hai vectơ là vectơ   a  b  x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2   Hiệu hai vectơ là vectơ   a  b  x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2   Tích vectơ với số thực là vectơ   k a k  x1 ; y1 ; z1   kx1 ; ky1 ; kz1  Độ dài vectơ Bằng   hoành  2 Chú ý:   tung    cao  k   a  x12  y12  z12   0;0;0  Vectơ không có tọa độ là: Hai vectơ nhau: Tọa độ tương ứng  x x2    a b   y1  y2  z z   Tích vô hướng hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao     a.b  x1.x2  y1 y2  z1.z2  Chú ý: a  b  a.b 0 Góc hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài   x1.x2  y1 y2  z1.z2 a.b cos a, b     a.b x12  y12  z12 x22  y22  z22    CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ Trong hệ trục toạ độ Oxyz Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB) Khi đó:   AB Tọa độ vectơ 2) Độ dài đoạn thẳng AB đồ dài  AB  AB  là: AB  xB  x A ; yB  y A ; z B  z A  1)  xB   AB : 2 xA    yB  y A    zB  z A  Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách hai điểm A và B xA  xB  x   I  yA  yB  y I   zA  zB  z   I Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB là:  3) 4)  I  xI ; y I ; z I  Tọa độ trọng tâm tam giác: Cho  ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC) xA  xB  xC   xG   y A  yB  yC   G  xG ; yG ; z G   yG   z A  zB  zC  z   G Khi đó toạ độ trọng tâm G  ABC là:  5) Tích có hướng và tính chất tích có hướng: Cho   a  x1 ; y1 ; z1  , b  x2 ; y2 ; z2     Khi đó:   y z z x x y   a, b   1 ; 1 ; 1     y2 z2 z2 x2 x2 y2      a, b  0 Hai vectơ cùng phương        a, b  0 Hai vectơ a , b không cùng phương   a, b Ba vectơ        a a, b, c đồng phẳng  , b  c 0       a a, b, c không đồng phẳng  , b  c 0  Ba vectơ 6) Chứng minh hai vectơ cùng phương   Cách 1:  a  Cách 2:  a  và và  b  b cùng phương    a k b  cùng phương x1 y1 z1   x2 y2 z2 với  x2 ,y ,z3 0  x2 y2 z2     x y1 z1 với  x1 ,y1 ,z1 0  a và b cùng phương        a, b  0 a và b cùng phương   Cách 3:   CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Ba điểm không thẳng hàng Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng: Cần nhớ A Phương pháp Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực các bước sau:  C B Ba điểm A, B, C thẳng hàng   AB , AC hai vectơ      AB , AC  0  cùng phương Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là ba điểm nằm trên đường thẳng AB  ; ;   AC  ; ;  Bước 1: Tính     AB , AC   0;0;0  0  Bước 2: Tính    AB , AC cùng phương, nên ba điểm A, B, C Bước 3: Kết luận hai vectơ thẳng hàng Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng: Cần nhớ Phương pháp Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực các bước sau:  A B C Ba điểm A, B, C không thẳng hàng   , AC  hai vectơ AB      AB , AC  0 không cùng phương AB  ; ;   AC  ; ;  Bước 1: Tính     AB , AC   ; ;  0  Bước 2: Tính    AB , AC không cùng phương, nên ba điểm A, B, Bước 3: Vậy hai vectơ C không thẳng hàng Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh tam giác Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng Cần nhớ A Phương pháp Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng phẳng ta thực các bước sau:  C B D Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng     AB , AC , AD đồng phẳng     AB , AC  AD 0    Chú ý:   A, B, C, D không đồng phẳng A, B, C, D không đồng phẳng đó A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện ABCD Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện ta chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng Cần nhớ A D B C Bốn điểm  A, B, C, D đồng phẳng  AB , AC , AD  AB  ; ;   AC  ; ;   AD  ; ;  Bước 1: Tính    AB , AC   ; ;        AB , AC  AD  0  Bước 2: Tính     AB , AC , AD không đồng phẳng, nên bốn điểm Bước 3: Vậy ba vectơ đồng phẳng     AB , AC  AD 0   Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là bốn điểm thuộc mp Phương pháp Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta thực các bước sau:  AB  ; ;   AC  ; ;   AD  ; ;  Bước 1: Tính    AB , AC   ; ;        AB , AC  AD 0  Bước 2: Tính     AB , AC , AD đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, Bước 3: Vậy ba vectơ C, D đồng phẳng Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên các trục tọa độ các phẳng tọa độ Phương pháp Phương pháp  Hình chiếu vuông góc điểm  Hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên trục Ox là: M(x0;0;0) M(x0;y0;z0) trên (Oxy) là: M(x0;y0;0)  Hình chiếu vuông góc điểm  Hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên trục Oy là: M(0;y0;0) M(x0;y0;z0) trên (Oyz) là: M(0;y0;z0)  Hình chiếu vuông góc điểm  Hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên trục Oz là: M(0;0;z0) M(x0;y0;z0) trên (Oxz) là: M(x0;0;z0) Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện Cần nhớ Phương pháp  AB  ; ;   AC  ; ;   AD  ; ;  Bước 1: Tính    AB , AC   ; ;        AB , AC  AD   Bước 2: Tính     V =  AB, AC  AD Bước 3: Thể tích khối tứ diện ABCD A V=     AB, AC AD  6 D B C Chú ý: Thể tích không âm Vấn đề 5: Diện tích tam giác Diện tích tam giác ABC S ABC =    AB , AC   Bước 1: Tính A Bước 2: Tính B Chú ý: Diện tích không âm C Bước 3: Tính  AB  ; ;   AC  ; ;     AB , AC   ; ;      SABC =  AB , AC Bước 4: ADCT MẶT CẦU Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu Dạng Mặt cầu (S): Dạng x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0  x  a Mặt cầu (S):    AB ,AC   h  t  c2   2   y  b    z  c  r Có tâm I(a;b;c) và bán kính r Có tâm I(a;b;c) với Bán kính: 2 heä soá x  a   -2  heä soá y  b  -2  heä soá z  c  -2  r  a  b  c2  d Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu  x  a 2   y  b    z  c  r Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính r=m (với m là số thực) Phương pháp:  x  a Bước 1: Pt mặt cầu (S):  x  a Bước 1: Pt mặt cầu (S): 2   y  b    z  c  r   Bước 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=m  Bước 3: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*) Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính n (với n là số thực) Phương pháp:  (*)   y  b    z  c  r (*) n Bước 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=   Bước 3: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*) Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và qua điểm A Phương pháp:    x  a Pt mặt cầu (S): Mặt cầu có tâm I(a;b;c) 2   y  b    z  c  r (*)  IA  IA  Bán kính r=  Thế tâm I và bán kính r vào pt (*) Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm với bán kính r hay độ dài đoạn thẳng IA với bán kính r Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB Phương pháp:     x  a Pt mặt cầu (S): 2   y  b    z  c  r  I  ; ;  (*) Gọi I trung điểm AB Mặt cầu có tâm I(a;b;c)  IA  IA   Chú ý: Bán kính r= Thế tâm I và bán kính r vào pt (*)  Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính   IB  IB AB AB  r=  Ta có thể tính r theo cách sau: r= Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0 Phương pháp:    x  a Pt mặt cầu (S): 2 r d  I,(P)       y  b    z  c  r Mặt cầu có tâm I(a;b;c) Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*) (*) Ax  By  Cz  D A  B2  C2 x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Phướng pháp   Pt mặt cầu (S) có dạng: Vì A, B, C, D thuộc (S): theá  theá  theá theá   x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 (*) tọa độ điểm A vào pt (*) tọa độ điểm B vào pt (*) tọa độ điểm C vào pt (*) tọa độ điểm D vào pt (*) Giải hệ phương trình phương pháp thế, ta tìm a, b, c, d Sau đó a, ,b , c, d vào pt (*) Chú ý: Đề bài có thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Loại 2: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0 Phướng pháp   Pt mặt cầu (S) có dạng: Vì A, B, C thuộc (S): x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 (*) thế tọa độ điểm A vào pt (*)   thế tọa độ điểm B vào pt (*) thế tọa độ điểm C vào pt (*)   Ta hệ pt gồm ba phương trình Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên tọa độ a;b;c vào pt (P) ta phương trình thứ tư Ta giải hệ bốn pt, ta tìm a,b,c,d VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm  n  A; B;C  M  x ;y ;z   n và có vectơ pháp tuyến Phương pháp:  Mặt phẳng (P) qua điểm  Mặt phẳng (P) có VTPT  Ptmp (P): M  x ;y ;z   n  A; B;C  P) A  x  x   B  y  y   C  z  z  0 Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm   a , b hai vectơ M M  x ;y ;z  Phương pháp: M  x ;y ;z và song song chứa giá  a b    0 Mặt phẳng (P) qua điểm Hai vectơ có giá song song nằm trên mp(P) là  Mặt phẳng (P) có VTPT  Ptmp(P):   a=  . , b     n  a, b  A  x  x   B  y  y   C  z  z  0 Dạng 2: Viết phương trình mp (P) qua điểm M và song song với mp(Q) Phương pháp:  Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng: Ax+By+Cz+m=0, với m D  Vì M thuộc mp(P) nên tọa độ M và pt (P) ta tìm m Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến P) Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d Phương pháp:  Mặt phẳng (P) qua M Q)  Mặt phẳng (P) có VTPT:  Ptmp(P):   n P ad  a1;a2 ;a3  M d ad Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Phương pháp:  Mặt phẳng (P) qua A Mặt phẳng (P) có VTPT:  Pt(P):     n  AB,AC   nQ A  x  x   B  y  y   C  z  z  0    n  a, b  A  x  x   B  y  y   C  z  z  0 P) A M B     n  AB, AC  C Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q) Phương pháp:  Mặt phẳng (P) qua điểm A  Hai vectơ có giá song song nằm trên mp(P) là:    AB  n Q      n  AB,n Q  Nên mp(P) có VTPT: A  x  x   B y  y  nQ P) B A   C  z  z  0 0 Q)  Ptmp(P): Dạng 6:  Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’  Hoặc viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’ Phương pháp: Md  Mặt phẳng (P) qua điểm  Hai vectơ có giá song song   nằm trên mp(P) là:  Mp(P) có VTPT:  Ptmp(P):  n  ad ,ad '    ad  ad '  A  x  x   B  y  y   C  z  z  0 Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d Phương pháp:  Chọn điểm M thuộc đt d  Mặt phẳng (P) qua điểm A    Hai vectơ có giá song song  nằm trên mp(P) là:  Nên mp(P) có VTPT:  Ptmp(P):  n  AM,ad  AM  ad  A  x  x   B  y  y   C  z  z  0 Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực đoạn thẳng AB Phương pháp:     A  I  . Gọi I là trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua điểm I    n  AB Mặt phẳng (P) có VTPT A  x  x   B  y  y   C  z  z  0 Ptmp (P): P) I B Dạng 9: Viết phương trình mp (P) qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R) Phương pháp:  Mặt phẳng (P) qua điểm M  Hai vectơ có giá song song  nằm trên mp(P) là:  Nên mp(P) có VTPT:  Ptmp(P):  n  n Q ,n R    n Q  ,n R  A  x  x   B  y  y   C  z  z  0 Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S): Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) điểm A Phương pháp:  Xác định tâm I mc(S)  Mặt phẳng (P) qua điểm A     n IA Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến A  x  x   B  y  y   C  z  z  0 Ptmp(P):  n  m;n; p  Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến Phương pháp:  Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r mặt cầu  Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0 Vì mp(P) có VTPT  n  m;n; p   mx  ny  pz  D 0 Do mp(P) tiếp xúc mc(S)  Chú ý: và tiếp xúc mặt cầu (S) I  d  I;  P   r P)  A B A B    A  B Chú ý: Các kết thường dùng:   d  ( P)  ad nP   d // ( P)  ad  nP   d  ( P)  ad  nP   d    a d  a r = d(I,(P))   d //   ad a   ( P)  (Q)  nP  nQ   ( P ) //(Q )  nP nQ Điều kiện tiếp xúc: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)  d ( I , ( P)) r  d ( I , d ) r với I là tâm mặt cầu (S) với I là tâm mặt cầu (S) r là bán kín mặt cầu (S) r là bán kín mặt cầu (S) Vấn đề 5: Khoảng cách: Dạng 1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = là d ( M , ( P ))  Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C Dạng 2(nâng cao): Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d:  Xác định điểm M0 thuộc d và vtcp  ADCT:  a d    M 0M , a   d (M , )   a chéo nhau: Dạng 3(nâng cao): Khoảng cách hai đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng chéo Trước tiên ta xác định:  có vtcp  có vtcp  a1  a2 d(  1;  2) =  và  : và qua điểm M1 và qua điểm M2     a1 , a2  M 1M     a1 , a2    VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A,B Phương pháp:  Đường thẳng d qua điểm A     a AB Đường thẳng d có VTCP:  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct   Pt tham số: Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song với đường thẳng d’ Phương pháp:  Đường thẳng d qua điểm M    a ad ' Đường thẳng d có VTCP: d  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct   Pt tham số: Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ phương Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P) Phương pháp:  Đường thẳng d qua điểm M    a n P Đường thẳng d có VTCP: d  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct   Pt tham số: Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT mặt phẳng làm VTCP VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct  Tìm giao điểm đường thẳng d: Phương pháp:  Gọi H là giao điểm d và (P)  Tọa độ điểm H là nghiệm hệ pt:  Xét pt:  và mp(P): Ax+By+Cz+D=0  x  x0  at  y  y  bt    z  z0  ct  Ax+By+Cz+D=0 A  x0  at  +B  y0  bt  +C  z0  ct  +D=0 Giải pt (*) tìm t  x, y, z  (*) tạo độ điểm H VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P) Phương pháp:  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P)  Tìm giao điểm H d và (P)  Điểm H chính là hình chiếu vuông góc M lên (P) d M P) H Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc M lên (P) chính là giao điểm đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P) Phương pháp:  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P)  Tìm giao điểm H d và (P)  Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm đoạn thẳng MM” d M xM  xM /   xH   xM / 2 x H  xM  yM  y M /     yH    yM / 2 y H  yM   zM  z M /  zM / 2 z H  z M   zH    H P) M/ M’= Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng qua (P) đó H là trung điểm đoạn thẳng MM’ VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d (d) Phương pháp:  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d  Tìm giao điểm H d và (P)  Điểm H chính là hình chiếu vuông góc M lên d  H M Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng d chính là giao điểm đường thẳng d P) qua M và vuông góc với (P) VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d Phương pháp:  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d  Tìm giao điểm H d và (P)  Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm (d) đoạn thẳng MM’ xM  xM /  x   H  xM / 2 x H  xM  y  y   M M/   yH    yM / 2 y H  yM   zM  zM /  zM / 2 z H  z M   zH    H P) M  M / M’= Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng qua d đó H là trung điểm đoạn thẳng MM’ VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Bước 1:   Bước 2:   a Xác định điểm M thuộc d và VTCP  d Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP a' d’     a,a'   Xét cùng phương hai vectơ phương cách tính        a,a' 0  Nếu  o o     a,a' thì cùng phương đó d song song với d d trùng với d’ Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’ Nếu M thuộc d và thuộc d’ thì d trùng với d’     a,a' 0  a,a' không cùng phương đó d cắt d’ d và d’ chéo Nếu     thì   a,a' MM ' 0  o Nếu  thì d và d’ cắt    a,a'  MM ' 0  o Nếu  thì d và d’ chéo VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct  Phương pháp: Để xét vị trí tường đối đt d: Ta làm sau:   A x0 Bước 1: Xét pt: Bước 2: Giải pt tìm t  o Chú ý:  và mp(P): Ax+By+Cz+D=0  at  +B  y0  bt  +C  z  ct  +D=0 Pt(*) có nghiệm t  o Pt (*) vô nghiệm  o Pt(*) có vô số nghiệm t (*) d cắt mp(P) điểm d song song với (P)  d nằm (P) 0t 1 voâ nghieäm 0t =-2 voâ nghieäm 0t 0 voâ soá nghieäm VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH 1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông A Cần nhớ: Tam giác ABC vuông A      AB  AC  AB  AC AB.AC 0 Phương pháp:   AB  ,AC   Tính    Tính AB.AC H.H  T.T  C.C 0    Suy AB  AC  Suy AB  AC  Chú ý: Kết luận tam giác ABC vuông A    BA  BC  Nếu tam giác ABC vuông B    BC    BA.BC 0  Nếu tam giác ABC vuông C  C  CB  CA  CB CA.CB 0 2/ Chứng minh hai đường thẳngd và d’ VUÔNG  GÓC với d  d '  ad  ad '  ad ad ' 0 Cần nhớ: Phương pháp:       Đường thẳng d có VTCP: a= Đường thẳng d’ có VTCP: a' =  Tính a.a H.H  T.T  C.C 0   a  a Suy ra: Kết luận d và d’ vuông góc với 3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’ Phương pháp:     Do d  d '  ad  ad '  ad ad' 0   ta giải pt tìm tham số 4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường thẳng d’ Cần nhớ:  Hai đường thẳng song song không có điểm chung tức là điểm thuộc đường thẳng này không thuộc đường thẳng  Hai đường thẳng song song hai vectơ phương cùng phương với Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau: Cách 1:    a,a' Bước 1: Chứng minh hai vectơ  cùng phương:   phương  a,a' 0   Ta chứng minh  Bước 2: Chọn điểm M thuộc d chứng minh M không thuộc d’ Rồi kết luận Cách 2:  a  a1;a2 ;a3   a'  a'1;a'2 ;a'3   a a1 a2   a'1 a'2 a'3 Bước 1: Lập tỉ số: Tức là cùng phương Bước 2: Chọn điểm M thuộc d chứng minh M không thuộc d’ Rồi kết luận 5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’ Phương pháp:  a  a1 ;a2 ;a3   a'  a'1 ;a'2 ;a'3  Bước 1: Chỉ hai vectơ phương a a a     a'1 a'2 a'3 Bước 2: Vì d //d’ nên a,a' cùng phương , lập pt hệ pt để tìm m 6/ Tìm giao điểm hai đường thẳng: d:  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct  và d’:  x  x '0  a ' t '   y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t '  Cách tìm: Bước 1:  Gọi I là giao điểm d và d’  x0  at  x '0  a ' t ' (1)   y0  bt  y '0  b ' t ' (2)  z  ct  z '  c ' t ' (3)   Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt: (*) Bước 2: Để giải hệ (*) ta giải hệ gồm pt (1) và (2), t và t’ vào pt(3) thử lại  x0  at x '0  a ' t ' (1) at  a ' t ' m   bt  b ' t ' n Tìm t và t’  y0  bt  y '0  b ' t ' (2)  Giải hệ pt  Thế t và t’ vào pt (3) thỏa thì t và t’ là nghiệm hệ (*), không thỏa thì hệ (*) vô nghiệm  Thế t và t’ vào pt d d’ để tìm tọa độ giao điểm I 7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT Phương pháp: Cách 1:    a Chỉ điểm M thuộc d và vectơ phương  d Chỉ điểm M’ thuộc d’ và vectơ phương a' d’       a,a' 0        a,a' MM ' 0 Chứng minh:  Cách 2: Tìm giao điểm d và d’ cách giải hệ phương trình 8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO Phương pháp:    a Chỉ điểm M thuộc d và vectơ phương của d Chỉ điểm M’ thuộc d’ và vectơ phương a' d’      a,a'  MM' 0  Chứng minh:   VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Cách tính: Để tính khoảng cách hai mp song song (P) và (Q) ta làm sau:  Chọn điểm M thuộc (P) d   P  ,  Q   d  M,  Q    Ax  By  Cz  D  VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG  Chọn điểm M thuộc d A  B2  C2 d  d,d '  d  M,d '   VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng d có phương trình tham số: Cần nhớ:  Đường thẳng là tập hợp vô số điểm  x x0  at   y  y0  bt  z z  ct  M  x  at; y  bt;z  ct   Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: VẤN ĐỀ 18: GÓC 1/ Góc hai đường thẳng là góc hai vectơ phương    a.a'  cos= cos a,a'    a a'   Chú ý: 00  90 2/ Góc hai mặt phẳng là góc hai vectơ pháp tuyến   n.n '  cos= cos n,n '    n n'   0 Chú ý: 3/ Góc đường thẳng và mặt phẳng là góc vectơ phương và vectơ pháp tuyến  90  a.n  sin= cos a,n    a.n   Chú ý: VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S)  Bước 1: Xác định tâm I và bán kính r mặt cầu (S)  Bước 2: Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): o TH1: o TH2: o TH3:  90 d d  I,  P   d  r  (P)  (S)= (hay (P) và (S) không có điểm chung) d r  (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S) d  r  (P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C) - Bước 1: Gọi H là tâm (C) Khi đó H chính là giao điểm đường thẳng d qua tâm I và vuông góc mp(P) - Bước 2: Gọi r’ là bán kính (C)  2 2 Khi đó: r ' r  d  r '  r  d Cần nhớ: H là hình chiếu vuông góc I lên (P) nên tam giác IMH vuông H Với: r=IM, d=IH= d  I,  P    Bài 1: Tìm tọa độ điểm M và tính và r’=MH PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OM biết:     OM 5i   2j  7k  OM  3k     OM i  3j  AMi 3j  k , A(1;-1;2)  AM  i  k , A(-1;-1;3)   AM  i  2j  k , A(0;-1;-2)  OM Bài 2: Tìm tọa độ điểm M và tính biết:   MA 2MB với A(2;1;0), B(-2;0;1)   -3MA 2MB với A(2;1;4), B(-2;3;1) 1 2 MA  MB với A(2;1;0), B(-2;0;1) Bài 3:   a  2;1;  , b   6; 0;3 Câu 1: Tính góc hai vectơ: Câu 2: Xét cùng phương các cặp vectơ sau   a  1;1;1 , b  2;2;2  ,   a  2; 4;6  , b  2; 4;    a  1;3;1 , b  2; 7;2    a  1;2;  , b  2; 4;    a  0;1;2  , b  0; 4;8    a   1;2;9  , b  0;3;1   a  0; 0;1 , b  2; 0;2    a  4; 4;  , b  3;3;3    a  1;3;  , b  2;  6;    a  1;  3;  1 , b   2;  7;     a  0; 4;  8 , b  0;  2;    a  0;  1;3 , b  0;2;6    a   5; 6;  , b  0;3;3 Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(-4;-2;0), C(3;-2;1)  B(-1;-2;4),  Tính góc hai vectơ Tính góc hai vectơ Bài 5: Cho Bài 6: Cho Bài 7: Cho AB, AC   BA, BC   CA, CB  Tính góc haivectơ   a  m;6;  5 , b  m;  m;  1 Tìm m để a  b     a  m;3;   , b  m;  m;  1 a Tìm m để  b     a  m;1;6  , b  m;  m;1 a Tìm m để  b Chứng minh tam giác vuông Bài 8: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0) Chứng minh tam giác ABC vuông Bài 9: Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4) Chứng minh tam giác ABC vuông Bài 10: Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2) Chứng minh tam giác ABC vuông Bài 11: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Chứng minh tam giác ABC vuông A Chứng minh tam giác cân Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;2) Chứng minh tam giác ABC cân đỉnh A Tính chu vi tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC Bài 13: Cho tam giác ABC biết A(2;1;0), B(-1;0;1), C(0;3;-2) Chứng minh tam giác ABC cân Tính chu vi tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC Chứng minh tam giác Bài 14: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Chứng minh tam giác ABC là tam giác Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Bài 15: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;1) Chứng minh tam giác ABC là tam giác Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Bài 16: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2) Chứng minh tam giác ABC là tam giác Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Bài 17: Cho ba điểm A(-3;-3;0), B(0;-3;-3), C(-3;0;-3) Chứng minh  ABC là tam giác Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành MẶT CẦU Xác định tâm và bán kính mặt cầu Bài 18: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) 2  x-1   y     z  3 4 2 2  x+1   y     z  3 9 2  x-2   y   z  1 2 2 x   y  3   z  3 36 2  x+2    y  3  z 16 x  y  z2 3 Bài 19: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) x  y  z  2x  4y  6z  0 x  y  z  2x  4y  6z  0 x  y  z  4x  2y  4z  0 x  y  z  x  y  z 0 x  y  z  3x  y  5z  0 x  y  z  2x  4z 0 x  y  z  4y  2z  0 x  y  z  2x  0 x  y  z  4y 0 Viết phương trình mặt cầu: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính Bài 20: Viết phương trình mặt cầu: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2;-1;1) và bán kính Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(-1;0;-2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A và bán kính độ dài đoạn thẳng BC Bài 21: Viết phương trình mặt cầu: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(-1;-1;-1) và đường kính 16 Cho ba điểm A(-1;2;1), B(2;0;-1), C(-1;0;-2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm B và đường kính độ dài đoạn thẳng AC Bài 22: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A(1;-2;3) và qua điểm B(0;2;-1) Bài 23: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và qua điểm A(2;-1;9) Bài 24: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm M(2;-1;3) và qua gốc tọa độ Bài 25: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, A(1;2;3), B(-3;2;-1) Bài 26: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính MN, M(1;-2;-3), N(-3;2;1) Bài 27: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF, E(-1;4;-2), F(-3;2;2) Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) Bài 28: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x-2y-z-1=0 Bài 29: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x+2y+z-3=0 Bài 30(Đề thi đại học giao thông vận tải năm 99): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x-15y12z-75=0 Bài 31: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm AB và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0 Biết A(1;2;-2), B(3;2;2) Bài 32: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trọng tâm tam giác ABC và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0 Biết A(1;2;-2), B(3;2;2), C(2;2;9) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm hay mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bài 33: Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;0), O(0;0;0) Bài 34: Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1) Bài 35: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1) Bài 35(ĐH Huế 96): Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) mặt phẳng tọa độ trục tọa độ Bài 36: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 Bài 37: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 18x-35y-17z-2=0 Bài 38: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x+2y+2z-6=0 Bài 39: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy) Bài 40: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;-5;-4), B(1;-3;1), C(-2;2;-3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxz) Bài 41: Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox Bài 42: Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Mặt phẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến Bài 43: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng BC, biết B(-;2;1;3), C(-1;-2;-3) Bài 44: Cho hai điểm A(2;1;0), B(3;-1;0) Viết phương trình mặt (P) vuông góc với AB A Bài 45: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với BC Bài 46: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Bài 47: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Bài 48: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Bài 49: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng x 2  t  y 1  2t z 1  2t  d: Bài 50: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng  x t   y 1 z 1  2t  d: , biết A(1;2;3), B(3;2;1) Bài 51: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với x  y z 1   1 2 đường thẳng d: Bài 52: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1;-2;3) và song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0 Bài 53: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0 Bài 54: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0 Bài 55: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0 Bài 56: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 57: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C Bài 58: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 59: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C Bài 60: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1) Bài 61: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 62: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B Bài 63: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A Mặt phẳng qua điểm và có hai vectơ có giá song song nằm trên mặt phẳng Bài 64: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d: x 2  t  y 1  2t z 1  2t  x  y z 1   1 2 Bài 65: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua gốc tọa độ và chứa đt d: Bài 66: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox Bài 67: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy Bài 68: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz Bài 69: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0 Bài 70: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0 Bài 71: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-3y-2z-1=0  x 2  x   2t    y 2t , d':  y  z 1  2t z 3  t   Bài 72: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt d: Bài 73: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD Bài 74: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt d:  x   t x y 2 z     , d':  y  t 2 z   3t  Bài 75: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: Bài 76: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: x y z   x 1  y   2t z 3  t  và song song với đường thẳng d’: và song song với đường thẳng d’: x 2  2t  y   t z 1  x 1  t  y t z 1  t  x 3  3t  y 1  2t z    x 1   y 1  t z 3  t  Bài 77: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: và song song với đường thẳng d’: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) đến các mặt phẳng sau: 1/ 2x-2y-z-10=0 2/ -2x-2y+10=0 3/ x-2y-2z=0 4/ 3x-2y-z+2=0 5/ x-y-1=0 6/ 2x-3z=0 Bài 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0 Bài 3: Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 , với A(1;0;2),B(-1;2;4) Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0 Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (P) Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0 1/ Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (P) 2/ Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng AB đến mp(P) 3/ Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng BC đến mp(P) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng qua hai điểm phân biệt Bài 1: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng qua điểm A(1;2;-1), B(2;-3;1) Bài 2: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng qua điểm M(4;-2;0), N(0;-2;1) Bài 3: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và trọng tâm G tam giác ABC Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) Viết phương trình đường thẳng d qua trung điểm đoạn thẳng AB và trọng tâm G tam giác ABC Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(-1;2;-1) và gốc tọa độ Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;2;3), B(-1;-2;-3) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15) Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(-1;0;-2) và gốc tọa độ CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài 1: Trong không gian Oxyz cho điểm E(1;0;2), M(3;4;1) và N(2;3;4) 1/ Viết phương trình chính tắc đường thẳng MN () 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN Bài 2: Trong không với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình : 2x-3y+6z+35=0 1/ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M và song song với mp(P) 3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P) Bài 3: Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-2;0) , đường thẳng d có phương trình  x 1  2t   y t z   3t  là : và mp(P) có phương trình là 2x-y+z=0 1/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) 2/ Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M và vuông góc với mp(P) 3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P) Bài 4: Trong không gian Oxyz cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình : 2x+2y+z-7=0 1/ Viết phương trình đường thẳng MN 2/ Tính khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P) Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;-1;3) và mặt phẳng (P) có phương trình :x-2y-2z-10=0 1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) 2/ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và vuông góc với mp(P) Bài 6: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4;3;2), B(3;0;0), C(0;3;0) và D(0;0;3) 1/ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và trọng tâm G tam giác BCD 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC Bài 7: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P) có phương trình 2x-2y+z-1=0 1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P) 2/ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và vuông góc với mp(P) 3/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC 2/ Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành  x 1  2t   y   t z 6  t  Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường thẳng d có phương trình: 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d 2/ Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M và N 3/ Tính khoảng cách hai điểm M và N Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình: x+y-2z-4=0 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M và song song với mp(P) 2/ Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) Bài 11: Trong không gian Oxyz cho hai điểm E(1;-4;5), F(3;2;7) 1/ Viết phương trình mặt cầu qua điểm F và có tâm là E 2/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng EF Bài 12: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC 1/ Tìm tọa độ trọng tâm G 2/ Viết phương trình mặt cầu đường kính OG Bài 13: Trong không gian Oxyz cho điểm E(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình x+2y-2z+6=0 1/ Viết phương trình mặt cầu có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2/ Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm E và vuông góc với mp(P) Bài 14: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;1;5) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình 2x+2y+z+6=0 Bài 15: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình x-2y+2z+12=0 ( x  1)2  ( y  1)2  (z  5)2 25 Bài 16: Cho mặt cầu (S) có pt : 1/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (S) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm M(1;1;10) x  y  z2  x  y  21 0 Bài 17: Cho mặt cầu (S) có pt : 1/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (S) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm M(1;-3;1) Bài 18: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0 Viết phương trình mặt cầu tâm là gốc tọa độ và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P) Bài 19: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y-z-2=0 Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm I(1;0;2)và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P) Bài 20: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z=0 Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm M(-1;0;2) và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P) Bài 21: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y=0 Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm A(1;2;-2) và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P) TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 1: Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng: 1/ 2/ d:  x 1  t   y 3  t  z 2  t  và mp(P): 2x+y+2z=0 d:  x 12  4t   y 9  3t  z 1  t  và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0  x   t   y 1  2t  z  2t  3/ d: và mp(P): x+2y-2z-9=0=0 Bài 2: Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng: 1/ d: 2/ d: 3/ d: x  y 1 z    1 và mp(P): x+2y-z+5=0 x 2 y z 3   2 và mp(P): 2x+y-z-5=0 x  y 1 z     và mp(P): 2x+y+z-8=0 TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và d’: 1/ 2/ 3/ d:  x 1  2t   y 2  t  z   3t  và d’:  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '   x   t   y  t  z   3t  x y2 z   và d’: d:   x 0  x   2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0   d: và d’: 4/  x 1  2t '   y 2  t '  z   3t '  d: x y z   d:  x 1  t   y 3  t  z 2  t  và mp(P): 2x+y+2z=0 d:  x 12  4t   y 9  3t  z 1  t  và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0 d:  x   t   y 1  2t  z  2t  d:  x 1  2t   y 2  t  z   3t  và d’: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 4: Tính góc đường thẳng và mặt phẳng: 1/ 2/ 3/ và mp(P): x+2y-2z-9=0=0 TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 5: Tính góc đường thẳng và đường thẳng 1/ 2/ d: 3/ d: 4/ d: và d’:  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '   x   t   y  t  z   3t  x y2 z   2 và d’:  x 0  x   2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0   và d’: x y z    x 1  2t '   y 2  t '  z   3t '  và d’: TÍNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 6: Tính góc hai mặt phẳng: 1/ (P): 2x-2y-z-10=0 và (Q): x-3y+4z-1=0 2/ (P): x+2y-1=0 và (Q): 3y-2z-5=0 3/ (P): -x+2y-z+10=0 và (Q): x+2z-2=0 CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU Cách giải: Ta giải hệ phương trình tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d: - Xét hệ phương trình:  x   2t   y   3t  z 6  4t  và d’: Giải  x 5  t '   y   4t '  z 20  t '    2t 5  t ' (1)    3t   4t ' (2) 6  20  t ' (3)  cắt 2t  t ' 8   3t  4t ' 1 t 3  t '  Từ (1) và (2) suy Thay giá trị t vào (3) ta thấy thỏa mãn Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt M(3;7;18) Bài 1: Chứng các dường thẳng sau cắt nhau: 1/ d: 2/ d: 3/ d:  x 1  2t   y 2  t  z   3t  và d’:  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '   x   t   y  t  z   3t  x y2 z   2 và d’:  x 0  x   2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0   và d’: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Để chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo ta chứng minh: Với M thuộc d và M’ thuộc d’ Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:  x 3  t   y 1  t  z 2  2t   x  t '   y 2  3t '  z 2t '  và d’: Giải Đường thẳng d qua điểm M(3;1;2) có vectơ phương - Đường thẳng d’ qua điểm M’(0;2;0) có vectơ phương - Tính      a, a ' (  8;  4; 2), MM ' (  3;1;  2)      a, a ' MM ' 24    16 0   Tính Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo Bài 1: Chứng minh các đường thẳng sau chéo nhau: 2/ chéo  a  1' 1'   a '   1;3;  - 1/      a, a ' MM ' 0   d:  x  2t   y   3t  z 4  d:  x 1  t   y 2  2t  z 3t  và x y z   2 1 d’:  x 1  t   y 3  2t  z 1  và d’: III/ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU Cách giải : Chứng minh    a.a ' =0 Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: (chứng minh tích vô hướng 0)  x 1  t   y 2  3t  z 3  t  và d’:  x 2  2t '   y   2t '  z 1  4t '  vuông góc với Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d:  x 5  t   y   2t  z 4t  Bài 3: Chứng minh hai đường thẳng d: x y z   1 và d’:  x 9  2t   y 13  3t  z 1  t  vuông góc với x y 5 z    1 và d’:  chéo BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ÔN THI TÔT NGHIỆP -Bài 1: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6;2;-5), B(-4;0;7) 1/ Tìm tọa độ tâm I, bán kính r và viết phương trình mặt cầu (S) 2/ Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) A 3/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) B ( x  3)2  ( y  2)2  ( z  1) 100 Bài 2: Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0 1/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc mặt cầu và song song mặt phẳng (P) 3/ Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm trùng với mặt cầu (S) và tiếp xúc mặt phẳng (P) Bài 3: Cho ba điểm A(1;0;1), B(0;1;0), C(0;1;1) a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm O,A,B,C Bài 4: Lập phương trình ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(-1;2;3), B(3;-4;5), C(5;6;-7) Bài 5: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1) a/ Chứng mính bốn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh tứ diện b/ Tìm góc hai đường thẳng AB và CD c/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy độ dài đường cao hạ từ đỉnh A tứ diện Bài 6: Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0) a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD là tứ diện b/ Tính độ dài đường cao AH tứ diện ABCD c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD Bài 7: Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2) a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD là tứ diện b/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD) c/ Tìm tọa độ tiếp điểm (S) và mặt phẳng (BCD) Bài 8: Cho bốn điểm A(1;0;-1), B(3;4;-2), C(4;-1;1), D(3;0;3) a/ Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c/ Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm D và tiếp xúc với mp(ABC) d/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD e/ Tính thể tích tứ diện ABCD  x 1  t   y t  z  t   x 2t '   y   t '  z t '  Bài 9: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo b/ Tính góc hai đường thẳng d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’  x   3t   y 1  2t  z 3  2t   x t '   y 1  t '  z   2t '  Bài 10: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cùng thuộc mặt phẳng b/ Tính góc hai đường thẳng d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’ Bài 11: Cho bốn điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2) a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số đường thẳng AD b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AD và song song với BC Bài 12 : Cho hai mặt phẳng (P): 4x+y+2z+1=0 và (Q): 2x-2y+z+3=0 a/ Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt b/ Tính góc hai mặt phẳng (P) và (Q) c/ Tìm điểm M’ đối xứng với M(4;2;1) qua mặt phẳng (P) d/ Tìm điểm N’ đối xứng với N(0;2;4) qua măth phẳng (Q)  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  Bài 13: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x+y+z=0 a/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d c/ Tính góc đường thẳng d và mặt phẳng (P) Bài 14: Lập phương trình tham số đường thẳng d a/ Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0)  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  b/ Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng d’: c/ Đi qua gốc tọa độ và vuông góc mặt phẳng (P): 2x-5y-1=0 Bài 15: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) a/ Đi qua điểm A(1;-2;1) và vuông góc với AB biết B(-2;6;0)  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  b/ Đi qua trung điểm A, B và vuông góc với đường thẳng d: c/ Đi qua gốc tọa độ và song song với mp(Q): 2x-8z-99=0 d/ Qua ba điểm A(1;0;1), B(1;1;0), C(0;1;1) e/ Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(1;2;1), B(3;2;3) f/ Chứa đường thẳng d:  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  và song song đường thẳng d’:  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  biết A(1;2;3), B(1;-2;-3)  x 1  t   y 2  2t  z 3   x 1  t   y 2  2t  z 3  g/ Chứa hai đường thẳng d: và d’: h/ Đi qua hai điểm A(1;0;1), B(5;3;2) và vuông góc mặt phẳng (R): 2x-y+z-7=0  x 1  t   y 2t  z 3  t   x 2  2t '   y 3  4t '  z 5  2t '  Bài 16: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ song song với b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’  x 1  t   y 2  3t  z 3  t   x 2  2t '   y   t '  z 1  3t '  Bài 17: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cắt Tìm tọa độ giao điểm d và d’ b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’  x 5  t   y   2t  z 4t   x 9  2t '   y 13  3t '  z 1  t '   x 1  2t   y   3t  z 5  t   x 1  3t '   y   2t '  z   2t '  Bài 18: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ vuông góc với b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’ Bài 19: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;1) và vuông góc với d Bài 20: Cho điểm A(1;-1;1) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0 1/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song với (P) Tính khoảng cách (P) và (Q) 3/ Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) Xác định hình chiếu vuông góc A lên (P)  x 1  2t   y  t  z   Bài 22: Cho điểm M(-2;1;0) và đường thẳng d: 1/ Viết phương trình đường thẳng d’ qua M và song với d 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d Xác định hình chiếu vuông góc M lên d Bài 23: Cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1; 0;1), C(3;2;-5) Gọi I là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác ABC 1/ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm G, I 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm I và qua G 3/ Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) G 4/ Tìm điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành x y z   1 Bài 24: Cho hai điểm A(1;2;2), B(3;-2;0) và đường thẳng d: 1/ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A,B 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d.Tìm giao điểm H (P) và d Tính độ dài đoạn AH 3/ Gọi I là trung điểm AB Viết phương trình đường thẳng OI Bài 25: Cho điểm A(0;-1;2) và mặt phẳng (P): x-2y-2z-1=0 1/ Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên (P) Tính độ dài đoạn AH 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P) 3/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P) Tính khoảng cách (P) và (Q) CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài 1: ĐHBK năm 96 Cho tứ diện ABCD với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1) Chứng minh ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với Tính góc đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC) Thiết lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD x  y  z  2x  4y  4z 0 Bài 2: CĐSP Hà Nội 97 Cho mặt cầu (S) có pt: Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu Gọi A, B, C là giao điểm của(khác gốc tọa độ) mặt cầu với các trục Ox, Oy, Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ tâm mặt cầu đến mp(ABC) Xác định tọa độ điểm H Bài 3: ĐHGTVT 99 Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z+75=0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm H mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P) Bài 4: ĐH Huế 96 Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(ABC) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) Tính diện tích xung quanh mặt cầu (S) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp mặt cầu (S) Bài 5: ĐH GTVT 98 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x  y  z2  2x  4y  6z  0 và song song với mặt phẳng (Q): 4x+3y-12z+1=0 Bài 6: ĐH Thủy lợi 96 Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x  y  z  10x  2y  26z  113 0 x  y  z  13 d:   , 3 Bài 7: ĐH KT 95 Cho mặt cầu (S): (P): 2x-2y-z+9=0 và song song với hai đường thẳng:  x=-7+3t  d': y=-1+2t z=8   x  3 2   y     z  1 100 và mặt phẳng Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C) x  y  z 4 Bài 8: ĐH Luật 2000 Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): x+z=2 Chứng minh (P) cắt mặt cầu (S) Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao tuyến (P) và (S) Bài 9: ĐH SP KB-D 2000 Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cho A trùng với gốc tọa độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) Gọi M là trung điểm AB và N là tâm hình vuông ADD’A’.Viết phương trình mặt cầu (S) qua các điểm C, D’, M, N x  y  z  2x  0 Bài 10: ĐHDL 97 Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): x+z+1=0 Tính bán kính và tọa độ tâm mặt cầu (S) Tính bán kính và tọa độ tâm đường tròn (C) là giao mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) Bài 11: ĐHSP Vinh 99 Cho điểm I(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I cho giao (S) và (P) là đường tròn có chi vi  Bài 12: ĐHBK KA 2000 Cho hính chóp S.ABC với S(3;1;-2), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0) Chứng minh rằng: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác và ba mặt bên là các tam giác vuông cân Tìm tọa độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB Viết phương trình mặt cầu tâm D và có bán kính r  18 x  y 1 z    1 Bài 13: ĐHCĐ 97 Cho mặt phẳng (P): x+2y-z+5=0 và đt d: Tìm tọa độ giao điểm H d và (P) Tính góc d và (P) Viết phương trình đường thẳng d’ nằm (P) qua giao điểm H và vuông góc  ad '  ad '  ad '     ad   ad '  ad ,n P    nP với đường thẳng d HD: Gọi là VTCP d’ đó Bài 14: ĐHNN 97 Cho hai điểm A(1;2;3), B(4;4;5) Viết phương trình đường thẳng AB Tìm giao điểm H đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy) HD: Mp(Oxy) có pt: z=0 x 1  y 2t z 4  2t  Bài 15: ĐH Huế 98: Cho điểm A(2;-1;1) và đường thẳng d: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d Xác định điểm B đối xứng với A qua d Bài 16: ĐH Vinh 98 Lập phương trình đường thẳng d qua A(3;2;1) vuông góc với đường thẳng d’: d’ x y z 3   Bài 17: ĐHTM 2000 Lập phương trình đường thẳng d qua A(2;-1;0) vuông góc với đường thẳng d’: Bài 18: ĐHTM 98 Cho mặt phẳng (P) qua ba điểm A(0;0;1), B(-1;-2;0) và C(2;1;-1) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng d qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P) Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC tam giác ABC Tính thể tích tứ diện OABC x 3t  y   9t z   6t  HD: Để xác định chân đường cao ta có cách: Cách 1: Viết pt đt BC, H thuộc BC suy tọa độ điểm H, áp dụng Viết pt đt BC, viết pt mp(Q) qua A và vuông góc với BC, tìm giao điểm H đt BC và mp(Q) Bài 19: HVNH TPHCM 99: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1) Viết pt tham số đường thẳng BC Hạ AH vuông góc BC Tìm tọa độ điểm H Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) và cắt đường thẳng   AH.BC 0 Cách 2: x 1  2t  y 2  t z 3t  Bài 20: ĐHBK HN 98 Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x-y-2z+1=0 Tìm tọa độ các điểm thuộc d cho khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng (P) Gọi K là điểm đối xứng với điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d Xác định tọa độ điểm K x 1 y  z    2 Bài 21: ĐHBK 97 Cho điểm M(1;2;-1) và đường thẳng d: Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d Tính độ dài đoạn thẳng MN x 1  t  y t z   Bài 22: Xác định hình chiếu vuông góc A(1;2;-1) lên d: Bài 23: HV Kỹ Thuật QS 98 Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1) Tìm hình chiếu vuông góc D lên mặt phẳng (ABC) Tính thể tích tứ diện ABCD Viết phương trình đường vuông góc chung AC và BD Bài 24: ĐHQG TPHCM 99: Cho điểm A(-2;4;3) và mặt phẳng (P): 2x-3y+6z+19=0 Viết phương trình tổng quát mp(Q) qua A và song song (P) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P) và (Q) Hạ AH vuông góc với (P) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H Bài 25: ĐHBK 99 Cho đường thẳng d: Tìm giao điểm d và (P) Tính góc d và (P) x 1 y  z    2 x  y 1 z    Bài 26: Cho đường thẳng d: Tìm giao điểm d và (P) Tính góc d và (P) và mặt phẳng (P): 2x-2y+z-3=0 và mặt phẳng (P): 2x+y+z-8=0  x 2  2t   y   t z 1  x 1  y 1  t ' z 3  t '  Bài 27: ĐH NN 97 Cho hai đường thẳng d: và d’: Chứng minh d và d’ chéo Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’ Tình khoảng cách d và d’ Viết phương trình đường vuông góc chung d và d’ x 1 y  z  x-2 y  z   , d':   2 Bài 29: PVBC TPHCM 99 Cho hai đt d: Chứng minh d và d’ chéo Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’ Viết phương trình đường vuông góc chung d và d’ x=-1+t x y2 z    , d': y=-t 2 z=-2+3t  Bài 30: ĐHKTQD 97 Cho hai đường thẳng d: Chứng minh d và d’ cắt Tìm giao điểm d và d’ Viết phương trình mặt phẳng qua d và d’ Bài 31: ĐHSP Qui Nhơn 99 Cho hai đường thẳng Chứng minh d và d’ song song với x 5  2t x=3+2t   d : y 1  t , d': y=-3-t z 5  t z=1-t   Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’ Bài 32: HVBCVT 94 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(-1;2;-3) vuông góc với giá vectơ và cắt đường thẳng d: x  y 1 z  x 1 y  z       ĐS: 3 Bài 33: ĐHQG 96 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1;1) vuông góc với đường thẳng d: x   y   t z  t  x  y 2 z   1 và cắt đường x y z   1 thẳng d’: ĐS: Bài 34: ĐHDL 97 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;-1;0) và cắt hai đường thẳng d: x y 1 x  x+1 y z   , d':   1 2 Chú ý: Chuyển d và d’ pt tham số với hai tham số khác Bài 35: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ và cắt hai đường thẳng x 1  2t x=2+s   y 2  t , d': y=-3+2s z   3t z=1+3s   d: Bài 36: ĐHTCKT 99 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ (P): x-y-z-1=0, d:  x 1 y  z     a  ad         a  n P ,ad  a  n P  HD: Ta có: Bài 37: ĐHDL 98 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(0;1;1) và vuông góc với hai đường thẳng  x  x  y 2 z  d1 :   , d : y   t 1 z  t  Bài 38: ĐHXD 98 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x+y+z=1 và cắt hai đường thẳng: x  3t x  y 1 z  d1 :   , d : y  1 z   3t  x 1  t x=0   d : y  t , d': y=0 z 0 z=2+s   HD: Gọi B, C là Bài 39: Viết phương trình đường thẳng l qua điểm A(1;1;0) và cắt hai đường thẳng: giao điểm l với d và d’ A, B, C thẳng hàng … Bài 40: ĐH Huế 99 Cho ba điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó Bài 41: HVNH 2000 Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-1=0 Tìm tọa độ giao điểm I đường thẳng qua hai điểm A, B với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) cho tam giác ABC là tam giác HD Gọi pháp C  (P)  C  x ; y ;z  , AÙp duïng: AB=BC AC=AB   2 1 ÑS: C  2;-2;-3  , C   ;  ;    3 3 Chú ý: Ta giải hệ pt phương x y  z 3   Bài 42: ĐHKT 97 Cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng d: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và chứa đường thẳng d Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Bài 43: ĐHTL 99 Cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) Bài 44: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(1;2;3), B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+2y+3z+4=0 Bài 45: Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3), D(4;-1;0) Bài 46 ĐHCĐ 99 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(2;1;4), B(-1;-3;5) Bài 47 ĐHDL 97 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-y+z-7=0, (R): 3x+2y-12z+5=0 CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC SAU NĂM 2000 x  y 3 z    1 Bài 48 KA 2005 Cho đường thẳng d: trình đường thẳng d’đi qua A nằm (P) và vuông góc d’ và mp(P): 2x+y-2z+9=0 Tìm giao điểm A d và (P) Viết phương x=12+3t x  y  z 1  d:   , d': y=-t 1 z=10+2t  Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d, Bài 49: KD 2005 Cho hai đường thẳng d’ A, B Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) Bài 50: KD 2006 Cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d: đường thẳng  x y 2 z    1 và d’: x  y  z 1   1 Viết phương trình qua điểm A vuông góc với d và cắt d’ d: Bài 51: KA 2007 Cho hai đường thẳng Chứng minh d và d’ chéo x y z2   1 , d’: x   2t  y 1  t z 3  Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đt d, d’ Bài 52: KB 08 Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C x y z   1 Bài 53: CĐ 08 Cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d Tìm tọa độ M thuộc d cho tam giác MOA cân O Bài 54 KD 08 Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Tìm tọa độ tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x y z   2 Xác định hình chiếu vuông góc A lên d Bài 55: KD 08 Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: Bài 56 KB 09 Cho tứ diện ABCD có A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) x  y  z  2x  4y  6z  11 0 Bài 57 KA09 Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): Chứng minh (P) cắt (S) theo đường tròn Xác định tâm và bán kính đường tròn Bài 58 KD 09 Cho ba điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mp(P): x+y+z-20=0 Xác định điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) x2 y z   1 1 Bài 58 KD 09 Cho đường thẳng d: và mp(P): x+2y-3z+4=0 Viết phương trình đường thẳng nằm (P) cắt d và vuông góc với d Bài 59 CĐ 09 Cho hai mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0, (Q): 3x+2y-z+1=0 và điểm A(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (R) qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) Bài 59 CĐ 09 Cho tam giác ABC với A(1;1;0), B(0;2;1) và trọng tâm G(0;2;-1) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C và vuông góc mặt phẳng (ABC) Bài 60 CĐ 10 Cho hai điểm A(1;-2;3), B(-1;0;1) và mp(P): x+y+z+4=0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A lên (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính và mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P) AB , có tâm thuộc đường thẳng AB x y z   2 1 Bài 60 CĐ 10 Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x-y+2z-2=0 Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) Tìm điểm M thuộc d cho M cách gốc tọa độ O và (P) Bài 61: KD 10 Cho hai mặt phẳng (P): x+y+z-3=0, (Q): x-y+z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và (Q) và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (R) Bài 61: KD 10 Cho hai đường thẳng d: x 3  t  y t z t  d': và x y z   2 Xác định M thuộc d cho khoảng cách từ M đến d’  x  y  z  0  x  y  z  0 Bài 62: Trong không gian cho đường thẳng d:   x 1  t   y 2  t  z 1  2t  vaø d’: mặt phẳng (P) chứa d và song song d’ ĐS: MP(P): 2x-z=0 ĐH KA 02 Baøi 63: Trong khoâng gian cho ba ñieåm A(2;0;1) ,B(1;0;0),C(1;1;1) vaø maët phaúng (P) : x+y+z-2=0 Haõy vieát phöông trình maët caàu ñi qua A,B,C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P) ÑH KD 04 ÑS: x  y  z  x  z  0 Haõy vieát phöông trình x  y 3 z    1 Baøi 64: Trong khong gian cho ñt d: vaø maët phaúng (P): 2x+y-2z+9=0 Hãy tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) baèng ÑH KA 05 ÑS: I(-3;5;7),I’(3;-7;1) x  y  z 1   1 Baøi 65: Trong khoâng gian cho ñt d:  x  y  z  0  x  y  12 0 vaø d’:  1/ Chứng minh d và d’ song song với 2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’ ĐS : 15x+11y-17z-10=0 ÑH KD 05 x y  z 1   1 Baøi 66:Trong khoâng gian cho ñieåm A(0;1;2) vaø ñt d: vaø d’: mặt phẳng (P) qua A , đồng thời song song với d và d’ ĐS : x+3y+5z-13=0 Baøi 67: Trong khoâng gian cho ñieåm A(1;2;3) vaø ñt d: d ÑS : A’(-1;-4;1) x y  z 2   1 Baøi 68: Cho ñt d: x y2 z   1  x 1  t   y   2t  z 2  t  Vieát phöông trình Hãy tìm điểm A’ đối xứng với A qua  x   2t   y 1  t  z 3  vaø d’: 1/ Chứng minh d và d’ chéo 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ , đồng thời song song với d và d’ x y2 z   Hãy viết phương trình đường Baøi 69: Trong khoâng gian cho hai ñieåm A(1;4;2),B(-1;2;4) vaø ñt d:  x y z   1 thẳng d’ qua trọng tâm tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB) ĐS : BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  x 1  2t   y 2  t z 3t  Bài 1: Cho d: và mp(P): 2x-y-2z+1=0 Tìm các điểm M thuộc d cho khoảng cách từ M đến (P) Viết phương trình đường thẳng d’ qua giao điểm d và (P) và gốc tọa độ Bài 2: Cho hai điểm A(0;0;4), B(2;0;0) và mp(P): 2x+y-z+5=0 Chứng tỏ mặt phẳng (P) cắt đường thẳng AB Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm O, A, B, biết khoảng cách từ tâm I đến mp(P) Bài 3: Cho hai điểm A(0;0;1), B(2;0;1) Tìm điểm C nằm trên mặt phẳng Oxy cho cho tam giác ABC là tam giác Bài 4: Cho hai điểm A(3;0;2), B(1;-1;0) và mp(P): x-2y+2z-3=0 Tìm điểm C thuộc (P) cho tam giác ABC cân B Bài 5: Cho điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với BC Tìm giao điểm đường thẳng AC và mp(P) Chứng minh tam giác ABC vuông Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài 6: Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1), (P): 3x-8y+7z-1=0 Tìm C thuộc (P) cho tam giác ABC là tam giác Bài 7: Cho hai điểm A(6;0;0), B(0;3;0) và mp(P): x+2y-3z-6=0 Lập phương trình đường thẳng nằm (P) vuông góc với AB A Tìm C thuộc (P) tam giác ABC vuông A  x t  d : y 1  2t z 2  t  Bài 8: Cho và (P): x+3y+2z+2=0 Viết phương trình đường thẳng d song song với (P) qua điểm M(2;2;4) và cắt d Bài 9: Tìm trên trục Oz điểm M cách điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x+3y+z-17=0 x y z   3 Bài 10: Cho hai điểm A(1;-3;-1), B(-2;1;3) và đường thẳng d: 1/ Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng d 2/ Tìm điểm C nằm trên trục Oz cho tam giác ABC vuông C Bài 11: Cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P): 2x-2y+z-1=0 Tính khoảng cách từ A đến (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) cho (Q) song song với (P) và khoảng cách (P) và (Q) khoảng cách từ A đến (P) Bài 12: Cho M(1;2;3) và mp(P): 2x-3y+6z+35=0 Tính khoảng cách từ M đến (P) Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox cho độ dài đoạn thẳng NM khoảng cách từ điểm M đến mp(P) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Đường thẳng qua điểm cắt và vuông góc với đường thẳng: Bài toán 1: Cho đường thẳng  x  x0  at  d :  y  y0  bt  z  z  ct  và điểm A(x;y;z) Nhận xét:phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với d Viết Vì đường thẳng d cắt d’ nên ta gọi B là giao điểm d và d’ - Khi đó đường thẳng d’ trùng với đường thẳng AB Nếu ta tìm B thì ta viết pt đt AB Để tìm B ta dựa vào tính chất sau: Phương pháp: Cách 1: -       d  d '  a    a AB 0 Bước 1: Gọi B là giao điểm d và d’, vì B thuộc d nên:    x0  at ; y0  bt ; z0  ct    AB  ; ;     d  d '  a    a AB 0 Giải pt ta tìm t suy B Bước 2: Vì Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng d’ Cách 2: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d Bước 2: Tìm giao điểm B d và (P) Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng d’ Dạng 2: Đường thẳng qua điểm cắt đường thẳng và vuông góc với đường thẳng Bài toán 2: Cho đường thẳng  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct  và đường thẳng d’:  x  x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t '  và điểm A(x;y;z) Viết phương trình đường  thẳng qua A cắt d và vuông góc d’ Nhận xét: - Vì đường thẳng  cắt d nên ta gọi B là giao điểm  và d  - Khi đó đường thẳng trùng với đường thẳng AB Nếu ta tìm B thì ta viết pt đt AB  - Để tìm B ta dựa vào tính chất sau:     d '    a'  .a' 0 Phương pháp: Cách 1: - -  và d Vì B thuộc d nên:    x0  at ; y0  bt ; z0  ct    AB  ; ;       d '    a'  .a' 0 Giải pt ta tìm t suy B Bước 2: Vì Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng  Bước 1: Gọi B là giao điểm Cách 2: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d’ Bước 2: Tìm giao điểm B d và (P) Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng  Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm và cắt đường thẳng Bài toán 3: Cho đường thẳng  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct  và đường thẳng d’:  x  x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t '  và điểm A(x;y;z) Viết phương trình đường thẳng  qua A cắt d và d’ Nhận xét: - Vì đường thẳng   cắt d và d’ nên ta gọi B, C là giao điểm với d và d’ Khi đó để viết pt đường thẳng  ta viết pt đường thẳng AB pt đường thẳng AC pt đường thẳng BC -  Để tìm tọa độ điểm B và C ta dựa vào tính chất sau: Do A, B, C thẳng hàng nên hai vectơ - AB, AC cùng phương Để tìm t và t’ ta lập tỉ số áp dụng  AB, AC cùng phương    AB, AC  0  0;0;0    Phương pháp: - Bước 1: Gọi B, C là giao điểm  với d và d’ Vì B  d , C  d' nên:    x0  at ; y0  bt ; z0  ct    C  x '0  a ' t '; y '0  b ' t '; z '0  c ' t '    AB  ; ;     AC  ; ;   AB, AC Bước 2: Do A, B, C thẳng hàng nên hai vectơ cùng phương Ta lập tỉ số, lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt với ẩn là t và t’ tìm t và t’ Suy B và C Bước 3: Viết pt đường thẳng AB AC BC Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng và song song với đường thẳng  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct  Bài toán 4: Cho đường thẳng Viết phương trình đường thẳng Nhận xét: -   Vì đường thẳng đó để viết pt đường thẳng - và đường thẳng d’: AB, a '' và đường thẳng  x  x ''0  a '' t ''  d '' :  y  y ''0  b '' t ''  z  z ''  c '' t ''  cắt d và d’, song song với đường thẳng d’’  cắt d và d’ nên ta gọi A, B là giao điểm với d và d’ Khi ta viết pt đường thẳng AB Để tìmtọa  độ điểm A và B ta dựa vào tính chất sau: Do hai vectơ vectơ -   x  x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t '  cùng phương Để tìm t và t’ ta lập tỉ số áp dụng  AB, a ''  song song với d’’ nên     AB, a '' 0  0;0;0    cùng phương Phương pháp: - Bước 1: Gọi A, B là giao điểm  với d và d’  A  x0  at ; y0  bt ; z0  ct     B  x '0  a ' t '; y '0  b ' t '; z '0  c ' t '   AB  ; ;   AB, a '' Bước 2: Do  song song với d’’ nên hai vectơ vectơ cùng phương.Ta lập tỉ số, lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt với ẩn là t và t’ tìm t và t’ Suy A và B Bước 3: Viết pt đường thẳng AB Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng Bài toán 5: Cho đường thẳng phương trình đường thẳng   x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct  và đường thẳng d’:  x  x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t '  và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 Viết cắt d và d’, vuông góc với (P) Nhận xét: - Vì đường thẳng đó để viết pt đường thẳng - cắt d và d’ nên ta gọi A, B là giao điểm AB, nP  với d và d’ Khi ta viết pt đường thẳng AB Để tìmtọađộ điểm A và B ta dựa vào tính chất sau: Do hai vectơ vectơ -   cùng phương Để tìm t và t’ ta lập tỉ số áp dụng  AB, nP  vuông góc với (P) nên cùng phương    AB, nP  0  0;0;0    Phương pháp: - Bước 1: Gọi A, B là giao điểm  với d và d’  A  x0  at ; y0  bt ; z0  ct     B  x '0  a ' t '; y '0  b ' t '; z '0  c ' t '   AB  ; ;   AB, nP Bước 2: Do  vuông góc với (P) nên hai vectơ cùng phương Ta lập tỉ số, lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt tìm t và t’ Suy A và B Bước 3: Viết pt đường thẳng AB Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng Bài toán 6: Cho đường thẳng  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct  và đường thẳng d’:  x  x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t '  và điểm A(x;y;z) Viết phương trình đường  thẳng qua A vuông góc với d và d’ Nhận xét: - Vì -  Ta có: vuông  góc  với d và d’ nên hai vectơ có giá vuông góc với  là  ad , ad '   a  ad      a    ad , ad '  a  ad ' Như để tìm VTCP đường thẳng ta tìm hai vectơ có giá vuông góc với đường thẳng lấy tích có hướng hai vectơ đó ta vectơ phương đường thẳng Chú ý:  a ,a Nếu d và d’ song song với thì hai vectơ d d ' cùng phương, ta phải giải cách khác Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng và mặt phẳng (P) Viết pt đường thẳng  qua A(x;y;z) nằm (P) và vuông góc với vuông góc với d và nằm (P) nên hai vectơ có giá vuông góc với giá  là Bài toán 7: Cho đường thẳng d Nhận xét:   ad , nP Ta có: Vì   x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct  .    a  ad     a  ad , nP  a  nP Bài toán 8: Cho đường thẳng với d Nhận xét:  ad , nP Ta có: Vì   x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct  và mặt phẳng (P) Viết pt đường thẳng vuông góc với d và song song (P) nên hai vectơ có giá vuông góc với giá   qua A(x;y;z) song song với (P) và vuông góc là .    a  ad    a  ad , nP   a  nP Dạng 8: Viết phương trình đường vuông góc của hai đường thẳng chéo nhau:  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct  Bài toán 9: Cho đường thẳng chéo vuông góc chung hai đường thẳng d và d’ Nhận xét:  - Do d’ - Như để viết pt đường thẳng Bước 1: Gọi A, B là giao điểm Bước 2: Suy tọa độ điểm A, B   và ta viết pt đường thẳng AB   d     d ' Để tìm tọa độ điểm A, B ta dựa vào tính chất sau: Phương pháp: -   d    d ' là đường vuông góc chung d và d’ nên:  và d’:  x x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t '  Viết phương trình đường thẳng  là đường cắt d và d’ Do đó ta gọi A, B là giao điểm  với d và  a  a   a a 0  ad    d  ad ' a ad ' 0 với d và d’   d     d '  a  a   a a 0  ad    d  ad ' a ad ' 0 - Bước 3: Tìm t và t’ áp dụng - Bước 4: Viết phương trình đt AB đó chính là pt đt  TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 1: Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng: 1/ 2/ d:  x 1  t   y 3  t  z 2  t  và mp(P): 2x+y+2z=0 d:  x 12  4t   y 9  3t  z 1  t  và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0  x   t   y 1  2t  z  2t  3/ d: và mp(P): x+2y-2z-9=0=0 Bài 2: Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng: 1/ d: 2/ d: x  y 1 z    1 và mp(P): x+2y-z+5=0 x 2 y z 3   2 và mp(P): 2x+y-z-5=0 x  y 1 z     và mp(P): 2x+y+z-8=0 3/ d: TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và d’: 1/ 2/ 3/ d:  x 1  2t   y 2  t  z   3t  và d’:  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '   x   t   y  t  z   3t  x y2 z   và d’: d:   x 0  x   2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0   d: và d’: x y z    x 1  2t '   y 2  t '  z   3t '  4/ d: và d’: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 4: Tính góc đường thẳng và mặt phẳng: 1/ 2/ d:  x 1  t   y 3  t  z 2  t  và mp(P): 2x+y+2z=0 d:  x 12  4t   y 9  3t  z 1  t  và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0  x   t   y 1  2t  z  2t  3/ d: và mp(P): x+2y-2z-9=0=0 TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 5: Tính góc đường thẳng và đường thẳng 1/ d:  x 1  2t   y 2  t  z   3t  và d’:  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '  2/ d: 3/ d:  x   t   y  t  z   3t  x y2 z   2 và d’:  x 0  x   2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0   và d’: x y z    x 1  2t '   y 2  t '  z   3t '  4/ d: và d’: TÍNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 6: Tính góc hai mặt phẳng: 1/ (P): 2x-2y-z-10=0 và (Q): x-3y+4z-1=0 2/ (P): x+2y-1=0 và (Q): 3y-2z-5=0 3/ (P): -x+2y-z+10=0 và (Q): x+2z-2=0 CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU Cách giải: Ta giải hệ phương trình tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d: - Xét hệ phương trình:  x   2t   y   3t  z 6  4t  và d’: Giải  x 5  t '   y   4t '  z 20  t '    2t 5  t ' (1)    3t   4t ' (2) 6  20  t ' (3)  2t  t ' 8   3t  4t ' 1 cắt t 3  t '  Từ (1) và (2) suy Thay giá trị t vào (3) ta thấy thỏa mãn Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt M(3;7;18) Bài 1: Chứng các dường thẳng sau cắt nhau: 1/ 2/ d: d:  x 1  2t   y 2  t  z   3t  và d’:  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '   x   t   y  t  z   3t  x y2 z   2 và d’:  x 0  x   2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0   3/ d: và d’: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Để chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo ta chứng minh: Với M thuộc d và M’ thuộc d’      a, a ' MM ' 0   Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:  x 3  t   y 1  t  z 2  2t   x  t '   y 2  3t '  z 2t '  và d’: Giải chéo  a  1' 1'   a '   1;3;  - Đường thẳng d qua điểm M(3;1;2) có vectơ phương - Đường thẳng d’ qua điểm M’(0;2;0) có vectơ phương - Tính      a, a ' (  8;  4; 2), MM ' (  3;1;  2)      a, a ' MM ' 24    16 0   Tính Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo Bài 1: Chứng minh các đường thẳng sau chéo nhau: 1/ d:  x  2t   y   3t  z 4  và  x 1  t   y 2  2t  z 3t  x y z   2 1 d’:  x 1  t   y 3  2t  z 1  2/ d: và d’: III/ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU Cách giải : Chứng minh    a.a ' =0 (chứng minh tích vô hướng 0) Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:  x 1  t   y 2  3t  z 3  t  Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d:  x 5  t   y   2t  z 4t  và d’:  x 2  2t '   y   2t '  z 1  4t '  và d’: x y z   1  x 9  2t   y 13  3t  z 1  t  vuông góc với vuông góc với x y 5 z    1 và d’:  Bài 3: Chứng minh hai đường thẳng d: chéo BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ÔN THI TÔT NGHIỆP -Bài 1: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6;2;-5), B(-4;0;7) 1/ Tìm tọa độ tâm I, bán kính r và viết phương trình mặt cầu (S) 2/ Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) A 3/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) B ( x  3)2  ( y  2)2  ( z  1) 100 Bài 2: Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0 1/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc mặt cầu và song song mặt phẳng (P) 3/ Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm trùng với mặt cầu (S) và tiếp xúc mặt phẳng (P) Bài 3: Cho ba điểm A(1;0;1), B(0;1;0), C(0;1;1) a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm O,A,B,C Bài 4: Lập phương trình ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(-1;2;3), B(3;-4;5), C(5;6;-7) Bài 5: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1) a/ Chứng mính bốn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh tứ diện b/ Tìm góc hai đường thẳng AB và CD c/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy độ dài đường cao hạ từ đỉnh A tứ diện Bài 6: Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0) a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD là tứ diện b/ Tính độ dài đường cao AH tứ diện ABCD c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD Bài 7: Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2) a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD là tứ diện b/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD) c/ Tìm tọa độ tiếp điểm (S) và mặt phẳng (BCD) Bài 8: Cho bốn điểm A(1;0;-1), B(3;4;-2), C(4;-1;1), D(3;0;3) a/ Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c/ Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm D và tiếp xúc với mp(ABC) d/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD e/ Tính thể tích tứ diện ABCD  x 1  t   y t  z  t   x 2t '   y   t '  z t '  Bài 9: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo b/ Tính góc hai đường thẳng d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’  x   3t   y 1  2t  z 3  2t   x t '   y 1  t '  z   2t '  Bài 10: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cùng thuộc mặt phẳng b/ Tính góc hai đường thẳng d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’ Bài 11: Cho bốn điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2) a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số đường thẳng AD b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AD và song song với BC Bài 12 : Cho hai mặt phẳng (P): 4x+y+2z+1=0 và (Q): 2x-2y+z+3=0 a/ Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt b/ Tính góc hai mặt phẳng (P) và (Q) c/ Tìm điểm M’ đối xứng với M(4;2;1) qua mặt phẳng (P) d/ Tìm điểm N’ đối xứng với N(0;2;4) qua măth phẳng (Q)  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  Bài 13: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x+y+z=0 a/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d c/ Tính góc đường thẳng d và mặt phẳng (P) Bài 14: Lập phương trình tham số đường thẳng d a/ Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0)  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  b/ Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng d’: c/ Đi qua gốc tọa độ và vuông góc mặt phẳng (P): 2x-5y-1=0 Bài 15: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) a/ Đi qua điểm A(1;-2;1) và vuông góc với AB biết B(-2;6;0)  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  b/ Đi qua trung điểm A, B và vuông góc với đường thẳng d: c/ Đi qua gốc tọa độ và song song với mp(Q): 2x-8z-99=0 d/ Qua ba điểm A(1;0;1), B(1;1;0), C(0;1;1) e/ Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(1;2;1), B(3;2;3) biết A(1;2;3), B(1;-2;-3) f/ Chứa đường thẳng d:  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  và song song đường thẳng d’:  x 1  2t   y 2  t  z 3  t   x 1  t   y 2  2t  z 3   x 1  t   y 2  2t  z 3  g/ Chứa hai đường thẳng d: và d’: h/ Đi qua hai điểm A(1;0;1), B(5;3;2) và vuông góc mặt phẳng (R): 2x-y+z-7=0  x 1  t   y 2t  z 3  t   x 2  2t '   y 3  4t '  z 5  2t '  Bài 16: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ song song với b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’  x 1  t   y 2  3t  z 3  t   x 2  2t '   y   t '  z 1  3t '  Bài 17: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cắt Tìm tọa độ giao điểm d và d’ b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’  x 5  t   y   2t  z 4t   x 9  2t '   y 13  3t '  z 1  t '   x 1  2t   y   3t  z 5  t   x 1  3t '   y   2t '  z   2t '  Bài 18: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ vuông góc với b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’ Bài 19: Cho hai đường thẳng d: và d’: a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;1) và vuông góc với d Bài 1: Lập phương trình tham số đường thẳng d 1/ Đường thẳng d qua hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0)  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  2/ Đường thẳng d M(2;3;-5) và song song với đường thẳng d’: 3/ Đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mặt phẳng (P): 2x-5y-1=0 Bài 2: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) 1/ Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;-2;1) và vuông góc với AB biết B(-2;6;0) 2/ Mặt phẳng (P) qua trung điểm A, B và vuông góc với đường thẳng d:  x 1  2t   y 2  t  z 3  t  biết A(1;2;3), B(1;-2;-3) 3/ Mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song với mp(Q): 2x-8z-99=0 4/ Mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1;0;1), B(1;1;0), C(0;1;1) 5/ Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(1;2;1), B(3;2;3) Bài 3: Cho hai điểm (1;-2;0), B(1;2;2) Lập phương trình mặt cầu (S) 1/ Mặt cầu (S) có tâm A và qua điểm B 2/ Mặt cầu (S) có đường kính AB BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng và mặt phẳng Bài 1:  x 1  2t   y 2  t  z 3t  1/ Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x-y+5z-4=0=0 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) 2/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d:  x   2t   y 1  t  z   4t  và mp (P): 2x-y+4z+10=0 x  y 1 z    Bài 2: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x+y+z-8=0 a/ Viết phương trình chính tắc đường thẳng d b/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) x  y  z 3   1 Bài 3: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) x  y  z 1   1 Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 Dạng 2: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) đến các mặt phẳng sau: 1/ 2x-2y-z-10=0 2/ -2x-2y+10=0 3/ x-2y-2z=0 4/ 3x-2y-z+2=0 5/ x-y-1=0 6/ 2x-3z=0 Bài 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0 Bài 3: Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 , với A(1;0;2),B(-1;2;4) Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0 Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (P) Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0 1/ Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (P) 2/ Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng AB đến mp(P) 3/ Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng BC đến mp(P) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng qua hai điểm phân biệt Bài 1: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng qua điểm A(1;2;-1), B(2;-3;1) Bài 2: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng qua điểm M(4;-2;0), N(0;-2;1) Bài 3: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và trọng tâm G tam giác ABC Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) Viết phương trình đường thẳng d qua trung điểm đoạn thẳng AB và trọng tâm G tam giác ABC Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(-1;2;-1) và gốc tọa độ Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;2;3), B(-1;-2;-3) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15) Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(-1;0;-2) và gốc tọa độ Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm và song song với đường thẳng cho trước Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng d’:  x   2t   y 1  t  z   4t  Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(-1;0;2) và song song với đường thẳng d’:  x   2t   y 1  3t  z   4t  x  y 1 z    Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua trung điểm đoạn thẳng AB và song song với đường thẳng d’: với A(1;2;3), B(-3;0;-1) Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;0;3), C(-3,-9,2) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác ABC và song song với đường thẳng x  y  z 3   1 d’: Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: 2x-3y-4z-1=0 Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;-2;0) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: 2x+y-2z-2=0 Bài 3: Cho hai điểm A(1;-2;3) và B(-1;2;0) Viết phương trình đường thẳng d qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc mặt phẳng (P): x-2y-1=0 Bài 4: Cho A(0;-1;1), B(1;0;1), C(2;4;-2) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc mặt phẳng (P): 2y-2z-1=0 Bài 5: Cho A(0;-1;1), B(1;0;1), C(2;4;-2) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc mặt phẳng qua điểm A,B,C Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(-1;2;-1) và vuông góc mp(Oxy) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B(1;0;-2) và vuông góc mp(Oxz) Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;-2;2) và vuông góc mp(Oyz) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm  không  thẳng hàng  Cách giải: Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến là n  AB  AC Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1) Bài 2: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 3: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B Bài 4: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm và song song với mp cho trước Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song mp(Q):2x-3y-4z-10=0 Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và song song mp(Q):-3y-4z-1=0 Bài 3: Cho hai điểm A(2;-1;1), B(-4;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và song song với mp(Q):2x-y+1=0 Bài 4: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC và song song mp(Q) : 2z-1=0 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng x  y  z 1   1 d: Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm N(-1;-2;1) và vuông góc với đường thẳng  x   2t   y 1  t  z   4t  d: Bài 3: Cho hai điểm A(2;-1;1), B(-4;3;1) 1/ Viết phương trìn mặt phẳng qua A và vuông góc với AB 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AB 3/ Viết phương trình qua gốc tọa độ và vuông góc với AB 4/ Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc với AB Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1;-2;1) và vuông góc với đường thẳng x y  z 1   2 1 4 d: Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm N(-1;3;-2) và vuông góc với đường thẳng d:  x    y  t  z   4t  MẶT CẦU Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu: Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu: a/ 2 ( x - 1) +( y +1) +( z - 2) = b/ ( x + 3) + y +( z +1) = 81 c/ x + y +( z + 9) = 144 x + y + z = 169 d/ Bài 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu: a/ x + y + z - 2x + 3y - 4z - = b/ x + y2 + z +14x - 10y - z = c/ x + y + z - 2x + = d/ x + y + z - 14x - z - = e/ x + y + z + 3x + 4y - 5z + = f/ x + y + z - 2x + 4y - = Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu 1/ Biết tâm I(1;2;-1) và bán kính r=2 2/ Biết tâm A(0;-1;-2) và mặt cầu qua điểm A(0;-1;1) 3/ Biết tâm là trung điểm đoạn thẳng và mặt cầu qua gốc tọa độ 4/ Biết mặt cầu có tâm I(1;2;-1) và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0 5/ Biết mặt cầu có tâm là gốc tọa độ và mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P): -2x-2y+z-99=0 6/ Biết mặt cầu có tâm là điểm A(2;-1;2) và mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P): x-2y-2z-1=0 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho ba điểm A(-3;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;-3) a/ Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh tam giác.Tính diện tích tam giác ABC b/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c/ Viết phương trình các cạnh tam giác ABC d/ Viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện e/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực các cạnh tam giác ABC f/ Viết phương trình đường thẳng qua đỉnh và song với đường thẳng chứa cạnh còn lại x  y  z 1   1 Bài 2: Cho đường thẳng d: và điểm M(1;-2;1) 1/ Viết phương trình tham số đường thẳng d 2/ Viết phương trình đường thẳng d’ qua điểm M và song song với d 3/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d 4/ Tìm tọa độ giao điểm đt d và mặt phẳng (P) Suy điểm M’ đối xứng với M qua d 5/ Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Bài 3: Cho mặt phẳng (P): 2x+3y-z-1=0 và điểm E(-1;2-1) 1/ Viết phương trình mp(Q) qua điểm E và song song với mp(P) 2/ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm E và vuông góc với mặt phẳng (P) 3/ Tìm tọa độ giao điểm d và mp(P) Suy điểm E’ đối xứng với E qua (P) 4/ Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (P)