PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO.. Tính số đo của DBC.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18/03/2016 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) Bài (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: : ( 3) 18 a A = b B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 C 1 1 2.4 3.5 2014.2016 1.3 c Bài (4,0 điểm) a Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50 b Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; và dư c Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn thì p2 - chia hết cho Bài (4,5 điểm) B n ( n Z , n 3) a Cho biểu thức : Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên b.Tìm các số nguyên tố x, y cho: x2 + 117 = y2 100 c Số viết hệ thập phân có bao nhiêu chữ số Bài (5,0 điểm) Cho góc xBy = 550 Trên các tia Bx; By lấy các điểm A; C ( A B; C B) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho ABD = 300 a Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b Tính số đo của DBC c Từ B vẽ tia Bz cho DBz = 900 Tính số đo ABz Bài (2,0 điểm) a Tìm các chữ số a, b, c khác thỏa mãn: abbc ab ac 7 2015 94 A (7 2012 392 ) b Cho Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho Hết Họ và tên thí sinh: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: (2) Bài (4,5 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP - MÔN : TOÁN NĂM HỌC 2015 - 2016 Nội dung cần đạt 1 2.2 1.3 : ( 3) 18 6 a A= = b B= 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015 =3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012 22 32 42 20152 c C= 1.3 2.4 3.5 2014.2016 1.3 2.4 3.5 2014.2016 (2.3.4 2015).(2.3.4 2015) (1.2.3 2014).(3.4.5 2016) 2015.2 2015 2016 1008 0,5 đ 1,0 đ 0,5đ 0,5 đ x 12 x 12 12 ( 12) a Biến đổi được: (x-3) =144 2 x 15 x Vì x là số tự nhiên nên x = -9 (loại) Vậy x = 15 b Do A = x183y chia cho và dư nên y = Ta có A = x1831 (4,0 đ) Điểm 1,5 đ Vì A = x1831 chia cho dư x1831 - x1830 0,5 đ 1.0 đ 0.5 đ 0,5 đ 0,5 đ x + + + + x + 9, mà x là chữ số nên x = Vậy x = 6; y = (4,5 đ) 0,5 đ c Xét số nguyên tố p chia cho 3.Ta có: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k N*) 0.25đ Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 0.25đ Nếu p=3k+2 thì p2-1 = (3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 0.25đ Vậy p2-1 chia hết cho 0.25đ a Để B nhận giá trị nguyên thì n - phải là ước của 0,5 đ => n - {-1;1;-5;5} => n { -2 ; 2; 4; 8} 0,75 đ Đối chiếu đ/k ta n { -2 ; 2; 4; 8} b Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 y2 = 121 y = 11 (là số nguyên tố) * Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ y2 = x2 + 117 là số chẵn => y là số chẵn kết hợp với y là số nguyên tố nên y = (loại) Vậy x = 2; y = 11 c Ta có : 1030= 100010 và 2100 =102410 Suy : 1030 < 2100 (1) Lại có : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125 Nên : 2100< 1031 (2) Từ (1) và(2) suy số 2100 viết hệ thập phân có 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (3) 31 chữ số A x z 0,5 đ D B C y (5,0 đ) z, a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A và C => AC = AD + CD = + = cm b) Chứng minh tia BD nằm hai tia BA và BC ta có đẳng thức: ABC ABD DBC => DBC ABC ABD = 550 – 300 = 250 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm hai tia Bz và BD 0 0 Tính ABz 90 ABD = 90 −30 =60 - Trường hợp 2: Tia Bz, và BD nằm cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm hai tia Bz và BA 0 , Tính ABz = 900 + ABD = 90 +30 =120 a Ta có: abbc ab ac 7 (1) 100 ab + bc = ab ac ab (7 ac - 100) = bc bc bc ac - 100 = ab Vì < ab < 10 nên < ac - 100 < 10 100 110 14 ac 16 7 100 < ac < 110 Vậy ac = 15 (2,0 đ) thay vào (1) 1bb5 1b 15 7 1005 + 110b = 1050 + 105.b 5b = 45 b =9 Vậy a = 1; b = 9; c = 2015 94 b) Vì 2012 ; 92 là bội nên 2012 và 92 là bội 20122015 4.m m N * ;9296 4.n n N * Khi đó 2012 2012 tøc lµ 2015 2015 m 94 n 392 7 m 34 n 34 1 1 94 392 cã tËn cïng b»ng hay 2012 2015 94 2012 392 > mµ 2012 DÔ thÊy 2015 2015 94 392 10 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 94 392 10 suy 2015 94 A (7 2012 392 ) 5.k; k N Suy A là số tự nhiên chia hết cho 0,25 đ (4)