Đang tải... (xem toàn văn)
Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Hướng dẫn chấm Môn thi: Toán Ngày 13 tháng năm 2016 (Hướng dẫn chấm có 04 trang, gồm 05 câu) Năm học 2015 - 2016 Câu Nội dung a ĐKXĐ: x ≠ , x ≠ , x ≠ ±1 x +1 −2 x 1−x P= + −1 : 2x x +3 x x −3 x − ( x −1 ) x +1 x −1 ¿ − −1 : 2x x ( x +1 ) x ( x − ) ( ( Ta có: ¿ (4,0đ) b Ta có: ) 0,5 ( 31x − 31x − 1) −x −12 x = x2−1x P 2 ta có P 2x x Z x 0,5 0,5 x 1 Ư(2) mà Ư(2) = 1; 2 Từ đó suy x ∈ { −1 ; 0; ; } 0,5 2;3 Kết hợp với ĐKXĐ x 0,25 2x 2x x 1 1 0 0 x x x 0,5 0,5 Kết hợp với ĐKXĐ x và x ≠ , x ≠ 0,25 P 1 c Mà x – < x + nên x – < và x + x và x 0,5 ) x ≠ , x ≠ , x ≠ ±1 Vậy với Điểm Ta có: a3 +b 3+ c − abc= ( a+b )3 −3 a b − ab2+ c − abc (5,0đ) ¿ ( ( a+ b )3 +c ) −3 ab ( a+ b+c ) ¿ ( a+b +c ) ( ( a+b )2 − c ( a+ b ) +c ) −3 ab ( a+ b+c ) ¿ ( a+b +c ) ( a2 +2 ab+b2 −ac − bc+c −3 ab ) ¿ ( a+b +c ) ( a2 +b2 +c −ab − bc − ca ) Ta có: x −11 x 3+ x +11 x − x2 −3=0 ⇔ x ( x2 −1 ) −11 x ( x2 −1 ) +3 ( x −1 )=0 ⇔ ( x −1 ) ( x −11 x +3 ) =0 ⇔ ( x −1 ) ( x +1 ) ( x −1 ) ( x −3 )=0 Vậy tập nghiệm phương trình là S = {±1 ; 13 ; 32 } x − x 2+ x x ( 1− x ) − > −4 3 ( x − ) −3 ( x2 + x ) x ( −3 x ) − 24 ⇔ > 6 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Ta có: 0,5 (2) x −10 − x2 −3 x x −6 x − 24 > ⇔ x − 10− x −3 x >2 x −6 x −24 6 −14 ⇔ x >−14 ⇔ x> − 14 Vậy tập nghiệm bất phương trình là x / x > ⇔ { } 0,5 0,25 0,25 Ta có: x xy y x 40 0 ⇔ ( x − x +1 ) + ( x +2 xy + y )=41 0,75 x 1 x y 41 x 1 25 x 5 Z 2 x y 16 x y 4 Vì x,y , x là số nguyên lẻ và 41 5 nên x; y 3;1 ; 3; ; 2; ; 2; Từ đó suy các cặp cần tìm là Ta có: an = 3n2 + 6n + 13 = 3(n + 1)2 + 10 (4,0đ) a Ta thấy: Nếu an không chia hết cho thì n + không chia hết cho và an { 2; } (mod 5) Do đó, ai, aj không chia hết cho và aj (mod 5) thì + aj 2+3 (mod 5) b Vì n lẻ nên n + chẵn Do đó, an (mod 4) Suy an không thể là số chính phương Vậy không tồn số tự nhiên n để an là số chính phương Hướng dẫn: a Tứ giác MINK là hình thoi b Gọi G, H theo thứ tự là giao điểm MN với AC, AB Ta chứng minh: 0,5 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 2,0 (6,0đ) MG //At Từ đó suy IK At Hướng dẫn: M là trung điểm cạnh AB thì độ dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ 2,0 (3) 2 2 Do z > nên từ xy z + x z + y = 3z , suy xy + x2 y + =3 z z2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương, ta có: 2 ( x y + y ) + x2 + x2 + y2 + 12 ≥ xy 2+ x + y2 =6 ( z )( z z ) ( z z ) 0,25 P= Theo đề ra, ta có: Đặt a= (1,0đ) , b=x2 , z2 z = 4 1+ z ( x + y ) + x + y 4 z c= y 2 (a, b, c > 0), đó: P= a +b 2+ c 2 0,25 Do a 2a – 1, b 2b – 1, c 2c – 1, 2 2 a +b 2ab, b + c 2bc, c + a2 2ca Suy ra: 3(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca + a + b + c) – Mà ab + bc + ca + a + b + c = Do đó: 3(a2 + b2 + c2) Suy P≤ x y + y + x2 + a2 + b2 + c2 x2 y2 + + ≥6 z z z2 0,25 Dấu “=” xảy a = b = c = x= y= z =1 x= y=z =1 Vậy giá trị lớn biểu thức P= x= y=z =1 Chú ý: Thí sinh có thể làm bài cách khác, đúng điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình 0,25 (4)