Tứ giác AEHF nội tiếp và bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn nên IM EF đoạn nối tâm vuông góc với dây chung.. MEI Do đó tứ giác MEIF nội tiếp đường tròn đường kính IM, tâm [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 2x x 1 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số f(x) (x 2).e 2x trên đoạn [–1 ; 2] Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z 3i Tìm môđun số phức w iz z b) Giải phương trình log x log (x 2) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x (2x 1) dx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–2 ; ; 1) và đường thẳng x y z 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d Tìm d: 2 tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) a) Cho góc thỏa mãn 5sin 2 6cos và Tính giá trị biểu thức: A cos sin 2015 co t 2016 2 b) Cho đa giác 12 đỉnh, đó có đỉnh tô màu đỏ và đỉnh tô màu xanh Chọn ngẫu nhiên tam giác có các đỉnh là 12 đỉnh đa giác Tính xác suất để tam giác chọn có đỉnh cùng màu Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) 600 Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CC’ Tính theo a thể tích khối chóp A.BB’C’C và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N) x 3y xy y x y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (x, y R) 3 x y x 14y 12 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường thẳng AH là 3x y , trung điểm cạnh BC là M(3 ; 0) Gọi E và F là chân đường cao hạ từ B và C đến AC và AB, phương trình đường thẳng EF là x 3y Tìm tọa độ điểm A, biết A có hoành độ dương Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 4a 2c b c 1 1 b b a a bc 2ca 2ab a(b 2c) b(c a) c(2a b) –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ và tên thí sinh: …………………………………………… …; Số báo danh: …………………… (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN (Đáp án – Thang điểm gồm 05 trang) Câu Đáp án (Trang 1) Câu 2x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y (1,0 điểm) x 1 * Tập xác định: D \{1} * Sự biến thiên: y' (x 1)2 Vì y’ > 0, x nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ; 1), (1 ;+) Giới hạn và tiệm cận: lim y , lim y ; tiệm cận đứng x = x 1 x 1 Điểm 0,25 0,25 lim y ; tiệm cận ngang y = x Bảng biến thiên x y’ – + + + +∞ 0,25 y –∞ * Đồ thị : y 0,25 O x Câu Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f(x) (x 2).e 2x trên đoạn [–1 ; 2] (1,0 điểm) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [–1 ; 2], f '(x) 2(x x 2)e 2x f '(x) x x x 1 x (1; 2) x (1; 2) 1 f (1) e , f (1) , f (2) 2e e GTLN f(x) trên đoạn [–1 ; 2] 2e4, x = 2, GTLN f(x) trên đoạn [–1 ; 2] – e2 , x = 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) Câu Đáp án (Trang 2) Điểm Câu a) (0,5) Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z 3i Tìm môđun số phức w iz 2z (1,0 điểm) (2 i)z 3i z 2i 0,25 0,25 w iz 2z i(1 2i) 2(1 2i) 5i Vậy | w | 41 b) (0,5) Giải phương trình log x log (x 2) (1) Điều kiện: x > (*) (1) log (x 2x) x 2x x 2x x = – x = Kết hợp với điều kiện (*) suy phương trình (1) có nghiệm x = Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I (2x x 1)3 0,25 dx Đặt t 2x dt 4xdx x = t = 1; x = t = 3 0,25 0,25 0,25 1 1 Khi đó I dt (0,25) (0,25) t 8t 1 0,5 Câu x y z 1 Viết phương trình mặt (1,0 điểm) Cho điểm A(–2 ; ; 1) và đường thẳng d : 2 phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) 0.25 Một vectơ phương d là u (2;1; 2) Mặt phẳng (P) qua A và nhận vectơ u (2;1; 2) làm vectơ pháp tuyến nên 0.25 phương trình nó là 2(x + 2) + y – – 2(z – 1) = hay 2x + y – 2z + = Vì M thuộc d nên M(3 + 2t; + t; – 2t) Khoảng cách từ M đến (P) là: | 2(3 2t) t 2(1 2t) | 0.25 d(M, (P)) | 3t | 2 2 (2) d(M, (P)) | 3t | t = t = –2 Vậy M(3 ; ; 1) M(–1 ; ; 5) 0.25 Câu (1,0 điểm) a) (0,5) Cho góc thỏa mãn 5sin 2 6cos (1) và Tính giá trị biểu thức: A cos sin 2015 co t 2016 Vì nên cos > 0, cot > 0,25 (1) 10sin .cos 6cos cos.(5sin 3) sin (vì cos>0) 25 16 co t 1 cot (vì cot > 0) 9 sin 0,25 A sin sin co t 2sin co t 15 b) (0,5) Cho đa giác 12 đỉnh, đó có đỉnh tô màu đỏ và đỉnh tô màu xanh Chọn ngẫu nhiên tam giác có các đỉnh là 12 đỉnh đa giác Tính xác suất để tam giác chọn có đỉnh cùng màu 0,25 220 Số phần tử không gian mẫu là: | | C12 Gọi A là biến cố chọn tam giác có đỉnh cùng màu Số kết thuận lợi | | 0,25 cho A là: | A | C37 C53 45 Xác suất biến cố A là P(A) A | | 44 (4) Câu Đáp án (Trang 3) Điểm Tính thể tích khối chóp A.BB’C’C và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N) Câu (1,0 điểm) Tam giác ABC cạnh a và M là A' C' trung điểm BC nên: a B' AM BC và AM N AMBC và AA’BCA’M BC H D Góc hai mặt phẳng (A’BC) 0,25 E và (ABC) là A ' MA 600 A C Tam giác A’AM vuông A nên: M a 3a B AA ' AM.tan 600 3 2 Diện tích hình chữ nhật BB’C’C là: SBB'C'C BB'.BC 3a 2 0,25 AM BC và AM BB’ AM (BB’C’C) 1 3a a a Thể tích khối chóp S.ABCD là: V SBB'C'C AM 3 2 Trong mặt phẳng (BB’C’C), B’N cắt BC D 900 Khi đó: C là trung điểm BD và BAD Gọi E là trung điểm AD, ta có: CE AD Dựng CH NE (H NE) AD CE và AD CN AD (CNE) AD CH CH NE và CH AD CH (AB’N) a 3a Ta có: CE AB , CN CC ' 2 1 16 52 3a CH 2 2 13 CH CE CN a 9a 9a 3 9a Do đó: d(M, (AB' N)) d(C, (AB' N)) CH 2 13 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (I) x 3y xy y x y 3 x y x 14y 12 x y (x y)(y 1) 2(y 1) (1) (I) 3 x y x 14y 12 (2) Điều kiện: x 8, y – 1, (x – y)(y + 1) (*) Nếu (x ; y) là nghiệm hệ (I) thì y > – Suy x – y xy xy xy xy Do đó: (1) 20 1 x 2y y 1 y 1 y 1 y 1 Thay x = 2y + vào (2) ta được: 2y y (2y 1) 14y 12 y 2y 4y 10y 11 4( y 2) 3( 2y 1) 4y 10y 0.25 0.25 0.25 (y 3) 2y 1 (3) y 1 2y 2 3 , 2y + > –1 , y 1 2 2y 2y Do đó: (3) y y y 1 2y x = (thỏa (*)) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (7 ; 3) Vì 1 y nên 0.25 (5) Câu Đáp án (Trang 4) Điểm Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình (1,0 điểm) đường thẳng AH là 3x y , trung điểm cạnh BC là M(3 ; 0) Gọi E và F là chân đường cao hạ từ B và C đến AC và AB, phương trình đường thẳng EF là x 3y Tìm tọa độ điểm A, biết A có hoành độ dương A H I F B H I E F J M C A C E J M B Gọi I trung điểm AH Tứ giác AEHF nội tiếp và bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn nên IM EF (đoạn nối tâm vuông góc với dây chung) ABE (cùng phụ góc A cùng phụ góc EHF) Ta có: IEF EMF IME và: ABE 900 MFI MEI 900 MEI Do đó tứ giác MEIF nội tiếp đường tròn đường kính IM, tâm là trung điểm J IM (Đường tròn (J) là đường tròn Euler) Đường thẳng IM qua M và vuông góc EF nên có phương trình: 3x + y – = I là giao điểm AH và IM nên tọa độ điểm I là nghiệm hệ phương trình: 3x y 3x y I(1; 6) Đường tròn đường kính IM có tâm J(2 ; 3) và bán kính r JM 10 nên có phương trình: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 10 Tọa độ điểm E là nghiệm hệ phương trình: x 3y 2 x y 3 10 x 3y x 1 x E(5 ; 4) E(–1;2) y y 3 y Vì A AH nên A(a ; 3a + 3) Ta có: IA IE IA IE (a 1)2 (3a 3)2 20 a Vì A có hoành độ dương nên A(1 2; 2) 0.25 0.25 0.25 0.25 (6) Câu Đáp án (Trang 5) Câu 10 4a 2c b c (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 1 1 b b a a bc 2ca 2ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a(b 2c) b(c a) c(2a b) Đặt x , y , z (x, y, z > 0) a b c x y x y3 (*) Điều kiện đã cho trở thành: xyz y x Điểm (x y) Ta có: x y3 và (x y)2 4xy Do đó: x y3 (x y)3 xy(x y) x y xyz 4xyz 4xyz z Mặt khác x y xy x y3 xy x y 2 4 0 nên z xyz z y x y x Ta có: P x y 4z x2 y2 4z y 2z 2z x x y xy 2zx 2yz xy x y 0.25 (x y)2 4z (x y)2 4z 2(x y) 4z 2xy 2z(x y) x y (x y) x y x y 4z x y 2z(x y) xy z Suy ra: P xy xy 4 z z xy 2t Đặt t , t Ta có P z t4 t 2t Xét hàm số f (t) (0 t 2) t4 t 0.25 f '(t) 4(t 8t 16) t (t 4) 0.25 0, t (0; 2] f(t) nghịch biến trên (0 ; 2] Suy ra: P f (t) f (2) x y P x y x y z 2a b 4c z Vậy giá trị nhỏ P là , 2a = b = 4c 0.25 Chú ý: Những cách giải khác đáp án, đúng cho điểm tối đa Tùy theo thang điểm đáp án mà giám khảo cho điểm tương ứng –––––––––––– Hết –––––––––––– (7)