b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật. Chứng minh rằng HF = 4FJ. c) Gọi I là trung điểm FJ và P là giao điểm của EH và DB.. Chứng minh IG [r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ (NĂM HỌC 2017 – 2018)
HÀ NỘI – AMSTERDAM Mơn : TỐN LỚP
Tổ Toán – Tin học Thời gian làm : 120 phút
Bài (2.5 điểm) Cho biểu thức
2
3
1 2 4 1
: .
2 8 2 4
x x x
P
x x x x
a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P
c) Tìm số nguyên x để P x 1 Bài (2 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2
2 3
; ;
A x x x
B a b c a b b c c a abc
Bài (1 điểm)
Cho hai đa thức P x x3axbvà Q x x23x2. Xác định hệ số ,a b
cho với giá trị x P x Q x
Bài (3.5 điểm)
Cho hình thoi ABCD có góc D 600 Gọi E, H, G, F trung điểm AB,
BC, CD DA
a) Chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật
b) Cho AG cắt HF J Chứng minh HF = 4FJ
c) Gọi I trung điểm FJ P giao điểm EH DB Chứng minh IG vng góc với IP
d) Cho AB = 2cm Tính độ dài IP Bài (1 điểm)
a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn (a + b + c)(ab + bc + ca) = 2017 abc = 2017 Tính giá trị biểu thức Pb c2 2017c a2 2017a b2 2017
b) (Dành riêng cho lớp 8A) Tìm số tự nhiên x n, cho số p = x4 + 24n+2 số nguyên tố
-Hết -
(2)GỢI Ý ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM I
Cho biểu thức
2
3
1
:
2
x x x
P
x x x x
2,5đ
a Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P 1,5
ĐKXĐ x 2 0,5
2 2 2
1
2 (2 )
1
( 2)
2 ( 2)( 2)
2
x x x
P x
x x x x x
x
P x x
x x x
P x x x x
b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 0,5
Có
2
2 7
2
2 4
Px x x
(vì
2 2 x x ) 0,25
Dấu “=” xảy
2 1 2 x x
minP =
4
0,25
c Tìm số nguyên x để P 0,5
Có
2
2 2
2
1
1 1
P x x x
x x x
0,25
Để Mà x2+1= x +1( )
x -1
( )+ Từ suy Vậy x2+1= 1;2
(do > 0) Suy x = ; ; - (thoả mãn)
0,25
II Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2đ a
3
3 2
2
2
2
2 2
2 ( 1) ( 1)(2 3)
( 1) 2
A x x
A x x x x
A x x x x
A x x x
b
2 2 2
2 2 2
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
B a b b c c a abc
B ab ac b bc c a abc
B abc a b ac a c b c b a bc abc abc
B a b a c abc b c b a abc ac bc abc
B a ab ac bc b bc ba ac c ca bc ab
B a b c ab ac bc
III Cho đa thức P(x) = x3+ ax + b
đa thức Q(x) = x2- 3x + 2 Xác định các số a, b cho P(x) Q(x)
1đ
(3)Để (a7)x b 6 7
6
a a
b b
0,5
Lưu ý: Học sinh giải theo hướng sau:Do Q x x1x nên 2
1
2
P
P x Q x
P
Từ đó, giải a 7,b6
IV 3,5đ
a Chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật 1đ
Có EF // BD (đường trung bình ∆ABD) FG // AC (đường trung bình ∆ABC) Mà AC BD => EF FG => = 900
0,5
Chứng ming tương tự có = 900, = 900
Tứ giác EFGH có góc vng => EFGH hình chữ nhật
0,5
b Cho AG cắt HF J Chứng minh HF = 4FJ 1đ
Có F, H trung điểm AD, BC => FH // CD
Xét ∆ADG có FJ // DG, F trung điểm AD => FJ đường trung bình
1
FJ DG
0,5
Mà ,
2
DG DC DC FH
4
FJ FH
hay FH 4FJ (đpcm) 0,5
c Gọi I trung điểm FJ P P giao điểm EH DB Chứng minh IG vng góc với IP
1đ
Xét ∆ACD có = 600 => ∆ACD => AG DC => GJ FH (1)
Gọi K trung điểm GJ
=> IK // GF (đường trung bình ∆JFG) Mà FG GH (EFGH hcn) => IK GH (2)
0,5
Từ (1) (2) => K trực tâm ∆FGH => HK IG (3)
Có 1
2
IK FG EH PHvà IK // PH
=> IKHP hình bình hành => IP // KH (4) Từ (3) (4) => IP IG (đpcm)
0,5
d Cho AB = 2cm Tính độ dài IP 0,5đ
Có 1( )
2
FG AC cm , 1 1( )
2
(4)∆JGI vuông J =>
2
2 2
1
2
IG GI IJ
∆ABC BD2 3(cm) HG 3(cm)
1 1
( )
2
HP EH AC cm
∆GPH vuông H =>
2
2
2 13
3
2
GP HP GH
∆IGP vuông I =>
2
2 13
( )
2
IP GP GI cm
0,25
V 1đ
a Cho ba số a, b, c thỏa mãn (a + b + c)(ab + bc + ca) = 2017 abc = 2017 Tính giá trị biểu thức P = (b2c + 2017)(c2a + 2017)(a2b + 2017)
0,5
Từ giả thiết suy (a + b + c)(ab + bc + ca) = abc
a2b + ab2 + a2c + ac2 + b2c + bc2 + 2abc =
(a + b)(b + c)(c + a) =
0,25
Nếu a + b = a = - b Do abc = 2017 -b2c = 2017 b2c + 2017 = P =
0
Tương tự với b + c = c + a = suy P =
0,25
b
Tìm số tự nhiên x,n cho x4 + 24n+2 số nguyên tố 0,5
Đặt 4
2 n
Ax
2 2
4 4 2 2
2 2
2 2
2 2 2
n n n n
n n n n
x x x x
x x x x
Để A số nguyên tố
2
2
2 2 2
n n
n n
x x
x x
0,25
Vì x2+ 22n+1+ 2x.2n > x2+ 22n+1- 2x.2n với số tự nhiên Suy
2
2n 2n
x x
2
2
2 2
2
2
n n
n n
n
x x
x
n
=> x2-1 = <=> x = 1
x = -1 é ë
ê => x = 1(vì x )
Thử lại KL
