Thuật toán của fortune về xác định biểu đồ voronoi trong mặt phẳng

1 MỤC LỤC Mở đầu Biểu đồ Voronoi tam giác phân Delaunay 1.1 Kiến thức tập lồi 1.2 Biểu đồ Voronoi 1.3 Tam giác phân Delaunay 18 Thuật tốn tìm biểu đồ Voronoi 20 2.1 Bài toán 20 2.2 Minh họa ý tưởng 20 2.3 Thuật toán 20 2.4 Phần mềm thực thi thuật toán 23 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU A Lịch sử vấn đề toán đặt Bài tốn tìm Biểu đồ Voronoi tốn hình học tính tốn nhiều nhà khoa học nghiên cứu phát triển thuật tốn chèn điểm (tăng dần) Preparata Shamos (1985) (Xem [6]), thuật toán xây dựng lưới tam giác Delaunay nhà tốn học người Nga Delaunay (1934), thuật tốn qt tìm biểu đồ Voronoi Fortune (1987) (Xem [4]) Biểu đồ Voronoi cấu trúc hình học đa tác dụng Nó có ứng dụng vị trí địa lý xã hội Ngồi ra, biểu đồ Voronoi cịn có ứng dụng vật lý, thiên văn học, Rô-bốt nhiều lĩnh vực khác Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu "Thuật tốn Fortune xác định biểu đồ Voronoi mặt phẳng" Cụ thể trình bày lại thuật tốn xác định biểu đồ Voronoi mặt phẳng (Xem [4]), lấy ví dụ minh họa cho thuật toán B Bố cục luận văn: Gồm chương: Chương Biểu đồ Voronoi tam giác phân Delaunay Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức làm sở cho luận văn, bao gồm: • Kiến thức tập lồi tính chất • Định nghĩa biểu đồ Voronoi, tính chất ví dụ • Định nghĩa tính chất tam giác phân Delaunay Chương Thuật tốn tìm biểu đồ Voronoi mặt phẳng Đây chương thể kết luận văn, bao gồm vấn đề: • Nêu tốn luận văn • Trình bày ý tưởng thuật tốn • Nêu thuật tốn •Giới thiệu phần mềm minh họa cho thuật tốn Luận văn hồn thành Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Phan Thành An Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy - người đặt vấn đề hướng dẫn tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, PGS.TS Nguyễn Ngọc Bội, TS Nguyễn Duy Bình người quan tâm giảng dạy động viên tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS khoa Sau đại học Đại học Vinh, Viện toán học, người tham gia quản lý, giảng dạy giúp đỡ hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả gửi lời cảm ơn tới tập thể K16 Hình học - Tơpơ, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ động viên tác giả trình hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG BIỂU ĐỒ VORONOI VÀ TAM GIÁC PHÂN DELAUNAY Giả sử En không gian Euclidean n - chiều, R tập số thực Trong luận văn ta xét không gian chiều Gọi p(px , py ), q(qx , qy ) ∈ E2 Ta kí hiệu: d(p, q) = (px − qx )2 + (py − qy )2 khoảng cách hai điểm p q mặt phẳng 1.1 Kiến thức tập lồi Giả sử x, y ∈ E2 , λ ∈ [0; 1] Đoạn thẳng [x; y] tập hợp {λx + (1 − λ)y} - Nếu x = y , phần [x, y] tập hợp {λx + (1 − λy) , < λ < 1}, kí hiệu ]x, y[ - Nếu x = y , phần [x, y] chứa điểm x tập hợp {λx + (1 − λy) , < λ ≤ 1}, kí hiệu [x, y[ - Nếu x = y , phần [x, y] chứa điểm y tập hợp {λx + (1 − λy) , < λ ≤ 1}, kí hiệu ]x, y] 1.1.1 Định nghĩa (Xem [8]) Giả sử S ⊂ E2 , tập S gọi lồi với x ∈ S , y ∈ S [x, y] ⊂ S Ví dụ S = (x, y) ∈ E2 : x ≥ E2 (x, y) ∈ E2 : y > x tập lồi 1.1.2 Định nghĩa (Xem [9]) x ∈ E2 , x gọi tổ hợp lồi x1 , , xm tồn λi ≥ (i = 1, , m), m i=1 λi = cho x = m i=1 λi xi 1.1.3 Mệnh đề (Xem [9]) Giả sử S ⊂ E2 tổ hợp lồi; x1 , x2 , , xm ∈ S Khi đó, với ∀λi ≥ (i = 1, 2, , m), m i=1 λi = m i=1 λi xi ∈ S Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp Với m = 2, λ1 , λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1; x1 , x2 ∈ S Theo định nghĩa 1.1.1 ta có λ1 x1 + λ2 x2 ∈ S Giả sử mệnh đề với m = k, ∀k ≥ ta cần chứng minh mệnh đề với m = k + 1, nghĩa là: ∀x1 , x2 , , xk+1 ∈ S, ∀λi ≥ (i = 1, k + 1), m i=1 λi = x: = λ1 x1 + λk xk + λk+1 xk+1 ∈ S Khơng tính tổng qt ta giả sử ≤ λk+1 < (vì λk+1 = 1) λ1 = λ2 = = λk = suy ta có x ∈ S ) Khi − λk+1 = λ1 + λ2 + + λi λ1 λi λk > ≥ (i = 1, 2, , k) ⇒ = + + = − λk+1 − λk+1 − λk+1 λi k i=1 − λk+1 λi λi Vậy ki=1 = nên theo giả thiết quy nạp ta có ki=1 ∈ − λk+1 − λk+1 xi S Với điểm y ∈ S xk+1 ∈ S , ta có − λk+1 , (1 − λk+1 ) + λk+1 = 1, x = (1 − λk+1 )y + λk+1 xk+1 ∈ S 1.1.4 Mệnh đề (Xem [8]) Giả sử A ⊂ E2 Khi A tập lồi (α + β) A = αA + βA với α ≥ 0, β ≥ 1.1.5 Mệnh đề (Xem [9]) Nếu A tập lồi bao đóng clA A tập lồi Chứng minh Lấy x0 , x1 ∈ clA Đặt x := λx0 +(1 − λ)x1 với ≤ λ ≤ Giả sử U lân cận lồi điểm Do x0 , x1 ∈ clA nên (xi + U ) ∩ A = φ, (i = 0, / / / 1) Suy tồn xi ∈ (xi + U ) ∩ A, (i = 0, 1) Đặt x/ := λx0 + (1 − λ)x1 , dễ / / thấy x/ ∈ A x0 , x1 ∈ A Khi x/ ∈ λ(x0 +U )+(1−λ)(x1 +U ) = x+U Do (x + U ) ∩ A = φ, suy x ∈ clA Vậy clA tập lồi 1.1.6 Mệnh đề (Xem [9]) (a) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) tập lồi tập lồi (b) Ảnh nghịch ảnh tập lồi qua ánh xạ tuyến tính tập lồi 1.1.7 Mệnh đề (Xem [8]) Giao họ tùy ý tập lồi tập lồi Chứng minh Giả sử Ai (i ∈ i) tập lồi Đặt A = i∈I Ai Lấy x1 , x2 ∈ A, hiển nhiên x1 , x2 ∈ Ai , ∀i ∈ I Mặt khác Ai lồi, với ∀i ∈ I nên ta có: λx1 + (1 − λ) x2 ∈ Ai , ∀λ ∈ [0, 1] , ∀i ∈ I Suy λx1 + (1 − λ) x2 ∈ Ai , ∀λ ∈ [0, 1] 1.1.8 Định nghĩa (Xem [9]) Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi A Ký hiệu: convA 1.1.9 Nhận xét (Xem [9]) (a) convA tập lồi nhỏ chứa A (b) A tập lồi A = convA 1.1.10 Mệnh đề (Xem [9]) convA tập hợp tất tổ hợp lồi A 1.1.11 Mệnh đề (Xem [3]) Bao lồi họ hữu hạn điểm E2 hình đa giác lồi có đỉnh thuộc họ điểm cho 1.1.12 Định nghĩa (Xem [3]) Ta gọi x ∈ M điểm cực biên tập lồi M x ∈ [y, z] ; y, z ∈ M x = y x = z 1.2 Biểu đồ Voronoi 1.2.1 Định nghĩa (Xem [1], [4], [6]) • Cho P = {p1 , p2 , , pn } tập n điểm phân biệt mặt phẳng Eu- clidean gọi chúng vị trí Biểu đồ Voronoi phân hoạch phẳng P thành n miền Mỗi miền ứng với điểm P cho điểm q thuộc miền ứng với pi d(p, pi ) ≤ d(q, pj ) với pj ∈ P , i = j Ký hiệu Vor(P) • Miền Voronoi ứng với pi , ký hiệu V or(pi ) V (pi ) = {x : d(pi , x) ≤ d(pj , x), ∀j = i} 1.2.2 Ví dụ (Xem [6]) Xét điểm p1 , p2 E2 Đặt B(p1 , p2 ) = B12 đường trung trực cạnh p1 p2 Với điểm x thuộc B12 ta có khoảng cách từ điểm x đến p1 khoảng cách từ x đến p2 (Xem Hình 1.1) Vì vậy, biểu đồ Voronoi miền không bị chặn Hai miền hai nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng B12 x p1 p2 B12 Hình 1.1: Hình biểu diễn hai vị trí p1 p2 Ta có: V or(p1 ) = {x : d(p1 , x) ≤ d(p2 , x)} V or(p2 ) = {x : d(p2 , x) ≤ d(p1 , x)} 1.2.3 Ví dụ Cho điểm p1 , p2 , p3 E2 Ta có tam giác p1 p2 p3 chứa đường trung trực B12 , B23 B31 (như hình vẽ) Do giao điểm p2 B23 B12 O p3 p1 B31 Hình 1.2: Ba vị trí: p1 , p2 p3 đường trung trực B12 , B23 B31 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác p1 p2 p3 Vì vậy, biểu đồ Voronoi miền không bị chặn tạo tia OB23 ∩ OB31 ; OB23 ∩ OB12 OB12 ∩ OB31 V or(p1 ) = {x : d(p1 , x) ≤ d(p2 , x)} ∩ {x : d(p1 , x) ≤ d(p3 , x)} V or(p2 ) = {x : d(p2 , x) ≤ d(p1 , x)} ∩ {x : d(p2 , x) ≤ d(p3 , x)} V or(p3 ) = {x : d(p3 , x) ≤ d(p2 , x)} ∩ {x : d(p3 , x) ≤ d(p1 , x)} 1.2.4 Tính chất (Xem [6]) Mọi miền Voronoi V (pi ) tập lồi 1.2.5 Nhận xét (Xem [4]) V or(pi ) = h(pi , pj ) 1≤j≤n Do V (pi ) phần giao (n - 1) nửa mặt phẳng nên không bị chặn, miền đa giác lồi, mở giới hạn (n - 1) đỉnh (n - 1) cạnh Hình 1.3: 1.2.6 Ví dụ Trong mặt phẳng cho P = {p1 , p2 , p3 } với p1 (0; 0), p2 (4; 0), p3 (4; 4) Tìm Vor(pi ) Gọi Bij đường trung trực đoạn thẳng pi pj , ∀i = j , i, j = 1, 2, Ta viết phuơng trình đường trung trực Bij là: B12 : x - = B13 : x + y - = 10 B23 : y - = Gọi (hij ) , ∀i = j , với i, j = 1, 2, nửa mặt phẳng chứa pi với biên đường trung trực Bij Khi đó: V (pi ) = V (p1 ) = h12 ∩ h13 = (x; y) ∈ E2 : V (p2 ) = h21 ∩ h23 = (x; y) ∈ E2 : V (p3 ) = h31 ∩ h32 = (x; y) ∈ E2 : hij Vậy ta có: x−2 ≤0 x+y−4≤0 x−2 ≥0 y−1 ≤0 y−1 ≥0 x+y−4≤0 i=j Hình 1.4: 1.2.7 Định lý (Xem [4]) Cho P = {p1 , p2 , , pn } tập vị trí mặt phẳng Nếu tất vị trí nằm đường thẳng Vor(P) (n - 1) đường song song Ngược lại, V or(pi ) (i = 1, 2, , n) liên thông cạnh đoạn thẳng nửa đường thẳng 1.2.8 Định lý (Xem [4]) Cho tập P = {p1 , p2 , , pn } tập gồm n điểm mặt phẳng Với n ≥ 3, biểu đồ Voronoi Vor(P) có nhiều 2n − đỉnh 3n − cạnh 16 pj pj pk pi pk pi q q C l l Hình 1.6: điểm tiếp xúc đường tròn C đường thẳng l thừa nhận βj xuất cung βi βk Đường thẳng l tiếp tục di chuyển từ xuống đường trịn C tiếp xúc với đường l đường tròn đường tròn khác rỗng qua pj Một hai vị trí pi pk lọt vào bên đường tròn Bởi vậy, lân cận đủ nhỏ điểm q parabol βj khơng thể xuất q trình đường thẳng l di chuyển từ xuống khoảng cách từ pi pk đến đường l gần khoảng cách từ vị trí pj đến đường l Hình 1.7: 1.2.13 Hệ (Xem[4]) Cho tập P = {p1 , p2 , , pn } tập gồm n điểm 17 mặt phẳng Có tối đa (2n - 1) đường cong parabol Mỗi có vị trí tham gia làm tăng thêm đường chia tối đa đường làm hai 1.2.14 Bổ đề (Xem [4]) Sự kiện điểm (ai ) ∈ P (1) Đường quét l quét qua điểm Áp dụng tìm kiếm đường l để xác định cung phía vị trí Cho aj vị trí tương ứng (2) Vận dụng trình chèn phân chia cung phía vị trí , chèn vị trí danh sách Q Do thay < , aj , > < , aj , , aj , > (3) Tạo cạnh biểu đồ Voronoi Cạnh nằm đường trung trực aj , phân chia miền Voronoi V (ai ) V (aj ) (4) Kiểm tra ba cung liên tiếp aj , , aj ta gọi cung bên trái , cung cung bên phải cung Xem xét tính hội tụ điểm gãy cung bên trái để chèn kiện đường tròn Làm tương tự cung bên phải Sự kiện đường tròn Cho điểm , aj ak điểm sinh kiện (1) Vận dụng q trình xóa cung aj từ đường bờ biển Do vậy, loại cung (2) Tạo đỉnh biểu đồ Voronoi Điểm cách điểm , aj ak nối liền hai cạnh Voronoi đường trung trực aj , aj , ak với đỉnh (Những cạnh sinh thời gian sớm vị trí có kiện bước (2) nêu trên) (3) Tạo cạnh trung trực ak (4) Xóa kiện nảy sinh từ ba cung dính dáng đến cung 18 aj , phát kiện tương ứng với ba cung liên tiếp ak 1.3 Tam giác phân Delaunay 1.3.1 Định nghĩa Cho tập: P = {p1 , p2 , , pn } gồm n điểm E2 Phép tam giác phân tập P cho đường tròn qua đỉnh tam giác khơng chứa vị trí khác, gọi phép tam giác phân Delaunay, Kí hiệu : D(P ) 1.3.2 Tính chất (Xem [6]) Phần mặt tam giác phân Delaunay khơng chứa vị trí pi (i = 1, 2, , n) 1.3.3 Tính chất (Xem [4], [6]) Nếu P có k đỉnh nằm bao lồi D(P ) có (2n − − k) tam giác (3n − − k) cạnh Chứng minh Gọi n, nv , ne số đỉnh, số tam giác số cạnh D(P ).Theo giả thiết P có k đỉnh nằm bao lồi nên D(P ) có k cạnh biên Vì cạnh biên cạnh tam giác cạnh cạnh biên, cạnh chung tam giác nên số cạnh D(P ) : ne = 3nv − k + k = (3nv + k) 2 Mặt khác, theo hệ thức Euler ta có (1.3.1) : n − ne + (nv + 1) = (1.3.2) Từ ( 1.3.1 ) ( 1.3.2 ) ta có điều phải chứng minh 1.3.4 Tính chất (Xem [6]) D(P ) khơng có điểm P nằm đường tròn 1.3.5 Mối liên hệ biểu đồ Voronoi tam giác phân Delaunay (Xem [6]) 19 Mỗi mặt (Tam giác) D(P ) tương ứng với đỉnh V (P ) Mỗi cạnh D(P ) tương ứng với cạnh V (P ) Tâm v đường tròn C(v) qua điểm p1 , p2 , p3 tương ứng với tâm đường tròn tam giác phân Delaunay Trong 1.2.2 (pi pj ) cạnh D(P ) Ngược lại, Với cạnh Delaunay có đường trịn rỗng Hình 1.8: Tam giác phân Delaunay biểu diễn nét đứt nằm chồng lên tương ứng với biểu đồ Voronoi nằm biểu diễn nét liền 20 CHƯƠNG THUẬT TỐN TÌM BIỂU ĐỒ VORONOI 2.1 Bài toán Bài toán : Trong E2 cho tập P = {p1 , p2 , , pn } gồm n điểm Tìm biểu đồ Voronoi tập P 2.2 Minh họa ý tưởng Ý tưởng giải toán sử dụng đường trượt l, phương nằm ngang có phương trình y = ly , trượt từ xuống qua vị trí pi với i = 1, 2, 3, Sắp xếp vị trí pi có tung độ theo thứ tự từ cao đến thấp Giả sử vị trí là: a1 , a2 , a3 , Trượt l từ xuống để vẽ parabol có đường chuẩn đường thẳng l, tiêu điểm vị trí a1 , a2 , a3 , Sau cặp parabol giao theo giao điểm Các giao điểm đỉnh Voronoi Các đỉnh nằm cạnh biểu đồ Voronoi Dựa vào định nghĩa tính chất chương I ta xác định biểu đồ Voronoi cần tìm 2.3 Thuật tốn 2.3.1 Thuật tốn (Xem [4]) Input: Output: Một tập P = {p1 , p2 , , pn } gồm n điểm mặt phẳng V (P ) 21 Begin Step 1: Sắp xếp danh sách điểm pi (i= 1, 2, , n) theo thứ tự có tung độ giảm dần Các vị trí sau xếp Q = {a1 , a2 , , an }, (j = 1, 2, ,n) Step 2: While Q = Ø • Lấy kiện điểm a có tung độ lớn khỏi Q • Nếu a := pi ∈ P xử lý kiện điểm pi • Ngược lại xử lý kiện đường tròn Step 3: Cập nhật đỉnh cạnh Voronoi cách thích hợp để biểu đồ Voronoi end 2.3.2 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho tập P = {p1 , p2 , p3 , p4 , p5 } gồm điểm p1 (2; 0), p2 (−1; −2), p3 (1; 2), p4 (0; 3), p5 (−2; −3) Tìm Vor(P) Bước 1: Sắp xếp vị trí p1 , p2 , p3 , p4 , p5 theo thứ tự có tung độ giảm dần là: a1 = p4 , a2 = p3 , a3 = p1 , a4 = p2 , a5 = p5 Bước 2: Tại vị trí a1 : • Khi ly = , ta có cung β1 đường thẳng x = 3, parabol β1 có độ rộng Tại vị trí a2 : Khi ly = 2, ta có β2 đường thẳng, parabol β2 có độ rộng • Khi 0