de thi

Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường 0,25 vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh... Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) Câu 1: (4,5 điểm)  2   A  :    :    15   11 22  1) Tính giá trị biểu thức:   12    x  : 2 2) Tìm x, biết:   13 3) Tính giá trị biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn: (x - 2)4 + ( 2y - 1)2014 0 Câu 2: (4,5 điểm) x y y z  ;  1) Tìm các số x, y, z biết: và x  y  z  14 2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + ) > 3 1  1  15  x  :      2  3  3) Tìm số nguyên x, biết rằng: 7 Câu 3: (5,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức M = 4x + 4y + 21xy(x + y) + 7(x3y2 + x2y3) + 2014, biết x + y = 2) Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a, b, c, d là các hệ số nguyên Biết rằng, p(x) 5 với x nguyên Chứng minh a, b, c, d chia hết cho 1 1 1 1 A 2013 A 1      B 1      4026 , 4025 So sánh B với 2014 3) Cho Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C) Trên tia đối tia CB, lấy điểm E cho CE = BD Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt BA M Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt tia AC N MN cắt BC I 1) Chứng minh rằng: DM = EN 2) Chứng minh IM = IN; BC < MN 3) Gọi O là giao đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN I Chứng minh rằng: BMO CNO Từ đó suy điểm O cố định Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E    ECB  ABD (E nằm B và D) Chứng minh DAE cho DAE Hết Họ và tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA Câu Câu 1: 4,5đ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Hướng dẫn Điểm      22  A :  :      9 22 3   1) (1,5đ) 1,5 13 12 1 x 13  x  2) (1,5đ) Ta có:   3) (1,5đ) Vì (x - 2) 0; (2y – 1) 2014  với x, y nên (x - 2)4 + (2y – 1) 2014  Mà (x - 2)4 + (2y – 1) 2014  Suy (x - 2)4 = và (2y – 1) 2014 = suy x = 2, y = 1,5 Khi đó M = 44 x y y z x y z  ;     12 16 1) (1,5đ) Từ x y z 2x y z x  y  z  14         Vậy: 12 16 18 12 16 18 12  16 14 Suy x = -9; y = -12; z = -16 Câu 2: 4,5đ 2 2) (1,5đ) Từ (x - 2)(x + ) > suy x – và x + cùng dấu Dễ thấy x – < x + nên ta có:  x – và x + cùng dương  x – >  x > 2 2  x – và x + cùng âm  x + <  x < - Vậy x > x < - 3  2 31 15    15   8 3)(1,5đ) Ta có 7   35 1  1   :      14 2  3  31 x   9;10;11;12;13;14 Do đó: 35  x  14 , vì x nguyên nên Câu 3: 1)(1,5đ) M = 4(x + y) + 21xy(x + y) + 7x2y2(x+ y) + 2014 = 2014 (5.0đ) (Vì x + y = 0) 2)(2,0đ) Vì p(x) 5 với x nguyên nên p (0) = d  p (1) = a + b + c + d 5 (1) p (- 1) = - a + b - c + d 5 (2) Từ (1) và (2) suy : 2(b + d) 5 và 2(a + c) 5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 1,5 0,25 0,5 0,25 Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = nên b+ d 5 suy b5 p (2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d  5; b5 nên 8a + 2c 5, kết hợp với 2(a + c) 5 suy 6a 5 suy a 5 vì (6,5) = từ đó c 5 Vậy a, b, c, d chia hết cho 1 1 C  A  B      4026 3)(1,5đ) Đặt 1 1 1 1 B 1            C 4025 4026 Ta có (1) 2013 1 1 1 1           C 4026 2  2 2    2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 2013 sohang Lại có  C  2013 (2) C  C  2013B  2014C 2013 Từ (1) và (2) suy C 2013 CB 2013 A 2013   1  1 B 2014 B 2014 Do đó: B 2014 B 0,25 0,5 Câu 4: (4,5đ) 1) (1,5đ)   Tam giác ABC cân A nên ABC  ACB; Do đó: MDB NEC ( g c.g )  DM EN  NCE  ACB; (đối đỉnh) 2) (1,5đ)Ta có MDI NEI ( g c.g )  MI NI Vì BD = CE nên BC = DE Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN Suy BC < MN 3)(1,5đ) Ta chứng minh được:  ABO ACO (c.g c)  OC OB , ABO  ACO 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 MIO NIO(c.g.c)  OM ON Lại có: BM = CN, đó BMO CNO(c.c.c)        MBO NCO , Mà: MBO  ACO suy NCO  ACO , mà đây là hai góc kề bù nên CO  AN 0,25 0,5 Vì tam giác ABC cho trước, O là giao phân giác góc A và đường 0,25 vuông góc với AC C nên O cố dịnh Câu 5: Vẽ AF vuông góc BD, CG vuông góc BD, CH vuông góc với AE Ta có (1,5đ) ABF CAH (cạnh huỳen – góc nhon) Suy ra: AF = CH ADF CDG (ch  gn) suy AF = CG 0,25 Từ đó ta có CH = CG   CEH CEG (ch  cgv)  CEH CEG ;       Mà CEG EBC  ECB; CEH EAC  ECA;     Do đó: EBC  ECB EAC  ECA; (1)     EBA  EBC ECB  ECA ; Măth khác: lấy (1) trừ (2) theo vế ta có: 0,5 (2)       ECB  EBA EAC  ECB EBA  ECB    EBA ECB    ECB  ABD nên DAE Mà DAE Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình vẽ hình sai thì không chấm điểm 0,5 0,25