kiem tra 1tieets chuong 3

ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.. Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng đáy bằng 600.[r]

SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT TRẠI CAU Độc lập - Tự _ Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề 2x  x Câu I: (4,0 điểm) Cho hàm số: (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang A, B cho AB  IB , với I (2, 2) Câu II:( 5,0 điểm) y  x  y   2x 1  y 1    x  y   x  y   3x  y 4 Giải hệ phương trình:  ( x, y  ) sin 2x  3tan 2x  sin x 2 tan x  sin x Giải phương trình: Câu III:( 4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5,  7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x  y  0 Đường thẳng qua D và trung điểm đoạn AB có phương trình: x  y  23 0 Tìm tọa độ B và C , biết điểm B có hoành độ dương Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R ) Gọi P, Q là các điểm di động trên  cung nhỏ AB , AC cho P, Q, O thẳng hàng Gọi D , E là hình chiếu vuông góc P lên các đường thẳng BC , AB tương ứng và D ', E ' là hình chiếu vuông góc Q lên các đường thẳng BC , AC Gọi K là giao điểm hai đường thẳng DE và D ' E ' Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KDD ' (theo R ) Câu IV:( 3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng ( SCD ) và mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và DB theo a Câu V:( 2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P a  b2  c    a  1  b  1  c  1  u1  2013   Câu VI:(2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định: un (2  9un 1 ) 2un1 (2  5un ), n 1 u u u      n  u1  u2  un Tìm lim Xét dãy số HẾT TRƯỜNG THPT TRẠI CAU ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016 Câu I Ý Lời giải Cho hàm số: TXĐ: y 2x  x  Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số  phương trình đường TCN: y = x   lim y  ;lim y  x  2 y/  0,25 D R \  2 lim y 2 x  2 1  x  2 Điểm 2,0 0,5  phương trình đường TCĐ: x =  x  D  Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định Hàm số không có cực trị Bảng biến thiên: Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0) Đồ thị: 0,5 0,25 0,25 0,25 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm 2,0 cận đứng và tiệm cận ngang A, B cho AB  IB , với I(2;2) 0,5  2x   M  x0 ;   (C ) x0    Gọi y   x0   x x02  x0   x0   PTTT (C) M: Do AB  IB và tam giác AIB vuông I  IA = IB nên hệ số góc tiếp 1 y/  0 x  2  tuyến k = k = -1 vì nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1  II 1  x0  1 0,5 0,5  x0 1     x0 3  có hai phương trình tiếp tuyến: y  x  ; y  x  0,5  x  y   x 1  y 1    x  y   x  y   3x  y 4 Giải hệ phương trình:  2,5   x    y  Đk:  (1) x, y   (2) 0,5 2  x  y  0  x   y  3 x  y  y  0    x  y  0 (loai ) Pt(2) x  y   xy   x 1  y 1  Pt(1)   x  y   xy    x  y    xy   x  y         1,0 1,25  xy   xy  3  xy    xy  0    xy   xy  8 (loai ) (  x  y  4 xy  xy   0) Hệ đã cho tương đương:  x  y 1   3 xy    x   2   y 3   x     y    3  1   ;  ,  ;  Vậy hệ phương trình có nghiệm:  2   2  0,75 sin x  3tan x  sin x 2 tan x  sin x Giải phương trình: cos x 0  Đk:  tan x  sin x 0 (*) 2,5 0,5 Pt tương đương: 3sin x  tan x  sin x 0  3sin x cos x  sin x  sin x cos x 0 0,75   cos x  1  sin x  sin x  0   cos x   cos x  0     sin x 0   sin x  sin x 0   cos x      x   k   x k     x   k   x   k Nghiệm thỏa mãn (*) 0,75 0,5  x   k Phương trình có họ nghiệm: III Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5,  7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x  y  0 Đường thẳng qua D và trung điểm đoạn AB có phương trình: x  y  23 0 Tìm tọa độ B và C , biết điểm B có hoành độ dương C c; c    d1 Gọi  , M là trung điểm AB, I là giao điểm AC và d2: 3x – 4y – 23 =    c  10 c  10   CI 2 AI  CI 2 IA  I  ;  3    CID  AIM Ta có đồng dạng c  10 c  10 4  23 0  c 1 3 Mà I  d nên ta có: Vậy C(1;5) 3t    3t  23   M  d  M  t;   B  2t  5;      Ta có:  3t   3t  19    AB  2t  10;  , CB  2t  6;       t 1  AB.CB 0   t    t  3   3t    3t  19  0    t  29  Do  B( 3;  3) (loai )  33 21     33 21   B ;   B ;   5   5  Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R ) Gọi P, Q là  các điểm di động trên cung nhỏ AB , AC cho P, Q, O thẳng hàng Gọi 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 D , E là hình chiếu vuông góc P lên các đường thẳng BC , AB tương ứng và D ', E ' là hình chiếu vuông góc Q lên các đường thẳng BC , AC Gọi K là giao điểm hai đường thẳng DE và D ' E ' Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KDD ' (theo R ) Chứng minh góc DKD ' 90 Kẻ KH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có: DKH DKP ( KH / / PD ) DKP PBA (tứ giác PEBD nội tiếp) 0,5  DKH PBA  sd PA Suy ra: D ' KH  sd AQ Tương tự, ta chứng minh được:  DKD ' DKH  D ' KH  sd PQ 900 Vậy (do PQ là đường kính) DD '  R Chứng minh : Thật vậy, xét hình thang vuông DPQD ' vuông D và D’ nên DD ' QP 2 R , dấu “=” xảy PQ / / BC IV 0,5 1,0 KD  KD '2 DD '2 R S  KD.KD '    R 2 4 Xét tam giác DKD ' Ta có: Vậy diện tích lớn tam giác DKD ' R PQ / / BC Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB 1,5 cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng ( SCD ) và mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a H, M là trung điểm AB và CD SH  AB    SH   ABCD  SAB    ABCD    Ta có: 0,5 SH  V a Góc (SCD) và mặt đáy là SMH 60 SH a HM   tan 60 Ta có 0,25 a a a3  VS ABCD   2 12 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và DB theo a Kẻ đường thẳng d qua A và d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng  qua H ,   d và  cắt d J,  cắt BD I (SHI) kẻ HK vuông góc với SI K d d I ,( S ,d )  2d H ,( S ,d )  2d  H ,( SBD )  2 HK Khi đó:  BD ,SA IH BH BH AD a    IH   AD BD BD 10 Ta có BIH đồng dạng BAD 0,5 1 a    HK  HS HI Xét SHI vuông H, ta có: HK a d  BD, SA  Vậy Cho a, b, c là ba số duơng Tìm giá trị lớn biểu thức: 0,5 P a2  b2  c2   a  b 1   a b c t f’ (t f ) ( t ) +  c  1  1/ - +  1,5 0,5 0,5 2,0  a  1  b  1  c  1 1 2    a  b    c  1    a  b  c  1  2 2 3  a 1  b   c 1   a  b  c    a  1  b  1  c  1     3     54 P  a  b  c   a  b  c  3 Vậy 54   f (t ) t  t  2 (t  1) = với t a  b  c   t 4 162 f / (t )   ; f / (t ) 0   t  t  2  t 1(loai ) 0,25 0,75 0,75 0,75 0,75 Vậy giá trị lớn  u1  2013   Cho dãy số (un ) đuợc xác định: un (2  9un 1 ) 2un1 (2  5un ), n 1 P VI a  b  c 3   a b c 1 a b c c 1  2,0 u u u      n  u1  u2  un Tìm lim Xét dãy số 0,25 Ta có un 0n 1 Khi đó: un2   9un 1  2un 1   5un     9  9un1    5un  un 1 un 10  un2 un un 1 xn  un n 1 Khi đó ta có dãy  xn  xác định bởi: Đặt  x1 2013   xn1  xn  xn  n 1 x Chứng minh  n  là dãy tăng: xn1  xn  xn2  xn   xn  xn   0 Xét hiệu: x Do x1 2013  nên xn 1  xn  suy dãy  n  là dãy tăng 0,25 Chứng minh (xn) không bị chặn hay lim xn  : Giả sử (xn) bị chặn, dãy tăng và bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn lim xn a,  a  2013 Giả sử dãy (xn) có giới hạn hữu hạn, đặt Từ công thức truy hồi xn1  xn  xn  0,5 Lấy giới hạn hai vế, ta được: a a  5a   a 3 (không thỏa mãn) Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn     u u 1    2     n 2        u1  un xn    2   x1   u  un   Ta có: n 1 1   Mà: xn  xn  xn1     1  2     2    x1  xn1    2013  xn1   Do đó, ta có: lim  1005 Mà lim xn  nên 0,5 0,5