Phương pháp tìm lời giải cho bài toán hình học lớp 9

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là kỹ năng đọc hiểu đề bài để phân tích đề bài, vẽ hình. Kỹ năng tư duy phân tích hình vẽ và đề bài để có hệ thống các câu hỏi, thông qua đó các em trình bày bài bài giải chính xác, logíc và chặt chẽ. Kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ để tìm lời giải và giải bài toán nhanh, ngắn gọn. Có tư duy khai thác bài toán, tạo ra bài toán mới từ những bài toán trong sách giáo khoa. Từ đó nâng cao ý thức tự học, tự nghiên cứu. Hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ, tìm tòi lời giải trên cơ sở kiến thức đã học.

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến ngành giáo dục đào tạo Thị xã Bình Long, Tỉnh Bình Phước Tơi ghi tên đây: Số TT Họ tên Vũ Trọng Đại Ngày tháng năm sinh 12/01/1989 Nơi cơng tác Trường THTHCS Thanh Lương – Bình Long - Bình Phước Chức danh Giáo viên Tỷ lệ (%) Trình độ đóng góp vào chun việc tạo mơn sáng kiến Đại học sư phạm Tốn 100% Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Phương pháp tìm lời giải cho tốn hình học lớp Chủ đầu tư tạo sáng kiến:Tác giả đồng thời chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục ( Toán ) Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu: Ngày 20/02/2020 Mô tả chất sáng kiến: 5.1 Tính sáng kiến Một yếu tố định giải toán hình học vẽ hình xác, phân tích giả thiết kết luận tốn trình bày khai thác toán thành toán Qua thực tế dạy học thấy việc vẽ hình tốn tương đối khó học sinh, em yếu việc vẽ hình hay vẽ hình thiếu xác, số tốn vẽ hình dẫn đến việc ngộ nhận kết Nguyên nhân học sinh chưa đọc kỹ đề bài, chưa xác định giả thiết kết luận tốn Học sinh thường khó khăn việc xây dựng phương pháp giải trình bày tốn Xuất phát từ tình hình thực tế trường yêu cầu nội dung kiến thức, nhận thấy việc xây dựng cho học sinh“Phương pháp tìm lời giải cho tốn hình học” thực cần thiết Bởi vì, cách giúp hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ, tìm tịi lời giải sở kiến thức học Qua thực tế giảng dạy nhiều năm trường trung học sở, thấy nghiên cứu đề tài “Phương pháp tìm lời giải cho tốn hình học lớp 9” việc làm có ý nghĩa lý luận thực tiễn Thể qua việc hình thành cho học sinh: - Kỹ đọc hiểu đề để phân tích đề bài, vẽ hình 2 - Kỹ tư phân tích hình vẽ đề để có hệ thống câu hỏi, thơng qua em trình bày bài giải xác, logíc chặt chẽ - Kỹ vẽ thêm yếu tố phụ để tìm lời giải giải tốn nhanh, ngắn gọn - Có tư khai thác toán, tạo toán từ tốn sách giáo khoa Từ nâng cao ý thức tự học, tự nghiên cứu - Hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ, tìm tòi lời giải sở kiến thức học 5.2 Nội dung sáng kiến 5.2.1 Hướng dẫn kỹ vẽ hình: Đối với học sinh lớp rèn luyện cách vẽ hình quan trọng Do giáo viên cần khai thác tốt luyện tập để học sinh biết sử dụng dụng cụ vẽ hình, kiểm tra hình vẽ nhờ dụng cụ, vẽ hình xi ngược để rèn kỹ vẽ hình Cần tập cho học sinh thói quen: muốn vẽ hình xác trước hết phải nắm yêu cầu đề bài, phân biệt rõ ràng giả thiết kết luận toán Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình phác họa trước Khi vẽ nên xét xem nên vẽ trước, chọn dụng cụ vẽ hình vẽ xác, đơn giản Ví dụ 1: Cho đường trịn (O; R) điểm A với OA = R Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường trịn (O; R) a) Chứng minh tứ giác AMON hình vuông b) Gọi H trung điểm dây MN, chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng * Gợi ý vẽ hình: ? Ta vẽ trước? dụng cụ để vẽ? ? Tiếp theo ta cần làm (điểm A với OA = R ) Tuy nhiên học sinh để vẽ điểm A cho OA = R gặp nhiều khó khăn Giáo viên hướng dẫn: OA = R đường chéo hình vng cạnh R, ta vẽ   900 với M, N thuộc (O; R), Từ M, N kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (O; R), MON hai tiếp tuyến cắt điểm A Trong chương trình hình học nhiều tốn vẽ hình xác đọc câu Song có học sinh phải học sinh phải đọc hết toàn nội dung yêu cầu, chí phải dựa vào kết luận tốn vẽ xác, học sinh cần phải vẽ hình phác họa sau tiến hành phân tích số liệu vẽ lần sau trọn vẹn Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AB (D C khác phía AB), AB = AD Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC (E B khác phía  AC), AC = AE Biết DE = BC, tính BAC Gợi ý vẽ hình: khơng nhiều học sinh vẽ xác tốn u cầu, mốt chốt   900 để vẽ hình xác phải tính BAC Thật vậy, từ hình vẽ phác họa ta chứng minh ABC  ADE(c.c.c) từ suy   DAE  mà BAD   CAE   900 nên ta có BAC   900 BAC *Kết luận 1: Để vẽ hình nhanh xác học sinh cần: - Đọc kỹ đề lượt, phải hiểu rõ nghĩa từ, cụm từ thể khái niệm hình học đề - Cần phân biệt rõ giả thiết kết luận tốn - Khơng nên vẽ trường hợp đặc biệt hình (Đế cho tam giác ABC khơng nên vẽ trường hợp tam giác cân, tam giác đều…) để tránh ngộ nhận số yếu tố mà giả thiết không cho giải tốn - Trên thực tế cịn tốn cịn nhiều cách vẽ, hình cho ta đáp số Với loại toán phải cho học sinh thấy cần vẽ tất trường hợp xảy 5.2.2 Xây dựng kế hoạch giải: a) Phân tích hình vẽ sử dụng giả thiết để tìm cách giải: Sau vẽ hình cần phải quan sát hình vẽ, sở phân tích hình vẽ huy động vốn kiến thức có học sinh định hướng việc giải tốn dẫn dắt thầy giáo hệ thống câu hỏi Ví dụ 3: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Vẽ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường trịn AB D Gọi C điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn ( E tiếp điểm khác A), CE cắt By D   900 Từ suy a) Chứng minh DOC CE.ED  R2 b) Chứng minh AEB # COD Hướng dẫn hệ thống câu hỏi y x E C A O B Giáo viên Học sinh   90 Từ Chứng minh DOC suy CE.ED  R2   ODC   90 C1: Chứng minh OCD C2: CM cho OC, OD hai tia phân giác   900 ta cần chứng hai góc kề bù ? Để chứng minh DOC minh điều  ODC  liên hệ với góc ? OCD   ACE OCD  :   BDE ACE     BDE ODC  Tính chất hai tiếp tuyến cắt để suy  CO, DO hai tia phân giác ACE  BDE ? Vận dụng yếu tố đề để tính  ODC  OCD  = 1800 ( hai góc  + BDE ACE phía, AC // BD) COD vng O, OE đường cao ứng   ? Tổng hai góc ACE BDE bao với cạnh CD nhiêu? Vì sao?   90 COD tam giác CE.ED = OE2 = R2 ? Khi DOC gì? OE COD ? Hệ thức COD có chứa tích CE DE, đoạn thẳng có độ dài R liên hệ với tích CE.ED Chứng minh AEB # COD ? Hai tam giác cần chứng minh đồng dạng Hai tam giác cần chứng minh đồng dạng tam giác vuông tam giác  ? Với giả thiết cho toán ta cần CDO ABE thêm yếu tố ? áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt   BDO  , để chứng minh ta có CDO    ABE  CDO ABE ta chứng minh BDO  ABE ta thực ? Vậy để chứng minh BDO Gợi ý: BE DO có quan hệ gì? b) Sử dụng phương pháp phân tích lên để tìm hướng làm Trong phương pháp thực chương trình THCS, giải tốn hình học phương pháp phân tích lên phương pháp học sinh dễ hiểu, có kỹ thuật giải tốn cách hệ thống, chặt chẽ hiệu Nếu giáo viên kiên trì sử dụng phương pháp này, học sinh tháo gỡ vướng mắc lập sơ đồ chứng minh, em giải tập từ dễ tới khó tơi tin em hứng thú với mơn Hình học kết cao Có thể hiểu phương pháp phân tích lên phương pháp dùng lập luận để từ vấn đề cần chứng minh dẫn đến vấn đề cho tốn Thơng thường chứng minh tốn ta phải suy xi theo sơ đồ A  A0  A1   An  B Sơ đồ chứng minh phương pháp phân tích lên khái qt sau B  A0  A1  A2  An  A Trong bước suy luận dựa sở luận chứng trước nó, cụ thể có An ta có An-1 … dẫn đến giả thiết toán, phương pháp tác động mạnh mẽ đến tư phân tích tư tổng hợp học sinh từ giúp em hệ thống nhớ kiến thức học Để thực tốt phương pháp giảng dạy, giáo viên cần có chuẩn bị chi tiết khâu soạn phương tiện dạy học Thường xun tập cho học sinh khả dự đốn thơng qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp … Và khả suy luận lơ gíc Ví dụ 4: (Bài 13 SGK/106 Tốn tập 1) Cho đường trịn (O) có dây AB CD nhau, tia AB CD cắt điểm E nằm ngồi đường trịn Gọi H K theo thứ tự trung điểm AB CD Chứng minh a) EH = EK b) EA = EC Để học sinh vẽ hình xác tốn giáo viên cần lưu ý tia AB CD cắt E đường thẳng AB cắt đường thẳng CD E để học sinh lấy điểm A, B, C, D đường tròn cho phù hợp Giải: Lập sơ đồ chứng minh a) Chứng minh: EH = EK  OEK  OEH    OKE  , OH  OK , OE : chung OHE  AB=CD Chứng minh Ta có: H trung điểm AB nên   900 OH  AB hay OHE   900 Tương tự OKE Vì AB = CD nên OH = OK Xét OEK OEH có:   OHE   90 OHE OH = OK (chứng minh trên) OE: cạnh chung Suy ra: OEK =  EK  EH b) Chứng minh b) AB = CD (gt) OEH (c/h - cgv) EA  EC AH = ½ AB (H trung điểm AB)  AH + HE=CK+EK CK = ½ CD (K trung điểm CD) Suy ra: AH = CK  AH = CK, EH = EK(cmt) Nên AH + EH = CK + EK  AB = CD(gt); AH = Mặt khác EH = EK (cmt) AB CD ; CK  2 Hay EA = EC Ví dụ 5: (Bài 30 SGK/116 Tốn tập 1) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, gọi Ax, By tia vng góc với AB(Ax, By nửa đường trịn thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A, B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn , cắt Ax, By theo thứ tự C D Chứng minh rằng: y D x M C A   900 a) COD BD O b) CD = AC + B c) Tích AC.BD khơng đổi điểm di chuyển nửa đường tròn Lập sơ đồ chứng minh   900 COD a) Ta có AC, MC hia tiếp tuyến  AOC  MOC đường tròn tâm O nên   OC  OD   MOD  Tương tự: BOD    MOD   90 COM Chứng minh Ta lại có:    ; MOD   BOD  AOC  COM    MOD   BOD   1800 AOC  MOC   MOD   180  900 Suyra : COM  AC, MC tiếp tuyến BD, MD hai tiếp tuyến CD = AC+BD  CD= CM + MD  CM = AC; MD=BD  (AC, MC tiếp tuyến); (BD, MD hai tiếp tuyến) b) Ta có AC, MC hia tiếp tuyến đường tròn tâm O nên AC = MC tương tự: BD = MD mà CD = CM + MD suy ra: CD = AC + BD c) Tam giác COD vuông O đường cao AC.BD = cosnt AB  CM MD=cosnt  OM nên ta có CM MD  OM    suy   CM.MD không đổi (do AB không đổi)  CM = AC; MD=BD mà ta có: AC = MC, BD = MD (câu a) suy AC BD = MC MD   AB  CM.MD=OM     cos nt    AC BD không đổi M di chuyển nửa đường tròn Tam giác COD vuông O đường cao OM *Chú ý: có nhiều cách để lập sơ đồ chứng minh tốn, có nhiều cách trình bày lời giải toán Ở nội dung đề tài trình bày cách Ví dụ 6: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Đường thẳng vng góc với AB B cắt (O) (O’) điểm C D Lấy điểm M cung nhỏ CB Đường thẳng MB cắt (O’) N, CM cắt DN P A O O' C a) Tam giác AMN tam giác gì? Vì sao? M B b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp D Q c) Gọi Q giao điểm AP với (O’) Tứ giác BCPQ hình gì? Vì Hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh N P Chứng minh Học sinh quan sát hình dự đốn tam giác AMN cân A AMN cân A AMB góc nội a) Trong đường tròn (O)  tiếp chắn cung nhỏ AB nên   AMB   ANB      AMB  sd AB ; ANB  sd AB 2   (Góc nội tiếp) (Góc nội tiếp) ? Để chứng minh tứ giác ACPD nội  AMB  sd  AB ANB  sd  AB tương tự ta có:  hai đường trịn (O ) (O’)  hay  nên suy  AMB  ANB AMN   ANM  AMN cân A tiếp ta cần chứng minh điều ACP với góc Từ ta ?  phải chứng minh Chứng minh: tứ giác ACPD nội tiếp   ACP   ADP  1800 ACP góc nội b)Trong đường trịn (O)  tiếp chắn cung AM    ACP   ADP  ADN ADP  1800 ADN góc nội Trong đường tròn (O’)  tiếp chắn cung AN    ACP  ADN   AM = AN   AM  AN Mà AN = AM (  AMN cân A) ACP =  ADN Suy ra:  ACP =  ADN nên tứ Xét tứ giác ACPD có  giác ACPD nội tiếp  AMN cân A Tứ giác BCPQ hình gì? Vì sao? Học sinh quan sát hình dự đốn (Tứ giác BCPQ hình thang) Chứng minh: tứ giác BCPQ hình c) Tứ giác ACPD nội tiếp thang    sd AC   APC  ADC      BQ / / CP mặt khác ta lại có:   AQB   APC    AQB   ADC   sd  AB       AQB   ADC ; APC ADC AQB   APC mà hai góc vị suy ra:  trí đồng vị nên BQ//PC  tứ giác BCPQ hình thang Tứ giác ACPD nội tiếp *Chú ý: - Sau giải xong toán giáo viên cho học sinh nhắc lại yêu cầu phần, cách chứng minh mục đích - Cần hướng dẫn học sinh xem kết luận câu trước giả thiết cho câu sau * Cũng cố kiến thức: - Trong hai đường tròn nhau, hai dây căng hai cung - Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau, góc nội tiếp chắn cung 9 * Cũng cố phương pháp: - Phương pháp chứng minh tam giác cân - Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Chứng minh hai góc theo quan hệ bắc cầu - Chứng minh hai đường thẳng song cách sử dụng dấu hiệu nhận biết c) Kẻ thêm yếu tố phụ chứng minh tốn hình Trong q trình tìm kiếm lời giải có tìm thêm lời giải khác, lời giải hay cho tốn hình học việc vẽ thêm yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giả thiết đến kết luận toán dễ dàng hơn, thuận lợi Tuy nhiên vẽ thêm hình phụ để có lời giải đẹp vấn đề khiến đau đầu suy nghĩ Vẽ thêm yếu tố phụ sáng tạo “nghệ thuật” tùy theo yêu cầu toán cụ thể Bởi vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện đề tốn thuận lợi khơng tùy tiện Một số yếu tố phụ thường vẽ sau: - Kéo dài đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước hay đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước - Vẽ thêm đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cho trước - Dựng phân giác góc - Dựng góc biểu diễn qua góc cho trước - Vẽ tiếp tuyến đường tròn từ điểm cho trước - Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung đường nối tâm hai đường trịn - Vẽ thêm tam giác vng cân, tam giác - Vẽ thêm hình bình hành, vẽ thêm đường trịn Ví dụ 7: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt hai điểm A B Vẽ đường kính AOC AO’D hai đường trịn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng A Phân tích: Để chứng minh ba điểm C, B, D   1800 thẳng hàng ta cần chứng minh CBD Do ta từ B kẻ BA chứng minh hai góc  kề bù  DBA CBA C B Giải: Nối A với B  góc nội tiếp chắn nủa đường trịn nên  Trong đường tròn (O), ABC ABC  900 Tương tự ta có  ABD  900   CBA  Ta có CBD ABD  900  900  1800 Vậy ba điểm C, B, D thẳng hàng D 10 Ví dụ 8: Cho tam giác nhọn ABC, H trực tâm tam giác ABC Các điểm M, N  đoạn thẳng HB, HC cho AMC ANB  900 Chứng minh AM = AN Phân tích: Vì H trực tâm tam giác ABC gợi cho ta nghỉ tới giao điểm D BM AC, giao điểm E CN AB A Giải: Gọi D giao điểm BH AC, E giao điểm CH AB D Do H trực tâm tam giác ABC nên BD  AC; CE  AB Xét ADB AEC có: E  : Chung BAD M  ADB   AEC  900 Suy ADB # AEC ( g.g )  H N B C AD AB   AE AB  AD AC AE AC AMC vuông M, đường cao MD  AM  AD.AC Chứng minh tương tự ta có: AN  AB AE Suy ra: AM  AN  AM  AN Vậy AM = AN *Kết luận 2: Thông qua việc hướng dẫn học sinh xây dựng kế hoạch giải giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ sau: - Kỹ tự tìm thấy vấn đề cần giải tự giải vấn đề đó, độc lập suy nghỉ, độc lập tư - Có khả đánh giá tự đánh giá - Biết tìm phương pháp ngắn gọn nhất, hay để giải tốn - Rèn luyện cho học sinh nhanh chóng chuyển tứ tư thuận sang tư nghịch - Kỹ xác lập phụ thuộc kiến thức theo trật tự ngược lại với cách học 5.2.3 Hướng dẫn suy luận khai thác toán: Như ta biết, học sinh làm quen với tốn chứng minh hình học từ lớp việc trình bày lời giải tốn học sinh cịn nhiều thiếu sót Theo tơi giáo viên cần phải đặc biệt coi trọng tiết luyện tập để uốn nắn, tập luyện cho em cách trình bày toán chứng minh chặt chẽ, khoa học: khẳng định phải có cứ, sử dụng ký hiệu quy ước cho đúng,… Trong dạy học mơn Tốn, giúp em nắm kiến thức việc phát huy tính tích cực học sinh để mở rộng, khai thác thêm toán cần thiết Đây cách nâng cao khả tư duy, suy luận cho học sinh Ví dụ 9: Cho tam giác ABC, đường cao BD CE Chứng minh rằng: a Bốn điểm B, E, D, C thuộc đường tròn b DE < BC 11 Phân tích tốn: Đây tốn thuộc A Chương II “Đường trịn” chương trình Hình học Là tập nhằm củng cố lại định nghĩa D E đường trịn mối liên hệ đường kính dây đường tròn, nên để giải tập ta cần rõ cho học sinh phương pháp Cụ thể: a) Để chứng minh điểm B, E, C, D thuộc đường trịn ta có thể: C B - Chỉ điểm cách điểm B, E, C, D (đó trung điểm I đoạn BC) - Chỉ có đường tròn qua điểm B, E, C, D đường trịn đường kính BC b) Từ kết chứng minh câu a)  ED BC hai dây đường tròn BC đường kính đường trịn  ED < BC (Định lí liên hệ dây đường kính) Từ ta có cách giải tốn sau: a) Cách 1: A Gọi I trung điểm đoạn BC ∆ BEC vuông E (gt)  trung tuyến D EI = IB = IC = BC E ∆ BDC vuông D (gt)  trung tuyến DI = IB = IC = BC Do IE = ID = IB = IC  điểm B, C, D, E thuộc đường trịn, đường trịn tâm I, bán kính B I C BC Cách 2:   900 => E thuộc đường trịn đường kính BC BEC   900 => D thuộc đường trịn đường kính BC BDC Do E, D thuộc đường trịn đường kính BC  điểm B, E, D, C thuộc đường tròn đường kính BC b Trong đường trịn đường kính BC: ED dây, BC đường kính  ED < BC (liên hệ dây đường kính đường trịn) *Nhận xét: - Kết tốn với tam giác ABC 12 - Nếu tập đưa sau “Tứ giác nội tiếp” Chương III, Hình học 9, ta phát biểu kết câu a) hình thức khác: Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp dấu hiệu sử dụng hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại hai góc tứ giác có đỉnh nằm đường trịn Từ tốn ta khai thác thành số toán nhằm củng cố kiến thức góc với đường trịn phát triển tư cho học sinh Cụ thể: Đối với học sinh trung bình cho học sinh nêu kết tương tự - Nếu gọi H giao điểm BD CE  H trực tâm tam giác ABC AH BC K Chứng minh tương tự ta có kết sau:  A a) Bốn điểm:C, K, E, A thuộc đường trịn đường kính AC; D A, D, K, B thuộc đường trịn đường kính AB; E H A, E, H, D thuộc đường trịn đường kính AH; C, D, H, K thuộc đường tròn đường kính CH; B, K, H, E thuộc đường trịn đường kính BH b DK < AB; EK < AC B K C Ta chứng minh ED < AH; EK < BH; DK < HC Đối với học sinh giỏi yêu cầu học sinh tiếp tục khai thác kết cách sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp để có kết khác toán, qua câu hỏi gợi ý như: KH có phân giác góc EKD khơng? Vì sao? Kết tương tự gì? Từ đó, có nhận xét vị trí đặc biệt điểm H tam giác EKD? - Trong trường hợp tam giác ABC nhọn  H nằm tam giác ABC Nối EK, KD Từ kết chứng minh suy tứ giác BEHK CKHD tứ giác nội tiếp   EKH      EBH ABD  EKH hay     DKH   ACE  DKH  DCH    Mà  DKH  KH phân giác ABD   ACE (cùng phụ góc ABC)  EKH góc EKD Chứng minh tương tự ta có: DH phân giác góc EDK ; EH phân giác góc DEK  H giao điểm ba đường phân giác tam giác EDK  H tâm đường tròn nội tiếp tam giác EDK Mặt khác, ta thấy EH hay EC phân giác góc KED mà AE  EC  EA phân giác góc ngồi E tam giác EKD Ta lại có KA phân giác góc EKD  A tâm đường tròn bàng tiếp góc K tam giác EKD Tương tự => B; C tâm đường tròn bàng tiếp góc D; góc E tam giác EKD Từ ta có tốn sau củng cố kiến thức tứ giác nội tiếp, khái niệm tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp tam giác 13 Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AK, BD, CE đồng quy H Chứng minh: a) KH phân giác góc DKE Nêu kết tương tự b) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DKE c) A; B; C tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DKE * Nhận xét 1: - Nếu gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Qua A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) Ta nhận thấy Ax //ED vì:   (cùng sđ Trong (O): B Ax= BCA A x D cung AB) E Mặt khác tứ giác BEDC nội tiếp( ví dụ 9) O H  => BCA AED (cùng bù góc DEB)  AED mà hai góc Do BAx B C K vị trí so le => Ax // ED Ta lại có Ax  OA (gt) => OA  ED Tương tự ta có: OB  EK; OC  DK Như cách sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp mối liên hệ góc đường trịn ta giải tốn sau: Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AK; BD; CE tam giác ABC Chứng minh OA  ED; OB  EK; OC  DK *Nhận xét 2: - Gọi A’; B’; C’ giao điểm AK, BD, CE với (O) A 2 (cùng phụ góc ABC) A1  C Ta có:    (cùng sđ cung BA’ - góc A1  C nội tiếp) D C'  tam giác CA’H cân C  K trung điểm HA’ Do BC đường trung trực đoạn thẳng HA’ => H A’ đối xứng qua BC E O  C   CK phân giác HCA ' mà C CK  HA’ (gt) B' H B K A' C 14 Chứng minh tương tự ta có: H B’ đối xứng qua AC; H C’ đối xứng qua AB Mặt khác tứ kết chứng minh => HBC  A ' BC => bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác HBC A’BC mà tam giác A’BC nội tiếp đường tròn (O;R)  tam giác HBC nội tiếp đường trịn có bán kính R Tương tự: tam giác HBA; HAC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R Từ ta có tốn khai thác tính chất trực tâm H tam giác ABC Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); BC cố định Chứng minh A di chuyển cung lớn BC khoảng cách từ điểm A đến trực tâm H tam giác ABC không đổi *Nhận xét 3: - Từ toán ta chứng minh AH AD   cot A  AH  BC.cot A BC BD không đổi B; C cố định A chạy cung lớn BC đường tròn (O) => cách giải khác cho Với cách giải ta củng cố A lại kiến thức tỉ số lượng giác góc nhọn cho học sinh - Từ kết chứng minh 3: AH có độ dài khơng đổi điểm A chạy cung lớn BC đường tròn (O); ta đặt câu hỏi là: Vậy điểm H chạy đường điểm A chạy cung lớn BC đường tròn (O)? Nếu gọi I điểm đối xứng với điểm O qua N  điểm I cố định OI = 2.ON D H B O C N K mà AH = 2.ON (cmt) => OI = AH Mặt khác OI // AH (cùng vng góc với BC) I  tứ giác AHIO hình bình hành  IH = OA = R không đổi (R bán kính đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác ABC)  H thuộc đường tròn (I; R) cố định Ta giải tốn quỹ tích sau: Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O; R); BC cố định Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC A chạy cung lớn BC đường tròn (O) *Nhận xét 4: - Có thể phát biểu hình thức khác sau: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R); BC cố định Chứng minh trực tâm H tam giác ABC thuộc đường tròn cố định A chạy cung lớn BC đường tròn (O) - Từ kết chứng minh 3:AH = 2.ON => gọi Q giao điểm A AO HN ta chứng minh D AQ = 2.AO HQ = 2.HN H  Q thuộc (O; R) N trung điểm HQ Do đó, ta có tứ giác BHCQ hình bình hành B K O C N Q 15 Như vậy, ta phát biểu thành toán sau: Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( O; R) trực tâm H Gọi N trung điểm BC; Q giao điểm AO HN Chứng minh rằng: a) Điểm Q thuộc ( O ) b) Tứ giác BHCQ hình bình hành Bài 5.1:Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R); trực tâm H Gọi Q giao điểm AO với (O); N trung điểm BC Chứng minh H; N; Q thẳng hàng Bài 5.2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R); trực tâm H; cạnh BC cố định kẻ đường kính AQ (O) Chứng minh A di động cung lớn BC (O) HQ ln qua điểm cố định Bài 5.3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R), trực tâm H; cạnh BC cố định Gọi N trung điểm BC; Q giao điểm HN với (O) Chứng minh đường thẳng AQ qua điểm cố định *Nhận xét 5: - Rõ ràng với nội dung cách phát biểu khác cho ta tốn có độ khó khác nhau, dạng khác Bài tập dành cho đối tượng học sinh cách phát biểu dễ hiểu rõ ràng 5.1; 5.2; 5.3 nên dành cho đối tượng học sinh giỏi Từ rèn luyện cho học sinh kỹ phát triển ngôn ngữ, biết cách lật ngược vấn đề để tạo toán mới; biết cách diễn đạt vấn đề nhiều hình thức khác nhau, hình thành thói quen xem xét biết cách chuyển tốn tốn quen thuộc dễ tìm cách giải hơn, từ suy cách giải tốn theo u cầu * Kết luận 3: a) Thông qua việc hướng dẫn học sinh khai thác tốn hình thành cho em phẩm chất sau: - Kỹ nhìn vấn đề theo nhiều hướng khác - Kỹ thay đổi phương hướng giải vấn đề phù hợp với thay đổi điều kiện, tìm phương pháp để giải toán - Biết khai thác phát triển toán, biết vận dụng toán vào vấn đề khác b) Để rèn luyện cho học sinh hình thành phẩm chất giáo viên cần: - Thường xuyên tập cho học sinh khả dự đốn suy luận có lý để tự phát vấn đề - Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác tốn Việc tìm nhiều lời giải khác tốn gắn liền với việc nhìn vấn đề với nhiều khía cạnh khác mở đường cho sáng tạo phong phú - Ngoài việc sử dụng thành thạo quy tắc, phương pháp giáo viên cần đưa tốn có cách giải riêng 5.3 Khả áp dụng sáng kiến 16 - Sáng kiến “Phương pháp tìm lời giải cho tốn hình học lớp 9” áp dụng trường TH-THCS Thanh Lương - Thị xã Bình Long - Tỉnh Bình Phước - Đối tượng áp dụng: học sinh khối trường TH-THCS Thanh Lương - Thị xã Bình Long - Tỉnh Bình Phước - Sau áp dụng đề tài tơi nhận thấy giải pháp mang lại số kết định sau: * Về kiến thức: Học sinh biết vận dụng kiến thức phương pháp Có mở rộng hướng giải cho dạng toán *Về kĩ năng: Học sinh có kĩ vận dụng linh hoạt dụng cụ phương pháp vẽ hình theo dạng tốn nhanh phù hợp đạt hiệu cao, tránh thời gian *Về tình cảm thái độ: Học sinh có hứng thú việc học phân mơn hình học ý thức tầm quan trọng - Ngồi ra, sở thực tế áp dụng đề tài tơi nhận thấy giáo viên áp dụng phương pháp cho mơn Tốn khối lớp trường THCS Những thông tin bảo mật: Không Điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Để đề tài áp dụng áp dụng có hiệu cần phải đảm bảo điều kiện cần đủ sau: - Phải quan tâm mực, hỗ trợ quyền địa phương lãnh đạo nhà trường sở vật chất trang thiết bị dạy học - Giáo viên phải thường xuyên tự trao dồi kiến thức cho thân để nắm bước tiến, phương pháp giải toán - Được hợp tác phối hợp tổ chức đoàn thể Nhà trường, Hội cha mẹ học sinh… - Giáo viên phải thực nhiệt tình, tâm huyết, kiên trì rèn dũa ngày, uốn nắn rèn học sinh vào khn nếp từ đầu trì liên tục - Học sinh phải có ý thức tự học, tự phấn đấu, ý thức hợp tác trao đổi thơng tin, cởi mở hoạt động nhóm Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Qua giảng dạy mơn Tốn xây dựng cho học sinh phương pháp giải tốn hình học 9, tơi nhận thấy nội dung thiết thực có lợi việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn, em tích cực học tập hứng thú giải tốn hình học Đặc biệt kỹ vẽ hình, kỹ phân tích đề khai thác tốn từ giúp em tạo cho ý thức học tập, khơng cịn sợ học mơn tốn hình Với việc em biết vận dụng phương pháp tìm lời giải cho tốn kết hợp với việc đổi phương pháp giảng dạy môn tốn khối 9, tơi thấy chất lượng mơn tốn ngày tiến rõ rệt Cụ thể là: Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số vấn đề sau: 17 Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm vẽ hình trình bày làm Cần rèn luyện kỹ đọc phân tích đề để học sinh có khả biết phương pháp vận dụng tốt phương pháp vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK Đối với học sinh trung bình: Giáo viên cần ý cho học sinh biết phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi say mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc biết phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hố vấn đề để việc giải tốn hình học tốt Qua đó, tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách tồn diện cho q trình tự nghiên cứu em Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có): ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Tôi (chúng tôi) xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Thanh Lương ,ngày 02 tháng năm 2021 Người nộp đơn Vũ Trọng Đại ... dụng thành thạo quy tắc, phương pháp giáo viên cần đưa tốn có cách giải riêng 5.3 Khả áp dụng sáng kiến 16 - Sáng kiến ? ?Phương pháp tìm lời giải cho tốn hình học lớp 9? ?? áp dụng trường TH-THCS... giải toán hình học Đặc biệt kỹ vẽ hình, kỹ phân tích đề khai thác tốn từ giúp em tạo cho ý thức học tập, khơng cịn sợ học mơn tốn hình Với việc em biết vận dụng phương pháp tìm lời giải cho toán. .. tự học, tự nghiên cứu - Hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ, tìm tịi lời giải sở kiến thức học 5.2 Nội dung sáng kiến 5.2.1 Hướng dẫn kỹ vẽ hình: Đối với học sinh lớp rèn luyện cách vẽ hình