SKKN: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng véc tơ để giải các bài toán hình học không gian

Để thực hiện đề tài “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng véc tơ để giải toán hình học không gian” tôi cho học sinh nắm vững kiến thức về véc tơ, qui trình giải toán bằng phương pháp véc tơ, đồng thời phân thành 6 dạng toán với các cách giải tương ứng và được rèn luyện kỹ năng thông qua các ví dụ cụ thể (là các bài toán trong sách giáo khoa, sách bài tập, các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi của các tỉnh, thành phố,…).

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ    Thực tế  trong sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11 cấp THPT chỉ với thời lượng 3   tiết cho một bài dành riêng cho véc tơ trong khơng gian và chỉ dùng véc tơ trong khơng gian   để giới thiệu quan hệ vng góc mà khơng xét véc tơ trong khơng gian thành một chủ đề  riêng, thời lượng ít, việc tiếp cận các kiến thức cịn hạn chế. Bài tập hình học khơng gian   sử dụng phương pháp véc tơ để giải cịn xa lạ đối với đa số học sinh. Tuy nhiên trong các  kì thi như: thi học kì, thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố, thi olimpic, thi tốt nghiệp, thi  đại học, cao đẳng,… ln có nhiều bài hình học khơng gian nếu giải theo phương pháp   thuần túy thì hết sức khó khăn, nhưng khi sử  dụng véc tơ  để  giải thì rất nhẹ  nhàng. Do   vậy cần cho học sinh tiếp cận với nhiều bài tốn với những cách giải khác nhau, đồng  thời rèn luyện cho học sinh phân tích bài tốn theo nhiều hướng để  tìm ra lời giải tối ưu  nhất. Giáo viên cần trang bị cho các em các kiến thức cơ bản phù hợp; tiếp cận với được  nhiều kiến thức để có vốn hiểu biết làm tiền đề  việc học tốt phân mơn hình học tọa độ  trong khơng gian, một cơng cụ hữu ích để giải nhiều bài tốn hình học.    Xuất phát từ thực tế đó tơi mạnh dạn “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng véc tơ  để giải các bài tốn hình học khơng gian” làm đề tài nghiên cứu và áp dụng dạy trên một  số lớp tại trường THPT Ba Đình PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ  A. CƠ SỞ LÍ LUẬN: Cơ sở lí thuyết: 1. Véc tơ trong khơng gian:  Định nghĩa véc tơ và các phép tốn về véc tơ trong khơng gian cũng giống như trong mặt  phẳng. Ngồi ra cần biết:  ­ Quy tắc hình hộp để cộng véc tơ trong khơng gian  ­ Khái niệm và định nghĩa đồng phẳng của ba véc tơ, cụ thể: rrr    + Ba véc tơ   a, b, c   đồng phẳng khi và chỉ  khi có ba số  m, n, p khơng đồng thời bằng  r r r không sao cho  ma + nb + pc = rr rrr    + Cho  a, b  khơng cùng phương. Khi đó  a, b, c  đồng phẳng khi và chỉ  khi có các số  m, n  r r r sao cho  c = ma + nb , hơn nữa bộ số m, n là duy nhất rrr ur    +   Nếu   a, b, c không   đồng   phẳng     với     véc   tơ   d     có   thể   viết     dạng  ur r r r d = ma + nb + pc , với các số m, n, p là duy nhất 2. Phương pháp véc tơ:  Qui trình giải tốn  Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở, đưa các giả thiết và kết luận của bài tốn hình học đã cho  sang ngơn ngữ “véc tơ”.  Nói chung việc chọn hệ véc tơ cơ sở phải thoả mãn hai u cầu:   + Hệ véc tơ cơ sở phải là ba véc tơ khơng đồng phẳng, biết độ dài các véc tơ và góc giữa   chúng   + Hệ véc tơ cơ sở nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những u cầu của bài tốn thành  ngơn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất  Bước 2: Thực hiện các u cầu của bài tốn thơng qua việc tiến hành biến đổi các hệ  thức véc tơ theo hệ véc tơ cơ sở  Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng B. THỰC TRẠNG.    Hình học khơng gian là một mảng kiến thức có thể  nói khó đối với học sinh trung học  phổ  thơng. Hơn nữa một thực tế là có rất nhiều học sinh chưa thấy hết được ứng dụng   của véc tơ đối với các bài tốn hình học khơng gian.   Do hình học khơng gian là bộ mơn mà học sinh mới bắt đầu làm quen từ lớp 9, việc tiếp   thu kiến thức cịn bị  động, rời rạc, khơng có hệ  thống, nên khả  năng tư  duy bộ  mơn cịn  nhiều hạn chế. Chưa liên hệ từ thực tiễn đến lí thuyết, từ lí thuyết đến bài tập, việc vận  dụng cịn xa lạ  đối với các em học sinh, các em mới chỉ  làm được các bài tập đơn giản   chưa có đường lối rõ ràng. Để có thể phát huy được sự tìm tịi, tính sáng tạo, năng lực tư  duy của học sinh. Ngay sau khi học bài học đầu tiên của chương III hình học nâng cao lớp  11: “Véc tơ trong khơng gian. Sự đồng phẳng của các véc tơ” giáo viên cần cho học sinh   làm các bài tập sử  dụng các kiến thức về  véc tơ  trong khơng gian. Từ  đó học sinh cần  thấy được véc tơ và các phép tốn về véc tơ có vai trị nhất định trong việc giải một số bài  tốn hình học khơng gian. Kết hợp với trình bày khoa học của sách giáo khoa và thơng qua  những bài tập củng cố khéo léo của giáo viên, học sinh hiểu được phương pháp véc tơ  là  gì? Cách giải các bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp đó như thế nào và cần  những nội dung kiến thức gì? Tại sao phải nắm vững mối liên hệ  giữa các véc tơ  trong   khơng gian với các khái niệm cơ bản, đối tượng của hình học khơng gian   Chính vì lẽ đó để  làm tốt các bài tốn bằng phương pháp véc tơ và học tập tốt bộ mơn  khơng chỉ  trong phạm vi của một tiết học, một bài hay một chương mà là cơng việc   thường xun và liên tục gần như xun suốt chương trình hình học lớp 11, 12 THPT.   Để  giải quyết dạng bài tốn này ngồi việc nắm vững lí thuyết về  véc tơ, các em cịn   phải nhạy bén trong việc phát hiện ra các bài tốn có thể giải được bằng phương pháp véc  tơ, loại bài tốn này có nhiều dạng. Đối với học sinh lớp 11, 12 loại bài tập này có thể  chia làm 6 dạng: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 4 điểm đồng phẳng, quan hệ song song,  quan hệ vng góc; tính góc; tính khoảng cách C. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.   Để  thực hiện đề  tài “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử  dụng véc tơ  để  giải tốn hình  học khơng gian” tơi cho học sinh nắm vững kiến thức về véc tơ, qui trình giải tốn bằng   phương pháp véc tơ, đồng thời phân thành 6 dạng tốn với các cách giải tương  ứng và  được rèn luyện kỹ năng thơng qua các ví dụ  cụ  thể  (là các bài tốn trong sách giáo khoa,  sách bài tập, các đề  thi đại học, đề thi học sinh giỏi của các tỉnh, thành phố,…). Cụ thể: I­MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN: Bài tốn 1: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Cách giải: Để  chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng, ta chứng minh hai véc   uuur uuur uuur uuur tơ   AB, AC  cùng phương, nghĩa là  AB = k AC , hoặc có thể chọn điểm O nào đó để chứng   uuur uuur uuur minh  OC = kOA + lOB  với k + l = 1 Ví dụ 1:   Gọi G là trọng tâm của tứ  diện ABCD. Chứng minh rằng đường thẳng AG đi qua trọng   tâm A' của tam giác BCD. Phát biểu kết quả tương tự đối với các đường thẳng BG, CG,   DG (Bài tập 22a) trang 55 ­ Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11) A Bài giải: uuur r uuur r uuur r Đặt  AB = a, AC = b, AD = c   uuuur uuur r AB = a ,  2 uuur uuur uuur r r N là trung điểm của CD  � AN = AC + AD = b + c 2 Khi đó: M là trung điểm của AB  � AM = ( G là trung điểm của MN ) ( ) r a uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r r r   � AG = AM + AN = AB + AC + AD = a + b + c  (1) 4 ( ) ( A' là trọng tâm tam giác BCD ) ( r c M ) G B D r A’ N uuur uuur uuur uuur r r r b � AA ' = AB + AC + AD = a + b + c                           (2) 3 C uuur uuur AG = AA ' Từ (1), (2) suy ra     đường thẳng AG đi qua trọng tâm A' của tam giác BCD.  P ( ) ( ) Ví dụ 2:   Cho   hình   hộp   ABCD.A'B'C'D'      cạnh     m,     góc   đỉnh   A     600  ( ﾷ ﾷ ' AB = A ﾷ ' AD = 600 ). Gọi P là điểm đối xứng của D' qua A, Q là điểm đối xứng của  BAD =A D qua C'. Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểA m M của BB '. Tính độ  dài đoạn  B thẳng PQ      (Bài 5a) trang 114 – Sách bài tập hình học nâng cao lớp 11) M D Bài giải:  C uuur r uuur r uuur r rr rr rr *Đặt  AA ' = a, AB = b, AC = c  với  a.b = b.c = c.a = m2   A’ r2 r2 r2 uuur uuuur r r a = b = c = m , ta có AP = D ' A = −a − c                               D’ B’ C’ Q Gọi M là trung điểm của BB' thì uuur uuur uuur uuur 3r r r MP = MB + BA + AP = − a − b − c   Mặt khác  uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuuur uuuur MQ = MB ' + B ' C ' + C ' Q   = MB ' + B ' C ' + DC '   3r r r         = a + b + c   uuur uuuur Như vậy  MP = − MQ , tức là ba điểm P, M, Q thẳng hàng.  Vậy đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’ Bài tốn 2: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc một mặt phẳng  Cách giải: Để  chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc một mặt phẳng, ta có thể  chứng   uuur uuur uuur uuur uuur uuur minh ba véc tơ   AB, AC , AD   đồng phẳng tức là AB = m AC + n AD ,  hoặc chứng minh  rằng  uuur uuur uuur r 2 k AB + l AC + m AD =  với k +l +m >0; ta cũng có thể chọn điểm O nào đó và chứng minh   uuur uuur uuur uuur OD = kOA + lOB + mOC  với k+l+m=1 Ví dụ 1:    Cho  hình  lăng  trụ   đứng   ABCD.A'B'C'D'  có   đáy  ABCD     một  hình  thoi  cạnh  a,   góc   ﾷ BAD = 600  Gọi M là trung điểm của cạnh AA’, N là trung điểm của cạnh CC '. Chứng  minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ  dài cạnh A A'  theo a để tứ giác B'MDN là hình vng (Đề tuyển sinh đại học ­ Khối B ­ năm 2003) Bài giải:  uuur r uuur r uuur r Đặt  AA ' = a, AB = b, AD = c rr rr r r a2 r r r , a = x, b = c = a     a.b = a.c = 0, b.c = B C A uuuur r uuur uuur uuuur D N Khi đó  AM = a, AN = AC + AC ' 2 B M uuur uuur uuur uuur uuur r r r C ’                     = AB + AD + AA ' + AB + AD = a + b + c ’ 2 uuuur uuur uuur r r D A              AB ' = AA ' + AB = a + b ’ uuur uuuur uuur uuur ’ Nhận thấy  AD = AM + AN − AA ' , chứng tỏ B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng uuuur uuur uuuur r r uuuur uuuur uuur r r r  *Ta có  MN = AN − AM = b + c � MN = 3a  và  DB ' = AB ' − AD = a + b − c � DB '2 = x + a   ( ( ) ) Để tứ giác B'MDN là hình vng thì DB'=MN � x = 2a � x = a   Kiểm tra các điều kiện suy ra  AA ' = a Nhận xét: Để  chứng minh B', M,  D, N  cùng thuộc  một mặt phẳng ta  đã chứng minh  uuur uuuur uuur uuur AD = AM + AN − AA '  (cách 1) D’ C’ Ví dụ 2:  Q   Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng các trung điểm của 6 cạnh BC, CD,   DD' , , D'A', A'B'và B'B cùng nằm trên một mặt phẳng A’ B’ R P (Bài 37 trang 68 ­ Sách hình học nâng cao lớp 11) r Bài giải:  a  Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của 6 cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B' và B'B   S uuur r uuur r uuur r Đặt  AA ' = a, AB = b, AD = c  Ta có r C N c A r b B M uuuur uuur uuur uuur uuur uuur r r AM = AB + AC = AB + AB + AD = b + c       2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r AN = AC + AD = AB + AD + AD = b + c 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r AP = AB + AC = AA ' + AD + AD = a + c 2 uuur uuur uuuur uuur uuur uuur r r AQ = AA ' + AD ' = AA ' + AA ' + AD = a + c 2 uuur uuur uuuur uuur uuur uuur r r AR = AA ' + AB ' = AA ' + AA ' + AB = a + b 2 uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r AS = AB ' + AB = AA ' + AB + AB = a + b uuuur uuur2 uuur uuur Dễ thấy:  AM = AN − AP + AQ  M, N, P, Q đồng phẳng  (1) uuuur uuur uuur uuur                AM = AN + AR − AQ  M, N, Q, R đồng phẳng      (2) uuur uuur uuur uur                 AP = AN + AR − AS  N, P, R, S đòng phẳng          (3) ( ) ) ( ( ( ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) ( ) ) ( ) Từ (1), (2), (3) suy ra 6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng Bài toán 3: Quan hệ song song  1) Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau  Cách giải: Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau, ta cần   uuur uuur uuur uuur chứng minh hai véc tơ   AB     CD   cùng phương. Khi   AB ,   CD   cùng phương và có một   điểm thuộc đường thẳng AB mà khơng thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì AB và   CD song song  2) Chứng minh đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng  Cách giải: Để chứng minh đường thẳng AB song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P), ta   uuur r r r r lấy trong (P) hai véc tơ   a     b   khơng cùng phương, sau đó chứng minh   AB, a, b   đồng   uuur r r phẳng. Khi các véc tơ   AB, a , b   đồng phẳng và có một điểm thuộc đường thẳng AB mà   khơng thuộc (P) thì đường thẳng AB song song với (P) Ví dụ 1:   Cho hình lăng trụ tam giác ABC  A'B'C'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và  A'B'C', I là giao điểm của hai đường thẳng AB'   A'B. Chứng minh rằng các đường  thẳng GI và CG' song song r (Bài tập 3 trang 91­ Sách hình học nâng cao l p11) c A C Bài giải: uuur r uuur r uuur r G  Đặt  AA ' = a, AB = b, AC = c  thì r uuur r r uur r r AG = b + c , AI = a + b   r r r uur uur uuur 3a + b − 2c Do đó  GI = AI − AG =         uuur uuur uuuur uuuur r r r Mặt khác  AG = AA ' + AB ' + AC '   = a + b + c   3 ( ) ( ( b ) ) ( r a B I ) A’ C’ G’ B’ r r r uuuur uuuur uuur r r r r 3a + b − 2c   CG ' = AG ' − AC = a + b + c − c = 3 uuur uur Từ đó có  CG = 2GI   ( ) Lại có điểm G khơng thuộc đường thẳng CG' Vậy GI và CG' là hai đường thẳng song song Ví dụ 2:   Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và DD'; G và G'  lần lượt là trọng tâm của các tứ diện  A'D'MN và BCC'D'. Chứng minh rằng đường thẳng  GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau ( Bài tập 4 trang 91­ Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11) r Bài giải: b uuur r uuur r uuur r D A r Đặt  AB = a, AD = b, AA ' = c   a M Vì G' là trọng tâm của tứ diện BCC'B'  nên  uuuur   AG ' = uuur uuur uuuur uuuur AB + AC + AC ' + AB '   ( ) B C N Và G là trọng tâm của tứ diện A'D'MN nên    r c uuur uuur uuuur uuuur uuur AG = AA ' + AD ' + AM + AN   ( ) Từ đó A’ D’ uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur   GG ' = AG ' − AG = A ' B + D ' C + MC ' + ND '   r r r r r r r� r r 1� B’ C’         = �a − c + a − c + a + c + c �= 5a − c   4� 2 � uuur uuur uuuur Điều     chứng   tỏ   AB, AA ', GG '   đồng   phẳng   Mặt   khác,   G   không   thuộc   mặt   phẳng   ( ) ( ) (ABB'A') Nên đường thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau Ví dụ 3:   Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh B'C' và AB  a) Chứng minh IK//mp(BDC')  b) Xác định đường thẳng (d) cắt BA' và AC', đồng thời song song với B'D' Bài giải: uuur r uuur r uuur r Đặt  BA = a, BB ' = b, BC = c uuur r r uuuur r r uur uuur uuur uuur 1r r 1r 2  a) Ta có  BD = a + c, BC ' = b + c, KI = KB + BB ' + B ' I = − a + b + c uur uuur uuuur  Suy ra  KI = − BD + BC ' uur uuur uuuur KI , BD, BC '  đồng phẳng  Mà I khơng thuộc mp(BDC') Do đó KI//mp(BDC')  b) Đường thẳng d cần tìm cắt BA',  AC' lần lượt tại M, N D’ C’ A’ B’ r b D I r c A r a K B C uuur uuuur  M chia BA' theo tỉ số k  � MB = k MA ' ; uuur uuuur N chia AC' theo tỉ số l � NA = l NC ' ( k, l khác 1) uuuuur uuur r r Khi đó:  B ' D ' = BD = a + c uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur l r l r r NA = l NC ' � DA − DN = l DC ' − l DN � ( l − 1) DN = l AB' − DA � DN = a+ b+ c 1− l l −1 l −1 uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur r k r r MB = k MA ' � DB − DM = k DA ' − k DM � ( k − 1) DM = k DA ' − DB � DM = a+ b−c k −1 k −1 uuuur uuur uuuur � l �r � l k �r � �r a+� − b + � + 1� c  Suy ra:  MN = DN − DM = � − � � − l k − � �l − k − � �l − � � uuuur uuur r r Mặt khác: MN//BC khi và chỉ khi  MN = mBD = ma + mc   Từ đó ta có: �l � − =m � �m = 1− l k −1 � � k �l � − = � l=−   � � �l − k − � �1 �k = −2 +1 = m � � �l − � Vậy: Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng MN ( với M chia B A' theo tỉ số k=­2, N chia  AC' theo tỉ số  l = −  ) Ví dụ 4:   Cho hình lăng trụ tam giác ABC A'B'C'. Lấy các điểm A1, B1, C1 lần lượt thuộc các cạnh  AA1 B ' B1 C ' C1 = =  Trên các đoạn thẳng CA1 và A'B1 lần  AA BB ' CC ' IJ    lượt lấy các điểm I, J sao cho IJ//B'C1. Tính tỉ số  B ' C1 bên AA', BB', CC' sao cho  ' = C ( Bài 72 trang 128 – Sách bài tBập hình học nâng cao lớp11) Bài giải: uuur r uuur r uuur r  Đặt  AA ' = a, AB = b, AC = c, ta có  I B1 uuur r uuuuur r uuuuur 3r AA1 = a, B ' B1 = − a , C ' C1 = − a 4 uuur uur uuur r r Ta có  CA1 = CA + AA1 = a − c   uuuuur uuuuur uuuuur 3r r A ' B1 = A ' B ' + B ' B1 = − a + b uuuuur uuuur uuuuur uuuuur 3r r r Mặt khác  B ' C1 = B 'A' + A ' C ' + C ' C1 = − a − b + c   C1 A J B’ C’ A1 A’ uur uuur r r uuuur uuuuur r r Vì J thuộc A'B1 nên  A ' J = m A ' B1 = − ma + mb   r r ur uur uuur uuuur � 3 �r 1− t − m� a + mb + ( t − 1) c Lại có  IJ = IC + CA ' + A ' J   = � � � Vì I thuộc CA1 nên  CI = tCA1 = ta − tc   −1 k= 3 1− t − m = − k 4 ur uuuur �� t= Do IJ//B'C1 nên IJ = k B ' C   � �m = −k � � t −1 = k � � m= IJ = Vậy:  B ' C1 Bài tốn 4: Tính góc giữa hai đường thẳng.  rr ( ) r r  Cách giải: Góc giữa hai đường thẳng d và d’ là  α , ta có  cos α = cos u, v  với  u, v  lần   lượt là các vtcp của d, d’ rr  Như vậy để tính góc giữa hai đường thẳng ta cần tính được tích vơ hướng  u.v  và độ dài   r r rr ( ) các véc tơ  u , v , từ đó có  cos α = cos u, v Ví dụ 1:  Cho hình tứ  diện ABCD có tất cả  các canh bằng a. Các điểm M là trung điểm của BC   Tính cosin của góc giữa đường thẳng AB với đường thẳng DM (Bài 2 trang 59 ­ Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11) Bài giải: A uuur r uuur r uuur r Đặt  AD = a, AB = b, AC = c   r2 r2 r2 rr rr rr với  a = b = c = a , a.b = b.c = c.a = uuuur a2   uuur uuur r r AB + AC = b + c   2 uuuur uuur uuuur r r r � MD = AD − AM = a − b − c 2 Khi đó  AM = ( ) Suy ra: uuuur2 1 a2 a2 a 3a   MD = a + a + a − − + = 4 2 2 2 2 uuu r uuuu r a a a a a   � MD =  Mà  AB MD = − − = −   2 4 2 a uuur uuuur − uuur uuuur AB MD =− = Do đó: cos AB, MD = AB MD a 3 a ( r a r b B M r c D C ) Vậy góc cần tìm bằng α  mà cos α = Ví dụ 2:   Cho hình tứ  diện ABCD có tất cả  các canh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung  điểm của AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng MN với đường thẳng BC (Bài 8b) trang 114 – Sách bài tập hình học nâng cao lớp 11) Bài giải: A uuur r uuur r uuur r rr rr r r Đặt  AD = a, AB = b, AC = c , với   a.b = b.c = c a = r r uuur uuur uuur r r r m2   M và  a = b = c = m Ta có  BC = AC − AB = −b + c                              r Vì M, N lầ lượt là trung điểm của AB và CD,  r a b uuuur uuur uuur r r r MN = AD + BC = a + c − b nên     2 r B rr rr rr r2 r2 r2 c Vậy  MN = a + c + b + 2a.c − 2a.b − 2b.c 2m m 2 2 2 = (m +m +m +m −m −m ) =  Suy ra  MN =    C 4 uuuur uuur r r r r r r r r r r2 r r r2 r r Lại có:   MN BC = a + c − b −b + c   = − a.b − b.c + b + a.c + c − b.c   2 2 1� m m m m2 � m2 − + m2 + + m2 −                 = �− �= 2� 2 2 � ( ) ( ( ( ) )( uuuur uuur uuuur uuur MN BC = Suy ra:  cos MN , BC = MN BC ( ) ) ( ) D N ) m2 uuuur uuur 2 =   � MN , BC = 45   m m ( ) Vậy góc giữa MN và BC bằng 450 Bài tốn 5: Về quan hệ vng góc Cách giải: Để  chứng minh hai đường thẳng d và d’ vng góc với nhau ta có thể  chứng   rr r r minh  u.v =  (với  u và  v  lần lượt là véc tơ  chỉ phương của d và d’) hoặc góc giữa chúng   bằng 900.  Ví dụ 1:   Cho tứ  diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng   D (ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đơi một   vng góc (Bài 28a, trang 117 –Sách bài tập hình học nâng cao lớp 11) r Bài giải: I a uuur r uuur r uuur r r r r Đặt  DA = a, DB = b, DC = c  với  a = b = c = a   r b r r r r r r a2 và  a.b = b.c = c a =    Do DABC là tứ diện đều, nên H  là trọng tâm của tam giác ABC, B r c A H C uuuur uur r r r r r r a + b + c � ID = − a + b + c   uur uuur uur r r   IA = DA − DI = 5a − b − c uur uuur uur r r uur r r r   IB = DB − DI = −a + 5b − c ,  IC = − a − b + 5c    uur uur 6uur uur uur uur  Suy ra  IA IB = 0, IB IC = 0, IC IA =   (  suy ra  DH = ) ( ( ( ) ) ) ( ) Vậy tứ diện IABC có IA, IB, IC đơi một vng góc Nhận xét:   1) Kết quả của bài tốn là một tính chất đẹp của tứ diện đều  2) Để giải bài tốn ngồi cách giải trên ta cịn có thể tính góc giữa các cặp đường thẳng,   tuy nhiên sẽ cồng kềnh hơn Ví dụ 2:  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a, SA vng góc với mặt  đáy và SA=a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD; I là giao điểm của  SC và   mặt phẳng (AMN). Chứng minh SC vng góc với AI Bài giải: uuur r uuur r uuur r S Đặt:  AB = a, AD = b, AS = c             uuuur uuur uuur r r AB + AS = a + c 2 uuur uuur uuur r r          AN = AD + AS = b + c 2 ( Ta có  AM = ( suy  ra: uur uuuur ) ) m uuur m uuur n uuur n uuur AB + AS + AD + AS   2 2 uuu r uuu r uuu r r r m n m+n m n m+n AS = a + b +        = AB + AD + 2 2 2 uuur uuur uuur uuur r r r  Mà  SC = AB + AD − AS = a + b − c   uur uuur Vậy  AI SC = � AI ⊥ SC r c N M uuur   AI = m AM + n AN = D C r b A r a B Nhận xét: Ưu điểm khi sử dụng véc tơ  để  giải là có thể  khơng cần xác định giao điểm I   trên hình vẽ Bài tốn 6: Về khoảng cách  Cách giải:  uuur  1) Để tính khoảng cách giữa hai điểm AB ta tính bình phương vơ hướng của véc tơ   AB ,  uuur uuur muốn vậy ta biểu thị  AB qua hệ véc tơ cơ sở, rồi tính AB  2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng d, d’ là khoảng cách giữa hai điểm A, B lần lượt   uuur trên d, d’sao cho AB đồng thời vng góc với d và d’; muốn tính AB ta biểu thị véc tơ   AB   uuur r r r AB.u = qua hệ  véc tơ  cơ  sở  đã chọn nhờ  sử  dụng   uuur r   (với   u, v   lần lượt là véc tơ  chỉ   AB.v = phương của d, d’) 10  3) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là khoảng cách từ A đến B ( với B là hình   uuur chiếu vng góc của A trên(P)), muốn tính AB ta biểu thị véc tơ   AB  qua hệ véc tơ cơ sở  uuur r r r AB.u = đã chọn nhờ sử dụng  uuur r ( với  u, v  là véc tơ khơng cùng phương trong (P)) AB.v = Ví dụ 1:   Cho hình tứ  diện ABCD có tất cả  các canh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung  điểm của AB và CD.Tính độ dài đoạn thẳng MN A  (Bài 8a) trang 114 – Sách bài tập hình học nâng cao lớp 11) Bài giải: uuur r uuur r uuur r rr rr r r Đặt  AD = a, AB = b, AC = c , ta có  a.b = b.c = c a = m2   r a M uuur uuur uuur r r r r r r và  a = b = c = m  Ta có  BC = AC − AB = −b + c                              b Vì M, N lầ lượt là trung điểm của AB và CD,  uuuur uuur uuur r r r AD + BC = a + c − b   2 r r r2 rr rr rr 2 Suy ra:  MN = a + c + b + 2a.c − 2a.b − 2b.c 2m m     = ( m + m + m + m − m − m ) =   � MN = 4 m Vậy  MN = nên   MN = ( ( ) ( ) r c B ) D N C Nhận xét: Việc lựa chọn hệ  véc tơ  cơ  sở  là rất quan trọng khi giải quyết một bài tốn   bằng phương pháp véc tơ. Nói chung việc chọn hệ  véc tơ  cơ  sở  phải thoả  mãn hai u   cầu:    + Hệ  véc tơ  cơ  sở  phải là ba véc tơ  khơng đồng phẳng, biết độ  dài các véc tơ  và góc   giữa chúng   + Hệ véc tơ cơ sở nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những u cầu của bài tốn thành   ngơn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất Ví dụ 2:  Cho tứ diện ABCD có độ  dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD   và AC. Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên DN lấy điểm Q sao cho PQ song song với   CM. Tính độ dài đoạn thẳng PQ và thể tích của khối AMNP A (Câu 6 ­ Đề thi chọn HSG tỉnh Nghệ An ­ lớp 12  năm học 2009 ­ 2010) Bài giải: P * Tính độ dài đoạn thẳng PQ: r r  Cách 1: c uuur r uuur r uuur r r r r Đặt  AB = a, AC = b, AD = c  với  a = b = c =   a rr rr rr Q N và  a.b = b.c = c.a =     M uuuur r r uuur r Ta có:  AM = a + c, AP = ka                                                          2 r B b C D 11 uuur uuur uuur l r r AQ = l AN + (1 − l ) AD = b + (1 − l )c   uuur uuur uuur r lr r Suy ra:  PQ = AQ − AP = −ka + b + (1 − l )c   uuuur uuuur uuur r r r Lại có  CM = AM − AC = a − b + c   2 Do PQ//CM, nên −k = uuur uuuur m k= �l �   �2 � m � � 1− l = m=− � � uuur r r r uuur2 3 Suy ra:  PQ = − a + b − c � PQ = � PQ =   3   PQ = mCM � � = − m � �l = Cách 2:  Gọi H là tâm của tam giác BCD  � AH ⊥ mp( BCD )   uuur r uuur r uuur r Đặt  HA = a, HB = b, HD = c   uuur uuur uuur r uuur r r � HB + HC + HD = � HC = −b − c   r r 3 , = 3 r P a = AB − HB = − = ,  3 rr rr rr a.b = a.c = 0, b.c = − uuur uuur uuur uuur r r Q Khi đó  AP = k AB = k HB − HA = −ka + kb   uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AQ = AD + DQ = AD + l DN = AD + DA + DN        B uuur uuur uuur uuur uuur uuur = HD − HA + HA − HD + HC − HD            �1 �r r � �r 1− l � c          = � l − 1�a − lb + � �2 � � � uuuur uuur uuur uuur uuur uuur r r Lại có:  CM = CB + CD   = HB + HD − HC = b + c 2 2 và  b = c = ( ) ( ( ( A N ) M ) ) ( ) D H C Mà: PQ//CM, nên: 1 k= l + k −1 = uuur uuuur � �                                       PQ = mCM � �− l − k = m � �l =   �2 � 3 � � 1− l = m m=− � � 2 12 uuur r r uuur2 3    Cách 3: Gọi H là tâm của tam giác BCD  � AH ⊥ mp( BCD ) , I là trung điểm của BC uuur r uur r uuur r r rr rr rr r r Đặt  AH = a, DI = b, BC = c  với  a = ,b = , c = 1, a.b = b.c = c.a = , ta có uuuur r r uuu r r r r 1 1   BM = − b + c, AN = a + b + c ,  uuur r r r uuur r r r uuuur r r uuur r r r AB = a + b − c, AC = a + b + c ,  CM = − b − c, ND = a − b − c   3 2 uuur uuur uuur uuur l r 5l r l r uuur �1 r l �r �1 k 5l �r �1 k l � b+� + − � c    AP = k AB, NQ = l ND = a − b − c � PQ = � − k + �a + � − − � � �6 � �4 � �2 1 l k= −k + =0 2 uuur uuuur �1 k 5l 1 � Do PQ//MC, suy ra  PQ = kCM � � − − = − m � �l = −   �6 � �1 k l � m=− �4 + − = − m � uuur r r Suy ra:  PQ = b + c � PQ = 3 Suy ra  PQ = −b − c � PQ = � PQ =  * Tính thể tích của khối chóp AMNP uuuur r r uuur r 2 uuuu r uuu r 1� � 2  Suy ra AP = , AM = , AM AP = � �= �4 � 16 uuuur uuur Do đó diện tích tam giác AMP là  S = AM AP − AM AP =   24 uuur uuur uuuur uuur �r t �r r r r Lại có H nằm trên mp(AMP) ta có  NH = NA + r AM + t AP = � + �a − b + c   �2 � Theo trên ta có  AM = a + c, AP = a ( ) ( ) Nếu H là hình chiếu của N trên mp(AMP), ta có:  r t r r t r uuuur uuur t=0 + − + + + − + =0 AM NH = r + 3t = � �4 8 12 � �� �� ��   �uuur uuur r + 4t = �r = AP NH = �r + t − + r = 12 12 uuur r r r   � NH = a − b + c � NH = 6 Vậy thể tích cần tìm là:  V = S NH = 144 Nhận xét:  1) Qua ba cách giải trên, ta thấy việc chọn hệ véc tơ cơ sở hợp lí sẽ cho phép ta biểu thị   giả thiết và kết luận của bài tốn nhẹ nhàng hơn. Hơn nữa khi chọn hệ véc tơ cơ sở gồm   13 3 véc tơ khơng đồng phẳng có thể chung gốc (cách 1, cách 2) hoặc khơng chung gốc (cách   3)  2) Với cách tính độ dài đoạn thẳng PQ bằng phương pháp véc tơ như trên, ta nhận thấy   phương pháp véc tơ có thể  tránh cho chúng ta phải kẻ thêm những đường phụ phức tạp,   đó cũng chính là điểm yếu của học sinh khi làm các bài tập hình học khơng gian  3) Ngồi cách giải bằng phương pháp véc tơ  như  trên, ta giải bằng phương pháp tổng   hợp nhờ kẻ thêm các đường phụ Ví dụ 3:  Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên đoạn AB và đoạn  CD sao cho  BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN (Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 ­ 2014) Bài giải: uuur r uuur r uuur r r2 r2 r2 B  Đặt  BA = a, BC = b, BD = c  với  a = b = c = a M r r r r r r a2 BM  và đặt  a.b = b.c = c.a = BA DN x với  x DC  Khi đó ta có: uuuur r uuur uuur x, r a r b uuur uuur uuur uuur (r   BM = xa ,  DN = xDC � BN − BD = x BC − BD uuur uuur uuur r   BN = xBC + ( − x ) BD = xb + ( − x ) c uuuur uuur uuuur r r r  Suy ra:  MN = BN − BM = − xa + xb + ( − x ) c ) r c C N 2 A D a a a − 2x ( − x) + x (1 − x ) 2 2 2 2 �2                      = a �x + (1 − x ) + x + x(1 − x ) − x − x (1 − x ) � �= a ( x − x + 1)   Do đó:  MN = x 2a + x 2a + (1 − x )2 a − x Xét hàm số f(x) = 2x2 – 2x + 1 trên đoạn  [ 0;1] , ta có f’(x)=4x­2,  f ( x) = f ( ) = Nên  max f ( x ) = f (0) = f (1) = 1, xmin 0;1 x [ 0;1] [ ] Vậy: MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng  f '( x ) = x [ 0;1] �x= ,  2 a  khi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD          MN đạt giá trị lớn nhất bằng a khi M B, N D hoặc M A, N C.  Ví dụ 4:  S E  Cho hình chóp tứ  giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Gọi E là điểm   đối xứng của D qua trung điểm của SA; gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC.  Tính khoảng cách giữa MN và AC.                                      (Đề tuyển sinh Đại học khối B năm 2007) cr P M Bài giải: uuur r uuur r uuur r r r r r r r Đặt:  OA = a, OD = b, OS = c � a.b = b.c = c.a =  (O là tâm đáy ABCD) B r a N O r b C D A 14 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur MN = ON − OM = − OA + OD − OA + AM   r r r 1 � uuur �        = − a − b − �a − DS �  2 � � r r uuu r uuu r 1 3r 1r        = − a − b − OS − OD = − a − c   2r 2 2 uuur AC = −2a   ( ) ( ( ) ) Gọi PQ là đoạn vng góc chung của MN và AC  (P trên MN, Q trên AC), ta có: uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur PQ = PA + MA + AQ = k MN + SD + l AO   r 1r r r r r r �1 � �r �3         = k �− a − c �+ − c − b − la = − �l + k �a − ( k + 1) c − b �2 �2 � � r r � �2 uuur uuuur l + k� a + ( k + 1) a = k = −1 � �PQ MN = �2 � � � �� �� �uuur uuur r2 l= � � PQ AC = � � 2� l+ k� a =0 � � uuur r uuur2 a a � PQ = − b � PQ = � PQ = ( ) Chú ý: Ngồi cách giải trên, ta cịn có thể tính khoảng cách giữa MN và AC bằng phương   pháp trượt ( bằng nửa khoảng cách từ B đến mp(SAC)) Ví dụ 5:   Cho lăng trụ  đều ABCD.A'B'C'D' có tất cả  các cạnh đều bằng  a. Gọi M, N lần lượt là  trung   điểm của  AA' và BB'. Tính khoảng cách giữa B'M và CN Bài giải:   uuur r uuur r uuuur r Đặt  BA = a, BB ' = b, BC ' = c  với C’ A’ r2 r2 r2 r r r r   a = b = c = a , a.b = b.c = 0,   ur r a uuuur r r uuuuur r r a.c = , CN = b − c, B ' M = a − b 2 B’  Gọi PQ là đoạn vng góc chung  của CN và B'M (P �CN , Q �B ' M ) uuur uuur uuur uuuur uuuur Ta có: PQ = PC + CB + BQ ' + B ' Q M N uuur uuur uuur uuuuur r k r l r = kCN + CB + BB ' + l B ' M = la + ( + − )b + ( − k − 1)c 2 uuur uuur k=− 5k − 3l = −6 PQ.CN = ��   uuur uuuuur  � �   3k − 5l = −4 PQ B ' M = l= C A B uuur r r r   � PQ = (a + 3b + c ) � PQ = 3a � PQ = a 16 15 Chú ý: Ta cịn có thể  tính khoảng cách giữa B'M và CN bằng cách áp dụng tính chất tứ   diện vng hoặc qui về khoảng cách từ B' đến mặt phẳng (CAN).  Ví dụ 6:   Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của DD'. Tính  khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A'D B’ C’ Bài giải:  uuur r uuur r uuur r Đặt  AB = a, AA ' = b, AD = c  ta có:  r2 r2 r2 rr rr rr a = b = c = a , a.b = b.c = c.a =        uuuur uur r uuuur r 1r A ' D = −b + c, CM = −a + b D A’ Gọi EF là đường vng góc  chung  ( E �A ' D, F �CM ) Ta có: B M C uuur uuur uuuur uuuur uuuur r uuuur A D r l r r         = −la + ( − k + )b + kc     2 l uuur uuuur k= 2k − = uuur r r r uuur2 a �EF A ' D = � 2�� a ��   � EF = a + 2b + 2c � EF = � EF =         �uuur uuuur � 9 EF CM = �1 k + l = � l=− a Vậy khoảng cách cần tìm là  EF =   EF = ED + DM + MF = k A ' D + b + lCM ( ) Chú ý: Ngồi cách giải trên ta cịn có thể tính khoảng cách giữa CM và A'D bằng các cách   áp dụng tính chất của tứ diện vng hoặc tính độ dài đường vng góc chung Ví dụ 7:  ﾷ ﾷ   Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. Góc ABC = BAD = 900 , BA=BC=a, AD=2a.  Cạnh bên SA vng góc với đáy và  SA = a  Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên   SB. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) (Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2007) Bài giải: S uuur r uuur r uur r Đặt  AB = a, AD = b, AS = c   rr rr rr r Ta có:   a.b = b.c = c.a =     c uur r r uuur r r r uuur r r      SB = a − c, SC = a + b − c, SD = b − c              Gọi K là hình chiếu của H trên    mặt phẳng (SCD  � d ( H ;( SCD )) = HK SH Dễ dàng tính được  = SB Khi đó :  r b H r a B D A C 16 r uuur uuur uuur uur uuur uuur � �r �k �r �2 � k− � a +� +l� b+� −k −l� c HK = HS + SK = − SB + k SC + lSD = � � � �2 � �3 � r r r 2 2 k � � � � � � uuur uuur k− � a + � +l� b −� −k −l� c =0 k= � HK � SC = 2 � � � � � � � � � �� Ta có:   �uuur uuur � � r r 2 �k � �2 � HK � SD = � � l=− b −� −k −l� c =0 � +l� �2 � �3 � uuur r r r �r r r� a � HN = a + b + c � HK = a + b + c �= � 12 6 � � Ví dụ 8: ﾷ B = SAC ﾷ ﾷ  Cho khối chóp  S ABC  có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a,  AS = 900 , BSC = 1200  Gọi  M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a. Chứng minh tam giác AMN   vng. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a (Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 ­ 2014) Bài giải:  S SA ﾷ = � ASC = 600   SC uur r uur r uuur r r2 r2 r2 r Đặt  SA = a, SB = b, SC = c  với  a = 4a , b = 9a , c = 16a b rr rr r r và  a.b = 0, b.c = −6a , a.c = 4a   uuur r uuur r Khi đó:  SM = b, SN = c   M uuuur uuur uur r 2r Suy ra AM = SM − SA = − a + b , B uuur uuur uur r 1r   AN = SN − SA = − a + c   uuuur uuur 1 Từ đó:  AM AN = 4a + − 4a + ( −6a ) =   2 Vậy  AM ⊥ AN , tức là tam giác AMN vuông tại A r c ﾷ = Trong tam giác vng SAC có:  cos ASC r a N C A * Gọi H là điểm thuộc mp(SAB) thì  uuur uur uur r r uuur uuur uuur r r r SH = k SA + lSB = ka + lb   � CH = SH − SC = ka + lb − c   Nếu H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB) thì: uur uuur 2 k =1 �SA.CH = �k 4a + l.0 − 4a = � �� ��    �uur uuur 2  l=− k + l.9a − ( −6a ) = SB.CH = Suy ra  uuur r 2r r uuur2 3 Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là   CH = 2a             CH = a − b − c � CH = 4a + 9a + 16a − .0 − 2.4a + ( −6a ) = 8a � CH = 2a Ví dụ 9:   Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O có cạnh bằng a,  SA = a  và  vng góc với mặt phẳng (ABCD) 17  a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)  b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài giải: S uuur r uuur r uuur r  a) Đặt  AS = a , AB = b, AD = c   r2 r2 r2 với  a = 3a , b = c = a   rr rr rr  và  a.b = b.c = c.a = uuur uuur uuur r r Khi đó:  AC = AB + AD = b + c , uur uuur uur r r uuur r   SB = AB − AS = − a + b, BC = c ,  uuur uuur uur r c r 1r 1r 2   SO = AO − AS = −a + b + c   G H thuộc mặt phẳng (SBC) thì uuur uur uuur r r r   SH = k SB + l BC = −ka + kb + lc   r � �r � �r uuur uuur uuur = − k a +� k− � b+� l− � c ( ) OH = SH − SO 2 � � � D C r b O A � r a Nếu H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (SBC) ta có: B � 1�2 uuur uur − ( − k ) 3a + � k− � a = k= OH SB = � � 2� �    �� �� uuur uuur � 1� OH BC = � � l= l− � a = � � 2� uuur r r uuur2 3a a   � OH = a + b � OH =   � OH = 8 16 uuur uur uuur r r  b) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB  � AG = AS + AB = a + b   3 uuur uur uuur uuur uuur uuur r r r K thuộc mặt phẳng (SAC)  � AK = m AS + n AC = m AS + n AB + AD = ma + nb + nc   ( ) ( ) uuur uuur uuur � �r � �r r Suy ra:  GK = AK − AG = �m − �a + �n − �b + nc   � 3� � 3� Nếu K là hình chiếu của G trên mặt phẳng (SAC) ta có: � 1� uuur uuur m− � 3a = m= � AS GK = � � � � � �� ��   �uuur uuur � 1� AC.GK = � � n = n− � a + na = � � 3� uuur r r uuur2 1 1 2a a Khi đó  GK = − b + c � GK = a + a − .0 =   � GK = 6 36 36 36 Vậy khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) là  GK = a Nhận xét:  1) Câu a) ngồi cách giải trên ta cịn giải theo phương pháp trượt (bằng nửa khoảng cách   từ A đến mp(SBC)) hoặc sử dụng phương pháp thể tích 18   2) Câu b) ngồi cách giải trên ta cịn giải theo phương pháp trượt (bằng một phần ba   khoảng cách từ B đến mp(SAC), tuy nhiên phần tính tốn sẽ phức tạp  II.BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1:    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a, SA vng góc với đáy   Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30 0. Gọi E  là trung điểm của BC. Tính thể tích  khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a Bài 2:  Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng  ﾷ (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC). Biết   SB = 2a   SBC = 300  Tính thể  tích  khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Bài 3: ﾷ  Cho hình chóp tứ  giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc  BAD = 600   Các cạnh bên  SA = SC , SB = SD = a  a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)  b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD Bài 4:   Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc và OA=OB=OC=1. Gọi M, N theo   thứ  tự  là trung điểm các cạnh AB, OA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và  CN Bài 5:   Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo. S là  ﾷ ﾷ ﾷ điểm nằm ngồi mặt phẳng (P) sao cho   ﾷASB = CSD   và    BSC  Chứng minh rằng  = DSA đường thẳng SI vng góc với mặt phẳng (P) (Đề thi Olimpic Bỉm Sơn năm 2011) Bài 6:    Cho góc tam diện vng Oxyz, trên Oz lấy điểm A cố  định khác O, biết   OA=a. Gọi P là mặt phẳng thay đổi chứa điểm A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C  sao cho  1   + = OB OC a  1) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) ln chứa một đường thẳng cố đinh.   2) Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện O.ABC (Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nghệ An năm 2008 ­ 2009) D. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM 1. Kết quả nghiên cứu  Để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tơi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất lượng  tương đương là học sinh lớp 11B và lớp 11K. Trong đó lớp 11B chưa được hướng dẫn sử  19 dụng phương pháp véc tơ để giải tốn hình học khơng gian. Với hình thức kiểm tra là làm  bài tự luận thời gian 45 phút với đề bài như sau:  ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT  Câu 1: (4 điểm)    Cho   hình   hộp   ABCD.A’B’C’D’       cạnh     m,     góc   đỉnh   A     60 0  ( ﾷ ﾷ ' AB = A ﾷ ' AD = 600 ). Gọi P là điểm đối xứng của D’ qua A, Q là điểm đối xứng  BAD =A của D qua C’. Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB’. Tính độ  dài   đoạn thẳng PQ  Câu 2: (3 điểm)   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, với AD=CD =a,   AB=3a. Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 45 0.  Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB  Câu 3: (3 điểm)   Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy các điểm A1, B1, C1 lần lượt thuộc các cạnh  bên AA’, BB’, CC’ sao cho   AA1 ' AA = BB1 CC1 = =   Trên các đoạn thẳng CA1  và A’B1  lần  BB ' CC ' lượt lấy các điểm I, J sao cho IJ//B’C1. Tính tỉ số  IJ B ' C1   Kết quả thu được như sau: Lớp Sỹ số Điểm