Về tính hội tụ yếu của các martingale ngược

1 B GIáO DC Và đàO TO TRUNG I HC VINH DƯƠNG ANH TUẤN VỀ TÍNH HỘI TỤ YẾU CỦA CC MARTINGALE NGC Chuyên ngành: XAC SUT THNG Kấ MÃ sè: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ GI¸O DỤC HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHAN ĐỨC THÀNH NGHỆ AN - 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC ………………………………………………………………… MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… CHƢƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MARTINGALE 1.1 Martingale…………………………………………………… 1.1.1.Các định nghĩa……………………………………… 1.1.2 Các ví dụ…………………………………………………… 1.1.3 Các tính chất……………………………………………… 11 1.1.4 Martingale địa phƣơng…………………………………… 14 1.1.5 Phép biến đổi martingale………………………………… 14 1.1.6 Hiệu martingale…………………………………………… 17 1.1.7 Khai triển Doob…………………………………………… 18 1.1.8 Compensator……………………………………………… 19 1.2.Các bất đẳng thức bản…………………………………… 20 1.3 Các định lí hội tụ…………………………………………… 21 CHƢƠNG II VỀ TÍNH HỘI TỤ YẾU CỦA MARTINGALE NGƢỢC 2.1 Định lý giới hạn trung tâm………………………………… 25 2.2.Martingale ngƣợc khái niệm liên quan……………… 27 2.3 Điều kiện Lindeberg ngẫu nhiên…………………………… 29 2.4 Các định lí hội tụ martingale ngƣợc………………… 30 2.5.Chứng minh định lý…………………………………… 31 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết Martingale bắt nguồn từ trị chơi, trở thành loại q trình ngẫu nhiên có ứng dụng nhiều lý thuyết nhƣ thực tiễn, đặc biệt công cụ thiếu tính tốn ngẫu nhiên tốn học tài Gọi X phép biến đổi martingale V Y X = (V0Y) Trong Vn đặt cƣợc ngƣời chơi ván thứ n Đặt Yn  1   n tổng biến ngẫu nhiên Bernulli độc lập với ván thứ n thắng với xác suất p 1 n    ván thứ n thua với xác suất q Theo quan niệm ngƣời chơi trị chơi là: - Cơng (Xn, F n ) lập thành Martingale - Có lợi (Xn, F n ) lập thành Martingale dƣới - Bất lợi (Xn, F n ) lập thành Martingale Rõ ràng trị chơi cơng p  q  , có lợi p > q, bất lợi p < q Các định lí giới hạn trung tâm nhƣ nguyên lí bất biến Martingale ngƣợc đƣợc B.Prakasa Rao, D.J.Seolt, N.C.Weber nhiều nhà toán học khác quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày số kết tính hội tụ yếu tổng ngẫu nhiên Martingale ngƣợc Nội dung luận văn gồm chƣơng Chƣơng Trình bày số kiến thức martingale bao gồm nội dung khái niệm martingale, martingale trên, martingale dƣới, martingale ngƣợc, thí dụ, tính chất martingale, phép biến đổi martingale định lí hội tụ martingale Chƣơng Trình bày tính tụ yếu martingale ngƣợc Luận văn hoàn thành hướng dẫn, giúp đỡ PGS TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Trong trình làm luận văn tác giả giúp đỡ thầy giáo tổ Xác Suất Thống Kê, khoa sau đại học , trường Đại học Vinh, BGH, thầy cô giáo trường THPT Phan Đình Phùng Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln nguồn động viên giúp đỡ tác giả có thêm nghị lực, tinh thần để hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, nhiên Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Mong nhận ý kiến phê bình, góp ý Hội đồng chấm luận văn, thầy cô giáo đồng nghiệp để cơng trình nghiên cứu hồn chỉnh Cuối cùng, xin cảm ơn lòng ưu dành cho tác giả Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MARTINGALE Trong chƣơng trình bày số kiến thức lý thuyết Martingale Nội dung chƣơng dựa chuyên khảo [1] [2] Lý thuyết Martingale bắt nguồn từ trò chơi trở thành loại q trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng lý thuyết nhƣ thực hành 1.1 Martingale 1.1.1 Các định nghĩa Giả sử  , A , P  không gian xác suất ( X n , n  ) dãy BNN ( F n , n  ) dãy tăng  -đại số Khi dãy X   X n , F n , n   gọi là:  martingale ( F n , n  i)  X n , F n , n   ), nếu:  dãy tương thích ; ii) E X n  , n  ; ; iii) Với m  n, m, n  ; E  X n F m   X m , P – hầu chắn  martingale dƣới ( F n , n   ), điều kiện (i), (ii) thực hiện, iii’) Với m  n, m, n  ; E  X n F m   X m , P – hầu chắn  martingale ( F n , n   ), điều kiện (i), (ii) thực hiện, (iii’’) Với m  n, m, n  E  X n F m   X m , P – hầu chắn  martingale ngƣợc ( F n , n   ), điều kiện (i), (ii) thực hiện, (iii’’’) Với m  n, m, n  , F m  F n  F , E  X n F m   X m , P – hầu chắn Từ suy  X n , F n ,0  n  N  martingale ngược  X N n , F N n ,0  n  N  martingale Chú ý Từ định nghĩa kì vọng có điều kiện, ta có: Điều kiện (iii) tƣơng đƣơng với  A X n d P  X m d P , A  F m , m  n A Điều kiện (iii’) tƣơng đƣơng với  A X n d P  X m d P , A  F m , m  n A Điều kiện (iii’’) tƣơng đƣơng với  A X n d P  X m d P , A  F m , m  n A Định nghĩa martingale dƣới martingale trên, martingale tƣơng đƣơng với: Giả sử N = {0,1,…, N },( , A , P ) không gian xác suất, F  F   F n  F n1  A Khi đó,{ X n , F n , n  } là:  martingale trên, (i) X n F n , n  ; (ii) E X n  , n  ; (iii) với n = 1,2,… E ( X n | F n1 )  X n1 , P - hầu chắn  martingale dưới, điều kiện (i), (ii), (iii’) với n = 1,2,… E ( X n | F n1 )  X n1 , P - hầu chắn  martingale, có điều kiện (i), (ii), (iii’’) với n = 1,2,… E ( X n | F n1 )  X n1 , P - hầu chắn Thật vậy, xét trƣờng hợp martingale chẳng hạn.Với  m  n , F m  F m1   F n , nên theo tính chất kỳ vọng có điều kiện ta có X m  E ( X m1 | F m )  E (E ( X m2 | F m1 ) | F m )  E ( X m2 | F m ) tiếp tục nhƣ thế, ta thu đƣợc X m  E( X n | F m ) ,  m  n Trong định nghĩa điều kiện (ii) ( tức là, điều kiện: có kỳ vọng hữu hạn) thay điều kiện có kỳ vọng có điều kiện.Theo định nghĩa, biến ngẫu nhiên X đƣợc gọi có kỳ vọng có điều kiện  -trƣờng F , với xác suất (E ( X  | F ), E ( X  | F )   Trong trƣờng hợp nhƣ thế, đặt E ( X | F )  E ( X  | F )  E ( X  | F ), X  , X  phần dƣơng, âm X , tức là: X X  0 X ≥  X X  0 X  X  X ≥ Đặc biệt, X có dấu khơng đổi, E ( X F ) ln ln có nghĩa Cần lƣu ý X có kỳ vọng hữu hạn E X  EX   EX    Ta đƣa định nghĩa: Dãy X = { X n , F n , n  }, gọi martingale suy rộng (đối với { F n , n  }), nếu: (i) { X n , F n , n  } dãy tương thích; (ii) X n có kỳ vọng có điều kiện F n với n  ; (iii) với m  n , m, n  E( X n | F m )  X m , P - hầu chắn Khi không rõ họ  - trƣờng, ta ngầm hiểu họ xét họ  - trƣờng tự nhiên Chẳng hạn, nói { X n , n  } martingale, ta hiểu martingale dãy  - trƣờng tự nhiên  n , n  1.1.2 Các ví dụ Ví dụ Giả sử (  n , n  ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập với E  n = 0, n  Khi tổng riêng S n = 0   n dãy martingale F n =  (0 , , n) Thật vậy, Sn 1 F n1 , tính độc lập  n với Fn 1 , ta có E ( Sn | F n1 )= E ( Sn1  n | F n1 )= Sn1  E n  Sn1 Ví dụ Giả sử (  n , n  ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập với E n  , n  Khi tích riêng  n Xn  n k 0 dãy martingale F n   (0 , , n ) Điều đƣợc chứng minh nhƣ trên, cụ thể E ( X n | F n1 )= E ( X n1  n | F n1 ) = X n1  E n = X n 1 Ví dụ Giả sử X biến ngẫu nhiên có E X   { F n , n  } dãy  - trƣờng không giảm A Khi đó, dãy X n  ( E( X | F n ) ) dãy martingale dƣới { Fn , n  } Thật vậy, với F n1  F n , ta có X n1  E ( X | F n1 )= E ( E ( X | F n ) | F n1 ) )= E ( X n | F n1 ) Ví dụ Dễ kiểm tra lại rằng, (  n , n  ) dãy biến ngẫu nhiên khơng âm có kì vọng hữu hạn, tổng riêng X n  0   n dãy martingale dƣới F n   (0 , , n ) Ví dụ Nếu X = { X n , F n , n  } martingale g hàm lồi với E g ( X n )   , n  , { g  X n  , F n , n  } martingale dƣới Thật theo bất đẳng thức Jensen với m  n ta có g  X m   g  E  X n | F m   E  g  X n  | F m  Ví dụ Tƣơng tự ta có: Nếu X = { X n , F n , n  } martingale dƣới g hàm lồi không giảm với E g  Xn    , n  , { g  X n  , F n , n  } martingale dƣới Bây xét ví dụ cụ thể Ví dụ (Martingale Walsh-Paley) Ví dụ cụ thể sau, đơn giản nhƣng đóng vai trị quan trọng xác suất có nhiều ứng dụng hay giải tích Ta kí hiệu {-1,+1} tập gồm hai phần tử: -1,+1, phần tử có xác suất   {-1,+1} không gian tất dãy vô hạn    n   1 ,  , ,  n ,  , toạ độ  n , n  1, 2, nhận hai giá trị: -1 +1  n :   {-1,+1}, n     n , n  1, , hàm toạ độ thứ n ; F ={ ,}  - trƣờng tầm thƣờng, F n  - trƣờng  sinh từ hàm toạ độ 1 , ,  n , tức là, F n   n Chẳng hạn, F  1 sinh từ phân hoạch gồm hai tập “trụ” C1  {  |  =  1,  , ,  n , } ; C1  {  |  =  1,  , ,  n , } ; 10 F    sinh từ phân hoạch gồm bốn tập “trụ” C1,1  {  |  =  1, 1,  , ,  n , } ; C1,1  {  |  =  1, 1,  , ,  n , } ; C1,1  {  |  =  1, 1,  , ,  n , } ; C1,1  {  |  =  1, 1,  , ,  n , } ; Nhƣ F n   n sinh từ phân hoạch gồm 2n tập “trụ” A  - trƣờng bé chứa tập trụ Trên A tồn độ đo xác n suất P cho tập trụ có xác suất   (Định lí tồn kolmogorov) 2 Với kí hiệu trên, ta gọi martingale walsh-paley martingale  , F n , P  Trong giải tích có khái niệm “cây” nhƣ sau Cây tập gồm phần tử {x1  k |1  k  n,  k  1}, n  1, 2, , cho x1  k    x   x1  k 1 k Nhƣ vậy, với n = gồm hai phần tử x1 , x1 ; với n = gồm bốn phần tử x11 , x11 , x11 , x11 ; ứng với n có 2n phần tử Khi đó, ta đặt X0   x1  x1  , X k    x1 k , k  1, , n, X m  X n m  n ,  X m , F m , m  martingale walsh-paley Ví dụ ( Hệ Haar) Trong không gian xác suất  , A, P  , dãy   trƣờng không giảm  Fn  A gọi hệ Haar F   A , với n  0,1, 2, , F n đƣợc sinh phân hoạch gồm n  tập   ( A0 n , , An n ) thuộc A cho P Ak n   23  b  a  E  sup E X N  a , N suy    hầu chắn Suy với a, b P liminf X n  a  b  limsup X n   Chú ý liminf X n  limsup Xn   liminf X n  a  b  limsup X n  , hợp lấy tất số hữu tỉ a, b Do P liminf X n  limsup X n   Từ rút  X n  hội tụ hầu chắn tới biến ngẫu nhiên X  Theo bổ đề Fatou ta có   E X  E lim X n  sup E X n   n  n Chú ý Đối với martingale dƣới, hai điều kiện sau tƣơng đƣơng: (i) sup E Xn   , n (ii) sup E X n   n Thật (i)  (ii) hiển nhiên (i)  (ii) E Xn  2E Xn  E Xn  2E Xn  E X0 Hệ Nếu  X n , F n , n   martingale khơng dương (hoặc martingale khơng âm), dãy  X n  hội tụ hầu chắn tới biến ngẫu nhiên X  Hệ Giả sử  X n , F , n   martingale không dương ( martingale không âm), Khi đó, dãy X   X n , F n , n   X   lim X n , F     n    n 0  ,với  Fn    lập thành martingale không dương (hoặc martingale không âm) 24 Hệ Giả sử  X n  dãy BNN độc lập,  Sn  dãy tổng riêng nó: S0  X , Sn  X   X n Khi khẳng định sau tương đương: (i)  Sn  hội tụ hầu chắn; (ii)  Sn  hội tụ theo xác suất; (iii)  Sn  hội tụ theo phân phối 1.3.2 Định lí (Hội tụ Lp) Giả sử  p   Nếu  X n , F n , n   martingale Lp - bị chặn, tức sup E X n   , p n dãy  X n  hội tụ Lp , đồng thời hội tụ hầu chắn tới biến ngẫu nhiên X  với E X    p Chứng minh Theo bất đẳng thức Doob 1.2.3 ta có  E max X N 0 n  N p q E X p p N , suy p E  sup X n     n  Hơn nữa, p p P  X n      p E X n    p E  sup X n       n  Vì vậy, p p   E  X n   X n    E  sup X n    X n       n  (   A   A hàm tiêu tập A ) hội tụ tới    Nhƣ vậy,  X  khả tích Theo định lí Doob,  X  hội tụ hầu chắn p n n biệt,  X n  hội tụ Lp tới X  Từ rút điều phải chứng minh X  , đặc 25 Đối với p  , định lí trên, nói chung, khơng Kết sau biết 1.3.3 Định lí( Hội tụ L1 ) Nếu  X n , F n , n   martingale dãy  X n  khả tích dãy  X n  hội tụ L1 , đồng thời hầu chắn tới BNN X  , với E X    Khi xét thứ tự theo chiều ngƣợc lại, ta có khái niệm martingale ngƣợc Cụ thể là,  X n , F n , n   martingale ngƣợc nếu: (i) X n F n - đo đƣợc với n  ; (ii) X n có kì vọng hữu hạn với n  ; (iii) E  X m | F n   X m F m  F n với m  n , m, n  1.3.4 Định lí Nếu  X n , F n , n   martingale ngược, dãy  X n  hội tụ hầu chắn tới BNN X  Chứng minh Ta biết  X n , F n , n  0,1, , N  martingale ngƣợc  X N n , F N n , n  0,1, , N  martingale Chú ý martingale ngƣợc ln ln L1 - bị chặn, E X n  E X n1   E X Chứng minh đƣợc tiến hành nhƣ chứng minh định lí Doob 1.3.1 sử dụng bất đẳng thức cắt ngang cho martingale  X N n , F N n , n  0,1, , N  b  a  E  E  X  a    E  X N  a  26 Chƣơng VỀ TÍNH HỘI TỤ YẾU CỦA CÁC MARTINGALE NGƢỢC Chƣơng thiết lập tính hội tụ yếu martingale ngƣợc đƣợc chuẩn hoá Đồng thời cho ta vận tốc hội tụ phân phối tổng vô hạn martingale ngƣợc Các martingale ngƣợc đƣợc đề cập đến chƣơng đƣợc giả thiết thoả mãn điều kiện Linderberg ngẫu nhiên Trƣớc hết cần nhắc lại nội dung định lí Linderberg định lí giới hạn trung tâm Lý thuyết xác suất 2.1 Định lý giới hạn trung tâm Xét dãy tam giác  X1n , , X nn  ; n=1,2,… gồm biến ngẫu nhiên (BNN) cho n, biến ngẫu nhiên X1n , , X nn độc lập E X  0,  k  1, 2, , n   kn  n   D X kn  k 1  n   (2.1)  D X , k  n Ta có định lí giới hạn trung tâm sau Đặt Sn   X kn ,  kn kn k 1 đây: Định lí Giả sử  X kn , k  1, , n, n  1, 2, dãy BNN độc lập thoả mãn điều kiện (2.1) Khi với s > đó, s   2 n M n   E Min  X ,X 0 kn kn  k 1   (2.2) F Sn ( x )   ( x)  2 x e  t2 dt theo x  (2.3)  n Chứng minh Ta cần chứng minh  Sn (t )   kn (t ) e k 1  t2 ,t  R 27 ta có n  k 1 kn (t ) e  t2  n  k 1 n    kn (t )  e  kn (t )   e t2   kn t2  kn k 1  itX kn t X kn2  n  t2  kn2 t 2 kn2   E  e   itX kn  1  e  k 1 k 1  n n   E g (tX kn )  k 1 n  h2 (t ) g X kn k 1  h2 (t ) M (2) n t4 n  kn k 1 t4  max  kn4 k n t4  max  kn4  k n  kn4  Điều M n( 2)  , lại phải chứng tỏ max k n Thật vậy, với    tuỳ ý ta có  kn2  E ( X kn2 , X kn   )  E ( X kn2 , X kn   )    E ( X kn2 , X kn  1)  E ( X kn2 ,1  X kn   )    E ( X kn2 , X kn  1)  2   s 2  s 2 E ( X kn ,1  X kn   ) s s E min( X kn2 , X kn ) (2) max     lim M n   Từ đó, lim s  n k n kn n  max  kn2  Vì   tuỳ ý, lim n k n Nhận xét: Với s     28      E X2 , X   E   X , X kn kn kn kn    s2    từ n   Ln2   E X kn2 , X kn    k 1  s 2 M n 2 ta suy M n(2)   L(2) n    Hệ ( Định lí Lindeberg) Nếu dãy { Xkn, k=1,2…,n} dãy độc lập thoả mãn(2.1) điều kiện Lindeberg Ln2     0  0 , n   (2.4) F Sn  x     x  theo x (2.5) 2.2 Martingale ngƣợc khái niệm liên quan Giả sử  , F , P  không gian xác suất Cho dãy X   X n , F n  , n  Định nghĩa martingale ngược Dãy X gọi martingale ngược  F n , n   nếu: i)  X n , F n , n   dãy tương thích ; ii) E X n  , n  ; (iii) Với m  n, m, n  , F m  F n  F E  X n F m   X m , P – hầu chắn Từ suy  X n , F n ,0  n  N  martingale ngƣợc  X N n , F N n ,0  n  N  martingale  Đối với martingale ngƣợc  Sn , F n  , S n hội tụ hầu chắn hội tụ  trung bình bậc BNN S đo đƣợc F   Fn n 1 29 Tính chất S : S  E  S n | F   E Sn  E Sn1  E S - Tính chất bảo tồn kì vọng X n  Sn  Sn 1  n  1 Đặt  Từ suy Sn  S   X k ( Phần dư chuỗi) k n  Cho martingale ngƣợc  Snk , F nk  k  với n  Ta đặt X nk  S nk  S n , k  1, n  ; n S nk   X nj k  1, n  j k Nếu momen bậc S nk hữu hạn (khi E Sn21  , n  ) ta đặt  nk2  E  X nk2 F n,k 1  , Vnk2    nj2 ,  2nk  E Vnk2 với k , n  n j k  X nk , F nk , n, k  1 mảng martingale hiệu ngƣợc (kí hiệu Ta có RMDA)  Cho ( N n , n  ) - dãy BNN lấy giá trị nguyên dƣơng độc lập P  n   BNN Xnk Ta giả sử Nn  Bài toán đặt xét phân phối tiệm cận tổng ngẫu nhiên dạng TNn  n ( Nn )S Nn Đặt S N  n  X k  Nn nk  , với n  1, n : N  R hàm chuẩn hoá dƣơng Gọi N tập số nguyên dƣơng R    0,   Tính hội tụ yếu liên quan đến tốc độ có nghĩa tìm tốc tiến tới n   hiệu   E f TNn  E f  Z  30 Định nghĩa: BNN Z đƣợc gọi  n - phân tích đƣợc Có nghĩa với n  k  tồn BNN độc lập Z ni , i  cho phân phối Pz Z biểu diễn  PZ  Pn  k   Z ni (2.6) i k 2.3 Điều kiện Lindeberg ngẫu nhiên Kí hiệu: CB  CB  R  lớp hàm liên tục giá trị thực bị chặn xác định với chuẩn f  sup f  x  x Ta đặt  CBr  f  CB , f ' , f '' , , f  r   CB  TNn  n ( Nn )S Nn , N n đại lƣợng ngẫu nhiên lấy giá trị {1,2,…} Suy   i 1 i 1 E f (TNn )   P( N n  i).E f (n (i) X ni ) ,   i 1 i 1 E f  Z    P( N n  i).E f (n (i) Z ni ) Định nghĩa Dãy ( X nk n, k  1) gọi thoả mãn Lindeberg ngẫu nhiên mở rộng (với   ) s    E   E X ni I  X ni   / n  N n     LsNn     i  Nn s      E X ni   n    i  Nn (2.7) Khi s  , n  i    ni1 điều kiện (với   )   L     E  N2n   Nn    x dP  X ni  x    n    x  Nn   i  Nn (2.8) 31 Nếu N n  n hầu chắn (2.8) điều kiện Lindeberg thơng thường martingale ngược Định nghĩa Dãy  X nk  n, k  gọi thoả mãn điều kiện Feller ngẫu nhiên  sup E X nk2  k  Nn    lim E n     nN n    (2.9) 2.4 Các định lí hội tụ martingale ngƣợc Định lí Giả sử  X nk , F nk  , n, k  1 mảng martingale hiệu ngược (RMDA) thoả mãn điều kiện với r  cố định Giả sử Z BNN n  phân tích cho thành phần Znk , n, k  1 thoả mãn điều kiện Lindeberg ngẫu nhiên bậc r, Z nk độc lập với F n,k 1  1 j r  E  M n  N n   n  N n        j ni E X | Fn ,i 1 i  Nn     E Z   n     j ni (2.10) với  j  r ,   M n  k    E X ni  E Z ni i k  r r   n   , Nếu n  Nn   M n  Nn   O E n  Nn   M n  N n  r r (2.11) với f C Br ta có     r E f TNn  E f  Z   f E n  N n   M n  N n  n     (2.12) Ta thấy từ định lí ta nhận đƣợc định lí giới hạn trung tâm ngẫu nhiên sau với RMDA Định lí Giả sử  X nk , F nk  , n, k  1 RMDA cho E Sn21   n  1, giả sử Nn , n  1 dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương Nếu, n  1, N n độc lập với F nk , k  1 , thoả mãn 32  lim E  n  2 nN n    E X ni2 | F n ,i 1  E X ni2  , (2.13) i  Nn L2n    ta có   lim n  SnNn /  nNn  N  0,1 n   (2.14) Ta thấy nhƣ biến ngẫu nhiên Z định lí cho P  Z  0  , Z  n phân tích đƣợc, trƣờng hợp (2.12) suy đƣợc luật yếu số lớn RDMA Chẳng hạn,  X ni , F ni  , n, i  1 RDMA thoả mãn (2.7) với r  1, n  Nn   Nn1   E X nk k  Nn    E X nk / Nn   ENn  k  Nn    E f SnNn   , n   Khi với f  C1 ta có B       / Nn  f  0  o f  E  E X nk / N n   ,        k  Nn      thêm điều kiện  E X nk / N n   n   ta có    k  Nn     lim E f SnNn / N n  f   n 2.5 Chứng minh định lí Chứng minh định lí Giả sử  n hàm chuẩn hoá Z biến ngẫu nhiên  n - phân tích đƣợc Ta giả thiết n, k   PZ  Pn  k   Z ni i k Ta đặt i 1 Rnki    Z nj  j k Do  j i 1 X nj , n, k  1, i  k 33  f Tnk   f  n  k      i k  Z ni        f n  k   Rnki  X ni   f n  k   Rnki  Z ni  (2.15) i k Trong Tnk  n  k  Snk Theo công thức khai triển Taylor’s bậc r hàm f  n k Rnki  X ni  f n  k   Rnki  Zni  ta có  f Tnk   f  n  k        i k  Z ni         r i k j 1    1 t  r 1 i k   k / j ! f  j  n  k  Rnki  X nij  f  j  n  k  Rnki  Z nij  j n    f  r    k  R  tX    f  r    k  R    k  X r  n nki ni n nki n ni  r  f  r  n  k  Rnki  tZ ni    f  r  n  k  Rnki  n  k  Z ni   dt /  r  1!  (2.16) Do   k   n r    M  k  E  f Tnk       1 n     M k   E     1 n   E       r i k j 1  1  t  r 1 i k  f  n  k      i k    Z ni            k   j r / j ! f  j    k  R   X j  Z j    n nki ni ni  n         f  r    k  R  tX    f  r    k  R   n nki ni n nki       f  r  n  k  Rnki  tZ ni    f  r  n  k  Rnki  Z nir  dt /  r  1! M n1  k   I1  I ( 2.17)  Giả sử   cho, tồn   cho, x, y, x  y   , suy f  r   x   f  r   y    Vì  I2    f r   E X ni I  X ni   / n  k    E Z ni I  Z ni   / n  k    M n  k   r i k Hơn nữa, ta thấy r 1 (2.18) 34  r I1  f  j  / j! M 1 n  k  n  k   j r j 1   E      j ni E X | Fn,i 1 j k     E Z    j ni (2.19) Bây giờ, tính đến độc lập N n X ni , Zni , i  từ (2.15) đến (2.19) ta có     E f TNn  f  Z  n  N n    2 f 2 f r  r    E  i  Nn       E  i  Nn  r f i  j 1  M  N  n 1 n    x dP  X ni  x  / M n  N n      r x  /n  N n    r   x dP  Z ni  x  / M n  N n      r x  /n  N n   j r  / j ! E  M n1  N n  n  N n         j ni E X | F n,i 1 i  Nn     E Z ,   j ni (2.20) (2.20) (2.13) kết thúc chứng minh Chứng minh định lí Giả sử n  k   F nk1 , n, k  Z biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với kì vọng phƣơng sai Biến ngẫu nhiên Z n  phân tích đƣợc, cụ thể n  1, ta chọn  Z ni  E X ni2  1/2 Z, i 1 Vì vậy, theo định lí 1(với r = 2) định lí suy ta thấy BNN Z ni , i  thoả mãn (10) Giả sử     cho trƣớc Đặt   An  i : sup E X nk2   Fni2 ta có   E k nN2 n   k i   i  Nn   x dP  Z ni  x    x  FnNn    P  N n  An    x2d   x  , x  F1/2 35 và, nhƣ lƣu ý,(2.10) suy (2.11), định lí đƣợc chứng minh Ví dụ,  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho   E X k2     k 1    2 E F N n E X k2 I X k   F Nn  k  Nn         n   ,   theo định lí 2,  S Nn F 1 Nn  N  0,1 n   , F n   i n  E X S n  i  i n Xi 36 KẾT LUẬN Luận văn thu đƣợc kết sau: Trình bày cách có hệ thống số kiến thức lý thuyết Martingale Phát biểu định lí giới hạn trung tâm định lí Lindeberg dãy BNN độc lập Phát biểu chứng minh định lí hội tụ yếu dãy martingale ngược thoả mãn điều kịên Lindeberg ngẫu nhiên định lý giới hạn trung tâm dãy martingale ngược thoả mãn điều kiện Lindeberg ngẫu nhiên 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB ĐHQG Hà Nội P.Lipster, A.Shiryayev (1974), Statistics of Random Processes, Moscow Z Rychlik, I.Szyszkowski (1983), Weak convenvergence of functionals of sums for martingal differences, Bull Pol Ac Math Vol 31 K Yoshihara (1982), A Weak convenvergence of functionals of sums of independent random variables, Stochastic Processes and their Applications 12 A Krajka, Z Rychlik (1985), Weak convergence of Random reversed Martingales with orates, Bull Pol Ac Math V 33 N1-2 ... ngang cho martingale  X N n , F N n , n  0,1, , N  b  a  E  E  X  a    E  X N  a  26 Chƣơng VỀ TÍNH HỘI TỤ YẾU CỦA CÁC MARTINGALE NGƢỢC Chƣơng thiết lập tính hội tụ yếu martingale. .. kiến thức martingale bao gồm nội dung khái niệm martingale, martingale trên, martingale dƣới, martingale ngƣợc, thí dụ, tính chất martingale, phép biến đổi martingale định lí hội tụ martingale. .. bản…………………………………… 20 1.3 Các định lí hội tụ? ??………………………………………… 21 CHƢƠNG II VỀ TÍNH HỘI TỤ YẾU CỦA MARTINGALE NGƢỢC 2.1 Định lý giới hạn trung tâm………………………………… 25 2.2 .Martingale ngƣợc khái niệm