De thi Hsg toan 8

A tiếp; ra là bán kinh đờng tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác.. M chuyển động trên nửa đờng tròn.[r]

phòng giáo dục-đào tạo đức thọ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán N¨m häc: 2008-2009 Thêi gian: 150 phót Bài 1: Chứng minh m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình: (2m - 1) x + my + = luôn qua điểm cố định 1 1      1.2008 2.2007 k.(2008  k  1) 2008.1 S Bµi 2: 1/ Cho 2008 2009 So s¸nh S víi 2/ Cho a; b; c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: abc = 2008 Chøng minh r»ng: 2008a b c   1 ab  2008a  2008 bc  b  2008 ca  c  Bµi 3: Cho x =   TÝnh gi¸ trÞ cña P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009 x Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2009  x  2009  x  x  = 2009 2008 2009 Bµi 5: Cho 00 <  < 900 Chøng minh r»ng: sin   cos   Bµi 6: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: 1 1 ≥ ab  bc  ca Bµi 7: T×m tÊt c¶ c¸c ®a thøc P(x) tho¶ m·n: P(x + 1) = P(x) + 2x + víi x  R Bµi 8: Cho ABC cã ba c¹nh lµ a, b, c, cã chu vi lµ 2p vµ diÖn tÝch S; r lµ b¸n kÝnh ® êng trßn néi    2a  b   2a  c   2b  c   2b  a   2c  a   2c  b  A tiếp; là bán kinh đờng tròn bàng tiếp góc A tam giác Chứng minh: p(p – a) = S Bài 9: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB M chuyển động trên nửa đờng tròn Xác định vị tg trí điểm M để MA + Bµi 10: Cho d·y sè MB đạt giá trị lớn  an đợc xác định theo công thức: a1 2  a n 3a n   2n  9n  9n  3; n = 2,3, Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn tè p th× d·y c¸c tổng tơng ứng a1 + a2 + ap – chia hết cho p - HÕt - Híng dÉn chÊm Bµi 1: (2 ®) Tõ (2m - 1) x + my + =  m(2x + y) + – x = 1® 2x  y 0    x   Víi mäi m th× ab Bµi 2: (3 ®) 1/ Ta chøng minh: S x 3  y   1® a b 0,5® 2 2008    2 2009 2009 2009 2009 áp dụng BĐT trên đợc: 2/ Tõ abc = 2008 suy a; b; c kh¸c Thay abc = 2008 ta cã: 1® 0,5® 2008 b bc bc  b  2008    1 bc  b  2008 bc  b  2008 bc  b  2008 bc  b  2008 1®   x  3 3   Bµi 3: (2 ®) Tõ x =  3–x=x  x3 – 3x2 + 9x – = 1® 2009 2008 2007 2006 2006 P = x – 3x + 9x – 9x + 2009 = x (x – 3x + 9x – 9) + 2009 = 2009 1® Bµi 4: (2 ®) §K: x ≥ 2009 Ta cã 2009 0,5®  2009  x    2009  x  x 2009 x 2009    2009  x  x 2009  x  x  (1) 0,5®  (2) 0,5® Céng (1) vµ (2) suy ra: x = x hay x = vµ x = Bài 5: (2 đ) Ta dễ chứng minh đợc sin; cos < với  < 900 0,5® 1® 2008 2009 Nªn sin2008 < sin2 vµ cos2009 < cos2 nªn sin   cos   1 Bµi 6: (2 ®)  2a  b   2a  c   bc  2ac  bc   2ab  bc   1® bc ≥  ab  bc  ca  ca  (Cauchy) 1® ab  2b  c   2b  a   ab  bc  ca  ;  2c  b   2c  a   ab  bc  ca  0,5® T¬ng tù Từ đó suy BĐT cần chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c 0,5® 2 2 Bµi 7: (2 ®) Ta cã P(x + 1) + x = p(x) + x + 2x +  P(x + 1) – (x + 1) = P(x) – x 0,5® Đặt Q(x) = P(x) – x2, đó Q(x) = Q(x + 1) 0,5® Cho x = 0; 1; 2; nhận đợc Q(0) = Q(1) = Q(2) = = Q(n) = 0,5® Suy phơng trình Q(x) – Q(0) = có vô số nghiệm Do đó Q(x) – Q(0)   P(x) – x = Q(0) = P(0) VËy P(x) = x2 + a víi a lµ h»ng sè tuú ý Thö l¹i ta thÊy tho¶ m·n bµi to¸n 0,5® tg Bài 8: (2 đ) Chứng minh đợc S = (p – a)ra và = p tg  S = p(p – a) A A  Bài 9: (2 đ) Chứng minh đợc AMB = 900 Theo Pitago: MA2 + MB2 = AB2 = R2 1,5 ® 0,5® 0,5® ¸p dông B§T: ax  by  a  b2 x  y2  ta cã MA + MB ≤ 4R  MA = MB hay M ë vÞ trÝ cho A = 600 DÊu “=” x¶y 1® 0,5® 3 a n  n 3  a n    n  1  32  a n    n         Bµi 10: (1 ®) Theo gi¶ thiÕt = 3n   a   = 3n VËy nªn an = 3n – n3 víi mäi n  N* 0,5® Víi p = th× a1 =  Víi p > th× a1 + a2 + ap – Do   3p    13  23    p  1     32   3p   k   p  k  p  3 = vµ  p  p nªn a1 + a2 + ap –  p   0,5®