Đang tải... (xem toàn văn)
Chiếu vuông góc các 4 điểm hình tròn nhỏ lên AB ta được hình chiếu của mỗi hình tròn nhỏ là một đoạn thẳng có độ dài bằng đường kính của hình tròn đó.. Ta gọi các đoạn thẳng đó là đoạn t[r]
(1)TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI ĐỀ THI MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN, TỈNH LAI CHÂU ĐỀ THI ĐỀ XUẤT LỚP 10 (Đề này gồm có 01 trang, gồm 05 câu) x y 2y x y 5 Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình: y xy y Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt H ( E AC, F AB ) Trên các tia FB, EC lấy các điểm P, Q cho FP FC , EQ EB Các đường thẳng BQ, CP cắt K Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm BQ, CP Đường thẳng IJ cắt BC, PQ theo thứ tự M, N Chứng minh rằng: a) HK IJ b) CAM BAN Câu (4 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3 a b c P bc ca a b Câu (4 điểm) Cho đường tròn (C) có bán kính Bên đường tròn (C) người ta đặt số hữu hạn các hình tròn nhỏ mà tổng độ dài các đường kính chúng 4031 Chứng minh có thể vẽ đường thẳng cắt ít 2015 hình tròn nhỏ Câu (4 điểm) Cho p là số nguyên tố Chứng minh p là số nguyên tố thì p là hợp số Lưu ý: thang điểm 20 ………… … HẾT ………… … Người thẩm định Bùi Văn Hoàn 0916561438 Người đề Lê Thành Trung (SĐT: 01642 222 400) (2) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN, LỚP: 10 Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, đúng cho điểm tối đa theo thang điểm đã định Câu Nội dung Điểm 1,0 u x y u v u v 4 (4 điểm) (u, v 0) 2 2 v 2y Đặt Khi đó hệ trở thành u v u v 3 1,0 u v u v 1 u v u v 2uv 4 u v u v uv 1 u v 1 uv uv uv 4uv u v 1,0 x y 1 x 2 2y 1 y 1 Với u = v = 1, ta có 1,0 Vậy hệ có nghiệm x, y 2,1 (4 điểm) a) (2,0 điểm) Gọi C1 , C2 theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp các tam giác FPC, EBQ Vì các tam giác FPC và EBQ vuông cân nên BPC CQB tứ 1,0 KP.KC KB.KQ PK/ C1 PK/ C2 giác BPQC nội tiếp Mặt khác tứ giác EFBC nội tiếp, ta có HF.HC HE.HB PH/ C1 PH/ C2 Suy HK là trục đẳng phương C1 và C2 (1) Ta lại có IJ là đường nối tâm C1 , C (2) Từ (1), (2) suy HK IJ (đpcm) b) (2,0 điểm) Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác KBC với cát tuyến MIJ và tam giác KPQ với cát tuyến NJI ta có: 1,0 1,0 (3) MB JC IK NQ JP IK MB NQ 1 MC JK IB NP JK IQ MC NP (3) Gọi d là đường phân giác góc BAC , gọi B’, M’, C’ theo thứ tự là ảnh B, M, C qua phép đối xứng trục d Ta có B’, M’, C’ thẳng hàng và B’C’ // PQ (4) M 'B' MB Lại có M 'C' MC (5) 1,0 M 'B' NQ M 'C' NP (6) Từ (3) và (5) ta có Từ (4) và (6) suy A, M’, N thẳng hàng Do đó BAM ' BAN Theo tính chất phép đối xứng trục ta có CAM BAM ' Từ đó suy CAM BAN (đpcm) Ta có : (4 điểm) c3 a b3 a b c 3 a b 4 a b 2 1,0 c3 c 3 a b 4 a b Do đó Tương tự ta có: a3 a 3 b c 4 b c (1) Đẳng thức xảy a b 1,0 (2), b b 3 c a 4 c a 3 (3) a b c 3 b c c a a b3 Từ (1), (2), (3) ta có 1 a b b c3 c a 3 3 a b3 b c c a 3 P 2 Đẳng thức xảy a b c MinP Vậy Lấy đường kính AB (C) cố định Chiếu vuông góc các (4 điểm) hình tròn nhỏ lên AB ta hình chiếu hình tròn nhỏ là đoạn thẳng có độ dài đường kính hình tròn đó (Ta gọi các đoạn thẳng đó là đoạn thẳng ảnh) Vì các hình tròn nằm (C) nên các đoạn thẳng ảnh này bị chứa đoạn thẳng AB Do số hình tròn nhỏ là hữu hạn nên số đoạn thẳng ảnh là hữu hạn Lần lượt, theo chiều từ A đến B, kí hiệu các đầu mút các đoạn thẳng ảnh là A1 ,A , ,A n (Mỗi 4P điểm Ai , i = 1, 2, , n có thể là đầu mút chung nhiều đoạn 1,0 1,0 1,0 1,0 (4) thẳng ảnh) Gọi mi là số đoạn thẳng ảnh chứa đoạn thẳng A A i Ta có n n i 1 i 1 AiAi1 AB 2; mi AiA i1 4031 i+1 m A A i 1,0 (1) n mi 2014, i 1,n ( i 1,n ) i n i 1 2014 Ai Ai 1 i 1 Nếu thì 2014x2 4031 (mâu thuẫn với (1)) Do đó phải tồn j 1,2,3, ,n 1 cho m j 2015 i 1 AA Lấy điểm K bất kì trên đoạn j j1 , qua K kẻ đường thẳng d vuông góc với AB thì d cắt ít 2015 hình tròn nhỏ (đpcm) Giả sử p, 8p - nguyên tố Ta có p >2 Vì p = thì 8p – =15 (4 điểm) không là số nguyên tố Xét trường hợp: TH1: p = thì 8p – = 23 là số nguyên tố và 8p + = 25 là hợp số TH2: p > Do p nguyên tố nên p không chia hết cho p 1(mod3) (Vì trái lại, p 2(mod3) p 15(mod3) p chia hết cho mặt khác 8p – > 8p – không là số nguyên tố) p 0(mod3) p là hợp số Vậy p và 8p – là số nguyên tố thì p là hợp số 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 (5)