Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M 3; 2 và điểm A có hoành độ dương.... Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật..[r]
(1)THPT THANH LIÊM B LTN 2016 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲN G I Tọa độ Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi vuông góc với với ba vectơ i, j i j 1 đơn vị OM xi y j a a1; a2 a a1i a2 j ; M(x;y) u ( x ; y ), v ( x '; y ') Tọa độ vectơ: cho u v x x '; y y ' u v x x '; y y ' a b e u v xx ' yy ' 0 d u.v xx ' yy ' u.v c ku (kx; ky) u x2 y f cos u, v u.v g Tọa độ điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB) a AB xB xA ; yB y A b AB xB xA yB y A c G là trọng tâm tam giác ABC ta có: d M chia AB theo tỉ số y A yB yC x A xB xC 3 xG= ; yG= x kxB y ky B xM A ; yM A 1 k 1 k k: Đặc biệt: M là trung điểm AB: xM x A xB y yB ; yM A 2 II Phương trình đường thẳng Mộtđường thẳng xác định biết điểm M(x0;y0) và vectơ pháp tuyến n A; B vectơ phương a a; b Phương trình tổng quát Phương trình tham số: A x x0 y y0 0 Ax By C 0 x x0 at y y0 bt n a t R , Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y k x x0 y0 Khoảng cách từ điểm M(xM;yM) đến đường thẳng : Ax By C 0 là: d M , AxM ByM C A2 B III Phương trình đường tròn r M I (C) (2) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 Một đường tròn xác định biết tâm I(a;b) và bán kính r Phương trình: Dạng 1: x a 2 y b r 2 2 2 Dạng 2: x y 2ax 2by d 0 , điều kiện a b d và r a b d Điều kiện để đường thẳng : Ax By C 0 tiếp xúc với đường tròn (C) là: d I , Aa Ba C A2 B r Elip x2 y 1 Phương trình chính tắc: a b , (a>b>0) 2 2 Các yếu tố: c a b , c>0 Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b Hai tiêu điểm F1 c;0 , F2 c;0 Bốn đỉnh: đỉnh trên trục lớn đỉnh trên trục bé A1 a;0 , A2 a;0 B1 0; b , B2 0; b , y B1 A Bán kính qua tiêu điểm: MF1 r1 a exM ; MF2 r2 a exM c e 1 a Tâm sai: F2 F1 M a x e Đường chuẩn: Khoảng cách hai đường chuẩn: d 2 a e BÀI TẬP Bài Trong mặt phẳng Oxy, tìm phương trình đường tròn có tâm I(1;0) và tiếp xúc với đường thẳng (D): 3x–4y + 12 = HD: x O B2 A (3) THPT THANH LIÊM B R d ( I ,( d )) LTN 2016 12 3 (C ) : ( x 1) y 9 Bài Cho ®iÓm P(4 ;0), Q(0 ;-2) a) Viết phương trỡnh tổng quát đờng thẳng qua A(3 ;2) và song song với đt PQ b) ViÕt phương trình tæng qu¸t cña ®t trung trùc cña PQ LG : a) Đường thẳng PQ cã pt x-2y-4=0 d song song víi PQ ,d cã pt : x-2y+c=0 A d c 1 Đường thẳng PQ :x-2y+1=0 b) §êng trung trùc d cña PQ ®i qua T§ I cña PQ,I( ;-1) PQ ( 4; 2) lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cña d, Phương trình cña d lµ :2x+y-3=0 Bài : Cho đường thẳng d cã pt :x-y=0 vµ ®iÓm M(2 ;1) a) ViÕt phương trình tổng quát cña ®t ®x víi d qua M b) T×m h×nh chiÕu cña M trªn d LG :a) LÊy A(1 ;1) Gäi A’(x ;y) ®x víi A qua d x 4 A '(3;1) y Ta cã Nx A kh«ng n»m trªn ®t d nªn d’ ®x víi d qua M sÏ song song víi d,pt cña d’ lµ : x-y-2=0 b) d : x y m 0 M (1;1) m d : x y 0 M ' d M '(3 / 2;3 / 2) Bài 4: Viết phơng trình tiếp tuyến đờng tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = biết tiếp tuyến đó qua M(4; 7) Gi¶i: §êng trßn (C) cã t©m I(-1; 2) B¸n kÝnh R = √5 §êng th¼ng qua M cã ph¬ng tr×nh: A(x - 4) + B(y - 7) = §Ó lµ tiÕp tuyÕn cña (C) th× d(M/(C)) = R Do đó ta tìm đợc hai tiếp tuyến cần tìm: 2x – y – = vµ x – 2y – 10 = Bài 5: Cho đờng tròn (C): (A2 + B2 ) (4) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 x2 + y2 + 2x – 4y = Chứng tỏ điểm P(1; 1) nằm trên đờng tròn đã cho Viết phơng trình tiếp tuyến đờng tròn P Hướng dẫn: a) Dễ dàng kiểm tra đợc P nằm trên đờng tròn IP lµm vect¬ ph¸p tuyÕn b) Tiếp tuyến cần tìm là đờng thẳng qua P và nhận đó ta tìm đợc phơng trình tiếp tuyến: 2x – y – = Bài 6.Cho F1 ( 5; 0), F2 ( 5;0), I (0;3) a)Viết phương trình chính tắc (E) có tiêu điểm F1 , F2 và qua I b) Khi M chạy trên (E), M F1 có GTNN và GTLN bao nhiêu? LG: 2 x y + =1 a2 b2 a) (E) có ptct: (a > b > 0) I(0;3) thuộc (E) nên b =9 hay b=3 2c F1 F2 2 c 5; a b c 14 ptct : x2 y 1 14 b) MF1 a cx a cx cx MF1 a a c MF1 a c a a a c 14 5khi x 14 a x a a MF1min MF1max a c 14 5khi x 14 Bài Viết ptct (E) qua M(0;1) và LG: (E) có ptct: (E) qua M,N x2 y2 + =1 a2 b2 N (1; ) xác định toạ độ các tiêu điểm (a > b > 0) 1 b 1 a 4 1 b 1 a 4b x2 y2 ptct : 1 F1 ( 3;0), F2 ( 3;0) Bài 8: Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho ba đường d1: x – 2y + = 0; d2: 3x – (5) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 y – = 0; d3: 2x + y + = Tìm điểm M trên d1 điểm N trên d2 cho MN = và MN song song với d3 Giải: M thuộc d1, N thuộc d2 nên M(2a - 1; a), N(b; 3b - 2) MN MN 5 (b 2a 1) (3b a 2) 5 <=> (1) MN / / d3 MN nd3 0 (b 2a 1;3b a 2).(2;1) 0 a b thay vào (1) ta a = b = a = b = Vậy có điểm thoả mãn bài toán là: M(-1; 0), N(0; -2) M(3; 2), N(2; 4) Bài 9: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : x− y−2=0 và d : x+ y −2=0 Giả sử d cắt d I Viết phương trình đường thẳng Δ qua M (−1; 1) cắt d và d tương ứng A ,B cho AB=3 IA Giải: d cắt d I(2; 0) Chọn A (0; −2)∈d , ta có IA =2 √2 I d1 A0 A B0 M B d2 Lấy B 0(2−2b ; b )∈d cho A B0 =3 IA =6 √ ⇔(2−2 b)2 +(b+2)2 =72 ⇔ b2 −4 b− 64= ⇔ [ B (−6 ; ) [ b =4 ¿ [¿ 16 [ ⇒ ¿ 42 16 [ b =− [ B0 ; − 5 ( ) Suy đường thẳng Δ là đường thẳng qua M (−1; 1) và song song với A B0 Δ: x + y=0 Δ: x +7 y−6=0 Suy phương trình Bài 10: Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng : x y 0 và hai điểm A(1; 0), B(3; - 4) Hãy tìm trên đường thẳng điểm M cho Giải: MA 3MB nhỏ ; Gọi I là trung điểm AB, J là trung điểm IB Khi đó I(1 ; -2), J( ) (6) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 Ta có : Vì MA 3MB ( MA MB) 2MB 2 MI 2MB 4MJ MA 3MB nhỏ M là hình chiếu vuông góc J trên đường thẳng Đường thẳng JM qua J và vuông góc với có phương trình: 2x – y – = 2 x x y 0 x y 19 19 y ; Vậy M( 5 ) Tọa độ điểm M là nghiệm hệ Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm P( 7;8) và hai đường thẳng d1 :2 x y 0 ; d :5 x y 0 cắt A Viết phương trình đường thẳng d3 qua P tạo với d1 , d thành tam giác cân A và có diện tích 14,5 Giải : A(1; 1) và d1 d Phương trình Ta có các đường phân giác các góc tạo d1 , d là: 1: x y 0 và 2: x y 10 0 d3 d1 tạo với , d tam giác vuông cân d3 vuông góc với 1 2 d3 có dạng: Phương trình x y C 0 hay x y C 0 d3 P ( 7;8) Mặt khác, C = 77 qua nên C = 25 ; Suy : d3 : x y 25 0 hay d3 :3x y 77 0 29 cạnh huyền Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích 58 Suy độ dài đường cao A H = = d ( A, d3 ) 58 d ( A; d3 ) d : x y 25 ( tm) Với thì 58 (7) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 d ( A; d3 ) 87 58 ( loại ) Với d3 : 3x y 77 0 thì Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : x y 0 Tìm trên hai điểm A và B đối xứng qua I(2;5/2) cho diện tích tam giác ABC bằng15 Giải Gọi A( a; 3a 16 3a ) B (4 a; ) 4 Khi đó diện tích tam giác ABC là S ABC AB.d (C ) 3 AB 3a AB 5 (4 2a) 25 Theo giả thiết ta có Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4) a 4 a 0 B 2;1 , điểm A Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh 30o ; bán kính đường tròn ngoại tiếp thuộc Oy, điểm C thuộc Ox ( xC 0 ), góc BAC tam giác ABC Xác định toạ độ điểm A và C Giải: Gọi C(c;0); A(0;a); ta có: BC 2 R sin 30o 2 BC 5 c 1 5 c 0 , c (loai ) Suy C(0 ;0) trùng với điểm O Gọi H hình chiếu vuông góc điểm B trên Oy ta có tam giác BHA nửa tam giác Nên BA =2 BH đó HA = A(0;1 3) A(0;1 3) Vậy có A(0;1 3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) A(0;1 3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB 5, C ( 1; 1) , đường thẳng AB có phương trình là x y 0 và trọng tâm G tam giác ABC thuộc đường thẳng : x y 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và B (8) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 Giải: Gọi I ( x; y ) là trung điểm đoạn AB và G ( xG ; yG ) là trọng tâm ABC Do 2 CG CI xG 2x 2y ; yG 3 nên Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình: x y 0 2x y 3 Vậy I (5; 1) Ta có IA IB x 5 y AB 5 R 2 Gọi (C ) là đường tròn có tâm I (5; 1) và bán kính (C ) : ( x 5) ( y 1) Tọa độ hai điểm A, B là nghiệm hệ phương trình: x y 0 x 4 x 6 5 1 2 ( x 5) ( y 1) y y 1 3 4; , 6; 2 2 Vậy tọa độ hai điểm A, B là Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C 3;5 B 2;0 ; G Là trọng tâm thuộc đường thẳng d có phương trình là 2x y 0 và diện tích tam giác ABC Hãy xác định tọa độ điểm A ? Giải: BC ( 5;5) BC 5 2pt : BC là:x + y - = 5 SABC SGBC SABC (G là trọng tâm tam giác ABC) G d : 2x y 0 G(x; 2x 1)3 (9) THPT THANH LIÊM B d (G.BC) Với LTN 2016 2 2 x G( ; ) x 2x 2SGBC 1 x 1 BC 3 2 x G( ; 11) 3 G( 2 11 ; ) A( 1; 2); G( ; ) A( 3; 6) 3 3 Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3,2), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2 , là G( 3 ) và I(1,-2) Xác định tọa độ đỉnh C Giải: 4 IM (2;4), GM ; 3 3 AG GM A(-4; Gọi A(xA; yA) Có -2) Đường thẳng BC qua M nhận vec tơ IM làm vec tơ pháp tuyến nên có PT: 2(x - 3) + 4(y - 2) = x + 2y - = Gọi C(x; y) Có C BC x + 2y - = 2 2 Mặt khác IC = IA ( x 1) ( y 2) 25 ( x 1) ( y 2) 25 x y 0 2 Tọa độ C là nghiệm hệ phương trình: ( x 1) ( y 2) 25 (10) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 x 5 x 1 y Giải hệ phương trình ta tìm và y 3 Vậy có điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3) Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A , biết B và C đối xứng qua gốc tọa độ Đường phân giác góc ABC có phương trình là x y 0 Tìm tọa độ các đỉnh tam giác biết đường thẳng AC qua điểm K (6; 2) Giải: B(5 2b; b), C (2b 5; b) , O(0;0) BC Gọi I đối xứng với O qua phân giác góc ABC nên I (2;4) và I AB Tam giác ABC BI 2b 3;4 b CK 11 2b; b vuông A nên vuông góc với (2b 3)(11 2b) (4 b)(2 b) 0 b 1 5b 30b 25 0 b 5 Với b 1 B(3;1), C ( 3; 1) A(3;1) B loại Với b 5 B( 5;5), C (5; 5) 31 17 A ; 5 31 17 A ; ; B( 5;5); C (5; 5) Vậy 5 Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC, các đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình là: x−2 y−13=0 và 13 x−6 y−9=0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(−5 ; 1) (11) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 Giải: + Theo giả thiết thì A(-3 ;-8) + Đường thẳng qua I(-5;1) và song song với x-2y-13=0 cắt đường thẳng 13x-6y9=0 M(3;5) + Đường thẳng qua BC có phương trình là: 2x + y – 11 = nên B(x B; 11-2xB) Mà IA = IB nên B(4; 3) B(2;7) + Vậy B(4; 3) và C(2;7) C(4; 3) và B(2;7) là hai nghiệm cần tìm Bài 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C nằm trên hai đường thẳng d 1: x + y + = và d2: x + 2y – = Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG Giải: B( xB ; yB ) d1 xB yB 5; + Giả sử C ( xC ; yC ) d xC yC Vì G là trọng tâm nên ta có hệ: xB xC 6 yB yC 0 + Từ các phương trình trên ta có: B(1;-4) ; C(5;1) + Ta có BG(3; 4) VTPT nBG (4; 3) nên phương trình BG: 4x – 3y – = + Bán kính R = d(C; BG) = phương trình đường tròn là: (x – 5) 81 + (y – 1) = 25 Bài 20: Cho ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: x y 1 0 và phân (12) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 giác CD: x y 0 Viết phương trình đường thẳng BC Giải: Điểm C CD : x y 0 C t ;1 t t 1 t M ; 2 Suy trung điểm M AC là t 1 t M BM : x y 0 0 2 Điểm t C 7;8 Từ A(1;2), kẻ AK CD : x y 0 I (điểm K BC ) Suy AK : x 1 y 0 x y 0 x y 0 I 0;1 x y Tọa độ điểm I thỏa hệ: K 1;0 Tam giác ACK cân C nên I là trung điểm AK tọa độ Bài 21: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: x+7 y−31=0, hai đỉnh B, D thuộc các đường thẳng d1 : x y 0, d : x y 0 Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 và đỉnh A có hoành độ âm Giải: B d1 B(b;8 b), D d (2d 3; d ) Khi đó BD ( b 2d 3; b d 8) và trung điểm BD b 2d b d I ; 2 Theo tính chất hình thoi ta có : u AC BD 0 BD AC I AC I AC 8b 13d 13 0 b 0 6b 9d 0 d 1 Suy B(0;8); D( 1;1) là (13) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 9 I ; Khi đó 2 ; A AC A( 7a 31; a) 2S 15 S ABCD AC.BD AC ABCD 15 IA BD 2 63 9 225 7a a 2 9 a 2 a 3 a 6 A(10;3) ( ktm) A( 11;6) Suy C (10;3) Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và (0; ) AC = 2BD Điểm M thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương Giải: Gọi N’ là điểm đối xứng N qua I thì N’ xN ' 2 xI xN 4 thuộc AB, ta có: yN ' 2 yI yN Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – = Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: d 4.2 3.1 42 32 2 AC = BD nên AI = BI, đặt BI = x, AI = 2x tam giác vuông ABI có: 1 2 2 d x x suy x = suy BI = Điểm B là giao điểm đường thẳng 4x + 3y – = với đường tròn tâm I bán kính Tọa độ B là nghiệm hệ: 4x 3y – 2 ( x 2) ( y 1) 5 B có hoành độ dương nên B( 1; -1) Bài 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm C(3; -3) và (14) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 điểm A thuộc đường thẳng d: 3x + y -2 = Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng DM phương trình : x – y –2 = Xác định tọa độ các điểm A, B, D Giải: A d A(t; -3t) Ta có: d(C; DM) = d(A; DM) | 4t -4 | ⇔ [ t=3 ¿ [¿ = | t - | = [ t=−1 t = A(3, -7) (loại vì A, C phải khác phía đối DM) t = -1 A(-1, 5) (thỏa mãn) Giả sử D(m; m-2) AD CD (m 1)( m 3) ( m 7)( m 1) 0 2 2 AD CD (m 1) ( m 7) ( m 3) (m 1) m 5 D(5;3) Gọi I là tâm hình vuông I là trung điểm AC I (1; 1) Do I là trung điểm BD B(-3; -1) Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử 11 M ; 2 và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – = Tìm tọa độ điểm A Giải: A B M a 10 a 5a Ta có : AN = ; AM = ; MN = ; AM AN MN o AM AN cosA = = MAN 45 MAN (Cách khác :Để tính D N C = 45 ta có thể tính 2 1 tan( DAM DAN ) 1 ) (15) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 Phương trình đường thẳng AM : ax + by cos MAN 2a b 11 a b 2 =0 a t 3t – 8t – = (với t = b ) t = hay x y 0 + Với t = tọa độ A là nghiệm hệ : 3x y 17 0 A (4; 5) t 5(a b ) 2 x y 0 tọa độ A là nghiệm hệ : x y 0 A (1; -1) + Với Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi MNPQ có M(1; 2), phương trình NQ là x y 0 Tìm toạ độ các đỉnh còn lại hình thoi, biết NQ = 2MP và N có tung độ âm Giải: Phương trình MP là: x y 0 I MP NQ tọa độ I là nghiệm hệ phương x y 0 x y 0 x 2 I 2;1 y 1 trình I là trung điểm MP nên suy P 3;0 phương trình NQ là x y 0 nên tọa độ N, Q có dạng (m; m-1) Do NQ 2MP IN 4IM m m 4 12 12 m 4 m 4 m 0 Vì N có tung độ âm nên N(0; -1) Q(4; 3) Vậy P 3; , N(0; -1), Q(4; 3) là các đỉnh cần tìm Bài 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông 2 ABCD có phương trình: ( x 2) ( y 3) 10 Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông biết đường thẳng chứa cạnh AB qua điểm M ( 3; 2) và điểm A có hoành độ dương (16) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 Giải: Phương trình đường thẳng qua M(-3;-2) 2 có dạng ax by 3a 2b 0 (a b 0) Đường tròn (C) có tâm I(2;3) và bán kính R 10 d I ; AB R (C) tiếp xúc với AB nên hay 2a 3b 3a 2b a b 10 10(a b2 ) 25(a b) a 3b ( a 3b)(3a b) 0 b 3a Do đó phương trình AB là x - y - 0 AB: x - y 0 + Nếu AB: x - y 0 Gọi A(t;3t+7) vì A có hoành độ xA nên t > và t 0 3t 20 10t 20t 20 20 IA2 2.R 20 nên t (loại) + Nếu AB: x - y - 0 Gọi A(3t+3;t) vì A có hoành độ xA nên t >-1 và 2 IA2 2.R 20 nên 3t t 3 20 10t 10 20 t 1 Suy A(6;1) C(- t 2 2;5) và B(0;-1); D(4;7) Vậy các điểm cần tìm là A(6;1); B(0; 1); C ( 2;5); D(4;7) Bài 27: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x – 2y – = 0, đường chéo BD: x – 7y + 14 = và đường chéo AC qua điểm M(2 ; 1) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật Giải: AC: kx – y – 2k + = cos CAB = cos DBA |k +2| ⇔ = ⇔7 k −8 k +1=0 ⇔k =1; k= √ √ k +1 k = , AC : x – y – = , AC : x – 7y + = // BD k= ( lọai) Ta tìm A(1 ; 0), C(6 ; 5), D(-4 ; 0) (17) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 Bài 28: Cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C và D Giải: Ta có: AB 1; AB Phương trình AB là: x y 0 I d : y x I t ; t I là trung điểm AC và C 2t 1; 2t , D 2t ; 2t BD nên ta có: Mặt khác: S ABCD AB.CH 4 (CH: chiều cao) CH 8 2 | 6t | t 3 C ; , D ; d C ; AB CH 5 t 0 C 1;0 , D 0; Ngoài ra: 8 2 C ; ,D ; C 1;0 , D 0; Vậy tọa độ C và D là 3 3 C : x y x y 0 Bài 29: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn và điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d qua A, gọi B, C là giao điểm đường thẳng d với (C) Lập phương trình d cho AB AC nhỏ Giải: Tâm đường tròn I (3; 1), R 2; IA 2 d ( I , A) R 2 nên điểm A nằm ngoài (C) Ta có PA/(C ) AB.AC = d2- - R2 = 16 và AB AC 2 AB AC 2.4 8 dấu “=”xẩy AB = AC = Khi đó d là tiếp tuyến (C), d a( x 1) b( y 3) 0 có dạng ax by a 3b 0 Từ đó ta có (18) THPT THANH LIÊM B d ( I , d ) 2 3a b a 3a a b2 LTN 2016 b 0 2 3b 4ab 4a 3b chọn b 0 b 4 a 1 a 3 Vậy phương trình d : x 1 , x y 15 0 2 Bài 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): x y x y 0 và điểm M (7;7) Chứng minh từ M kẻ đến (T) hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Giải: (T ) ( x 1) ( y 2) 13 I (1; 2); R 13 Ta có: IM (6;9) IM 117 13 Suy điểm M nằm ngoài (T) Vậy từ M kẻ đến (T) tiếp tuyến Gọi K MI AmB Ta có MA MB, IA IB MI là đường trung trực AB KA = KB KAB KBA KAM KBM K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB x 1 2t PTTS MI: y 3t , MI (T ) K1(3;1) và K2(-8;-12) Ta có AK1 AK Vậy K K1 , tức là K(3;1) Bài 31: Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: y Gọi (C) là đường tròn cắt d điểm B, C cho tiếp tuyến (C) B và C cắt O Viết phương trình đường tròn (C), biết tam giác OBC Giải: (19) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 Gọi (C) có tâm I bán kính R OI cắt BC H thì H là trung điểm BC và OH vuông góc BC =>H(0; )=>OH= Do tam giác OBC nên OH= I B C H BC BC 2 Trong tam giác vuông IB có IBH có HB HI HO 1 IH 1 HI OH (0; ) I (0; ) 3 Trong tam giác R IB IH HB O vuông Vậy phương trình đường tròn (C): x2 ( y 4 ) 3 Bài 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng : x – y + = Viết phương trình đường tròn qua M cắt điểm A, B phân biệt cho MAB vuông M và có diện tích Giải: Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương 2 trình ( x a) ( y b) R MAB vuông M nên AB là đường kính suy qua I đó: a - b + = (1) Hạ MH AB có MH d ( M , ) 1 1 S MAB MH AB R R 2 2 Vì đường tròn qua M nên (2 a) (1 b) 2 (2) (1) a b 0 2 Ta có hệ (2 a ) (1 b) 2 (2) (20) THPT THANH LIÊM B LTN 2016 2 Giải hệ a = 1; b = Vậy (C) có phương trình ( x 1) ( y 2) 2 e và hình chữ nhật sở nó có chu Bài 33 (A-2008) Cho Elip với tâm sai vi 20 Lập phương trình chính tắc Elip x2 y 1(b a c ) Giải Gọi phương trình chính tắc Elip là a b c a b2 5 a 3 a2 a b 2 2a 2b 20 2a 2b 20 Theo giả thiết, ta có x2 y 1 Vậy phương trình chính tắc (E) là (21)