A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12 I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. sin α = AB BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos α = AC BC (KỀ chia HUYỀN) 3. tan α = AB AC (ĐỐI chia KỀ) 4. cot α = AC AB (KỀ chia ĐỐI) II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. BC 2 = AB 2 + AC 2 (Định lí Pitago) 2. AB 2 = BH.BC 3. AC 2 = CH.BC 4. AH 2 = BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6. 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + III. ĐỊNH LÍ CÔSIN 1. a 2 = b 2 + c 2 – 2bccosA 2. b 2 = a 2 + c 2 – 2accosB 3. c 2 = a 2 + b 2 – 2abcosC IV. ĐỊNH LÍ SIN a b c 2R sin A sin B sinC = = = V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC a) AM AN MN AB AC BC = = ; b) AM AN MB NC = VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 1. Tam giác thường: a) S = 1 ah 2 b) S = p(p a)(p b)(p c)− − − (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) 2. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3 2 ; b) S = 2 a 3 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 3. Tam giác vuông: a) S = 1 2 ab (a, b là 2 cạnh góc vuông) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): a) S = 1 2 a 2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2 5. Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30 o hoặc 60 o b) BC = 2AB c) AC = a 3 2 d) S = 2 a 3 8 6. Tam giác cân: a) S = 1 ah 2 (h: đường cao; a: cạnh đáy) b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 1 α H C B A N M C B A 60 o 30 o C B A 8. Hình thoi: S = 1 2 d 1 .d 2 (d 1 , d 2 là 2 đường chéo) 9. Hình vuông: a) S = a 2 b) Đường chéo bằng a 2 10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11. Đường tròn: a) C = 2 π R (R: bán kính đường tròn) b) S = π R 2 (R: bán kính đường tròn) VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC 1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm b) * BG = 2 3 BN; * BG = 2GN; * GN = 1 3 BN 2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Hình tứ diện đều: a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy) c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 2. Hình chóp đều: a) Có đáy là đa giác đều b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 3. Đường thẳng d vuông góc với mp( α ): a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp( α ) Tức là: d a; d b a b a,b ⊥ ⊥ ∩ ⊂ α ⇒ d ⊥ ( α ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) a a d ( ) α ⊥ β α ∩ β = ⊥ ⊂ β ⇒ d ⊥ ( α ) c) Đt d vuông góc với mp( α ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp( α ) 4. Góc ϕ giữa đt d và mp( α ): d cắt ( α ) tại O và A ∈ d Nếu AH ( ) H ( ) ⊥ α ∈ α thì góc giữa d và ( α ) là ϕ hay ˆ AOH = ϕ 5. Góc giữa 2 mp( α ) và mp( β ): Nếu ( ) ( ) AB FM AB;EM AB EM ( ),FM ( ) α ∩ β = ⊥ ⊥ ⊂ α ⊂ β thì góc giữa ( α ) và ( β ) là ϕ hay ˆ EMF = ϕ 6. Khoảng cách từ điểm A đến mp( α ): (hình ở mục 4) ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 2 G P N M C B A α β ϕ F E M B A ϕ O H A d' d α Nếu AH ⊥ ( α ) thì d(A, ( α )) = AH (với H ∈ ( α )) B. KHỐI ĐA DIỆN I/ CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH 1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 2. Thể tích khối chóp: V = 1 Bh 3 (diện tích đáy là đa giác) 3. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V KHCN = a .b.c II/BÀI TẬP: 1. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a . 2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a . 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB a) Chứng minh rằng: SH ⊥ (ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60 0 . Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A ’ B ’ C ’ , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA ’ = 3a. Tính thể tích của lăng trụ 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A ’ B ’ C ’ , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C ∧ = 60 0 , đường chéo BC ’ của mặt bên (BCC ’ B ’ ) hợp với mặt bên (ACC ’ A ’ ) một góc 30 0 . a) Tính độ dài cạnh AC ’ b) Tính thể tích lăng trụ 7. Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích của khối chóp đó. 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 30 0 . Tính thể tích khối chóp . 9. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = BC = a . Mặt bên SBC tạo với đáy góc 30 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 10. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A ’ B ’ C ’ có tất cả các cạnh đều bằng a a) Tính thể tích của khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A ’ BB ’ C 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD), cạnh bên SB = 3a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh trung điểm I của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 12 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm cạnh BC . Chứng minh SA vuông góc với BC và tính thể tích khối chóp S.ABI theo a . 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên hình chóp đều bằng nhau và bằng 2a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 14. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB là 120 0 , góc BSC là 60 0 , góc CSA là 90 0 . Chứng minh tam giác ABC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC . 15. Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c và vuông góc nhau từng đôi .Tính thể tích khối tứ diện OABC và diện tích tam giác ABC . 16. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Tam giác SAC là tam giác đều . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 3 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng cân tại A , AB = a , mặt bên SBC vng góc với (ABC) , hai mặt bên còn lại cùng tạo với (ABC) góc 45 0 . Chứng minh chân đường cao H của hình chóp là trung điểm BC và tính thể tích khối chóp S.ABC 18. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vng cân có AB = BC = a . Gọi B’ là trung điểm SB , C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC .Chứng minh SC vng góc với mp(AB’C’) và tính thể tích khối chóp S.AB’C’ 19. Cho hình chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vng tại B cóAB = a , BC = b và SA = c, SA vng góc với (ABC).Gọi A’và B’ là trung điểm của SA và SB. Mặt phẳng ( CA’B’) chia khối chóp thành 2 khối đa diện. a) Tính thể tích hai khối đa diện đó . b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. 20. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD C. MẶT CẦU, MẶT NĨN, MẶT TRỤ PHẦN 1: MẶT CẦU, KHỐI CẦU 1/ Tóm tắt lý thuyết: ( SGK) 2/ Các công thức: Diện tích mặt cầu: 2 4S R π = Thể tích khối cầu: 3 4 3 V R π = 3/ Các dạng tốn thường gặp: Dạng 1: Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu bằng đònh nghóa - Tập hợp những điểm M cách đều một điểm O cố đònh là một mặt cầu tâm O, bán kính OM - Các điểm cùng nhìn đoạn AB cố đònh dưới một góc vuông là mặt cầu tâm là trung điểm O của AB, bán kính 2 AB R = . - Tập hợp những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm A, B cố đònh bằng hằng số k 2 là mặt cầu, tâm là trung điểm O của AB, bán kính 2 2 1 2 2 R k AB= − Dạng 2: Bài tốn 1: Hình chóp S.ABCD… có các cạnh bên bằng nhau ( SA = SB = SC….) • Vẽ SO ⊥ đáy (ABC…) , SO là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC… • Trong mp ( SAO), đường trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC…. • Bán kính của mặt cầu nói trên là R = ÍS=IA=… và ta có SM.SA = SI.SO ( vì tam giác SMI và SOA đồng dạng), do đó : SO SA SO SASM SIR .2 . 2 === Bài tốn 2: Hình chóp S.ABC… có : Cạnh bên SA ⊥ đáy (ABC…) và đáy ABC… nội tiếp đường tròn (O) • Vẽ trục dường tròn ngoại tiếp ABC… đó là đường thẳng d qua O và vng góc với mp (ABC…), ta có d // SA • Trong mp(d,SA), đường trung trực của SA cắt d tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC…. • Bán kính của mặt cầu nói trên là : ) 2 SA OI Vi ( 4 2 222 =+=+== SA AOOIAOIAR Bài tốn 3: Hình chóp có các đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dưới những góc ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 4 D C B A O S A O I B C S vng, chẳng hạn tứ diện ABCD có ∠ ABD = ∠ ACD = 90 0 Lúc đó, mặt cầu ngoại tiếp ABCD tâm O là trung điểm của AD và bán kính R = 2 AD Ta có : ⇒ === === ODOA AD OC ODOA AD OB 2 2 OA = OB = OC =OD 4/ Bài tập: Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC), ∆ ABC vng tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vng cạnh bằng a. SA = 2a và vng góc với mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. Bài 5: Chứng minh tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu. Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại B, DA vuông góc với mặt phẳng (ABC). a) Xác đònh mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D. b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính mặt cầu trong a). Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác đều có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. SA = AB = a. a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C. b) Tính diện tích mặt cầu. Bài 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b và OC = c. Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ điện OABC. Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và mặt đáy là ϕ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 10: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi B’, C’, D’ là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD. Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt B’C’D’.BCD PH Ầ N 2: MẶT TRỤ, MẶT NÓN I/ LÝ THUYẾT A. MẶT TRỤ 1. Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ song song với l. - Đường thẳng ∆ là trục - Khoảng cách giữa ∆ và l là bán kính 2. Hình trụ là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một hình chữ nhật quanh một đường trung bình của nó. 3. Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của nó. ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 5 4. Các công thức Công thức tính diện tích xq S =2 Rh π ; TP xq 2 S = S + S = 2 R.(h +R) π đáy Công thức tính thể tích 2 V= R .h π B. MẶT NÓN 1. Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ cắt l nhưng không vuông góc với l. - Đường thẳng ∆ là trục - Giao điểm O của l và ∆ gọi là đỉnh. - Hai lần góc hợp bởi l và ∆ gọi là góc ở đỉnh. 2. Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một tam giác cân quanh trục của nó. 3. Khối nón là hình nòn cùng với phần bên trong của nó. 4. Các công thức Công thức tính diện tích xq S = Rl π ; TP xq S = S + S = R.(l +R) π đáy Công thức tính thể tích 2 1 V= R .h 3 π II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài 1: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vng. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Bài 2: Trong khơng gian cho tam giác vng OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vng OAB quanh cạnh góc vng OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. a)Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b)Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. Bài 5: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Tính: SO = lsin α ( ∨ ∆ SOA tại O) Bài 6: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2 π a 2 . Tính thể tích của hình nón Bài 7: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 0 và diện tích đáy bằng 9 π . Tính thể tích của hình nón Bài 8: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nó c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60 0 . Tính diện tích của thiết diện này Bài 9: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 6 Bài 10: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60 0 . Tính diện tích tam giác SBC ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN: 1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ: 1. );;( ABABAB zzyyxxAB −−−= 2. AB AB = = 222 )()()( ABABAB zzyyxx −+−+− 3. ( ) 332211 ;; babababa ±±±=± →→ 4. ( ) 321 ;; kakakaak = → 5. = = = ⇔= →→ 33 22 11 ba ba ba ba 6. 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 332211 . . . ),cos( bbbaaa bababa ba ba ba ++++ ++ == →→ →→ →→ 7. 332211 babababa ++= →→ 8. 2 3 2 2 2 1 aaaa ++= → 9. 3 3 2 2 1 1 // b a b a b a bkaba ==⇔=⇔ →→→→ 10. 0 0. 332211 =++⇔=⇔⊥ →→→→ bababababa 11. = →→ 21 21 13 13 32 32 ;;, bb aa bb aa bb aa ba 12. a,b,c r r r đồng phẳng ( ) 0. =∧⇔ cba 13. a,b,c r r r khơng đồng phẳng ( ) 0. ≠∧⇔ cba 14. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 15. M là trung điểm AB − − − − − − k kzz k kyy k kxx M BABABA 1 , 1 , 1 +++ 2 , 2 , 2 BABABA zzyyxx M 16. G là trọng tâm tam giác ABC 17. Véctơ đơn vị: ++++++ , 3 , 3 , 3 CBACBACBA zzzyyyxxx G )1,0,0();0,1,0();0,0,1( 321 === eee 18. OzzKOyyNOxxM ∈∈∈ ),0,0(;)0,,0(;)0,0,( 19. OxzzxKOyzzyNOxyyxM ∈∈∈ ),0,(;),,0(;)0,,( 20. 2 2 2 ABC 1 2 3 1 1 S AB AC a a a 2 2 ∆ = ∧ = + + uuur uuur 21. ABCD 1 V (AB AC).AD 6 = ∧ uuur uuur uuur 22. [ ] '., //// . AAADABV DCBAABCD = 2/ Mặt cầu : 2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R ( ) ( ) ( ) 2 Rczbyax:R)S(I, 222 =−+−+− (1) Ptrình D + + + = 2 2 2 x y z +2Ax + 2By +2Cz 0 (2) ( A B C D + + − > 2 2 2 với 0 ) là phương trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và 2 2 2 A B C D = + + − R 2.2 Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho ( ) ( ) ( ) 2 Rczbyax:(S) 222 =−+−+− và mp(α) : Ax + By + Cz + D = 0 Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α) : d > R : (S) ∩ α = φ d = R : α tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, α: tiếp diện) d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt ( ) ( ) ( ) =+++α =−+−+− 2 0DCzByAx : Rczbyax:(S) 222 ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 8 2.3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu += += += tazz tayy taxx d 3o 2o 1o : (1) và ( ) ( ) ( ) 2 Rczbyax:(S) 222 =−+−+− (2) + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm CÁC DẠNG TỐN a/ Các dạng tốn về toạ độ điểm, véctơ. Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔ [ →→ AC,AB ] ≠ 0 r Dạng 2 : Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành • Chứng minh A,B,C không thẳng hàng • ABCD là hbh ⇔ DCAB = Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện: + Cách 1: Chứng minh [ →→ AC,AB ]. → AD ≠ 0 + Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. Thế tọa độ D vào ptmp để chứng minh D ∉ (P) Dạng 4: Hình chiếu của một điểm M trên các trục tọa độ và trên các mp tọa độ: Cho điểm M ( x , y , z ). Khi đó: + M 1 là hình chiếu của điểm M trên trục Ox thì M 1 ( x , 0 , 0 ) + M 2 là hình chiếu của điểm M trên trục Oy thì M 2 ( 0 , y , 0 ) + M 3 là hình chiếu của điểm M trên trục Oz thì M 3 ( 0 , 0 , z ) + M 4 là hình chiếu của điểm M trên mpOxy thì M 4 ( x , y , 0 ) + M 5 là hình chiếu của điểm M trên mpOxz thì M 5 ( x , 0 , z ) + M 6 là hình chiếu của điểm M trên mpOyz thì M 6 ( 0 , y , z ) Dạng 5:/ Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Ta đi chứng minh 2 véctơ AB, AC uuur uuur cùng phương b/ Các dạng toán v ề m ặ t c ầ u : Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A + ( ) ( ) ( ) 2 Rczbyax:R)S(I, 222 =−+−+− (1) + Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R 2 Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB + Tâm I là trung điểm AB + Bán kính 2 AB R = Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp α Mc B.y C.z D I I 2 2 2 A B C (S) + + + = α = + + tâm I A.x I R d(I, ) Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Cách 1 : Ptr mc có dạng D + + + = 2 2 2 x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0 A,B,C,D ∈ mc(S) ⇒ hệ pt, giải tìm A, B, C, D Cách 2: I là tâm mặt cầu = = = ⇔ 22 22 22 IDIA ICIA IBIA Giải hệ pt tìm I, bán kính R= IA ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 9 Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α) Mc(S) có ptr: D + + + = 2 2 2 x y z +2Ax+2By + 2Cz 0 (2) A,B,C ∈ mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào pt (α) Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A( mặt tiếp diện) Tiếp diện ( α ) của mc(S) tại A : α qua A, → = IA n vtpt r Dạng 7: Tìm tiếp điểm H của mặt phẳng và mặt cầu : (là hchiếu của tâm I trên mp α ) + Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mpα : ta có α na d = + Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α) Dạng 8: Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến giữa m/c S(I ;R) và mp(α): + bán kính ),( 22 α IdRr −= + Tìm tâm H ( là h chiếu của tâm I trên mp(α)) *Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mpα : ta có α na d = *Tọa độ H là nghiệm của hpt : ptr(d) ptr( ) α BÀI TẬP ÁP DỤNG A. BÀI TẬP VỀ TOẠ ĐỘ ĐIỂM TOẠ ĐỘ VÉCTƠ: 1: Cho ba vect¬ → a = ( 2;1 ; 0 ), → b = ( 1; -1; 2) , → c = (2 ; 2; -1 ). a) T×m täa ®é cđa vect¬ : → u = 4 → a - 2 → b + 3 → c b) Chøng minh r»ng 3 vt¬ → a , → b , → c kh«ng ®ång ph¼ng . 2: Cho 3 vect¬ → a = (1; m; 2), → b = (m+1; 2;1 ) , → c = (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng . 3: T×m täa ®é cđa vect¬ x → , biÕt r»ng: a) 0a x → → → + = vµ ( ) 1; 2;1a → = − b) 4a x a → → → + = vµ ( ) 0; 2;1a → = − c) 2a x b → → → + = vµ ( ) 5;4; 1a → = − , ( ) 2; 5;3 .b → = − 4: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M: a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz. 5: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M: a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mỈt ph¼ng Oxy c) Qua Trơc Oy. 6: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn l¹i. 7: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M. a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iĨm M. 8 . Cho ba vect¬ ( ) ( ) 1; 1;1 , 4;0; 1 ,a b → → = − = − ( ) 3;2; 1 .c → = − T×m: 2 2 2 2 ) . ; ) . ; ) ;a a b c b a b c c a b b c c a → → → → → → → → → → → → + + ÷ ÷ 2 2 2 ) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c → → → → → → → → → → − + + − ÷ . 9. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ a → vµ b → : ( ) ( ) ) 4;3;1 , 1;2;3a a b → → = = − ( ) ( ) ) 2;5;4 , 6;0; 3 .b a b → → = = − 10. a) Trªn trơc Oy t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu hai ®iĨm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1). b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1). 11. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch ∆ABC. c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d/ T×m to¹ ®é träng, trùc t©m cđa ∆ABC. e) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa ∆ABC h¹ tõ ®Ønh A. f) TÝnh c¸c gãc cđa ∆ABC. g/ T×m täa ®é t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp cđa tam gi¸c ABC . ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 10 [...]... CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 16 qua A hoac B r r B3: Phương trình đường thẳng d : uu uuu u d = AB Dạng 10: Hình chiếu của điểm M 1 H là hình chiếu của M trên mp(α ) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(α) : ta có a d = n α Ptr ( d ) Tọa độ H là nghiệm của hpt : Ptr (α) 2 H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d) Viết phương trình mp(α) qua M và vuông góc... : ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 14 x = x o + a 1t Cho (d) : y = y o + a 2 t ; t ∈R z = z + a t o 3 và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 Giải pt: A(x0 +a1t) + B(y0+ a2t) + C(z0 +a3t) +D =0 (1) * Nếu (1) có 1 nghiệm duy nhất thì (d) cắt (P) * Nếu (1) vơ nghiệm thì (d) // (P) * Nếu (1) có vơ số nghiệm thì (d) ⊂ (P) → → +Đặc biệt: d ⊥ ( P ) ⇔ a = k n ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 15 2.CÁC DẠNG... ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ : a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z Bµi 7: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt : ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 13 a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn n(2,3,4); lµm VTPT b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0 Bµi 8: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3)... mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C): A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0 r (α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C) Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến 11 x y z + + =1 a b c 5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy)... chứa (d) nên (∝) đi qua M và có 1 VTPT n = ad ,ad / → → Dạng 6 Mp(α ) qua M,N và ⊥ (β ) : mp qua M ( hay N), vtpt n = MN , n β Dạng 7: Mp(α ) chứa (d) và đi qua A: ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 12 → → + (α ) đi qua A, vtpt n = a d , AM / Dạng 8: Lập pt mp(P) chứa hai đường thẳng (d) r (d ) cắt nhau : và • Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và có VTCP a = (a1 , a2 , a3... đi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP a = (a1 , a2 , a3 ) r • mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n = ( A, B, C ) rr a.n = 0 • đt(d) // mp(P) ⇔ Ax1 + By1 + Cz1 + D ≠ 0 ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 17 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau : r a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn a (3; 2;3) lµm VTCP b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3) Bµi... y = −9 + 2t1 ( t, t 1 ∈ R ) z = 4 + 3t z = −12 − t 1 a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d1),(d2) ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 18 ... a d = a ∆ → → Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mpα : (d) qua A và a d = n α Dạng 4: PT d’ hình chiếu của d lên α : +Trường hợp d cắt (α ) tại điểm A: → → → Gọi ( β ) là mặt phẳng chứa d và vng góc (α ) , khi đó n β = [ a , n α ] d’ có vec tơ chỉ phương là u = [ n α , n β ] và đi qua điểm A → → → + Trường hợp d // (α ) : Tìm điểm M’ là hình chiếu của M lên mp (α ) d’ đi qua điểm M’... / đối xứng với điểm M qua mp(P) : • Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vuông góc mp(P) • Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) xM / = 2 xH − xM • A/ đối xứng với A qua (P) ⇔ H là trung điểm của MM/ nên : yM / = 2 yH − yM zM / = 2 z H − zM b/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua đt(d) : • Lập pt mp (P) đi qua điểm M và vuông góc đt(d) • Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) xM / = 2... Trường hợp d // (α ) : Tìm điểm M’ là hình chiếu của M lên mp (α ) d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương a d ' = a d → Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2): → (d) qua A r r vtcpa = a r d1, a d2 Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 : r r + Tìm a d = [ a d1, a d2] → + Viết pt mp(α) chứa d1 , và nhận a d làm vectơ chỉ phương + Tìm giao diểm B của (α ) và đường thẳng . trực 7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 1 α H C B A N M C B A 60 o 30 o C B A 8. Hình thoi: S = 1 2 d 1 .d 2 (d 1 , d 2 là 2 đường chéo) 9. Hình. bởi khi quay một hình chữ nhật quanh một đường trung bình của nó. 3. Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của nó. ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 5 4. Các công thức Công thức tính. tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60 0 . Tính diện tích tam giác SBC ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC 7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.