Một hướng tiếp cận của thuật toán Fictitious play đối với bài toán phân bổ nguồn lực

Mục tiêu của nghiên cứu này nhằm đưa ra mô hình toán học hiệu quả cho bài toán phân bố nguồn lực dưới dạng lý thuyết trò chơi thông qua việc tìm điểm cân bằng Nash. Từ mô hình đó, ta đưa ra phân bố xác suất của các chiến lược lựa chọn được đưa ra trong quá trình phân bổ nguồn lực.

Kỷ yếu Hội nghị KHCN Quốc gia lần thứ XI Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR); Hà Nội, ngày 09-10/8/2018 DOI: 10.15625/vap.2018.00040 MỘT HƯỚNG TIẾP CẬN CỦA THUẬT TOÁN FICTITIOUS PLAY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PHÂN BỔ NGUỒN LỰC Trịnh Bảo Ngọc, Huỳnh Quyết Thắng, Lê Công Thành, Lê Bá Trường Giang, Trần Quang Huy Viện Công nghệ thông tin truyền thông, Đại học Bách khoa Hà Nội ngoctb@hanu.edu.vn, thanghq@soict.hust.edu.vn, thanhcls1316@gmail.com, giangpna98@gmail.com, 20164778@student.hust.edu.vn TÓM TẮT: Phân bổ nguồn nhân lực dự án trình cân đối lại nguồn lực thời gian thực dự án, thực thường xuyên xác nhằm giải vấn đề xung đột dự án, vấn đề xảy với nguồn lực dự án ảnh hưởng tới tất cơng việc dự án Chính quan trọng nên vấn đề nội Phân bổ nguồn lực đáng đem cân nhắc tìm cách giải Mục tiêu nghiên cứu nhằm đưa mơ hình tốn học hiệu cho toán phân bố nguồn lực dạng lý thuyết trị chơi thơng qua việc tìm điểm cân Nash Từ mơ hình đó, ta đưa phân bố xác suất chiến lược lựa chọn đưa trình phân bổ nguồn lực Từ số liệu đó, tổ chức, cơng ty sử dụng , tham khảo để trình phân bổ nguồn lực diễn hiệu Chúng đề xuất phương án mở rộng thuật toán Fictitious Play để phù hợp với mơ hình tốn phân bổ nguồn lực nêu lên số khó khăn hướng với liệu lớn Từ khóa: Thuật toán Fictitious Play, Cân Nash, Phân bổ nguồn lực, Thuật tốn CFR, Thuật tốn CFR Plus, Lý thuyết trị chơi I GIỚI THIỆU Phân bổ nguồn nhân lực trình cân đối lại nguồn lực suốt trình tổ chức tồn phát triển Nó nội dung quan trọng điều kiện cần thiết để đảm bảo tính cân đối Phân tích nguồn lực nội dung quan trọng quản trị chiến lược Phân bổ nguồn lực hợp lý sở để thực mục tiêu chiến lược cách có hiệu Đồng thời với đó, việc phân bổ nguồn lực cần thực cách công trước nhu cầu bên Phân phối nguồn lực cách ngẫu hứng, thiếu khoa học dẫn đến tình trạng lãng phí, hiệu việc sử dụng nguồn lực điều dẫn đến việc thực thất bại mục tiêu đề Chính tầm quan trọng vậy, tốn tối ưu hóa phân bổ nguồn lực thường xuyên đặt việc giải cách tốt đóng vai trò định hoạt động tổ chức Lấy ví dụ, nguồn lực cơng ty kể đến như: thơng tin, tài chính, nhân sự, sở vật chất, khách hàng, nhà cung cấp, công nghệ sử dụng, lực quản trị, lực kinh doanh, thương hiệu, uy tín,… Trong báo này, chúng tơi phân tích giải vấn đề thơng qua việc đảm bảo lợi ích cân bên q trình phân bổ nguồn lực Bài tốn phân bổ nguồn lực giải cách sử dụng mơ hình lý thuyết trị chơi Trong đó, thành phần tổ chức đóng vai trò người chơi, nguồn lực mà họ phân bổ thể giá trị lợi ích mà họ thu Mỗi thành phần cố gắng giành nhiều lợi ích xảy cạnh tranh lẫn Thuật tốn Fictitious Play, giới thiệu lần đầu Brown (1951), mơ hình học phổ biến lý thuyết trị chơi [1, 2] Trong thuật tốn, hai người chơi thay phiên thực hành động trò chơi, vòng lặp, người chơi chọn hành động đem lại lợi ích lớn dựa tập hành động trước đối thủ Trung bình dãy chiến lược, lựa chọn, người chơi hội tụ điểm cân Nash [2] Tuy nhiên, thuật tốn Fictitious Play có số hạn chế: thứ thuật toán bổ sung chiến lược không tận dụng đầy đủ thông tin sau vịng lặp, theo vai trị chiến lược mang lại nhiều lợi ích lợi ích khơng khác biệt; thứ hai thuật tốn hỗ trợ cho mơ hình hai người chơi, với có mặt người chơi thứ ba, thuật tốn khơng thể sử dụng Hạn chế thứ khắc phục biến thể CFR CFR+, cải tiến từ thuật tốn Fictitious Play gốc [6, 7] Trong đó, ma trận bổ sung để lưu trữ thông tin qua vòng lặp đánh giá ảnh hưởng từ chiến thuật mà người chơi chọn Từ đó, tốc độ hội tụ thuật toán đẩy nhanh Tuy nhiên hai biến thể giải hạn chế thứ hai Để đối mặt với hạn chế đó, nhóm chúng tơi để xuất mơ hình mới, dựa ba thuật toán nêu trên, Fictitious Play, CFR, CFR+ Trong mơ hình đề xuất, số người chơi tham gia nâng lên ( ) Quá trình cập nhật dãy chiến thuật thực ma trận payoff, thể tương tác chiến thuật với tồn người chơi cịn lại Trong báo này, chúng tơi trình bày hướng tiếp cận tốn phân bổ nguồn lực thơng qua mơ hình điểm cân Nash lý thuyết trò chơi, đồng thời giải vấn đề thông qua việc mở rộng thuật toán Fictitious Play Fictitious Play sử dụng ma trận CFR CFR+ (các cải tiến hiệu thuật toán nguyên bản) Trong hướng tiếp cận trên, chúng tơi mở rộng thuật tốn Fictitious Play biến thể CFR, CFR+, cách tăng số lượng người chơi tham gia Chi tiết mơ hình mở rộng trình bày mục C Dựa vào liệu thu trình thực nghiệm, đánh giá so sánh kết thuật toán Fictitious Play với hai biến thể tương ứng 298 MỘT HƯỚNG TIẾP CẬN CỦA THUẬT TOÁN FICTITIOUS PLAY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PHÂN BỔ NGUỒN LỰC CFR CFR+ Một đánh giá khác đưa tốc độ hội tụ thuật toán theo số chiến lược sở người chơi Toàn phần đánh giá trình bày cụ thể mục D Mục E tổng hợp lại thành tựu thu từ hướng mở rộng, đưa số khó khăn vướng mắc phương hướng khắc phục tương lai II MƠ HÌNH HỐ BÀI TỐN PHÂN BỔ NGUỒN LỰC 2.1 Bài toán xung đột phân bổ nguồn lực Trong quản lý dự án, nguồn lực là: tiền, nhân sự, máy móc thiết bị, sở vật chất cần phân phối cho nhóm, phận khác để thực công việc dự án Trong việc phân bổ, tiêu chí phụ thuộc vào đề xuất từ phận, cân nhắc quản lý dự án, tình hình dự án nhiều nhân tố khác Vậy nên có tranh cãi, xung đột việc đòi hỏi nhiều tài nguyên từ nhiều phận Việc xác định tiêu chí đưa phương án tốt để phân chia nguồn lực công việc cần thiết cho quản lý dự án hỗ trợ việc định Với đặc thù xung đột dự án, nơi mà phận sống sót tiếp tục thực nghĩa vụ với nhiều mức độ tài nguyên cung cấp, rõ ràng với kết chất lượng khác nhau, có nghĩa phận - người chơi game - có chiến lược riêng thực game Để giải toán, phải định nghĩa đặc thù phận, tiêu chí để đánh giá việc giúp người chơi lựa chọn chiến lược - cách tài nguyên phân phối Khi đó, dễ xác định Nash Equilibria thuật toán tối ưu đa mục tiêu Fictitious Play thuật tốn dựa tảng tốn học, vịng thuật toán, người chơi định chiến lược dựa theo liệu bước trước người chơi khác, với điều kiện tiên chiến lược người chơi xác định trước không thay đổi trình chơi Điều phù hợp với tốn giao có khả thực thi 2.2 Đầu vào toán Đầu vào toán nguồn lực cần phân bổ dự án như: tiền, nhân sự, máy móc thiết bị, sở vật chất Thơng qua chiến lược nhóm, cạnh tranh yếu tố liên qua, thiết lập hàm mang tính tương đối để thể tương quan chiến thuật nhóm Từ đó, đưa ma trận payoff Với trường hợp tổng quát, với người chơi, ma trận payoff có n chiều chiều số chiến thuật khả thi nhóm 2.3 Mơ hình hoá toán tượng Đối với toán phân bổ nguồn lực, giả sử tổ chức T có m nguồn lực cần phân bố Khi đó, có mơ hình tốn lý thuyết trị chơi sau: cho n đối ̅̅̅̅̅ (k số chiến thuật người Bài tốn gồm n người chơi Với với chơi Với , ta định nghĩa Pi = ( ) vector xác suất chiến thuật mà người chơi sử dụng Thông qua ma trận payoff M xây dựng dựa nguồn lực , để giải toán cân nguồn lực, cần tìm Pi thoả mãn điểm cân Nash toán - vector Pi cho người chơi chiến thuật đem lại lợi ích tốt cho họ cho dù người chơi lại thực chiến thuật [1] III GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT Thuật toán Fictitious Play nguyên sử dụng để giải trị chơi - người nhằm để tìm điểm cân Nash Tuy nhiên thực tế, toán phân bổ nguồn lực có nhiều thành phần Đó động lực cho nhóm chúng tơi nghiên cứu, tìm kiếm hướng phát triển để giải vấn đề số người chơi lớn hai Dựa vào ý tưởng cốt lõi thuật tốn, chúng tơi đề xuất giải thuật mở rộng thuật toán Fictitious Play cho n người chơi để giải toán phân bố nguồn lực 3.1 Giải thuật Fictitious Play mở rộng cho n người chơi Thuật toán Fictitious Play nguyên [3, 4] sử dụng để giải trò chơi có người nhằm để tìm điểm cân Nash Tuy nhiên thực tế, toán phân bổ nguồn lực có nhiều thành phần Đó động lực cho nhóm chúng tơi nghiên cứu, tìm kiếm hướng phát triển để giải vấn đề số người chơi lớn hai Dựa vào ý tưởng cốt lõi thuật tốn, chúng tơi đề xuất giải thuật mở rộng thuật toán Fictitious Play cho n người chơi để giải toán phân bổ nguồn lực Fictitious Play Trong phần này, chúng tơi có ý tưởng mở rộng thuật toán Fictitious Play cho n người chơi Thuật tốn trình bày Thuật tốn đó: Trịnh Bảo Ngọc, Huỳnh Quyết Thắng, Lê Công Thành, Lê Bá Trường Giang, Trần Quang Huy    299 [ ][ ][ ] [ ] biểu thị giá trị lợi ích người chơi ( ) chiến thuật Mảng ) sử dụng chiến thuật si ; người chơi ( [ ][ ] mảng thể số lần chọn chiến thuật qua Mảng hệ qua; [ ][ ] lấy thông qua hàm Mảng () thể xác suất lựa chọn chiến thuật người chơi sau hệ qua Thuật toán 1: Fictitious Play Algorithm ( Input: ) ( 1: Khởi tạo , 2: [ ][ ] 3: for to k ∑( ∏ ( [ 4: 5: if 6: 7: 8: end for [ ][ 9: Độ phức tạp (( ) ) ) ( ) ( )( ) ][ ] [ ][ ][ ] [ ]) ] Fictitious Play sử dụng kỹ thuật CFR Bên cạnh thuật toán nguyên bản, Fictitious Play thường biết đến với phiên cải tiến sử dụng ma trận CFR [5] (Counterfactual Regret Minimization) - kỹ thuật để giải trị chơi dạng mở rộng với thơng tin khơng hồn hảo Thuật tốn trình bày Thuật tốn đó:  Mảng vs giống phần 1.a;  Mảng [ ][ ] xây dựng dựa mảng [ ] vs [ ] trình bày Thuật toán [ ][ ] Thuật toán 2: Xây dựng mảng Input: ( ) 1: 2: 3: 4: 5: Khởi tạo [ ][ ] For to n ∑ ( 6: [ ][ ] End for If ( ) ( [ ][ ]) [ ][ ]) ( [ ][ ] 7: else 8: return Độ phức tạp ( ) Fictitious Play sử dụng kỹ thuật CFR+ Kỹ thuật CFR+ giới thiệu báo “Solving Large Imperfect Information Games Using CFR+” Oskari Tammelin năm 2014 [6] biến thể tốt kỹ thuật CFR Thuật tốn trình bày cụ thể Thuật tốn 4, đó:  Mảng vs giống phần 1.a;  Mảng [ ][ ] xây dựng dựa mảng [ ] vs [ ] trình bày Thuật tốn Thuật tốn 3: Fictitious Play - CFR Input: ( 1: Khởi tạo [ ][ ] 2: 3: for to k: ) ( ) , ( )( ) ( ) MỘT HƯỚNG TIẾP CẬN CỦA THUẬT TOÁN FICTITIOUS PLAY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PHÂN BỔ NGUỒN LỰC 300 [] ∑( ∏ ( [( 4: [ ][ ] 5: [] 6: end for 7: for to k: [ ][ ] [] 8: [ ][ ] [ 9: 10: end for Độ phức tạp (( ) ) ) ] [ ]) [ ][ ][ ] [ ]) ][ ] Thuật toán 4: Fictitious Play - CFR+ Input: ( ) ( ) ( 1: Khởi tạo , [ ][ ] ( )( ) 2: 3: for to k: [] ∑( ∏ ( [( ) 4: ] [ ]) [ ][ ] 5: [] 6: end for 7: for to k: [ ][ ] [ ][ ] 8: ( 9: end for 10: if 11: 12: else 13: for to k [ ][ ] [ ][ ] 14: Độ phức tạp (( ) ) ) [ ][ ][ ] [ ]) [] Trong thuật tốn đề xuất trên, chúng tơi sử dụng ma trận payoff chiều với số người chơi tham gia, thay ma trận hai chiều Ma trận cho phép sử dụng miêu tả đầy đủ giá trị nhận người chơi nhận tương ứng với hành động cụ thể người chơi cịn lại Thuật tốn bước cập nhật chiến thuật xuất thuật toán CFR CFR+ Trong thuật tốn này, mảng cs đóng vai trò thành phần để bổ sung vào dãy chiến lược trước tính tốn dựa ma trận payoff người chơi tương ứng Thuật toán cho thấy, giá trị lợi ích đạt từ chiến lược tỷ lệ thuận với đóng góp lần cập nhật 3.2 Phương án lựa chọn chiến thuật Đối với trường trường hợp toán có n người chơi có k chiến thuật, đó, vịng lặp bước thuật tốn, thuật tốn thực tối thiểu bước làm độ phức tạp thuật toán tối thiểu ( ) Với độ phức tạp ( ).), lớn, tốc độ thuật tốn vơ chậm, chí vượt khả xử lý liệu máy tính Do đó, việc hạn chế , thơng qua chiến lược lựa chọn chiến thuật cần thiết để cải thiện khả xử lý thuật toán Giả sử có nguồn tài nguyên có chiến thuật Khi giả sử chiến thuật có giá trị tài nguyên [ ] với tài nguyên Khi đặt [ ] = f( [ ] [ ] [ ]) hàm biểu thị giá trị chiến thuật si Chiến lược lựa chọn chiến thuật thực theo thuật tốn sau [ ] giá trị độ lệch [ ] với giá trị trung bình, [ ] xếp hạng chiến thuật si theo giá trị delta, x số lượng chiến thuật muốn chọn Thuật toán 5: [] 1: Khởi tạo 2: ̅̅̅̅̅̅̅̅ ∑ ( [ ]) [ ] ̅̅̅̅̅̅̅̅ | 3: | 4: Cập nhật [] theo mảng 5: Loại bỏ chiến thuật [ ] Trịnh Bảo Ngọc, Huỳnh Quyết Thắng, Lê Công Thành, Lê Bá Trường Giang, Trần Quang Huy 301 Thuật toán tính tốn giá trị lợi ích mà chiến lược mang lại cho người chơi mà chưa xem xét đến tương tác với người chơi lại Mục đích nhằm dự đốn chiến lược mà khơng có lợi cho q trình tìm kiếm lời giải Thuật toán loại bỏ chiến lược mà giá trị, nằm chúng nằm xa so với giá trị trung bình khơng đem lại hiệu việc tìm kiếm lời giải tốn Bằng cách khơng xem xét chiến lược này, kích thước khơng gian tìm kiếm giảm xuống nhanh chóng IV THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ 4.1 Dữ liệu thực nghiệm Trong báo này, thực nghiệm với phương án thực nghiệm sau: với liệu bảng 1, tham số đầu vào thuật toán bảng Bảng Dữ liệu nhân dự án STT Năng lực 1 2 Tên Hà Quang Minh Bùi Tuấn Anh Vũ Minh Tuấn Trần Quang Đức Nguyễn Thị Tuyết Nhung Nguyễn Thị Hải Yến Kiều Thanh Hải Hà Vĩnh Lăng Kiều Xuân Việt Lương( triệu) 17,0 15,0 15,0 9,5 9,5 9,5 9 Kỹ PHP, JavaScript ,Python MySQL, C++, C# Python, Java, C++ Java, C# PHP, JavaScript MySQL, C# MySQL, C++ Java, C++ JavaScript, Python Bảng Yêu cầu kỹ dự án Dự án Yêu cầu kỹ (cần số kỹ năng) PHP, MySQL, JavaScript JavaScript, Python, Java Java, C++, C# Bảng Các tham số đầu vào Tham số Số người chơi (n) Số chiến thuật wmode delay epsilon(e) time (t) Giá trị 5, 20 0 0,0001 0,40(s) 4.2 Môi trường thực nghiệm  Hệ điều hành: MacOS Sierra 10.12.6;  Chip: 2.2 GHz Intel Core i7;  Máy: Macbook Pro Mid 2015 4.3 Kết thực nghiệm Kết thực nghiệm thực bảng 4, bảng Bảng biểu diễn kết so sánh thuật toán kết ghi nhận giá trị epsilon đạt ngưỡng 0.0001 số lượng chiến thuật giới hạn Kết cho thấy thuật tốn CFR+ có tốc độ hội tụ nhanh vượt trội, thuật toán Fictitious Play tồi Điều hệ khác biệt trình cập nhật dãy chiến thuật từ liệu sau vòng lặp CFR+ tận dụng tối đa thông tin thu dựa vào ảnh hưởng chiến thuật lên người chơi cho cho tốc độ hội tụ nhanh Bảng ghi nhận kết thời điểm 0,40 s, đánh giá giá trị epsilon thuật toán hai mức giới hạn số lượng chiến thuật 20 Việc tăng số lượng chiến thuật cho người chơi dẫn đến liệu cần tính tốn lớn Do đó, thời gian để hồn thành vịng lặp tăng theo kết tốc độ hội tụ thuật tốn mà giảm đáng kể 302 MỘT HƯỚNG TIẾP CẬN CỦA THUẬT TOÁN FICTITIOUS PLAY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PHÂN BỔ NGUỒN LỰC Bảng Bảng kết thực nghiệm Số vòng lặp 100 200 300 400 500 1000 5000 10000 20000 30000 32814 40000 50000 79453 100000 100995 Fictitious Play t(s) epsilon 0,00 0,70685 0,01 0,03049 0,02 0,01516 0,02 0,01010 0,02 0,00977 0,03 0,00764 0,04 0,00364 0,06 0,00085 0,08 0,00053 0,11 0,00035 0,14 0,00025 x x 0,17 0,00020 0,19 0,00018 x x 0,32 0,00010 0,32 0,00010 CFR t(s) 0,00 0,01 0,02 0,02 0,02 0,03 0,04 0,06 0,08 0,13 0,17 x 0,21 0,26 0,36 x x epsilon 0,27692 0,01579 0,00775 0,00513 0,00384 0,00306 0,00233 0,00074 0,00047 0,00027 0,00021 x 0,00019 0,00019 0,00010 x x CFR + t(s) 0,00 0,01 0,02 0,02 0,02 0,03 0,04 0,09 0,11 0,14 0,19 0,20 x x x x x Epsilon 0,27692 0,01802 0,00913 0,00579 0,00443 0,00385 0,00192 0,00049 0,00026 0,00015 0,00011 0,00010 X X X X X Bảng Bảng kết thực nghiệm giới hạn thời gian chạy 0,4 s Số chiến thuật Fictitious Play lựa chọn t(s) epsilon 0,4 0,00010 20 0,4 0,02565 CFR t(s) 0,4 0,4 epsilon 0,00008 0,04491 CFR + t(s) 0,4 0,4 epsilon 0,00009 0,02777 4.4 Đánh giá Từ bảng kết thực nghiệm, thấy với ba thuật toán tốc độ hội tụ nhanh với trường hợp chiến thuật đánh giá thu gọn lại Trong đó, thuật tốn CFR+ có tốc độ hội tụ nhanh sau đến Fictitious Play CFR Đối với trường hợp số lượng chiến thuật giữ nguyên (lấy toàn chiến thuật có) thuật tốn cho thấy hội tụ tương đối chậm trả kết không tốt V KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Trong báo này, đề xuất mơ hình mở rộng thuật tốn Fictitious Play biến thể để giải toán phân bổ nguồn lực Trong thuật toán nguyên bản, Fictitious Play áp dụng cho tốn trị chơi với hai người, áp dụng cho toán phân bổ nguồn lực (khi mà số người chơi lớn), thuật toán mở rộng lấy tư tưởng chủ đạo từ thuật toán nguyên bản, cho thấy hiệu trình giải tốn với liệu khơng q lớn Tuy vậy, với trường hợp liệu lớn tổ hợp chiến thuật nhiều, thuật tốn có độ phức tạp tương đối cao, tốc độ hội tụ tương đối thấp, thuật tốn cần kết hợp sử dụng chiến lược kết hợp để đánh giá rút gọn số lượng chiến thuật cách hợp lý Mặc dù hướng tiếp cận cho thấy tiềm phát triển cịn nhiều khó khăn cần giải Khi số lượng người chơi gia tăng liệu đầu vào lớn, thuật tốn có độ phức tạp thời gian tính toán tăng nhanh (cấp số mũ theo số người chơi) kích thước lớn ma trận payoff Do việc đề chiến lược để khống chế kích thước ma trận payoff cần thiết để đảm bảo tốc độ kết thuật toán Bên cạnh đó, vấn đề xây dựng ma trận payoff cần quan tâm nghiên cứu để đảm bảo tính xác tương đối ma trận payoff so với thực tế Việc xây dựng ma trận payoff cần cân nhắc tính tốn trường hợp cụ thể để đảm bảo độ xác thuật toán VI TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Martin J Osborne (2003) “An Introduction to Game Theory” Oxford University Press; 1st edition, ISBN-13: 978-0195128956, 560 pages [2] Johannes Heinrich, Marc Lanctot, David Silver (2015) “Fictitious Self-Playing Extensive-Form Games” Proceedings of the 32 nd International Conference on Machine Learning, Lille, France, 2015 JMLR: W&CP volume 37 Trịnh Bảo Ngọc, Huỳnh Quyết Thắng, Lê Công Thành, Lê Bá Trường Giang, Trần Quang Huy 303 [3] Enrico H Gerding, Zinovi Rabinovich Andrew Byde, Edith Elkind (2008) “Approximating Mixed Nash Equilibria using Smooth Fictitious Play in Simultaneous Auctions” In Proceedings of the 7th international joint conference on Autonomous agents and multiagent systems, Volume 3, pp.1577-1580 [4] Theodore J Lambert III, Marina A Epelman, Robert Smith (2005) “A fictitious play approach to large-scale optimization” Journal of Operations Research, Volume 53 Issue 3, May 2005, pp.477-489 [5] Andrew Gilpin, Samid Hoda, Javier Pena, and Tuomas Sandholm (2007) “Gradient-based Algorithms for Finding Nash Equilibria in Extensive Form Games” In: Deng X., Graham F C (eds) Internet and Network Economics WINE 2007 Lecture Notes in Computer Science, vol 4858 Springer, Berlin, Heidelberg [6] Oskari Tammelin (2014) “Solving Large Imperfect Information Games Using CFR+” CoRR abs/1407.5042 [7] Dohmatob E (2015) A simple and efficient algorithm for computing approximate Nash equilibria in two-person zero-sum sequential games with imcomplete information CoRR, abs/1507.07901 [8] Elvis Dohmatob (2016) A simple algorithm for computing Nash-equilibria in incomplete information games In OPT2016 - NIPS workshop on optimization for machine learning, Dec 2016, Barcelona, Spain 2016 A NEW FICTITIOUS PLAY ALGORITHM APPROACH FOR RESOURCES ALLOCATION Trinh Bao Ngoc, Huynh Quyet Thang, Le Cong Thanh, Le Ba Truong Giang, Tran Quang Huy ABSTRACT: Resources allocation in a project is the process of balancing available project resources among teams in project organization, this process must perform regularly, precisely to keep project on the right track, conflicts in resources allocation may cause lots of issues to all project activities That is the reason why, the problem in resources allocation need to take into account appropriately The purpose of this research aims to propose the suitable mathematical model to the problem of resources allocation which is to be consider as a game in Game Theory, and then, finding Nash Equilibria for this game as a solution for the problem In this model, we will find sampling of probability distribution in selected strategies of players in the game of allotting resources Project managers and their teams can take advantage of this strategies to make a right decision We introduce a new approach of Fictitious Play algorithm in resources allocation problem and analyze pros and cons of this method when dealing with a large amount of data of game Kyewords: Fictitious Play Algorithm, Nash Equilibria, Resources allocation, CFR Algorithm, CFR Plus Algorithm, Game theory  ...298 MỘT HƯỚNG TIẾP CẬN CỦA THUẬT TOÁN FICTITIOUS PLAY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PHÂN BỔ NGUỒN LỰC CFR CFR+ Một đánh giá khác đưa tốc độ hội tụ thuật toán theo số chiến lược sở người... thành vịng lặp tăng theo kết tốc độ hội tụ thuật tốn mà giảm đáng kể 302 MỘT HƯỚNG TIẾP CẬN CỦA THUẬT TOÁN FICTITIOUS PLAY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PHÂN BỔ NGUỒN LỰC Bảng Bảng kết thực nghiệm Số vòng lặp... ( 1: Khởi tạo [ ][ ] 2: 3: for to k: ) ( ) , ( )( ) ( ) MỘT HƯỚNG TIẾP CẬN CỦA THUẬT TOÁN FICTITIOUS PLAY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PHÂN BỔ NGUỒN LỰC 300 [] ∑( ∏ ( [( 4: [ ][ ] 5: [] 6: end for 7: for