TỰ học TOÁN 8 PHẦN 3 ( Có lời giải chi tiết)

Tự học tốn Bài TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC TÌM DƯ CỦA PHÉP CHIA MÀ KHƠNG THỰC HIỆN PHÉP CHIA Đa thức chia có dạng x-a ( a ) f ( x) x−a  Ví dụ Chứng minh số dư chia đa thức cho nhị thức giá trị đa f ( x) x=a thức Định lí Bê-du( Bézout, 1730-1783, nhà tốn học Pháp) Lời giải Do đa thức chia Ta có: x−a có bậc nên số dư chia f ( x ) cho x − a Dự án 1: Bài tập Toán số r f ( x ) = ( x − a ) ×Q ( x ) + r Đẳng thức với x nên với x=a , ta có f ( a ) = ×Q ( x ) + r  hay f ( a ) = r ˆ Từ đinh lí Đa thức B e− du f ( x) ta suy chia hết cho x−a chi  Ví dụ Chứng minh đa thức x −1 f ( a) = f ( x) Lời giải Gọi f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 +…+ an −1 x + an Theo giả thuyết, a0 + a1 +…+ an = Nhóm word hóa tài liệu (túc a nghiệm da thức) có tổng hệ số đa thức chia hết cho Tự học toán Theo định lý Bê-du, số dư chia f ( x) cho x −1 r = f ( 1) = a0 + a1 +…+ an −1 + an Từ (1) (2), suy Vậy f ( x) r =0 chia hết cho x −1  Ví dụ Chứng minh đa thức f ( x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn x +1 tổng hệ số hạng tử bậc lẻ đa thức ây chia hết cho Lời giải Gọi f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − +…+ a2 n − x + a2 n −1 x + a2n giả thuyết, a0 + a2 + + a2 n = a1 + a3 +…+ a2 n −1 , đó, a0 Theo nên ( a0 + a2 +…+ a2 n ) − ( a1 + a3 +…+ a2n −1 ) = Dự Theo định lí Bê-du, số dư chia r f ( x) x +1 án 1:choBài tập Toán  = f ( −1) = a0 − a1 + a2 − a3 +…+ a2 n − − a2 n− a + a2 n  = ( a0 + a2 +…+ a2 n ) − ( a1 + a3 +…+ a2 n −1 ) Từ (1) (2), suy Vậy f ( x) r =0 chia hết cho x +1 Đa thức có bậc tử từ bậc hai trở lên  Ví dụ Tìm dư chia x + x + x + 1 cho x − Lời giải Để tìm dư trường hợp này, ta thường dùng cách sau: Cách (Tách đa thức bị chia đa thức chia hết cho đa thức chia) Ta biết Do xn −1 chia hết cho x − 1, x − 1,… x −1 chia hết cho Nhóm word hóa tài liệu với số tự nhiên x2 − n nên x2n − chia hết cho x2 −1 Tự học tốn Ta có : x + x5 + x3 + = x − x + x5 − x + x − x + 3x + = x ( x − 1) + x ( x − 1) + x ( x − 1) + ( x + 1) x7 + x5 + x3 + Dư chia cho x2 −1 3x + Cách (Xét giá trị riêng) Q ( x) Gọi thương , dư ax + b Ta có x + x5 + x3 + = ( x + 1) ( x − 1) ×Q ( x ) + ax + b, ∀x x Đẳng thức với Với x = −1 ta −2 = −a + b Từ (1) (2), suy Dư phải tìm nên với 3x + a = 3, b = x =1 , ta = a+b (1) (2) x −1: Bài xtập + 1Toán Dự án Để tách đa thức chia hết cho hoăc , cần nhớ lai đẳng thức : a n − b n  Ma − b ( a ≠ b ) ; a n + b n M a + b ( a ≠ −b ) n , lẻ SƠ ĐỒ HC-NE Các ví dụ  Ví dụ 5: Chia đa thức a) ( x3 − x + x − ) : ( x − ) b) ( x − x + x + 10 ) : ( x + 1) c ) ( x − x + ) : ( x + 3) Lời giải Thương x − 3x + Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán Thương Thương x − 10 x + 16 x − 3x + , dư −6 Sơ đồ Hc-ne Ta tìm kết chia đa thức khác (x f ( x) cho nhị thức − 5x2 + 8x − 4) : ( x − ) Trở lại câu a) ví dụ −5,8, −4 a ; số ví dụ x − a (a số) cách Các hệ số đa thức bị chia thứ tự , Đặt hệ số đa thức bị chia theo thứ tự vào cột dòng -5 -4 a−2 Trong cột để trống dòng dưới, ba cột đầu cho ta hệ số đa thức thương, cột cuối cho ta số dư • Số cột thứ dòng số tương ứng dòng 1Dự án 1: Bài tập -5 Tốn a−2 • -4 Kể từ dòng thứ hai, số dòng xác định cách lấy a nhân với số dòng liền trước, cộng với số cột dòng -5 -4 a−2 1 a−2 1 a−2 Sơ đồ Nhóm word hóa tài liệu 2.1 + ( −5) = −3 -5 2.1 + ( −5) = −3 -5 2.1 + ( −5) = −3 -4 ( −3) + = ( −3 ) + = -4 2.2 + ( −4 ) = Tự học toán Ta có thương x2 − 3x + , số dư Sơ đồ thuật tốn gọi sở đồ Hc-ne Bạn đọc dùng sơ đồ để kiểm tra lại kết câu b) c) Như đa thức bị chia b0 x + b1 x + b2 , dư r ao x + a1 x + a2 x + a3 , đa thức chia x−a , ta thương Theo sơ đồ Hoóc-ne, ta có a0 a a1 b0 = a0 b1 = ab0 + a1 a2 b2 = ab1 + a2 a3 r = ab2 + a3 Sơ đồ Hoóc-ne a x n + a x n −1 + a x n − +…+ a x + an n −1 Tổng quát với đa thức bị chia làDự án 1: Bài tập Toán b0 x n −1 + b1 x n −2 +…+ bn −2 x + bn −1 , dư r , đa thức chia Ta cần chứng minh b0 b1 b2 …  = a0  = ab0 + a1  = ab1 + a2 bn −1 r  = abn − + an −1  = abn −1 + an Thật vậy, thực phép tính ( x − 1) ( b0 x n−1 + b1 x n−2 +…+ bn−2 x + bn−1 ) + r rút gọn, ta được: b0 x n + ( b1 − ab0 ) x n −1 +…+ ( bn −1 − abn −2 ) x − abn −1 + r Đồng đa thức với đa thức bị chia, ta Nhóm word hóa tài liệu x−a thương Tự học tốn = a0 = a1 = a2 b0 b1 − ab0 b2 − ab1 … bn −1 − abn −2 r − abn −1 = an −1 = an Từ đó, suy điều phải chứng minh f ( x) Áp dụng sơ đồ Hc-ne để tính giá trị đa thức Sơ đồ Ho óc-ne cho ta thương dư chia đa thức f ( x) định lí Bê-du, số dư chia giá trị đa thức f ( x) cho x=a  Ví dụ Tính giá trị đa thức x−a f ( x) f ( a) 4x = a cho nhị thức x−a Chú ý theo Do đó, dùng sơ đồ Hc-ne ta tính f ( x ) = x3 + x − x = 37 Lời giải Dự án 1: Bài tập Toán f ( 37 ) Theo định lý Bê-du, a = 37 Vậy f ( 37 ) = 54756 số dư chia f ( x) 37.1 + = 40 x − 37 cho Ta lập sơ đồ Hoóc-ne −4 37.40 + = 1480 37.1480 − = 54756 CHỨNG MINH MỘT ĐA THỨC CHIA HẾT CHO MỘT ĐA THỨC KHÁC Ta xét đa thức biến, thường có cách sau: Cách Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, có nhân tử đa thức chia  Ví dụ Chứng minh Nhóm word hóa tài liệu x8 n + x n + chia hết cho x2n + xn + , với số tự nhiên n Tự học toán Lời giải Ta có ( ) ( ) x n + x n + = x8 n + x n + − x n = x n + − x n = ( x n + 1) ( x 4n − x 2n + 1) Tiếp tục phân tích ( ) ( ) x n + x n + 1 = x n + x n + − x n = x n + − x n  = ( x n + x n + 1) ( x n − x n + 1) Cách Dự án 1: Bài tập Toán Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia  Ví dụ Chứng minh x + x +1 8n Vậy x3m +1 + x3n + + 4n x + x +1 2n chia hết cho chia hết cho x2 + x + n , với số tự nhiên m, n với số tự nhiên n Lời giải Ta có x3m +1 + x3n + + = x 3m+1 − x + x3n+ − x + x + x +  = x ( x3m − 1) + x ( x3n − 1) + ( x + x + 1) Ta thấy x 3m − x 3n − Nhóm word hóa tài liệu chia hết cho x3 − , chia hết cho x2 + x + Tự học tốn  Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên x6 m+4 + x6 n+2 + x Vậy m +1 +x 3n +2 +1 x + x +1 chia hết cho m, n x2 − x + chia hết cho với số tự nhiên m, n x m + + x n + + 1 = x m + − x + x6 n + − x + x + x + = x ( x m − 1) + x ( x n − 1) + ( x Lời + x 2giải + 1) Do x m − 1Mx − 1, x n − 1Mx − x − = ( x3 + 1) ( x3 − 1) Mx − x + ( ) x + x + = x + − x Mx − x + Nên suy điều cần chứng minh Dự án 1: Bài tập Toán Cách Sử dụng biến đổi tương đương, chẳng hạn để chứng minh Xem tập 268 f ( x ) Mg ( x ) , chứng minh f ( x) + Cách Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia (ta công nhận điều dẫn dến đa thức bị chia chia hết cho đa thức chia) ( ) f ( x ) = x2 + x −1  Ví dụ 10 Cho x2 − x Đa thức chia có hai nghiệm đa thức bị chia Nhóm word hóa tài liệu 10 x=0 ( ) + x2 − x + x =1 10 −2 Chứng minh Ta chứng tỏ x=0 f ( x) chia hết cho x =1 Lời giải nghiệm Tự học toán Ta có f ( 0) = + − = f ( x) f ( 1) = + − = x nên chia hết cho Ta lại có x −1 x −1 x hết cho Các nhân tử không chứa nhân tử chung f ( x) Do chia hết cho x ( x − 1) nên f ( x) chia Bài tập tự luyện Bài Không đặt tính chia đa thức, xét xem đa thức cho a) x +1 ; b) x −3 x − x + x + 16 có hay khơng chia hết Lời giải a) Có; b) Khơng Bài Tìm dư chia đa thức sau a) x 41 : ( x + 1) : ( xToán + 1) Dự án 1: Bài xtập 43 b) Lời giải a, x 41 = x 41 − x + x = x ( x 40 − 1) + x cho x2 + b, Dư −x a) Ta thấy 10 Bài Tìm dư chia x −1 ( ) x 40 − = x ; x + x + x + x 27 cho b) x2 + ; Lời giải a) Dư 4; Nhóm word hóa tài liệu b) Dư 4x −1 nên chia hết cho x4 − , chia hết Tự học toán x 99 + x 55 + x11 + x + Bài Tìm dư chia a) a, b, x +1 ; cho b) r = f ( −1) = −1 − − + = x2 + Lời giải Dư x99 + x55 + x11 + x + = x ( x98 + 1) + x ( x 54 + 1) + x ( x10 + 1) − x + (x ) 49 ( ) + 1, x Chú ý −2 x + cần tìm 27 ( ) + 1, x Bài Tìm dư chia đa thức 25 +1 chia hết cho x2 + ) (theo đẳng thức Như dư f ( x ) = x 50 + x 49 +…+ x + x + cho x2 −1 Lời giải Gọi thương chia f ( x) cho Dự án 1: Bài tập Toán x2 − Q ( x ) ax + b , dư Ta có f ( x ) = ( x − 1) ×Q ( x ) + ax + b Đẳng thức với Đáp: Dư chia f ( x) Bài Tìm đa thức 5, f ( x ) chia cho cho f ( x) x Lần lượt cho x2 −1 , biết ( x − ) ( x − 3) Trước hết ta tìm dư chia f ( x) chia cho x−3 Lời giải 3x thương f ( x) x = −1 25 x + 26 cho ( x − ) ( x − 3) f ( x ) = ( x − 3) ×A ( x ) + Nhóm word hóa tài liệu x =1 dư 7, f ( x ) chia cho dư Xét (1) x−2 dư Tự học tốn Do n∈N Với n = 69 nên n = 70 , tổng Với tổng 69 Số bị xóa số: 69 n = 70 35 số lại là: 35 số lại là: ( 1+ +L ×69 ∉ N 17 ×68 = 2408 17 , (loại) + 69 ) − 2048 = 2415 − 2408 =  BÀI 12 Tìm số nguyên a b cho: a − 2ab + 2b − 4a + <  Lời giải Do a b nguyên, ta cộng vào vế trái bất phương trình cho được: a − 2ab + 2b − 4a + ≤ ⇔ 2a − 4ab + 4b − 8a + 16 ≤  ⇔ (a án − 2b1: ) +Bài (a −tập 4) ≤Toán Dự ⇔ a = 4, b = Cách khác Biến đổi thành:  BÀI 13 Tìm x biết ( a − b − 2) + (b − 2) <  34 x + 19   11  = x +  Lời giải Ta có 34 x + 19  − ( x + 1) < 0 ≤  34 x + 19  11  11  = x + ⇔    2 x + ∈ Z  Giải bất phương trình ( 1) : ( 1) Nhóm word hóa tài liệu ⇔ ≤ 12 x + < 11 ( 1) ( 2) Tự học toán ⇔ −8 ≤ 12 x < ⇔− ≤ 2x < 3 ⇔ − ≤ 2x + < Theo ( ) , x + 1∈ Z , 2x + = x + = Vậy   x ∈ − ;    x − = x + ( 2) Lại xét hai trường hợp: Với Với x ≥ 3, ( ) có dạng ≤ x < 3, ( ) 2) Xét khoảng x − = x −1 có dạng x < 0, ( 1) , vô nghiệm − x = x −1 ⇔ x = , thuộc khoảng xét −x − = x +1 có dạng tức x − = x + ( 3) Dự án 1: Bài tập Toán Bài PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn Tóm tắt lý thuyết Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối, cần khử dấu giá trị tuyệt đối Ta nhớ lại: Giá trị tuyệt đối biểu thức biểu thức khơng âm, số đối biểu thức âm:  A  nÕu  A ≥ A = − A  nÕu  A ≤ Do đó, để khử dấu giá trị tuyêt đối, cần xét giá trị biến làm cho biểu thức không âm hay âm Nếu biểu thức nằm dấu giá trị tuyệt đối nhị thức bậc nhất, ta cần nhớ định lí sau: Định lí Đinh lí dấu nhị thức bậc Nhị thức ax + b ( a ≠ ) ax + b ( a ≠ ) a x - Cùng dấu với với giá trị lớn nghiệm nhị thức; a x án 1:nhỏ Bàihơn tập Toáncủa nhị thức - Trái dấu với với giáDự trị nghiệm Chứng minh Gọi x0 nghiệm nhị thức ax + b ( a ≠ ) x0 = − b a Xét ax + b b = x + = x − x0 a a Nếu Nếu x > x0 x < x0 x − x0 > ⇒ x − x0 < ⇒ ax + b > ⇒ ax + b a ax + b < ⇒ ax + b a Chẳng hạn: Xét dấu nhị thức Nhóm word hóa tài liệu −2 x + dấu với trái dấu với x+5 a a viết kết vào bảng, ta có: Tự học tốn Một số ví dụ  Ví dụ Giải phương trình: x − + x + = 3x − ( 1)  Lời giải Lập bảng xét dấu nhị thức x x −5 x+3 : phương trình ( 1) : - - Xét ba khoảng giá trị biến 1) x+3 -3 x −5 x < −3 0 + + x Dự : án 1: Bài tập Tốn có dạng: ( − x ) − ( x + 3) = 3x − x= tìm 2) −3 ≤ x < 5 , loại giá trị khơng thuộc khoảng xét : phương trình ( 1) có dạng: ( − x ) + ( x + ) = x − ⇔ − x = −9 tìm 3) 5< x x=3 thuộc khoảng xét : phương trình ( 1) có dạng: ( x − ) + ( x + 3) = x − ⇔ − x = tìm x = −1 , khơng thuộc khoảng xét Nhóm word hóa tài liệu + Tự học tốn Kết luận: S = { 3}  Ví dụ Giải phương trình: 2x −1 + 2x − = ( 1)  Lời giải Cách x< Xét khoảng ( 1) có dạng: 1− 2x + − 2x = x= tìm , không thuộc khoảng xét ≤x≤ 2 Xét khoảng , (1) có dạng: − 21: x + Bài − 2tập x = Tốn ⇔ x =80 Dự 1án Phương trình nghiệm với x thuộc khoảng xét, tức ≤x≤ 2 x> Xét khoảng , ( 1) có dạng: 2x −1 + x + = x= tìm Kết luận: , không thuộc khoảng xét  S =  x∣ ≤ x ≤  5  2 Cách 2: A≥A Áp dụng hai lần bất đẳng thức (xảy đẳng thức x − + − x ≥ ( x − 1) + ( − x ) = Nhóm word hóa tài liệu A ≥ 0) , ta có: Tự học tốn Theo đề bài, phải xảy đẳng thức,   x ≥ 2 x − ≥ ⇔ ⇔ ≤x≤  2 5 − x ≥ x ≤   Ví dụ Giải phương trình ( 1)   x − = x +1  Lời giải Xét khoảng X ≥ 0, ( 1) có dạng Lại xét hai trường hợp: Với Với −3 ≤ x < 0, ( 3) x < −3, ( 3) Kết luận: có dạng có dạng S = { 1} x + = x +1 , vô nghiệm Dự án 1: Bài tập Toán − x − = x + ⇔ x = −2 , không thuộc khoảng xét Bài tập tự luyện  BÀI Giải phương trình a) x − + ( x + 1) = x −1 = x − ; b) x − = 3x − ; c) d) x − + x +1 = e) ; x − x +1 = x−3 + x−5 = ; Nhóm word hóa tài liệu f) Tự học tốn  Lời giải a) Xét Xét x≥3 x4 ta ta 3≤ x ≤5 x = −3 Xét x = 6.  S = { −3; 6} Nhóm word hóa tài liệu −1 ≤ x ≤ , phương trình vơ nghiệm Tự học toán  BÀI Giải phương trình x − x −1 + x − = a) x − x +1 + x + = b) x − x −1 + x − = c) x +1 + x + + x + = 4x d)  Lời giải a) b) c) −2 , x = 4;0 ≤ x ≤ x d) Khơng nên máy móc xét khoảng giá trị Chú ý8vế trước phương trình khơng âm nên Dự án 1: Bài tập Toán x≥0 x +1+ x + + x + = 4x x=6 vế phải khơng âm, Phương trình trở thành Từ Tập nghiệm S = { 1; −2}  BÀI Giải phương trình x x + − x + x + = 1; a) | x |3 −3 x + = b)  Lời giải a) Chú ý x2 + x + > y= x >0 b) Đặt Đáp số Nhóm word hóa tài liệu Đáp số: x = ±1 x =1 , Tập nghiệm S = { 1; −2} Tự học toán P x −1 = x +  BÀI Giải phương trình sau  Lời giải Khử dấu giá trị tuyệt đối từ ngoài: trước hết xét −1 ≤ x ≤ Đáp số: x ≥ 0, x <  BÀI Giải phương trình sau: x − − x = 2a a) (a số); x − + − x = 2a ( a b) số)  Lời giải a) Nếu Nếu Nếu Nếu x≥4 a ≠ −2 a = −2 x −2 Kết luận: Nếu b) Nếu a > −2 a =1 a >1 a 0 Nếu x = −7 a, x = a Nếu a≤0 − a < 2a 2a ≤ −a Xét trường hợp Xét trường hợp x < − a, − a ≤ x ≤ 2a, x > 2a x < 2a, a ≤ x ≤ − a , x > − a ta nghiệm: ta nghiệm: x = − a Dự án 1: Bài tập Tốn Bài BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Tóm tắt lý thuyết Để giải bất phương trình loại này, ta khử dấu giá trị tuyệt đối với phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn Một số ví dụ  Ví dụ Giải bất phương trình: ( 1) x −x+2≤ x−4  Lời giải Lập bảng xét dấu biểu thức x x−4 Để giải bất phương trình loại này, ta khử dấu giá trị tuyệt đối với phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Xét khoảng x g ( x) ⇔   f ( x) > g ( x) Dạng 3: f ( x) > g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) 2  Ví dụ Giải bất phương trình: x − x+2≤ x−4  Lời giải Cách 1: x< Xét khoảng , ( 1) ( − x ) < x + 1  Nhóm word hóa tài liệu có dạng: ( 1) Tự học tốn ⇔ − 6x < 2x +1 ⇔ −8 x < −2 ⇔x> Nghiệm bất phương trình thuộc khoảng x≥ Xét khoảng , ( 1) 1 ⇔  x < ⇔ < x < W Bài 1.Giải bất phương trình sau: a ) 3x − < 4; b) − x < x + Lời giải a) − < x < 2; b) b) x ≤ 0; x ≥ Bài Giải bất phương trình sau: a) x + > x − ; Lời giải a) x > Nhóm word hóa tài liệu b) | x − 1|>| x + | −3; Tự học toán b) x < Bài Giảicác bất phương trình sau: a ) | x − 1| + | x − |> 8; b) | x − | + | x + 1|< 8; Lời giải a) x < −1; x > b) − < x < Dự án 1: Bài tập Tốn Nhóm word hóa tài liệu ... x =1 dư 7, f ( x ) chia cho cịn dư Xét (1 ) x−2 dư Tự học toán f ( x ) = ( x − ) ×B ( x ) + (2 ) Cách Xét f ( x ) = 3x ( x − ) ( x − 3) + ax + b Từ ( 1) , ( ) , ( 3) ( x − ) ( x − 3) Do cách cho... 24 ( x − ) ( x − 5) ( x − ) ( x − ) = 1 680 ( x + ) ( x + 3) ( x − ) ( x − ) = 180 x (8 x − 1)2 ( x − 1) = (1 2 x + 7) ( x + ) ( x + 1) = Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán f) ( x + 1) ( x... 1)2 ( x + 3) = 18 Lời giải a) x ( x + 1) ( x − 1) ( x + ) = 24 Nghiệm b) x = ? ?3; ( x − ) ( x − 5) ( x − ) ( x − ) = 1 680 Nghiệm x = −1;12 c) Ta có ( x + ) ( x + 3) ( x − 5) ( x − ) = 180 ⇔ (