Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N.. Tính diện tích tam giác AMN..[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 UBND HUYỆN YÊN LẬP PHÒNG GD&ĐT (Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN, LỚP Ngày thi: 26/11/2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm): 3 a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a1 a a n và P a1 a a n Chứng minh rằng: S chia hết cho và P chia hết cho 6 b) Cho A = n n 2n 2n (với n N, n > 1) Chứng minh A không phải là số chính phương Câu (4,0 điểm): a) Tính giá trị A = 10 10 a bc b ca c ab x yz y zx z xy y z a b c b) Cho Chứng minh: x Câu (4,0 điểm): Giải các phương trình sau: a) x x 10 x x 1 b) 10 x 3 x Câu (7,0 điểm): Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Một tiếp tuyến đường tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự M và N a) Biết BC = 8cm và MN = 3cm Tính diện tích tam giác AMN b) Chứng minh rằng: MN2 = AM2 + AN2 – AM.AN AM AN 1 c) Chứng minh rằng: MB NC Câu (2,0 điểm): Cho x > 0, y > 0, z > thỏa mãn x2015 + y2015 + z2015 = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = x2 + y2 + z2 Hết Họ và tên học sinh:……………………………….,số báo danh:…………… Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) UBND HUYỆN YÊN LẬP PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHON HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN, NĂM HỌC 2015-2016 MÔN : TOÁN, LỚP Ngày thi: 26/11/2015 Câu (3,0 điểm): 3 a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a1 a a n và P a1 a a n Chứng minh rằng: S chia hết cho và P chia hết cho 6 b) Cho A = n n 2n 2n (với n N, n > 1) Chứng minh A không phải là số chính phương Đáp án Điểm a) (1,5 điểm): Với a Z thì a3 – a = (a – 1)a(a + 1) là tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho và Mà (2.3)=1 nên a3 – a S P (a13 a1 ) (a 23 a ) (a 3n a n )6 Vậy S 6 P 6 0,5 b) (1,5 điểm): Ta có: A = n6 – 2n5 + 2n4 + 2n5 – 4n4 + 4n3 + n4 – 2n3 + 2n2 = (n4 + 2n3 + n2) (n2 – 2n + 2) = n2(n + 1)2(n2 – 2n + 2) + Với n N, n > thì n2 – 2n + = (n – 1)2 + > (n – 1)2 và n2 – 2n + = n2 – 2(n – 1) < n2 => (n – 1)2 < n2 – 2n + < n => n2 – 2n + không phải là số chính phương Vậy A không phải là số chính phương (ĐPCM) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Câu (4,0 điểm): a) Tính giá trị A = 10 10 x yz y zx z xy a b c b) Cho 2 a bc b ca c ab x y z Chứng minh: Đáp an Điểm a) (2 điểm) Đặt a = 10 10 => a2 = + 6 1,0 0,5 (3) => a = => A = a - 1 b) (2 điểm): 0,5 x yz y zx z xy b c Đặt a =k 2 x yz y zx z xy a b c k k k => ; ; 0,25 0,25 x yz y zx z xy k k a bc k x y z 3xyz x x k2 Do đó: = b ca x y z 3xyz y k2 Tương tự ta có: c ab x y z 3xyz z k2 0,75 0,25 0,25 0,25 => ĐPCM Câu (4,0 điểm): Giải các phương trình sau: a) x x 10 x x 1 b) 10 x 3 x Đáp án a) (2 điểm): ĐK: x 1 Phương trình đã cho tương đương với: 2 x x2 10 x x 1 x x 1 x2 x 10 0 x x 2x 10 2 t t2 t 0 t t x ta phương trình: Đặt 2x t x 0 ta có: x Với (Vô nghiệm) 2 2x2 2 t x 2 x ta có: x (thỏa mãn điều kiện) Với x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là b) (2 điểm): ĐK: x 10 x3 3 x 10 10 x 1 x x 1 x x 1 3 x x 1 3 x x x 1 Điểm 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 2 Đặt a x ( a 0 ); b x x 1 ( b ) Ta có: 10ab = 3a2 + 3b2 <=> 3a2 – ab – 9ab + 3b2 = <=> (a – 3b)(3a – b) = <=> a = 3b b = 3a 0,25 0,5 (4) 2 + Nếu a = 3b ta có: x 3 x x x 10 x 0 (Vô nghiệm) 2 + Nếu b = 3a ta có: x x 3 x x 10 x 0 x 5 33 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 5 33 0,25 0,25 Câu (7,0 điểm): Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Một tiếp tuyến đường tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự M và N a) Biết BC = 8cm và MN = 3cm Tính diện tích tam giác AMN b) Chứng minh rằng: MN2 = AM2 + AN2 – AM.AN AM AN 1 c) Chứng minh rằng: MB NC Đáp án Điểm A H M N I D E O B C a) (3,0 điểm): 1 BC BD 82 42 3 Vì tam giác ABC nên OD = CD = SAMN = SADOE – 2SMON 16 SADOE = 2SADO = DO.AD = 1 3 SMON = OI.MN = = => 2SMON = 16 3 Vậy SAMN = 1,0 0,25 0,75 0,75 0,5 b) (2,0 điểm): Đặt AB = AC = BC = a, AM = x, AN = y, MN = z 0,25 y y y Kẻ NH vuông góc với AB Ta có: AH = , NH = , HM = x - 0,75 (5) 2 y 3 y x 2 2 MN = NH + HM = = x2 + y2 – xy hay MN2 = AM2 + AN2 – AM.AN 0,75 0,25 c) (2 điểm) Ta có: x + y + z = 2AD = a 0,5 AM AN x y x y 1 1 1 MB NC a x a y yz xz 0,5 x(x + z) + y(y + z) = (x + z)(y + z) x2 + xz + y2 + yz = xy + xz +yz + z2 0,5 x2 + y2 – xy = z2 (Đã chứng minh câu b) 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm): Cho x > 0, y > 0, z > thỏa mãn x2015 + y2015 + z2015 = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = x2 + y2 + z Đáp án 2015 2015 Áp dụng BĐT Cô si cho x , x và 2013 số ta có 2015 x +x 20152015 x 2015 0,5 2015 +1 + + +1 2x2015 + 2013 2015x2 Tương tự: 2y2015 + 2013 2015y2 2z2015 + 2013 2015z2 2 x 2015 y 2015 z 2015 3.2013 2015 => x2 + y2 + z2 Dấu “=” xảy và khi: x = y = z =1 Vậy giá trị lớn M là Điểm 2.3 3.2013 3 2015 = 0,5 0,5 0,5 Ghi chú: - Trong quá trình chấm bài thi học sinh, giám khảo vận dụng linh hoạt đáp án, nghiên cứu kỹ bài làm học sinh Học sinh có thể giải theo cách khác đáp án mà đúng cho điểm - Khi chấm tổ chấm có thể chia nhỏ điểm tới 0,25 điểm (6)