Chứng minh được Tứ giác ABOE là hình chữ nhật => OE AI Chứng minh được tam giác AOI cân ở I Sử dụng tính chất 3 đường cao của tam giác chỉ ra được IG là đường cao đồng thời là trung tr[r]
(1)Bài Cho đường tròn (O;15cm) , dây AB=24cm(AB khác đường kính) Kẽ OH vuông góc với AB( H AB) , OH kéo dài cắt tiếp tuyến B (O) điểm C a) Tính độ dài đoạn OC và CB ? b) Chứng minh AC = CB suy AC là tiếp tuyến đường tròn ? c) Đường thẳng vuông góc với AB A cắt đường tròn K Chứng minh điểm B, O,K thẳng hàng ? d) Khi cho dây AB chạy trên đường trên đường tròn (O) Hỏi điểm H chạy trên đường nào? Vì sao? a)Tính độ dài đoạn OC và CB ? B O jH C K A HB=12 (cm); OH = (cm) ⇒ OC = 25 (cm) b)Chứng minh AC = CB suy AC là tiếp tuyến đường tròn ? Chứng minh Δ OBC = Δ OAC ( c-g-c) vì: OB = OA = 15 (cm) BOC = AOC ( OH là đường cao Δ OAB cân O nên OH là phân giác) OC: chung Suy ra: AC = CB ( hai canh tương ứng) 0,5 Nên ta có OBC = OAC = 900 Vậy AC là tiếp tuyến (O) c)Đường thẳng vuông góc với AB A cắt đường tròn K Chứng minh các điểm B, O,K thẳng hàng ? 0,5 KA AB nên KAB = 900 , Do đó KB là đường kính nên K,O,B thẳng hàng 0,5 d)Khi cho dây AB chạy trên đường trên đường tròn (O) Hỏi điểm H chạy trên đường nào? Vì sao? Khi dây AB = 24cm chạy trên đường tròn tâm (O) bán kính 15cm thì OH = 9cm Do 0,5 đó H cách O khoảng cm nên H chạy trên đường tròn (O;9cm) (2) Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm Từ điểm A cách O là 5cm vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm) a) Chứng minh AO vuông góc với BC; b) Kẻ đường kính BD Chứng minh DC song song với OA; c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BD, đường thẳng này cắt tia DC E Đường thẳng AE và OC cắt I; đường thẳng OE và AC cắt G Chứng minh IG là trung trực đoạn thẳng OA B O A H G D E C I Ta có OB = OC = R = 2(cm) AB = AC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) => AO là đường trung trực BC hay OA BC Xét tam giác BDC có OB = OD = OD = BD (= R) => Tam giác BDC vuông C => DC BC C Vậy DC // OA ( Vì cùng vuông góc với BC) - Xét tam giác ABO vuông có BO AB ( theo tính chất tiếp tuyến) => AB = OA2 OB 52 32 4cm Gọi H là giao điểm AO và BC BC Vì AO là trung trực BC nên HB = HC = Tam giác ABO vuông B có đường cao BH => HB.OA = OB.AB ( Hệ thức lượng tam giác vuông) Tính HB = 2,4 cm; BC = 4,8 cm Lại có AB2 = OA.AH => AH = 3,2cm Vậy chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = = + + 4,8 =12,8 (cm) (3) BC.OA 3, 2.4,8 7, 68(cm ) 2 Diện tích tam giác ABC là: Chứng minh hai tam giác ABO và tam giác EOD (g.c.g) Chứng minh Tứ giác ABOE là hình chữ nhật => OE AI Chứng minh tam giác AOI cân I Sử dụng tính chất đường cao tam giác IG là đường cao đồng thời là trung trực đoạn thẳng OA Bài 3: Cho ( O,R ), lấy điểm A cách O khoảng 2R Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) I Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC K a) Chứng minh: Tam giác OAK cân K b) Đường thẳng KI cắt AB M Chứng minh: KM là tiếp tuyến đường tròn (O) c) Tính chu vi tam giác AMK theo R a) Ta có: AB OB ( T/c tiếp tuyến ) OK OB ( gt ) A ( SLT ) AB / / OK O A A Mà (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) O1 A1 Vậy OKA cân K b) Ta có : OI = R , OA = 2R => IA = R => KI là trung tuyến OKA Mà OKA cân K ( Cmt) => KI OA Hay KM OA Vậy KM là tiếp tuyến (O) c) Xét AOB ( B 90 ), có: OA = 2R , OB = R => AB = R PAKM = AM + MK + AK = AM + MI + IK + KA Mà MB = MI KI = KC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) AB = AC => PAKM = AM+MB+KC+KA = AB+AC = 2AB = R 3 (4) Bài 4: Cho đường tròn tâm (O; R) và điểm A có AO = 2R Kẻ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn Gọi I là trung điểm MN BC cắt OA và MN H và K Chứng minh : AO BC Tính độ dài OH theo R Chứng minh tam giác ABC là tam giác Chứng minh AI AK = AO AH B N I K M O H A C Hình vẽ AB = AC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt ) OB= OC =R Suy AO là đường trung trực đoạn BC suy AO BC Chỉ OAB vuông B, AO BC H OB R OB2 = OA.OH ==> OH = OA = OB SuyraBAO 300 Sin BAO = OA BAC =2 BAO = 600 (1) ABC có AB = AC suy ABC cân A (2) Từ (1) và(2) Suy ABC là tam giác IN = IM (GT) Suy OI MN hay OIA = 900 AIO và AHK có OIA = 900 và AHK= 900 IAO chung Suy AIO AHK(g.g) Bài 5: Cho nửa đường tròn AI AO tâmSuy đường kính AB Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn này dựng các tia Ax, By cùng vuông AK=2R : AH => AI.AK = AO.AH góc với AB Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By C và D (5) a) Chứng minh COD 90 b) Chứng minh tích AC.BD không đổi M di chuyển trên nửa đường tròn c) AD cắt BC I, MI cắt AB H Chứng minh MH AB d) Biết AM = R Tính diện tích tam giác BMD theo R a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: y AOC COM D MOD DOB x 1800 COM MOD 900 hay COD 90 M C I A B O H b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AC = CM; BD = DM => AC.BD = CM.DM = R2 (không đổi) IA AC c) Ta có AIC DIB => ID BD IA CM => ID DM => IM // AC Mà AC AB nên IM AB Hay HM AB d) MB R (áp dụng Pytago và AMB) - Chứng minh BMD SBMD R 3 3R (đvdt) Bài 6: Cho tam giác ABC cân A Gọi M là trung điểm CB a) Chứng minh M thuộc đường tròn tâm O đường kính AB b) Kẻ OH vuông góc MB H, OH cắt tiếp tuyến (O) B I Chứng minh: IM là tiếp tuyến (O) c) Cho AB = 20cm, AM = 12cm Tính OI và BI d) Gọi K là giao điểm OI và (O) Chứng minh BK là phân giác góc MBI (6) a C I M K H A B O Ta có: ABC cân A, mà M là trung điểm BC => AMB 1v b => M thuộc đường tròn tâm (O) đường kính AB Xét OBI và OMI có: OM = OB, OI là cạnh chung, MOH BOH ( OH là đường cao tam giác MOB cân O nên là phân giác ) Suy ra: OBI = OMI (c-g-c) Do đó OMI OBI 1v c Vậy IM là tiếp tuyến (O) M Xét OBI vuông B, BH OI Suy ra: OB2 = OH.OI 50 => OI= OB : OH = 10 : = (cm), ( OH = ½ AM) 2 d 50 40 10 => BI2 = OI2 – OB2 = =>BI = (cm) Ta có BHK vuông H => HKB B1 90 OBI vuông B => OBK B2 90 Mà HKB OBK ( OKB cân O) Do đó: B1 B2 ˆ Bài 7: Cho tam giác ABC cân A ( A 90 ) có các đường cao AD, BE cắt H Gọi O là trung điểm AH a) Chứng minh điểm A, H, E cùng thuộc đường tròn ( O) b) Chứng minh DE là tiếp tuyến (O) c) Biết DH = 2cm, AH = 6cm Hãy tính số đo góc ADE.(Làm tròn độ) (7) a Vì O là trung điểm AH OA = OH = AH Tam giác AEH vuông E có EO là đường trung tuyến OE = AH OA = OH = OE điểm A, H, E cùng thuộc (O) Ê Aˆ1 b.Vì OA = OE Tam giác ABC cân A (1) Tam giác ABC cân A có AD là đường cao nên là đương trung tuyến D là trung điểm BC DB = DC = BC Tam giác BEC vuông E có ED là đường trung tuyến DE = BC DB = DE DBE cân D Ê3 = B̂1 (2) Aˆ Bˆ1 Ta lại có: (cùng phụ Ĉ ) (3) Eˆ Eˆ3 Từ (1), (2), (3) ˆ 900 ˆ ˆ ˆ Eˆ Eˆ AEB E2 E3 OED 90 OE ED E Mà Vậy DE là tiếp tuyến (O) E c Ta có AH = 6cm OH = OE = 3cm; DH = 2cm OD = 5cm OE Trong tam giác vuông OED có: SinODE = OD = 0,6 ˆ 37 ˆ 370 ODE hay ADE Bài 8: Cho ABC vuông A, có AB = 3cm, BC = 6cm a) Tính độ dài cạnh AC, số đo góc B và góc C b) Vẽ (O) ngoại tiếp ABC Đường cao AH ABC cắt (O) D Chứng minh BC là đường trung trực AD c) Tiếp tuyến D (O) cắt đường thẳng BC E Chứng minh EA là tiếp tuyến (O) d) Chứng minh EA2 = EB EC (8) A E B H 2O C D a) Tính độ dài cạnh AC, số đo góc B và góc C vuông ABC, có: 2 2 *) AC = BC AB 3 cm *) cos B = AB : BC = 0,5 B = 60o C = 90o - 60o = 30o b) Chứng minh BC là đường trung trực AD Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là trung điểm BC Xét (O), ta có: BC AD H ( gt) (1) H là trung điểm dây AD (2) Từ (1) và (2) suy ra: BC là đường trung trực AD c) Chứng minh EA là tiếp tuyến (O) cân ABO ( OA = OB), có: OH là đường trung trực ( cmt) OH là đường phân giác Ô1 = Ô2 Xét AEO và DEO, ta có: OA = OD = R; Ô1 = Ô2 ( cmt) ; EO: chung Suy :AEO = DEO ( c.g.c) EAO EDO 90o EA OA A EA là tiếp tuyến (O) d) Chứng minh EA2 = EB EC Ta có : OA = OB = AB = 3cm Nên OAB là tam giác o BAO 60 Â1 = EÂO – BÂO = 90o – 60o = 30o Xét EAB và ECA, ta có : Ê1 : chung; Â1 = C1 = 30o Suy : EAB ECA(g.g) EA EB EC EA EA2 EB.EC Bài 9: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) cho OA = 2R Từ A vẽ tiếp tuyến AB đường tròn (O) (B là tiếp điểm) 1) Chứng minh tam giác ABO vuông B và tính độ dài AB theo R (9) 2) Từ B vẽ dây cung BC (O) vuông góc với cạnh OA H Chứng minh AC là tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Chứng minh tam giác ABC 4) Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với AB D Đường tròn đường kính AC cắt cạnh DC E Gọi F là trung điểm cạnh OB Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng 1) Ta có: ABO 90 (AB là tiếp tuyến của(O) B) ABO vuông B 2 AB OB OA (Đ/L Pytago) AB OA2 OB R R 4 R R 3R AB R 2) Ta có BOC cân O (OB = OC = R) Mà OH là đường cao ( BC OA H) OH là đường phân giác BOC BOA COA Chứng minh AOC = AOB (c-g-c) ACO ABO Mà ABO 90 (AB là tiếp tuyến của(O) B) ACO 90 AC OC mà C thuộc (O) AC là tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Chứng minh ABC cân A (1) Xét ABO vuông 0, có Sin ABO OB R OA R BAO 30 Ta có: AO là tia phân giác góc BAC (T/c tiếp tuyến cắt nhau) (10) BAC 2 BAO 2.300 600 (2) Từ (1) và (2) suy ABC 4) Gọi I là giao điểm AF và HD Áp dụng hệ Talet để I là trung điểm HD Gọi K là trung điểm BD Chứng minh KI là đường trung bình BHD KI // HB Mà HB OA H (gt) KI AH Chứng minh I là trực tâm AHK AI là đường cao AHK AF HK (3) Chứng minh HK là đường trung bình BDC HK // CD (4) Từ (3) và (4) AF CD Ta có: AEC nội tiếp đường tròn đường kính AC AEC vuông E AE CD mà AF CD (cmt) Vậy Ba điểm A, E, F thẳng hàng Bài 10: Cho góc xOy 1200, đường tròn (O) cắt tia Ox, tia Oy B và C Tiếp tuyến (O) B và C cắt A Gọi H là giao điểm OA và BC a/ Chứng minh : Tam giác ABC là tam giác b/ Chứng minh : BH2 = OH.HA c/ Vẽ đường kính CD (O) Tính diện tích tam giác BCD theo bán kính R (O) d/ Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC F, đường thẳng qua O và vuông góc với OC cắt AB E Chứng minh : EF là tiếp tuyến (O) x D E B F A y H O C (11) 4a/ Chứng minh : Tam giác ABC là tam giác ˆ Ta có AB là tiếp tuyến (O,R)=> ABO 90 ˆ AC là tiếp tuyến (O,R)=> ACO 90 ˆ 3600 ( ACˆ O+ABO+xOy) ˆ ˆ BAC = 3600 (900 900 1200 ) 600 4b/ 4c/ 4d (1) Ta có : AB= AC (Vì AB, AC là hai tiếp tuyến (O) cắt A) => ABC cân A (2) Từ (1) và (2) suy : ABC là tam giác b/ Chứng minh : BC2 = 4OH.HA: OBC cân O ( OB=OC là bán kính (O) ) ˆ ˆ Mà BOA COA ( Do AB, AC là hai tiếp tuyến (O) ) Nên : OA BH OBA vuông B, OA BH=> BH2 = OH.HA Tính diện tích tam giác BCD theo bán kính R (O) ˆ 1800 xOy 1800 1200 BCˆ D 300 2 OBC cân O => CD = 2R ( đvđd) Ta có DBC nội tiếp đường tròn (O) có CD là đường kính => DBC vuông B => BC = CD cosC = 2R cos300= 2R = R ( đvđd) BD = CD sinC = 2R sin300= 2R.1/2 = R ( đvđd) SBCD = BC.BD/2= R R/2 = R2 ( dvdt) Chứng minh : EF là tiếp tuyến (O) Ta có OE OC , AF OC OE / / AF OF OB, AB OB OF / / AE OEAF là hình bình hành ˆ ˆ Lại có BAO CAO ( Do AB, AC là tiếp tuyến (O) ) OEAF là hình thoi => EF OI I (I là giao điểm OA và EF) (3) ˆ ˆ COA ˆ BOC 120 600 BOA 2 Mặt khác, ta có : OBA vuông B=> OA=OB/cosO =R/cos600 =2R Mà OEAF là hình thoi=> OI = OA/2 = 2R/2 = R => OI là bán kính (O) ) (4) Từ (3) và (4) => EF là tiếp tuyến (O) (12)