Về vấn đề thể hiện tập phụ thuộc hàm của khối dữ liệu trong mô hình dữ liệu dạng khối

Bài viết phát biểu và chứng minh một số tính chất của khối dữ liệu khi thể hiện tập các phụ thuộc hàm trong mô hình dữ liệu dạng khối. Điều kiện cần và đủ để hai tập phụ thuộc hàm trên lược đồ khối là tương đương, tính chất của hai tập phụ thuộc hàm tương đương trên khối dữ liệu. Tính chất của mối tương quan giữa các thể hiện trên khối cũng được phát biểu và chứng minh...

Kỷ yếu Hội nghị KHCN Quốc gia lần thứ XIII Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR), Nha Trang, ngày 8-9/10/2020 DOI: 10.15625/vap.2020.00231 VỀ VẤN ĐỀ THỂ HIỆN TẬP PHỤ THUỘC HÀM CỦA KHỐI DỮ LIỆU TRONG MƠ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI Trịnh Đình Thắng1, Trần Minh Tuyến2 Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Đại học Cơng đồn thangdhsp2@hpu2.edu.vn, tuyentm@dhcd.edu.vn TÓM TẮT: Bài báo phát biểu chứng minh số tính chất khối liệu thể tập phụ thuộc hàm mơ hình liệu dạng khối Điều kiện cần đủ đẻ hai tập phụ thuộc hàm lược đồ khối tương đương, tính chất hai tập phụ thuộc hàm tương đương khối liệu Tính chất mối tương quan thể khối phát biểu chứng minh Ngồi ra, thuật tốn làm đóng khối trị khối liệu phép nhân phần tử độ phức tạp trình bày chứng minh tính Từ khóa: Thể tập phụ thuộc hàmn, cơng thức Boolean, khối chân lý, lược đồ khối I MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI A Khối, lược đồ khối Định nghĩa I.1 [1] Gọi R = (id; A1, A2, , An) hữu hạn phần tử, id tập số hữu hạn khác rỗng, Ai (i = 1…n) thuộc tính Mỗi thuộc tính Ai (i = n) có miền giá trị tương ứng dom(Ai) Một khối r R, kí hiệu r(R) gồm số hữu hạn phần tử mà phần tử họ ánh xạ từ tập số id đến miền trị thuộc tính Ai (i = n) Nói cách khác: t r(R) t = { ti : id dom(Ai)}i=1 n Ta kí hiệu khối r(R) r(id; A1, A2, , An ), khơng gây nhầm lẫn ta kí hiệu đơn giản r Định nghĩa I.2 [1] Cho R = (id; A1, A2, , An ), r(R) khối R Với x id ta kí hiệu r(Rx) khối với Rx = ({x}; A1, A2, , An ) cho: tx r(Rx) tx = {tix = ti } i=1 n , t r(R), t = { ti : id dom(Ai)}i=1 n, x Khi r(Rx) gọi lát cắt khối r(R) điểm x B Phụ thuộc hàm Sau đây, đơn giản ta sử dụng kí hiệu: x(i) = (x; Ai ) ; id(i) = {x(i) | x id} Ta gọi x(i) (x id, i = n) thuộc tính số lược đồ khối R = (id; A1,A2, ,An ) Định nghĩa I.3 [1] n Cho R = (id; A1,A2, ,An ), r(R) khối R X, Y  id (i,) X Y kí hiệu phụ thuộc hàm Một i khối r thoả X Y nếu: t1, t2 R cho t1(X) = t2(X) t1(Y) = t2(Y) Định nghĩa I.4 [3] Cho lược đồ khối = (R,F), R = (id; A1, A2, , An), F tập phụ thuộc hàm R Khi bao đóng F kí hiệu F+ xác định sau: F+ = { X Y | F X Y } (m) (m) Nếu X = {x } id , Y = {y(k)} id(k) ta kí hiệu phụ thuộc hàm X Y đơn giản x(m) y(k) (m) (k) (m) (m) (k) (k) Khối r thoả x y với t1, t2 r cho t1(x ) = t2(x ) t1(y ) = t2(y ) Trong đó: t1(x(m)) = t1(x; Am), t2(x(m)) = t2(x; Am), t1(y(k)) = t1(y; Ak ), t2(y(k)) = t2(y; Ak ) Về sau, để thuận tiện sử dụng ta kí hiệu tập phụ thuộc hàm R: Fh = { X Y | X x i A Fhx = Fh n ={X x i (i ) (i ) , Y x j B Y Fh | X, Y ( j) , A, B {1,2, ,n} x n x i (i ) } id }, Trịnh Đình Thắng, Trần Minh Tuyến 697 Định nghĩa I.5 [3] Cho lược đồ khối = (R,Fh), R = (id; A1, A2, , An), Fh gọi tập đầy đủ phụ thuộc hàm Fhx với x id Một cách cụ thể hơn: Fhx gọi với x id nghĩa là: ứng tạo thành từ M, N nhờ việc thay x y x, y id: M N M’ Fhx N’ Fhy với M’, N’ tương C Bao đóng tập thuộc tính số: Định nghĩa I.6 [4] Cho lược đồ khối = (R, F), R = (id; A1, A2, , An ), F tập phụ thuộc hàm R n Với X  id (i ) i , ta định nghĩa bao đóng X F kí hiệu X+ sau: X+ = {x(i) , x id, i = n | X x(i) F+ } n Ta kí hiệu tập tất tập tập hợp  idlà tập (i ) n SubSet( i , SubSet (  id (i ) ) M, P SubSet( i n SubSet(  id (i ) (i ) i n n Cho  id)  id ), ta định nghĩa phép toán (i ) i ) sau: i M M P = MP (hợp tập M P : M = {MX | X = {XY | X P), }, ,Y } D Khoá lược đồ khối = (R, F) Định nghĩa I.7 [4] Cho lược đồ khối = (R,F), R = (id; A1, A2, , An), F tập phụ thuộc hàm R, K khoá lược đồ khối thoả điều kiện: i) K x(i) F+ , x id, i = n ii) K’ K K’ khơng có tính chất i) Nếu K khố K K’’ K’’ gọi siêu khoá lược đồ khối R F n  id (i ) K gọi i II CÁC CƠNG THỨC BOOLEAN A Cơng thức Boolean Định nghĩa II.1 [2] Cho U = {x1, x2, , xn} tập hữu hạn biến Boolean, B tập trị Boolean, B = {0, 1} Khi cơng thức Boolean (CTB) hay cịn gọi cơng thức logic xây dựng sau: (i) Mỗi trị 0/1 B CTB (ii) Mỗi biến nhận giá trị U CTB (iii) Nếu a cơng thức Boolean (a) CTB (iv) Nếu a b CTB avb, a b, a a b CTB (v) Chỉ có cơng thức tạo quy tắc từ (i) – (iv) CTB Ta kí hiệu L(U) tập CTB xây dựng tập biến U Định nghĩa II.2 [2] Mỗi vector phần tử 0/1, v = {v1, v2, , vn} không gian Bn = BxBx xB gọi phép gán trị Như vậy, với CTB f L(U) ta có f(v) = f(v1, v2, , vn) trị công thức f phép gán trị v Trong trường hợp khơng gây nhầm lẫn ta hiểu kí hiệu X đồng thời biểu diễn cho đối tượng sau : - Một tập thuộc tính U - Một tập biến logic U - Một công thức Boolean hội logic biến X Mặt khác, X = {B1, B2, , Bn} U, ta kí hiệu: X = B1 B2 Bn gọi dạng hội vX = B1v B2v v Bn gọi dạng tuyển Với tập hữu hạn CTB F ={f1, f2, , fm} L(U), ta xem F công thức dạng F = f1 f2 fm Khi ta có: F(v) = f1(v) f2(v) fm(v) 698 VỀ VẤN ĐỀ THỂ HIỆN TẬP PHỤ THUỘC HÀM CỦA KHỐI DỮ LIỆU TRONG MƠ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI B Bảng trị bảng chân lý Với công thức f U, bảng trị f, kí hiệu Vf chứa n+1 cột, với n cột chứa giá trị biến U, cột thứ n+1 chứa trị f ứng với phép gán trị dòng tương ứng Như vậy, bảng trị chứa 2n dòng, n số phần tử U Định nghĩa II.3 [2] Bảng chân lý f , kí hiệu Tf tập phép gán trị v cho f(v) nhận giá trị 1: Tf = {v Bn | f(v) = 1} Khi đó, bảng chân lý TF tập hữu hạn cơng thức F U, giao bảng chân lý công thức thành viên F Tf TF = f F Ta có: v TF f F: f(v) = C Suy dẫn logic Định nghĩa II.4 [2] Cho f, g hai CTB, ta nói cơng thức f suy dẫn logic cơng thức g kí hiệu f |=g Tf Tg Ta nói f tương đương với g kí hiệu f≡g Tf = Tg Với F G L(U) ta nói F suy dẫn logic G , kí hiệu F |= G TF TG Hơn nữa, ta nói F G tương đương, kí hiệu F≡G TF = TG D Công thức Boole dương Định nghĩa II.5 [2] Công thức f L(U) gọi công thức Boolean dương (CTBD) f(e) = với e phép gán trị đơn vị: e = (1, 1, , 1), ta kí hiệu P(U) tập tồn cơng thức Boolean dương U Ta xem P(U) bao gồm cơng thức xây dựng từ phép toán , , E Khối chân lý khối liệu Định nghĩa II.6 [7] Cho R = (id; A1,A2, ,An ), r(R) khối R, u, v ( 1(u.x(1),v.x(1)), 2(u.x(2),v.x(2)), , n(u.x(n),v.x(n))) x id , đó: (i) (i) (i) (i) i(u.x ,v.x ) = u.x = v.x i(u.x (i) ,v.x(i)) = ngược lại, i = n, x r Ta gọi (u,v) phép gán trị: (u,v) = id Khi đó, với khối r ta kí hiệu khối chân lý khối r Tr: Tr = { (u,v) | u, v r } Từ định nghĩa ta thấy khối chân lý khối r khối nhị phân Trong trường hợp tập id = {x}, khối suy biến thành quan hệ khái niệm bảng chân lý khối lại trở thành khái niệm bảng chân lý quan hệ mơ hình liệu quan hệ Nói cách khác, khối chân lý khối mở rộng khái niệm bảng chân lý quan hệ mơ hình quan hệ G Phụ thuộc Boolean dương khối Định nghĩa II.7 [7] Cho R = (id; A1,A2, ,An ), r(R) khối R, ta gọi công thức Boolean dương P(R) phụ thuộc Boolean dương (PTBD) Ta nói khối r thỏa phụ thuộc Boolean dương f kí hiệu r(f) Tr Tf Khối r thỏa tập phụ thuộc Boolean dương F kí hiệu r(F) khối r thỏa PTBD F: r(F) f F: r(f) Tr TF Nếu có r(F) ta nói PTBD f khối r Cho tập PTBD F PTBD f: - Ta nói F suy dẫn f theo khối kí hiệu F |- f nếu: r : r(F) r(f) - Ta nói F suy dẫn f theo khối có khơng q phần tử kí hiệu F |-2 f nếu: r2 : r2(F) r2(f) Ta có định lý tương đương sau: Định lý II.1 [7] Cho tập PTBD F PTBD f , R = (id; A1,A2, ,An ), r(R) khối R Khi ba mệnh đề sau tương đương: (i) F |= f (suy dẫn logic), (ii) F |- f (suy dẫn theo khối), (iii) F |-2 f (suy dẫn theo khối có khơng q phần tử) Đối với phụ thuộc hàm (PTH) khối r, ta định nghĩa khối r thỏa PTH f: X Y, kí hiệu r(f) nếu: Trịnh Đình Thắng, Trần Minh Tuyến 699 u, v r: u.X = v.X u.Y = v.Y Khi ta xem phụ thuộc hàm trường hợp riêng CTBD ta chấp nhận định nghĩa khối r thỏa phụ thuộc hàm f: X Y Tr Tf Định lý cần đủ sau khẳng định tương đương hai định nghĩa trên: Định lý II.2 [7] n Cho R = (id; A1,A2, ,An ), r(R) khối R, phụ thuộc hàm f: X id ( i ) Khi đó: r(f) Y với X, Y i Tr Tf Trong trường hợp F tập phụ thuộc hàm khối TF giao Tf thành viên F nên ta lại có kết sau: Định lý II.3 [7] n Cho R = (id; A1,A2, ,An ), r(R) khối R, tập phụ thuộc hàm F = {f: X id ( i ) } Khi Y | X, Y i đó: r(F) Tr TF Từ trở ta hiểu tập F lược đồ khối = (R, F) tập phụ thuộc Boolean dương R n id ( i ) , v Giả sử X Bn x m (ở |id| = m), ta có: i X(v) = X(v) = x(i) x(i) X: v x(i) = X: v x(i) = X(v) = X(v) = x(i) x(i) X: v x(i) = X: v x(i) = Định nghĩa II.8 [8] Cho lược đồ khối R = (id; A1,A2, ,An n), B = {0,1} Khi với v Set(v) = { x(j) id (i ) | v x(j) = 1} i B n x m ta kí hiệu : Set(T) = {Set(v) | v T} Ta định nghĩa ánh xạ Vec: Subset(U) B n x m sau: = x(i) X, ngược lại vx(i) = (1 ≤ i ≤ n, x id) với khối T B n x m ta kí hiệu: X U: Vec(X) = (vx(1),vx(2),…, vx(n))v id vx(i) III KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU A Khối chân lý khối liệu thuật toán TClosed& Định nghĩa III.1 n id (i ) Giả sử u, v V, ta xét phép toán nhân u Cho R = (id; A1,A2, ,An ), V tập phép gán trị i v, kí hiệu u&v, xác định sau: Nếu u =( ux(1), ux(2) ,…, ux(n) ) x id, v =( vx(1), vx(2) ,…, vx(n) ) x id u&v = ( ux(1) vx(1), ux(2) vx(2),…, ux(n) vx(n) ) x id Ta quy ước tích tập rỗng phần tử V phép gán trị đơn vị e = (1, 1,…, 1)x, x id Định nghĩa III.2 Cho R = (id; A1,A2, ,An ), V tập phép gán trị n id (i ) Tập phép gán trị V gọi đóng i phép nhân & V chứa tích cặp phần tử nó, nghĩa là: u,v V: u&v V Cho R = (id; A1,A2, ,An ), r(R) khối R Khi khối chân lý T r khối nhị phân nói chung khơng đóng với phép nhân & phần tử Tr Giả sử T khối nhị phân, T B n x m , khối T khơng đóng với phép nhân & ta bổ sung vào khối T tối thiểu số phần tử để khối T* thỏa mãn hai tính chất sau: i) T* chứa phần tử đơn vị e phần tử không z ii) T* đóng với phép nhân & Ta gọi q trình làm đóng khối T theo phép nhân & Thuật tốn làm đóng khối nhị phân Thuật toán TClosed& Đầu vào: Khối nhị phân T B n x m, T={t1, t2, …, tk} với phép nhân & Đầu ra: Khối T* nhỏ chứa T T* chứa phần tử đơn vị e, phần tử không z, đóng với phép nhân & Phương pháp 700 VỀ VẤN ĐỀ THỂ HIỆN TẬP PHỤ THUỘC HÀM CỦA KHỐI DỮ LIỆU TRONG MƠ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI T*:= T; i:=0; while i