De thi HSG huyen V2 20152016

Gọi I, H, K lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ∆ABC với các cạnh AB, AC, BC... - Thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa; - Bài 4, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ [r]

PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU ĐỀ THI VÒNG II, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Môn Toán – ( Thời gian làm bài 150 phút) -Bài (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức: A  3  44  16 B x   x 2 9 2  x Bài (4 điểm) a, Chứng minh rằng:  3 32  3 2 b, Cho a, b, c > Chứng minh rằng:   36 a b c   12 b1 c1 a1 Bài (4 điểm) Giải các phương trình: 1 x  x   x  2 a, b, ( x  1)( x  2)  x 3  x   ( x  1)( x  3) =0 Bài (6 điểm) 1, Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD không là đường kính Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến đường tròn C và D; N là giao điểm các đường thẳng AC và BD Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC E, F Chứng minh: a MN vuông góc với AB b NE = NF 2, Cho ∆ABC vuông A Biết: BC =  và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính số đo góc B và góc C tam giác ABC Bài (2 điểm) Với số thực a, ta gọi phần nguyên a là số nguyên lớn không vượt quá a và kí hiệu là  a Cho dãy số: x , x , x , x ,…,x n ,…(n  N) sác định công thức:  n  1  n  xn          với giá trị n Hỏi 2015 số {x , x1, x2,…, x 2014 } có bao nhiêu số khác ? -Hết HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN VÒNG II – NĂM HỌC 2015-2016 Bài Câu Hướng dẫn giải Điểm 0,5 A=  (2  2) = 0,5  3  0,5 = (2  2)(2  2) 0,5 3 = 12  32 = - 20 2 (2  3)  x (2  5)   x 2 x B= x = = 0,5 3   x  2   x = x 0,5 0,5 1 x 1 x x  (1  0,5 x) = a Đặt: a = x + y , với x = 32 2, y = 3 2 0,5 Dễ thấy: x3 + y3 = và x.y = 0,5  a  x  y   3xy ( x  y ) 6  3a  a 3(1   a)  3.3 1.1.a (Vì: x > 1, y > nên: a > 1) Do đó: Vậy :  0,5 a  (32 )3 a  a8  36 3 3 2  3 2  0,5 3 b Áp dụng bất đẳng thức Côsi với số dương: a b c   3 c1 a1 có: b  Mạt khác, từ: a - a +   tương tự: 33  b b   và a b c b  , c  , a  ta 0,5 a b c b1 c1 a1 a a   4, 0,5 c c  4 a b c 3 4.4.4 12 b1 c1 a1 0,5 Vậy: a Đặt:  b a b c   12 b1 c1 a1 0,5 1 = t, (t  0)  x + = t + 0,5 x 1 x  x = 0,5 1 (t  )2 = t + , (vì t  0) Vậy phương trình đã cho trở thành: 0,5 1 2 t + t + =  (t + ) =  t + = , (vì t  0) 1 x = t = - , giải ta được: x = -  Ta có: VT =( x   1) ( x   x  ) 0,5 PT trở thành:( x   1) ( x   x  ) = 0, vì: 0,5  0,5 x   x  0 0,5 x 1 =  x = Vậy nghiệm phương trình là: x = 0,5 P M F Q C D A N B O H E 1.a Gọi P là giao điểm AD và BC  N là trực tâm  PAB  PN  0,5 AB Gọi giao điểm tiếp tuyến (O) D với PN là M’ 0,5      PDM ' = ABD ' = DPM ' Do: PDM   PM’D cân M’  PM’ = DM’  M’ là trung điểm PN Tương tự tiếp tuyến C (O) cắt PN trung điểm M” PN 0,5 0,5  M’, M” trùng M  Đpcm 1.b Trên tia đối tia NB lấy điểm Q cho NQ = NB     QA // NO  QA  NE A là trực tâm  QNE  NA  QE ( H) FB // EQ mà N là trung điểm BQ N là trung điểm EF  NE = NF (Đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 + Nếu: AB  AC Gọi I, H, K là các tiếp điểm đường tròn nội tiếp ∆ABC với các cạnh AB, AC, BC Ta có: AB + AC = AI + AH + BI + CH = AI + AH + BK + KC = + (1)  (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = BC2 + 2AB.AC 0,5 0,5 (8  )  BC2 24  16 = (8 + )2  AB.AC = (2) Từ (1) và (2), kết hợp với AB < AC 0,5  AB = + ; AC = + sin C   AB     300 ; B  600 BC   C 0,5   + Tương tự, nếu: AB AC Thì: B 30 ;C 60 Vì: a - <  n √ - 1) = 0,5 1, vậy: x , x , x , x ,…,x 2014 nhận giá trị 0,5 a  a, nên: +1 < √2 ⇒ x ❑n n+1 n [ √ ] - [√ ] < n+1 √2 - ( Cho nên số các số khác là: 2014 x k 0 k = √2 √2 0,5 √2 √2 [ ]-[ ]+[ ]-[ ]  2015   2014      + +   -   =  2015       2015  2015 ⇒     =1424 Mà: 1424< <1425 Vậy có tất 1424 số khác Lưu ý: - Hướng dẫn chấm gồm 03 trang; 0,5 - Thí sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa; - Bài 4, học sinh không vẽ hình vẽ hình sai không chấm