Ta tìm đa thức Sx bằng lược đồ Horner như sau: Hệ số của Tx Hệ số của Sx.. Bình phương hai vế của đẳng thức này, ta được:..[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN LỚP ( Thời gian làm bài: 150 phút ) ĐỀ CHÍNH THỨC 5x Câu (4,0 điểm) cho phân thức : A 2 5y 5z x y z xy yz zx 5x 5y 5z 25xy 25yz 25zx a) Tìm các giá trị x, y, z để phân thức xác định ; b) Rút gọn A Câu (5,0 điểm) a) Tìm giá trị a để h(x) = 3x2 + ax – 32 chia x + có số dư là 3; b) Giải phương trình nghiệm nguyên : + x + x2 + x3 = y3 ; c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: p(x) = x3 + 6x – 13x – 42 Câu (4,0 điểm) a) Cho M a 16 Tìm các giá trị nguyên a để M có giá trị a 4a 8a 16a 16 nguyên ; b) Biết ax + by + cz = và a + b + c = N Tính: 1993 ax by cz 2 bc y z ac x z ab x y Câu (5 ,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ các tia Bx AB, Cy CA chúng cắt D a) Tứ giác BHCD là hình gì ? Vì ? b) Gọi E là điểm cho BC là đường trung trực EH Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân ; c) BD cắt EH K Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác HCDK là hình thang cân Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z Chứng minh x + y + z – xy – yz – xz Hết -Họ và tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI Câu điểm a) (5x + 5y + 5z)2 – (25xy + 25yz + 25zx) 0,5 = 25[ (x + y + z)2 – (xy + yz + zx) ] Xét (x + y + z)2 – (xy + yz + zx) = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – xy – yz – zx = x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx = 1,5 2x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy +2yz + 2zx = (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 = x + y = y + z = z + x = x = y = z = Vậy để phân thức A xác định thì x, y, z không đồng thời không b) Đặt x + y2 + z2 = a và xy + yz + zx = b thì (x + y + z)2 = a + 2b a(a 2b) b a 2ab b (a b) a b Khi đó : A 5(a 2b b) 5(a b) 5(a b) Vậy 0,5 x y2 z xy yz zx A 0,5 Câu điểm a) Theo định lí Bezoute, ta có số dư là h(-5) = 3 a = 1 b) Ta nhận thấy x x x 0, x 2 nên x x x x y 0,5 (1) Lại có (x + 2)3 – (1 + x + x2 + x3) = 5x2 + 11x + 0,5 11 19 nên (x + 2)3 + x + x2 + x3 = 5 x 10 20 (2) Từ (1) và (2) suy x3 < y3 < (x +2)3 y3 = (x + 1)3, tức là 0,5 + x + x2 + x3 = (x + 1)3 x(x + 1) = x = -1 x = Với x = -1 thì y = 0; với x = thì y = Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y) là ( - 1; 0) và (0; 1) c) Trước hết ta nhận thấy x = là nghiệm đa thức p(x) ( Vì p(3) = ), đó: 0,5 (3) p(x) = (x - 3) T(x) (*) Ta tìm đa thức T(x) lược đồ Horner sau: Hệ số p(x) Hệ số T(x) a=3 -13 -42 14 0=r Vậy T(x) = x2 + 9x + 14 Do đó p(x) = (x - 3)( x2 + 9x + 14) Ta lại nhận thấy đa thức T(x) = x2 + 9x + 14, có nghiệm x = -2 ( vì T(-2) = ), đó T(x) = (x + 2) S(x) Ta tìm đa thức S(x) lược đồ Horner sau: Hệ số T(x) Hệ số S(x) a = -2 14 r=0 Vậy S(x) = x + 7, đó T(x) = (x + 2)(x + 7) (**) Kết hợp (*) và (**), ta kết quả: p(x) = (x - 3) (x + 2).(x + 7) ; Câu a) M điểm a 16 (a 4)(a 2)(a 2) a a 4a 8a 16a 16 (a 4)(a 2) a2 a2 ( a ) Từ đó M nhận giá trị nguyên a – là ước số 4, suy a nhận các giá trị -2; 0; 1; 3; 4; b) Theo giả thiết ax + by + cz = Bình phương hai vế đẳng thức này, ta được: 0,5 a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2(axby + axcz + bycz) = a2x2 + b2y2 + c2z2 = -2(axby + axcz + bycz) (1) Biến đổi mẫu thức phân thức đã cho, ta được: 0,5 bc(y – z)2 + ac(x – z)2 + ab(x – y)2 = bcy2 – 2bcyz + bcz2 + acx2 – 2acxz + acz2 + abx2 – 2abxy + aby2 = bcy2 + bcz2 + acx2 + acz2 + abx2 + aby2 – 2(bcyz + acxz + abxy ) (2) Thay (1) vào (2), ta được: (bcy2 + acx2 + c2z2) + (bcz2 + abx2 + b2y2) + (acz2 + aby2 + a2x2) 0,5 = c(by2 + ax2 + cz2) + b(cz2 + ax2 + by2) + a(cz2 + by2 + ax2) = (by2 + ax2 + cz2)(a + b + c) by ax cz Vậy N 2 (by ax cz )(a b c) a b c 1993 1993 0,5 (4) Câu điểm 0,5 a) Tứ giác BHCD là hình bình hành vì có các cặp cạnh đối song song với b) Gọi M là giao điểm HD và BC, I là giao điểm AE và BC Dễ dàng chứng minh IM // DE, suy DE // BC Do đó BCDE là hình thang 1,5 Ta lại có CE = CH; CH = BD nên CE = BD nên CE = BD Vậy tứ giác BCDE là hình thang cân c) BH cắt AC F, ta có F 90o Hình thang HKDC là hình thang cân HCD KHC CHF KHC HCD (so le ) ) (vì CHF HCF HIC = HFC HCI CH là phân giác góc ACB ACB cân C Vậy: HKDC là hình thang cân và ABC là tam giác cân C. Câu điểm Từ giả thiết, ta có x xz, y yz và z zx nên x – xz + y – yz + z – zx 0,5 (5) hay x + y + z – xy – yz – zx (1) Xét (1 – x)(1 – y)(1 – z) = - [ x + y + z – xy – yz – xz – – xyz ] x + y + z – xy – yz – xz – xyz < Từ (1) và (2), ta có đpcm 0,5 0,5 (2) 0,5 Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác, đúng và lập luận chính xác thì cho điểm tuyệt đối (6)