Nhận xét 6: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên nếu ta biến đổi tử thức để tìm cách viết được qua mẫu số và đạo hàm của mẫu thì hay quá.. - Hướng 6: Biến đổi..[r]
(1)7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN Một phương pháp học toán là sau bài toán chúng ta cần tìm “điểm nhấn “ để có thể hiểu vấn đề cách “ thông thái “ Vậy để làm điều đó, người học toán cần điều gì? Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo vấn đề đặt Tìm mối liên hệ các kiến thức xung quanh vấn đề đó Tự đặt câu hỏi xung quanh vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp Xin phân tích qua bài toán nhỏ sau: Bài toán : Tính tích phân I = sin x sin x cos x dx Nhận xét 1: Quan sát thấy hàm số dấu tích phân có dạng phân thức Vậy kiến thức sử dx dụng cho hàm phân thức là gì? Chắc chắn chúng ta nghĩ đến nguyên hàm x ln | x | C Vậy để sử dụng công thức này chúng ta cần phải tìm cách biến đổi dạng đó ! Nhận xét 2: Ở đây xuất hàm số lượng giác là sinx và cosx Vậy có cách nào biểu diễn thông qua yếu tố không ? Ta cùng tìm kiếm kiến thức để giải - Hướng 1: Chia tử và mẫu cho cosx ta f ( x) sinx tgx tgx 1 1 sinx cos x tgx tgx tgx từ đó đặt t= tgx I= dx − tdt - Hướng 2: Đặt (1+t)(1+t ) t tan = dx − A Bt +C dt + dt t+1 [ 1+t ] x 2t 1- t sin x ; cosx= thì 1 t2 1 t2 b Với hướng trên ta có thể tính tích phân có dạng tổng quát sau: a sin x b1 cos x c1 I dx a sin x b2 cos x c2 a Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ đề bài và giải nhé! Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ sinx và cosx Điều gì đặc biệt cận tích phân ? (2) dx dt t x 0 : t 2 x : t 0 - Hướng 3: Đặt x= ( đây là cách đặt ẩn phụ mà không làm thay đổi cận tích phân đã có dịp trao đổi cùng các bạn) Khi đó : sin x co s t co s x I dx dt dx sin x cos x sin t cos t sin x cos x 0 sin x co s x I dx dx dx I sin x cos x sin x cos x 0 Thật đáng kinh ngạc !!!!! Với hướng trên ta có thể tính tích phân tổng quát sau: n I n sin m x sin m x n co s m x Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ đề bài và giải nhé! Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác thì nào ? π π sin x + − 4 π = − cot g x+ - Hướng 4: Biến đổi f(x) = π √ sin x + ( ) ( ) [ ( )] và ta tính bình thường Nhận xét - Hướng 5: Biến đổi 1 −cos x sin x − 1 f(x) = sin x (cos x − sin x) = = tg x − +1 2 cos x cos 2x cos x − sin x ( ) ( ) và ta tính với các tích phân bình thường hàm lượng giác Nhận xét 6: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên ta biến đổi tử thức để tìm cách viết qua mẫu số và đạo hàm mẫu thì hay quá ! - Hướng 6: Biến đổi f ( x) sinx sinx cos x sinx cos x cos x sinx sinx cos x 2( sinx cos x) 2( sinx cos x) (3) Nhận xét 7: Quan sát ticsh phân cần tìm ta thấy sai khác tử số và mẫu số, ta tìm tích phân khác có “họ hàng” với nó thì ? Trả lời câu hỏi đó ta xét tích phân ( gọi là tích phân liên kết tích phân I) I J Từ hai tích phân trên ta giải hệ : I J tìm I co s x J dx sin x cos x (4)