BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11 Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và Phương pháp : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng và Đường thẳng đi qua hai điểm chung[r]
(1)Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11 Dạng : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng () và () Phương pháp : Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng () và () Đường thẳng qua hai điểm chung là giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung () và () thường tìm đường thẳng đồng phẳng nằm hai mp giao điểm có hai đường thẳng này là điểm chung hai mặt phẳng b a Bài tập : Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm Xác định giao tuyến (SAC) và (SBD) S b Xác định giao tuyến (SAB) và (SCD) c Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC) Giải a Xác định giao tuyến (SAC) và (SBD) Ta có : S là điểm chung (SAC) và (SBD) Trong (), gọi O = AC BD O AC mà AC (SAC) O (SAC) O BD mà BD (SBD) O (SBD) O là điểm chung (SAC) và (SBD) A Vậy : SO là giao tuyến (SAC) và (SBD) J b Xác định giao tuyến (SAB) và (SCD) Ta có: S là điểm chung (SAC) và (SBD) k Trong () , AB không song song với CD O Gọi I = AB CD B I AB mà AB (SAB) I (SAB) I CD mà CD (SCD) I (SCD) I là điểm chung (SAB) và (SCD) Vậy : SI là giao tuyến (SAB) và (SCD) A c Tương tự câu a, b Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc mặt phẳng Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD M lấy các điểm M, N, P cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến ( BCD) và ( MNP) Giải P BD mà BD ( BCD) P ( BCD) B P ( MNP) N P là điểm chung ( BCD) và ( MNP) Trong mp (ABC) , gọi E = MN BC E BC mà BC ( BCD) E ( BCD) E MN mà MN ( MNP) E ( MNP) C E là điểm chung ( BCD) và ( MNP) Vậy : PE là giao tuyến ( BCD) và ( MNP) Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mp (ABC ) , điểm I thuộc đoạn SA Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự J , K Tìm giao tuyến các cặp mp sau : a mp ( I,a) và mp (SAC ) b mp ( I,a) và mp (SAB ) c mp ( I,a) và mp (SBC ) Giải a Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAC ) : Ta có: I SA mà SA (SAC ) I (SAC ) I( I,a) I là điểm chung hai mp ( I,a) và (SAC ) Trong (ABC ), a không song song với AC Gọi O = a AC O AC mà AC (SAC ) O (SAC ) O ( I,a) Trang A S ∉( α ) a C D I P D E (2) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 O là điểm chung hai mp ( I,a) và (SAC ) Vậy : IO là giao tuyến hai mp ( I,a) và (SAC ) b Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAB) : là JI S I L B O C K J A c Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SBC ) Ta có : K là điểm chung hai mp ( I,a) và mp (SBC ) Trong mp (SAC) , gọi L = IO SC L SC mà SC (SBC ) L (SBC ) L IO mà IO ( I,a) L ( I,a ) L là điểm chung hai mp ( I,a) và (SBC ) Vậy: KL là giao tuyến hai mp ( I,a) và (SBC ) Cho bốn điểm A ,B ,C , D không cùng nằm mp a Chứng minh AB và CD chéo b Trên các đoạn thẳng AB và CD lấy các điểm M, N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD I Hỏi điểm I thuộc mp nào Xđ giao tuyến hai mp (CMN) và ( BCD) Giải a Chứng minh AB và CD chéo : Giả sử AB và CD không chéo Do đó có mp () chứa AB và CD A ,B ,C , D nằm mp () mâu thuẩn giả thuyết Vậy : AB và CD chéo b Điểm I thuộc mp : I MN mà MN (ABD ) I (ABD ) I MN mà MN (CMN ) I (CMN ) I BD mà BD (BCD ) I (BCD ) Xđ giao tuyến hai mp (CMN) và ( BCD) là CI A M N D B C Cho tam giác ABC nằm mp ( P) và a là mộtđường thẳng nằm mp ( P) và không song song với AB và AC S là điểm ngoài mặt phẳng ( P) và A’ là điểm thuộc SA Xđ giao tuyến các cặp mp sau a mp (A’,a) và (SAB) b mp (A’,a) và (SAC) c mp (A’,a) và (SBC) Giải a Xđ giao tuyến mp (A’,a) và (SAB) A’ SA mà SA ( SAB) A’ ( SAB) A’ ( A’,a) A’ là điểm chung ( A’,a) và (SAB ) Trong ( P) , ta có a không song song với AB Gọi E = a AB E AB mà AB (SAB ) E (SAB ) E ( A’,a) Trang I (3) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 S A' N A M C F B a E P E là điểm chung ( A’,a) và (SAB ) Vậy: A’E là giao tuyến ( A’,a) và (SAB ) b Xđ giao tuyến mp (A’,a) và (SAC) A’ SA mà SA ( SAC) A’ ( SAC) A’ ( A’,a) A’ là điểm chung ( A’,a) và (SAC ) Trong ( P) , ta có a không song song với AC Gọi F = a AC F AC mà AC (SAC ) F (SAC ) E ( A’,a) F là điểm chung ( A’,a) và (SAC ) Vậy: A’F là giao tuyến ( A’,a) và (SAC ) c Xđ giao tuyến (A’,a) và (SBC) Trong (SAB ) , gọi M = SB A’E M SB mà SB ( SBC) M ( SBC) M A’E mà A’E ( A’,a) M ( A’,a) M là điểm chung mp ( A’,a) và (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC A’F N SC mà SC ( SBC) N ( SBC) N A’F mà A’F ( A’,a) N ( A’,a) N là điểm chung mp ( A’,a) và (SBC ) Vậy: MN là giao tuyến ( A’,a) và (SBC ) A Cho tứ diện ABCD , M là điểm bên tam giác ABD , N là điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến các cặp mp sau a (AMN) và (BCD) b (DMN) và (ABC ) P M Giải a Tìm giao tuyến (AMN) và (BCD) Trong (ABD ) , gọi E = AM BD E AM mà AM ( AMN) E ( AMN) E BD mà BD ( BCD) E ( BCD) N Q E là điểm chung mp ( AMN) và (BCD ) B Trong (ACD ) , gọi F = AN CD E F AN mà AN ( AMN) F ( AMN) F CD mà CD ( BCD) F ( BCD) F là điểm chung mp ( AMN) và (BCD ) Vậy: EF là giao tuyến mp ( AMN) và (BCD ) b Tìm giao tuyến (DMN) và (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM AB C P DM mà DM ( DMN) P (DMN ) P AB mà AB ( ABC) P (ABC) P là điểm chung mp ( DMN) và (ABC ) Trong (ACD) , gọi Q = DN AC Q DN mà DN ( DMN) Q ( DMN) Trang D F (4) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Q AC mà AC ( ABC) Q ( ABCA) Q là điểm chung mp ( DMN) và (ABC ) Vậy: PQ là giao tuyến mp ( DMN) và (ABC ) a Dạng : Xác định giao điểm đường thẳng a và mặt phẳng () Phương pháp : Tìm đường thẳng b nằm mặt phẳng () Giao điểm a và b là giao đt a và mặt phẳng () A Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến mp () và mp () a Cần chọn mp () chứa đường thẳng a cho giao tuyến mp () và mp () dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng a Bài tập : Trong mp () cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc () Trên cạnh AB lấy điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy hai điểm M, N cho MN không song song với AB S a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng () Giải M a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) E Cách : Trong (SAB) , gọi E = SP MN E SP mà SP (SPC) E (SPC) N E MN C A Vậy : E = MN (SPC ) Cách : Chọn mp phụ (SAB) MN P ( SAB) (SPC ) = SP B Trong (SAB), gọi E = MN SP D E MN E SP mà SP (SPC) Vậy : E = MN (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp () Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB MN D AB mà AB () D () S D MN Vậy: D = MN () N Cách : Chọn mp phụ (SAB) MN ( SAB) () = AB Trong (SAB) , MN không song song với AB M Gọi D = MN AB K D AB mà AB () D () D MN Vậy : D = MN () A Cho tứ giác ABCD và điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn SC lấy điểm M không trùng với S và C Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) O Giải Chọn mp phụ (SBD) SD B Tìm giao tuyến hai mp ( SBD) và (ABM ) Ta có B là điểm chung ( SBD) và (ABM ) Tìm điểm chung thứ hai ( SBD) và (ABM ) Trong (ABCD ) , gọi O = AC BD Trong (SAC ) , gọi K = AM SO K SO mà SO (SBD) K ( SBD) K AM mà AM (ABM ) K ( ABM ) K là điểm chung ( SBD) và (ABM ) Trang b D C (5) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ( SBD) (ABM ) = BK Trong (SBD) , gọi N = SD BK N BK mà BK (AMB) N (ABM) N SD Vậy : N = SD (ABM) Cho tứ giác ABCD và điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn AB lấy điểm M , Trên đoạn SC lấy điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) S a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) Chọn mp phụ (SAC) AN Tìm giao tuyến ( SAC) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi P = AC BD I N ( SAC) (SBD) = SP Trong (SAC), gọi I = AN SP I AN I SP mà SP (SBD) I (SBD) A Vậy : I = AN (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Chọn mp phụ (SMC) MN P Tìm giao tuyến ( SMC ) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi Q = MC BD M ( SAC) (SBD) = SQ Q Trong (SMC), gọi J = MN SQ J MN B J SQ mà SQ (SBD) J (SBD) Vậy: J = MN (SBD) Cho mặt phẳng () và đường thẳng m cắt mặt phẳng () C Trên m ta lấy hai điểm A, B và điểm S không gian Biết giao điểm đường thẳng SA với mặt phẳng () là điểm A’ Hãy xác định giao điểm đường thẳng SB và mặt phẳng () S Giải m Chọn mp phụ (SA’C) SB A Tìm giao tuyến ( SA’C ) và () B Ta có ( SA’C ) () = A’C Trong (SA’C ), gọi B’ = SB A’C B’ SB mà SB (SA’C ) B’ (SA’C) B’ A’C mà A’C () B’ () B' Vậy : B’= SB () A' Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng mặt phẳng Gọi I, H là trung điểm SA, AB Trên SC lấy điểm K cho : CK = 3KS Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) Giải S Chọn mp phụ (ABC) BC Tìm giao tuyến ( ABC ) và (IHK) K Trong (SAC) ,có IK không song song với AC I Gọi E’ = AC IK ( ABC ) ( IHK) = HE’ Trong (ABC ), gọi E = BC HE’ E BC mà BC ( ABC) E ( ABC) E HE’ mà HE’ ( IHK) E ( IHK) Vậy: E = BC ( IHK) Cho tứ diện SABC Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB và F là điểm trên AC ( DE và AB không song song ) a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) và ( ABC ) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) Giải a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) và ( ABC ) D C C A C E' H B K S Trang D E (6) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Ta có : F là điểm chung hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE Gọi M = AB DE M AB mà AB (ABC) M (ABC) M DE mà DE (DEF) M (DEF) M là điểm chung hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) Vậy: FM là giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) Chọn mp phụ (ABC) BC Tìm giao tuyến ( ABC ) và (DEF) Ta có (ABC) (DEF) = FM hình Trong (ABC), gọi N = FM BC N BC N FM mà FM (DEF) N (DEF) S Vậy: N = BC (DEF) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) Chọn mp phụ (SBC) SC Tìm giao tuyến ( SBC ) và (DEF) D Ta có: E là điểm chung ( SBC ) và (DEF) ο N BC mà BC (SBC) N (SBC) ο N FM mà FM (DEF) N (DEF) A N là điểm chung ( SBC ) và (DEF) E Ta có (SBC) (DEF) = EN Trong (SBC), gọi K = EN SC K SC K EN mà EN (DEF) K (DEF) hình 2B Vậy: K = SC (DEF) Cho hình chóp S.ABCD Gọi O là giao điểm AC và BD M, N, P là các điểm trên SA, SB ,SD a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Giải a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) Chọn mp phụ (SBD) SO Tìm giao tuyến ( SBD ) và (MNP) Ta có N MN mà MN (MNP) N (MNP) S N SB mà SB (SBD) N (SBD) N là điểm chung ( SBD ) và (MNP) P MP mà MN (MNP) P (MNP) P SD mà SD (SBD) P (SBD) P là điểm chung ( SBD ) và (MNP) (MNP) (SBD) = NP Trong (SBD), gọi I = SO NP I SO I NP mà NP (MNP) I (MNP) Vậy: I = SO (MNP) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Chọn mp phụ (SAC) SC Tìm giao tuyến ( SAC ) và (MNP) Ta có M MN mà MN (MNP) M (MNP) M SA mà SA (SAC) M (SAC) M là điểm chung ( SAC ) và (MNP) I MI mà MI (MNP) I (MNP) I SO mà SO (SAC) I (SAC) I là điểm chung ( SAC ) và (MNP) ( SAC) (SBD) = MI Trong (SAC), gọi Q = SC MI Q SC Q MI mà MI (MNP) Q (MNP) Vậy: Q = SC (MNP) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N là Trang K N M P M A C F N I Q D O C B A J M D (7) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 trung điểm AC và BC K là điểm trên BD và không trùng với trung điểm BD a Tìm giao điểm CD và (MNK ) b Tìm giao điểm AD và (MNK ) Giải a Tìm giao điểm CD và (MNK ) : Chọn mp phụ (BCD) SC Tìm giao tuyến ( BCD ) và (MNK) Ta có N (MNK) N BC mà BC (BCD) N (BCD) N là điểm chung (BCD ) và (MNK) K (MNK) K BD mà BD (BCD) K (BCD) K là điểm chung (BCD ) và (MNK) (BCD) (MNK) = NK Trong (BCD), gọi I = CD NK I CD I NK mà NK (MNK) I (MNK) Vậy: I = CD (MNK) b Tìm giao điểm AD và (MNK ) Chọn mp phụ (ACD) AD Tìm giao tuyến (ACD ) và (MNK) Ta có: M (MNK) M AC mà AC (ACD) M (ACD) M là điểm chung (ACD ) và (MNK) I NK mà NK (MNK) I (MNK) I CD mà CD (ACD) I (ACD) I là điểm chung (ACD ) và (MNK) (ACD) (MNK) = MI Trong (BCD), gọi J = AD MI J AD A J MI mà MI (MNK) J (MNK) Vậy: J = AD (MNK) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD O là điểm bên tamgiác BCD Tìm giao điểm : M a MN và (ABO ) b AO và (BMN ) Giải Q a Tìm giao điểm MN và (ABO ): Chọn mp phụ (ACD) MN I Tìm giao tuyến (ACD ) và (ABO) N Ta có : A là điểm chung (ACD ) và (ABO) Trong (BCD), gọi P = BO DC B P BO mà BO (ABO) P (ABO) P CD mà CD (ACD) P (ACD) O P là điểm chung (ACD ) và (ABO) (ACD) (ABO) = AP Trong (ACD), gọi Q = AP MN Q MN Q AP mà AP (ABO) Q (ABO) Vậy: Q = MN (ABO) b Tìm giao điểm AO và (BMN ) : Chọn mp (ABP) AO Tìm giao tuyến (ABP ) và (BMN) Ta có : B là điểm chung (ABP ) và (BMN) Q MN mà MN (BMN) Q (BMN) Q AP mà AP (ABP) Q (ABP) Q là điểm chung (ABP ) và (BMN) (ABP) (BMN) = BQ Trong (ABP), gọi I = BQ AO I AO I BQ mà BQ (BMN) I (BMN) Trang C P D (8) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Vậy: I = AO (BMN) 10 Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB Gọi I ,J, K là các điểm trên SA, AB, BC ( K không là trung điểm BC) Tìm giao điểm : a IK và (SBD) b SD và (IJK ) c SC và (IJK ) Giải a Tìm giao điểm IK và (SBD) Chọn mp phụ (SAK) IK Tìm giao tuyến (SAK ) và (SBD) Ta có : S là điểm chung (SAK ) và (SBD) Trong (ABCD), gọi P = AK BD P AK mà AK (SAK) P (SAK) P BD mà BD (SBD) P (SBD) P là điểm chung (SAK ) và (SBD) S (SAK) (SBD) = SP Trong (SAK), gọi Q = IK SP I N Q IK Q SP mà SP (SBD) Q (SBD) Vậy: Q = IK (SBD) b Tìm giao điểm SD và (IJK ) : Q Chọn mp phụ (SBD) SD A B Tìm giao tuyến (SBD ) và (IJK) J Ta có : Q là điểm chung (IJK ) và (SBD) M Trong (ABCD), gọi M = JK BD M JK mà JK ( IJK) M (IJK) P K M BD mà BD (SBD) M (SBD) D M là điểm chung (IJK ) và (SBD) C (IJK) (SBD) = QM Trong (SBD), gọi N = QM SD N SD N QM mà QM (IJK) N (IJK) Vậy: N = SD (IJK) c Tìm giao điểm SC và (IJK ) : Chọn mp phụ (SAC) SC Tìm giao tuyến (SAC ) và (IJK) Ta có : I là điểm chung (IJK ) và (SAC) Trong (ABCD), gọi E = AC JK E JK mà JK ( IJK) E ( IJK) E AC mà AC (SAC) E (SAC) E là điểm chung (IJK ) và (SAC) ( IJK) (SAC) = IE Trong (SAC), gọi F = IE SC F SC F IE mà IE ( IJK) F ( IJK) Vậy : F = SC ( IJK ) 11.Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lấy hai điểm M,N cho MN không song song với CD Gọi O là điểm bên tam giác BCD a Tìm giao tuyến (OMN ) và (BCD ) A b Tìm giao điểm BC với (OMN) c Tìm giao điểm BD với (OMN) Giải a Tìm giao tuyến (OMN ) và (BCD ): N Ta có : O là điểm chung (OMN ) và (BCD ) Trong (ACD) , MN không song song CD Gọi I = MN CD I là điểm chung (OMN ) và (BCD ) Q B Vậy : OI = (OMN ) (BCD ) b Tìm giao điểm BC với (OMN): O M Trong (BCD), gọi P = BC OI Vậy : P = BC ( OMN ) P Trang F D (9) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 c Tìm giao điểm BD với (OMN): Trong (BCD), gọi Q = BD OI Vậy : Q = BD ( OMN ) 12.Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấy điểm N a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) : Chọn mp phụ (SMN) MN Tìm giao tuyến (SAC ) và (SMN) Ta có : S là điểm chung (SAC ) và (SMN) Trong (SBC), gọi M’ = SM BC Trong (SCD), gọi N’ = SN CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’ AC I M’N’ mà M’N’ (SMN) I ( SMN) I AC mà AC (SAC) I (SAC) I là điểm chung (SMN ) và (SAC) S ( SMN) (SAC) = SI Trong (SMN), gọi O = MN SI O MN N O SI mà SI ( SAC) O ( SAC) Vậy : O = MN ( SAC ) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : E Chọn mp phụ (SAC) SC O Tìm giao tuyến (SAC ) và (AMN) Ta có : ( SAC) (AMN) = AO Trong (SAC), gọi E = AO SC E SC A E AO mà AO ( AMN) E ( AMN) M Vậy : E = SC ( AMN ) B Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp : Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến hai mp I D N' C M' Bài tập : Cho hình bình hành ABCD S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N là trung điểm đoạn AB và SC S a Xác định giao điểm I = AN (SBD) b Xác định giao điểm J = MN (SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Giải a Xác định giao điểm I = AN (SBD ) Chọn mp phụ (SAC) AN Tìm giao tuyến (SAC ) và (SBD) I ( SAC) (SBD) = SO D Trong (SAC), gọi I = AN SO J I AN I SO mà SO ( SBD) I ( SBD) O Vậy: I = AN ( SBD) A E b Xác định giao điểm J = MN (SBD) S M Chọn mp phụ (SMC) MN Tìm giao tuyến (SMC ) và (SBD) S là điểm chung (SMC ) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi E = MC BD ( SAC) (SBD) = SE Trong (SMC), gọi J = MN SE Trang I J N N C B D (10) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 J MN J SE mà SE ( SBD) J ( SBD) Vậy J = MN ( SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Ta có : B là điểm chung (ANB) và ( SBD) I SO mà SO ( SBD) I ( SBD) I AN mà AN (ANB) I (ANB) I là điểm chung (ANB) và ( SBD) J SE mà SE ( SBD) J ( SBD) J MN mà MN (ANB) J (ANB) J là điểm chung (ANB) và ( SBD) Vậy : B , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD và S (ABCD) Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC O và OJ cắt SC M a Tìm giao điểm K = IJ (SAC) b Xác định giao điểm L = DJ (SAC) S c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Giải J a Tìm giao điểm K = IJ (SAC) M Chọn mp phụ (SIB) IJ L K Tìm giao tuyến (SIB ) và (SAC) B S là điểm chung (SIB ) và (SAC) A Trong (ABCD) , gọi E = AC BI E I C (SIB) ( SAC) = SE F D Trong (SIB), gọi K = IJ SE K IJ K SE mà SE (SAC ) K (SAC) O Vậy: K = IJ ( SAC) b Xác định giao điểm L = DJ (SAC) Chọn mp phụ (SBD) DJ Tìm giao tuyến (SBD ) và (SAC) S là điểm chung (SBD ) và (SAC) Trong (ABCD) , gọi F = AC BD (SBD) ( SAC) = SF Trong (SBD), gọi L = DJ SF L DJ L SF mà SF (SAC ) L (SAC) Vậy : L = DJ ( SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Ta có :A là điểm chung (SAC) và ( AJO) K IJ mà IJ (AJO) K (AJO) K SE mà SE (SAC ) K (SAC ) K là điểm chung (SAC) và ( AJO) L DJ mà DJ (AJO) L (AJO) L SF mà SF (SAC ) L (SAC ) L là điểm chung (SAC) và ( AJO) M JO mà JO (AJO) M (AJO) M SC mà SC (SAC ) M (SAC ) M là điểm chung (SAC) và ( AJO) Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC cho LM không song song với AB, LN không song song với SC a Tìm giao tuyến mp (LMN) và (ABC) b Tìm giao điểm I = BC ( LMN) và J = SC ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải a Tìm giao tuyến mp (LMN) và (ABC) S Ta có : N là điểm chung (LMN) và (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB Gọi K = AB LM Trang 10 L C (11) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 K LM mà LM (LMN ) K (LMN ) K AB mà AB ( ABC) K ( ABC) b Tìm giao điểm I = BC ( LMN) Chọn mp phụ (ABC) BC Tìm giao tuyến (ABC ) và (LMN) (ABC) ( LMN) = NK Trong (ABC), gọi I = NK BC I BC I NK mà NK (LMN ) I (LMN) Vậy : I = BC ( LMN) Tìm giao điểm J = SC ( LMN) Trong (SAC), LN không song song với SC gọi J = LN SC J SC J LN mà LN (LMN ) J (LMN) Vậy : J = SC ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Ta có : M , I , J là điểm chung (LMN) và ( SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD và S (ABCD) Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD a Tìm giao điểm I = BN ( SAC) b Tìm giao điểm J = MN ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng Giải a Tìm giao điểm I = BN ( SAC) Chọn mp phụ (SBD) BN Tìm giao tuyến (SBD ) và (SAC) Trong (ABCD), gọi O = AC BD (SBD) ( SAC) = SO A Trong (SBD), gọi I = BN SO I BN I SO mà SO (SAC ) I (SAC) Vậy : I = BN ( SAC) b Tìm giao điểm J = MN ( SAC) : B Chọn mp phụ (SMD) MN Tìm giao tuyến (SMD ) và (SAC) Trong (ABCD), gọi K = AC DM (SMD) ( SAC) = SK Trong (SMD), gọi J = MN SK J MN J SK mà SK (SAC ) J (SAC) Vậy : J = MN ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng : S Ta có : C , I , J là điểm chung (BCN ) và (SAC) Vậy : C , I , J thẳng hàng Dạng : Tìm thiết diện hình chóp và mặt phẳng ( ) : Chú ý : Mặt phẳng ( ) có thể cắt số mặt hình chóp Q Cách : Xác định thiết diện cách kéo dài các giao tuyến Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI) Giải Trong (ABCD), gọi J = BD MN K = MN AB H = MN BC Trong (SBD), gọi Q = IJ SB Trong (SAB), gọi R = KQ SA Trong (SBC), gọi P = QH SC Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR K Trang 11 S N I J D O K C M P I R C B N O J M A D S P R H (12) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N , P là trung điểm lấy trên AB , AD và SC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải Trong (ABCD) , gọi E = MN DC F = MN BC Trong (SCD) , gọi Q = EP SD Trong (SBC) , gọi R = FP SB Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR Cho tứ diện ABCD Gọi H,K là trung điểm các cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD lấy điểm M cho KM không song song với BD Tìm thiết diện tứ diện với mp (HKM ) Xét trường hợp : a M C và D b M ngoài đoạn CD Giải a M C và D : Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến (HKM) với (ABC) và (BCD) Trong (BCD), gọi L = KM BD Trong (ABD), gọi N = AD HL Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN A A M H N D H L D L B B M K K C C b M ngoài đoạn CD: Trong (BCD), gọi L = KM BD Vậy : thiết diện là tam giác HKL S Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N là trung điểm lấy trên AD và DC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNE) Giải Trong (SCD), gọi Q = EN SC Trong (SAD), gọi P = EM SA Trong (ABCD), gọi F = MN BC Trong (SBC), gọi R = FQ SB Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP R Q P F B C N A M D E Cách :Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ : S Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N là trung điểm SB và SC Giả sử AD và BC không M song song a Xác định giao tuyến (SAD) và ( SBC) b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD N A Giải a Xác định giao tuyến (SAD) và ( SBC) : J K Trong (ABCD) , gọi I = AD BC Vậy : SI = (SAD) ( SBC) D Trang 12 C B (13) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Trong (SBC) , gọi J = MN SI Trong (SAD) , gọi K = SD AJ Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấy điểm N a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) c Tìm thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Giải a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC): Chọn mp phụ (SMN) MN Tìm giao tuyến (SAC ) và (SMN) Ta có : S là điểm chung (SAC ) và (SMN) Trong (SBC), gọi M’ = SM BC Trong (SCD), gọi N’ = SN CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’ AC I M’N’ mà M’N’ (SMN) I ( SMN) I AC mà AC (SAC) I (SAC) I là điểm chung (SMN ) và (SAC) ( SMN) (SAC) = SI Trong (SMN), gọi O = MN SI O MN O SI mà SI ( SAC) O ( SAC) Vậy : O = MN ( SAC ) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : Chọn mp phụ (SAC) SC Tìm giao tuyến (SAC ) và (AMN) Ta có : ( SAC) (AMN) = AO Trong (SAC), gọi E = AO SC E SC E AO mà AO ( AMN) E ( AMN) Vậy : E = SC ( AMN ) c Tìm thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD: Trong (SBC), gọi P = EM SB Trong (SCD), gọi Q = EN SD Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (A’B’C’) Giải Trong (ABCD), gọi O = AC BD Trong (SAC), gọi O’ = A’C’ SO Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ SD Có hai trường hợp : Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’ Nếu D’ thuộc không cạnh SD thì Gọi E = CD C’D’ F = AD A’D’ thiết diện là tứ giác A’B’C’EF S Q N O A E D M N' I P B C M' S S A' B' A B' D' A O' O' C' B F D D B O A' O C' E C C Trang 13 D' (14) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 §1 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Dạng : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song : Sử dụng các cách sau : Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất hình học phẳng (cạnh đối hình bình hành , định lý talet … ) Sử dụng các định lý Chứng minh phản chứng Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD a Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành b Gọi M là điểm bất kì trên BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD Giải S a Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành : Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ // AB CD D' A' Mặt khác AB // CD A’B’ // C’D’ D Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành b Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: N Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung (A’B’M) và (ABCD) A Do đó giao tuyến (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’ Gọi N = Mx AD Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB CD) Gọi M , N là trung điểm các cạnh SA , SB a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC (ADN) c Kéo dài AN và DP cắt I Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD Tứ giác SABI là hình gì ? Trang 14 S C' B' C M B I (15) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Giải a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang ) Vậy : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC (ADN): Chọn mp phụ (SBC) SC Tìm giao tuyến (SBC ) và (ADN) Ta có : N là điểm chung (SBC ) và (ADN) Trong (ABCD), gọi E = AD AC ( SBC) (ADN ) = NE Trong (SBC), gọi P = SC NE Vậy : P = SC ( ADN ) c Chứng minh : SI // AB // CD Tứ giác SABI là hình gì ? Ta có : ¿ SI =(SAB) ∩(SCD) AB ⊂ (SAB) CD ⊂(SCD) ( theo định lí 2) AB / / CD ¿ ⇒ ¿ SI // AB // CD ¿{{{ ¿ A E Xét ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB) B M là trung điểm AB SI // 2MN Mà AB // 2.MN Do đó : SI // AB Vậy : tứ giác SABI là hình bình hành Cho tứ diện ABCD Gọi I ,J là trọng tâm các tam giác ABC và ABD Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD Giải Gọi E là trung điểm AB I J C D ¿ I ∈ CE Ta có : J ∈ DE IJ và CD đồng phẳng ¿{ ¿ EI EJ = = Do đó : (tính chất trọng tâm) EC ED Vậy : IJ // CD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB) Gọi I, J là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB cho SN = a Tìm giao tuyến (SAB) và (IJK) b Tìm thiết diện (IJK) với hình chóp S.ABCD Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành Giải a Tìm giao tuyến (SAB) và (IJK): Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung (SAB) và (IJK) Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB b Tìm thiết diện (IJK) với hình chóp S.ABCD : Gọi L = Kx SA Thiết diện là hình thang IJKL Do : IJ là đường trung bình hình thang ABCD IJ = (AB + CD) Trang 15 SB S L K B A J I D C (16) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Xét SAB có : LK SK = = AB SB IJKL là hình bình hành LK = IJ = KL Vậy : AB (AB + CD) = 2 AB AB = 3.CD thiết diện IJKL là hình bình hành AB = 3.CD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M ,N ,P , Q là các điểm nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD a Chứng minh : PQ // SA b Gọi K = MN PQ Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định M di động trên cạnh BC Giải a Chứng minh : PQ // SA S K Xét tam giác SCD : Ta có : NP // CD NP CN = DS CS Tương tự : Tương tự : P (1) MN // SB CN CM = CS CB A (2) Từ (1) , (2) và (3), suy D Q (3) DP DQ = DS DA B M Vậy : PQ // SA b Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định M di động trên cạnh BC Ta có : N MQ // CD CM DQ = CB DA t ¿ BC // AD BC ⊂(SBC) AD ⊂ (SAD) S ∈(SBC) ∩(SAD) ¿{{{ ¿ giao tuyến là đường thẳng St qua S cố định song song BC và AD Mà K (SBC) (SAD) K St (cố định ) Vậy : K St cố định M di động trên cạnh BC Trang 16 C (17) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG Dạng : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) : Phương pháp : Chứng minh ¿ d ⊄α d // a a⊂ α ¿ ⇒ ¿ d // α ¿{{ ¿ Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M ,N là trung điểm các cạnh AB và CD a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b Gọi P là trung điểm cạnh SA Chứng minh SB và SC song song với (MNP) c Gọi G ❑1 ,G ❑2 là trọng tâm ABC và SBC Chứng minh G G // (SAB) Giải a Chứng minh MN // (SBC): ¿ MN ⊄(SBC) MN // BC Ta có : BC⊂(SBC) ¿ ⇒ ¿ MN // (SBC) ¿{ { ¿ ¿ MN ⊄(SAD) MN // AD Tương tự : AD ⊂(SAD) ¿ ⇒¿ MN // (SAD) ¿{{ ¿ S Q P A D N M B C b Chứng minh SB // (MNP): ¿ SB⊄(MNP) SB // MP Ta có : MP ⊂(MNP) ¿ ⇒¿ SB // (MNP) ¿{ { ¿ Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến (MNP) và (SAD) Ta có : P là điểm chung (MNP) và (SAD) MN // AD Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN cắt SD Q PQ = (MNP) (SAD) Xét SAD , Ta có : PQ // AD P là trung điểm SA Q là trung điểm SD Xét SCD , Ta có : QN // SC S Q P Trang 17 D N G2 G1 C I (18) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ¿ SC⊄(MNP) SC // NQ Ta có : NQ ⊂ (MNP) ¿ ⇒ ¿ SC // (MNP) ¿{ { ¿ c Chứng minh G G // (SAB) IG1 IG2 Xét SAI , ta có : = = IA IS G1 G2 // SA : ¿ G1 G2 ⊄(SAB) G G2 // SA Do đó : SA ⊂(SAB) ¿ ⇒ ¿ G1 G2 //(SAB) ¿{{ ¿ a b c a Cho hình chóp S.ABCD M,N là hai điểm trên AB, CD Mặt phẳng () qua MN // SA Tìm các giao tuyến () với (SAB) và (SAC) Xác định thiết diện hình chóp với () Tìm điếu kiện MN để thiểt diện là hình thang Giải Tìm các giao tuyến () với (SAB): ¿ M ∈(α )∩(SAB) α // SA Ta có : SA ⊂ (SAB) ¿{ { ¿ P Q D A M () (SAB) = MP với MP // SA Tìm các giao tuyến () với (SAC): Gọi R = MN AC N R C B ¿ R ∈( α )∩(SAC) α // SA Ta có : SA ⊂ (SAC) ¿{{ ¿ S () (SAC) = RQ với RQ // SA Xác định thiết diện hình chóp với (): Thiết diện là tứ giác MPQN c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện là hình thang: Ta có : MPQN là hình thang S b Q P D A ¿ MP // QN ¿ MN // PQ ¿ (1) (2) ¿ ¿ ¿ ¿ N M R B Trang 18 C (19) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ¿ SA // MP MP//QN Xét (1) ,ta có ¿ ⇒SA // QN ¿{ ¿ ¿ SA // QN QN ⊂(SCD) Do đó : ( vô lí ) ¿ ⇒ SA // (SCD) ¿{ ¿ ¿ BC=( ABCD)∩(SBC) MN ⊂(ABCD) Xét (2) ,ta có PQ ⊂(SBC) ¿⇒ MN // BC ¿{{ ¿ ¿ PQ=α ∩( SBC) MB ⊂(α ) Ngược lại, MN // BC thì BC⊂(SBC) ¿ ⇒ ¿ MN // PQ ¿{{ ¿ Vậy để thiết diện là hình thang thì MN // BC Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm N Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD b Xác định vị trí N trên CD cho thiết diện là hình bình hành Giải a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD ¿ (α ) // CD CD ⊂(ACD) Ta có : M ∈(α) ∩(ACD) ¿ ⇒¿ MP // CD (1) ¿{{ ¿ ¿ (α ) // CD CD ⊂(BCD) Tương tự : N ∈( α)∩(BCD) ¿ ⇒ ¿ NQ // CD(2) ¿{{ ¿ A M P B N C Từ (1) và (2), ta : MP // NQ Vậy: thiết diện là hình thang MPNQ b Xác định vị trí N trên BC cho thiết diện là hình bình hành Ta có : MP // NQ MP = D Q A CD M P B Trang 19 Q N D (20) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ¿ MP // NQ MP=NQ ¿⇔¿ ¿ MP // NQ MPNQ là hình bình hành MP=NQ= CD ¿{ ¿ Do đó : N là trung điểm BC Vậy : N là trung điểm BC thì MPNQ là hình bình hành Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là điểm ngoài mặt phẳng hình thang Gọi M là điểm CD ; () là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện là hình gì ? b Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD) Giải a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp S.ABCD: ¿ (α ) // BC BC ⊂( ABCD) Ta có : M ∈(α )∩(ABCD ) ¿ ⇒ ¿ MN // BC(1) ¿ {{ ¿ ¿ (α ) // SA SA ⊂ (SAB) Tương tự : N ∈( α )∩(SAB) ¿ ⇒ ¿ NP // SA ¿{{ ¿ ¿ (α ) // BC BC ⊂(SBC) P ∈(α )∩(SBC) ¿ ⇒ ¿ PQ // BC (2) ¿{{ ¿ S t A D M I ¿ ( α )// SA SA ⊂ (SAD) I ∈(α )∩(SAD) ¿{{ ¿ Vậy : giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SA Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là điểm trên cạnh SC và Trang 20 N Q Từ (1) và (2) , ta : MN // PQ Vậy : thiết diện là hình thang MNPQ b Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD) Trong (ABCD) , gọi I = AD BC I là điểm chung () và (SAD) Ta có : P C B (21) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 () là mặt phẳng chứa AM và song song với BD a Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F mặt phẳng () với các cạnh SB, SD b Gọi I là giao điểm ME và CB , J là giao điểm MF và CD Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng Giải a Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F mặt phẳng () với các cạnh SB, SD Giả sử dựng E, F thỏa bài toán ¿ (α ) // BD BD ⊂(SBD) có : EF=(α )∩(SBD) ¿ ⇒¿ BD // EF ¿{ { ¿ Ta S M F Do các điểm E ,F ,A ,M cùng thuộc mặt phẳng () Trong () , gọi K = EF AM K EF mà EF (SBD) K (SBD) K AM mà AM (SAC) K (SAC) K (SAC) (SBD) Do (SAC) (SBD) = SO K SO Cách dựng E, F : Dựng giao điểm K AM và SO , qua K dựng EF // BD b.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng : D K J C E O A B I ¿ I ∈ ME ¿ mà ¿ ME⊂ (α) ¿ ¿ ⇒ I ∈(α ) Ta có : I ∈ BC ¿ mà ¿ BC ⊂( ABCD) ¿ ⇒ I ∈( ABCD) ¿{ ¿ I () (ABCD) ¿ A ∈(α )∩(ABCD) Tương tự , J ∈(α )∩ (ABCD) ¿{ ¿ I , J , A là điểm chung () và (ABCD) Vậy : I , J , A thẳng hàng ^ = 60 ❑0 , AB = a Gọi O là trung điểm Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC vuông A , B BC Lấy điểm S ngoài mặt phẳng () cho SB = a và SB OA Gọi M là mọt điểm trên cạnh AB , mặt phẳng () qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC , SA N , P , Q Đặt x = BM ( < x < a ) a Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b Tính diện tích hình thang theo a và x Tính x để diện tích này lớn Giải a Chứng minh MNPQ là hình thang vuông : Trang 21 (22) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 S P ¿ ( β ) // OA OA ⊂ (ABC) MN=(β )∩(ABC) ⇒ ¿ MN // OA (1) ¿{{ ¿ N B Q M A Ta có : ¿ (β ) // SB SB⊂(SAB) MQ=(β )∩(SAB) ⇒ ¿ MQ // SB(2) ¿{{ ¿ ¿ ( β) // SB SB⊂(SBC) NP=( β) ∩(SBC) ⇒¿ NP // SB (3) ¿{{ ¿ Từ (2) và (3) ,suy MQ // NP // SB (4) MNPQ là hình thang ¿ OA ⊥ SB MN // OA MQ // NP // SB ¿ MN ⊥ MQ MN ⊥ NP ¿¿⇒{ {{ ¿ Từ (1) và (4) , ta có : Vậy : MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN b Tính diện tích hình thang theo a và x Ta có : S MNPQ= (MQ+ NP) MN Tính MN : Xét tam giác ABC Ta có : cos B= AB BC BC= AB ¿ cos B Trang 22 O C (23) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ⇒ BC=2 a BO = a ¿ ^B=60 BA=BO ¿ ⇒ ¿ Δ ABO ¿{ ¿ Do Có MN // AO MN BM BN = = ¿ AO AB BO ¿ ⇒ MN=MB=BN=x ¿ Tính MQ : Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB MQ AM = SB AB MQ=AM Tính NP : Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB NP CN = SB CB Do đó : S MNPQ = NP=CN SB a =(a − x ) =a − x AB a SB a a− x =(2 a− x) = CB 2a x (4 a −3 x) = x (4 a −3 x) 12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương 3x và 4a 3x 3x.( 4a 3x) x +4 a −3 x ¿ ¿ 4a² a² S MNPQ ≤ a ²= 12 Đẳng thức xảy 3x = 4a – 3x x = Vậy : x = 2a thì S MNPQ 2a đạt giá trị lớn Cho hình vuông cạnh a , tâm O Gọi S là điểm ngoài mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x mặt phẳng () qua M song song với SA và BD cắt SO , SB , AB N, P , Q a Tứ giác MNPQ là hình gì ? b Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a và x Tính x để diện tích lớn Giải a Tứ giác MNPQ là hình gì ?: Ta có : SB = SD SBC = SDC (c-c-c) Gọi I là trung điểm SC Xét IBC và IDC S Ta có : IC cạnh chung BC = CD DCI = BCI IBC = IDC IB = ID IBD cân I IO BD Mà OI // SA SA BD N I P (*) Q B Trang 23 D A M O C (24) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ¿ (α ) // BD BD ⊂(ABO) Ta có : (α )∩(ABO)=MQ ¿⇒ ¿ MQ // BD (1) ¿{{ ¿ ¿ ( α )// BD BD ⊂(SBO) Tương tự : (α )∩(SBO)=NP ¿ ⇒¿ NP // BD(2) ¿{{ ¿ Từ (1) và (2) , suy MQ // NP // BD ¿ ( α )// SA SA ⊂(SAO) Mặt khác : (α )∩(SAO)=MN ¿ ⇒¿ MN // SA ( 4) ¿{{ ¿ ¿ ( α) // SA SA ⊂(SAB) Tương tự : (α )∩(SAB)=PQ ¿⇒ ¿ PQ // SA (5) ¿{{ ¿ Từ (4) và (5) , suy MN // PQ // SA (3) (6) Từ (3) , (6) và (*), suy MNPQ là hình chữ nhật Vậy : MNPQ là hình chữ nhật b Tính diện tích MNPQ theo a và x: Ta có : S MNPQ =MQ MN Tính MQ : Xét tam giác AQM : ¿ ^ Α=45 ^ Q=45 Ta có : ^ =90 cân M M ¿ ⇒ Δ AQM ¿ {{ ¿ MQ = AM = x Tính MQ : Xét tam giác SAO : a √2 −x MN OM OM Ta có : MN // SA = ¿ ⇒ ¿ MN=AS =a =a − x √ AS OA OA a √2 S MNPQ =MQ MN=x (a − x √ 2)= x √2(a− x √ 2) √2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x √2 và Trang 24 a − x √ (25) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 x √ 2(a − x √ 2) x √ 2+ a − x √ ¿ ¿ ¿ a² a² a² a² S MNPQ ≤ = ¿⇒ S MNPQ = 4 √2 √2 √2 mã Đẳng thức xảy ⇔ x= x √ 2=a − x √2 ¿ M là trung điểm AO Vậy : x= a √2 thì S MNPQ a a = √ √ đạt giá trị lớn Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b Gọi I , J là trung điểm AB và CD Giả sử AB CD , mặt phẳng () qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD a Tìm giao tuyến () với ( ICD ) và (JAB) b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng () Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật c Tính diện tích thiết diện huình chữ nhật biết IM = a Giải Tìm giao tuyến () với mặt phẳng ( ICD ): Ta có : IJ ¿ ( α )// CD CD ⊂(ICD) M ∈(α )∩(ICD) ¿{{ ¿ A G P I F L B N M D H Q E J C giao tuyến là đt qua M và song song với CD cắt IC L và ID N Trang 25 (26) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ¿ (α ) // AB AB ⊂(JAB) M ∈(α )∩(JAB) ¿{{ ¿ Tương tự : b giao tuyến là đt qua M và song song với AB cắt JA P và JB Q Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng (): Ta có : ¿ (α )// AB AB ⊂ (ABC) L∈( α )∩( ABC) ¿{{ ¿ EF // AB Tương tự : HG // AB Từ (1) và (2) , suy Ta có : (2) EF // HG // AB (3) ¿ ( α )// CD CD ⊂(ACD) P∈( α )∩(ACD) ¿{{ ¿ FG // CD Tương tự : (4) ¿ (α )// CD CD ⊂(BCD) Q∈(α )∩(BCD) ¿{{ ¿ EH // CD Từ (4) và (5) , suy Từ (3) và (6) , suy Mà AB CD Từ (3) , (6) và (*), suy c (1) ¿ ( α )// AB AB ⊂ (ABD) N ∈( α )∩(ABD) ¿{{ ¿ (5) FG // EH // CD EFGH là hình bình hành (6) (*) EFGH là hình chữ nhật Tính diện tích thiết diện huình chữ nhật biết IM = IJ : Ta có : S EFGH =EF FG=PQ LN Tính LN : Xét tam giác ICD : Ta có : LN // CD Xét tam giác IJD : Ta có : Từ MN // JD (7) và (8), suy ¿ LN IN = ¿ ¿ CD ID (7) IN IM = ID IJ LN IM CD b = = ¿⇒ ¿ LN= = CD IJ 3 Trang 26 (8) (27) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 PQ JM = = AB JI ab Vậy : S EFGH = Tương tự : 2 PQ= AB= a 3 HAI MẶT THẲNG SONG SONG Dạng : Chứng minh () // () : Sử dụng các cách sau : a M – ¿ a ⊂( α ),b ⊂ (α ) a ∩b=M a //( β ),b // (β) ¿ ⇒ ¿ (α ) //( β ) ¿{{ ¿ – ¿ a ⊂( α ),b ⊂(α ) a ∩b=M c ⊂( β), d ⊂( β) c ∩d =N a // c , b // d ¿ ⇒ ¿ (α ) //( β) ¿{{{{ ¿ – b hình a M b N c d hình ¿ (α ) //(γ ) (β) //(γ ) ¿ ⇒¿( α) // (β ) ¿{ ¿ hình Bài tập : 1.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N là trung điểm SA ,SD a Chứng minh : (OMN) // (SBC) b Gọi P, Q , R là trung điểm AB ,ON, SB Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) Giải a Chứng minh : (OMN) // (SBC): S Xét tam giác SAC và SDB : Trang 27 M R (28) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ¿ OM // SC ON // SB Ta có : ¿ ⇒ ¿( OMN) // (SBC) ¿{ ¿ b Chứng minh : PQ // (SBC) ¿ OP // AD AD // MN Ta có : ¿ ⇒¿ OP // MN ¿{ ¿ Mà M, N, P, O đồng phẳng PQ (MNO) ¿ PQ ⊂(MNO) (MNO) // (SBC) ¿ ⇒ ¿ PQ // (SBC) ¿{ ¿ Vậy : PQ // (SBC) Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) : ¿ MR // AB AB // DC Ta có : ¿ ⇒¿ MR // DC ¿{ ¿ Xét tam giác SDB : ta có (1) OR // SD (2) ¿ MR // DC và OR // SD MR ⊂ (MOR )và OR ⊂ (MOR ) Từ (1) và (2) , ta DC ⊂(SCD) và SD ⊂(SCD) ¿ ¿ ⇒ ¿(MOR )// (SCD) ¿{{ ¿ Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng I , J , K là trung điểm các cạnh AB , CD, EF Chứng minh : a (ADF) // (BCE) b (DIK) // (JBE) Giải a (ADF)//(BCE): ¿ AD // BC AD ⊄ (BCE) Ta có : BC⊂(BCE) ¿ ⇒ ¿ AD // (BCE) ¿{{ ¿ ¿ AF // BE AF ⊄(BCE) Tương tự : BE⊂ (BCE) ¿ ⇒¿ AF //(BCE) ¿{ { ¿ F K E (1) A D (2) Trang 28 I J B C (29) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Từ (1) và (2) , ta : ¿ AD // (BCE) AF // ( BCE) AD ⊂ (ADF)và AF ⊂( ADF) ¿ ¿⇒ ¿(ADF)// (BCE) ¿{{ ¿ Vậy : (ADF) //( BCE) b (DIK)//(JBE) : ¿ DI // JB IK // BE ¿ ⇒ ¿( DIK) // (JBE) ¿{ ¿ Ta có : Vậy : (DIK)//(JBE) Cho các hình bình hành ABCD , ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác Trên các đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N cho MC = 2AM , NF = 2BN Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự M ❑1 , N ❑1 Chứng minh : a MN // DE b M N // (DEF ) (MNM1 N 1) //(DEF) c Giải a MN // DE : Giả sử EN cắt AB I Xét NIB NEF Ta có : I là trung điểm AB và Tương tự : Xét IN = NE (1) N1 MAI MCD MA MI = = Ta có : MC MD M1 I là trung điểm AB và Từ (1) và (2) , suy Vậy : b E F IB NB = = EF NF IM = (2) MD IM IN = MD NE N A B I M C D MN // DE MN // DE M N // (DEF ) : Ta có : Tương tự : NN // AI MM // AI (4) Từ (3) và (4) , suy AN IN = = N F NE (3) AM1 IM = = M D MD AN AM1 = = N1 F M1 D Trang 29 M N // DF (30) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ¿ M N // DF DF ⊂(DEF) Ta : ¿ ¿ ⇒¿ M N // ( DEF) ¿{ ¿ Vậy : M N // (DEF ) c (MNM1 N 1) //(DEF) : ¿ MN // DE M N // DF Ta có : ¿ ⇒ ¿( MNN1 M 1)// (DEF) ¿{ ¿ Vậy : (MNM1 N 1) //(DEF) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Trên AB lấy điểm M với AM = x Gọi () là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB , SC , và CD N, P, Q a Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp Thiết diện là hình gì ? b Tìm quĩ tích giao điểm I MN và PQ M di động trên đoạn AB c Cho a Giải Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp: Ta có : Với Có Với Có Với Có SAD = 1v và SA = a Tính diện tích thiết diện theo a và x Tính x để diện tích = (α ) //(SAD) ¿ ¿ ⇒ ¿ ( α) // SD (α ) // SA ( α) // AD ¿{{ (α ) // SD ¿ (α ) // SD SD ⊂ (SAD) (α )∩(SAD)=PQ ¿ ¿ ⇒ ¿ PQ // SD ¿{ { ¿ (α ) // SA ¿ (α) // SA SA ⊂(SAB) (α )∩(SAB)=MN ¿ ¿⇒ ¿ MN // SA ¿ {{ ¿ (α ) // AD ¿ (α ) // AD AD ⊂(ABCD) (α )∩( ABCD)=MQ ¿ ¿ ⇒ ¿ MQ // AD ¿{{ ¿ S 3a S I x N P A D (1) Trang 30 Q M C B (31) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 ¿ BC // MQ BC ⊄(α ) Vì ¿ ¿ ¿ ⇒¿( α )// BC ¿{ ¿ ¿ (α ) // BC BC ⊂(SBC) Có (2) (α )∩(SBC)=PN ¿ ¿ ⇒ ¿ PN // BC ¿{ { ¿ Từ (1) và (2) , suy : MQ // PN ¿ ⇒ ¿ MNPQ là hình thang Vậy : MNPQ là hình thang b Tìm quĩ tích giao điểm I MN và PQ M di động trên đoạn AB.: ¿ AB // DC AB ⊂ (SAB) , DC ⊂(SCD) Ta có : S ∈(SAB)∩(SCD) ¿ ⇒ ¿Sx // AB // CD ¿{{ ¿ ¿ I ∈ PQ ¿ mà¿ PQ ⊂( SCD) I ∈MN ¿ mà¿ MN⊂(SAB) Mà ¿ ⇒¿ I ∈(SAB)∩(SDC)¿ ⇒ ¿ I ∈ Sx ¿{ ¿ Giới hạn quĩ tích : Khi M≡A M≡B I≡S I ≡ S0 c Tính diện tích thiếtdiện theo a và x : Ta có : S MNPQ =S IMQ − S INP =S SAD − SINP S SAD Tính : Ta có: SAD vuông cân A S SAD = a 2 Do đó : S INP Tính : Xét tam giác SBC , tam giác SBS ❑0 và tam giác SAB NI SN = NI // S B Ta có : S B SB PN SN = PN // BC BC SB AM SN = MN // SA AB SB NI PN AM = = Từ (1) , (2) và (3) , ta S B BC AB S INP = x 1 S MNPQ= a2 − x2 = (a − x ) 2 Do đó INP vuông cân N : Trang 31 (1) (2) (3) NI=PN=AM=x (32) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Để S MNPQ= 3.a 2 a (a − x )= a x 2=a2 − a x 2= a x= 2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi M , N thứ tự là trung điểm AB , BC và I , J , K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF , ADC , BCE Chứng minh (IJK) // (CDFE) Giải D Xét tam giác MFC : Ta có : MI MJ = = MF MC IJ // FC (1) Xét hình bình hành MNEF : Ta có : MI NK = = MF NE IK // FE J M (2) Từ (1) và (2) , ta Vậy : (IJK) //( CEF) Cho tứ diện ABCD Gọi K (IJK) //( CEF) B A F G1 , G2 ,G3 là trọng tâm các tam giác ABC , ACD , ADB a Chứng minh : (G G G 3) //( BCD) b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G G G3) Tính diện tích thiết diện theo diện tích tam giác BCD là S Giải a Chứng minh : (G1 G2 G3) //( BCD) Gọi M , N , L là trung điểm các cạnh BC , CD và BD N I IJ // FC IK // FE Ta có : C AG AG2 AG = = = AM AN AL G1 G2 // MN ; G2 G3 // NL ; G3 G1 // LM Trang 32 E (33) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 A E G3 G G1 F G2 D L B N M ¿ G1 G2 // MN G2 G3 // NL MN ⊂(BCD) , NL ⊂( BCD) ¿ ⇒(G1 G2 G3 )// (BCD) ¿{{ ¿ C Vậy : b (G1 G2 G3) //(BCD) Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1 G2 G3) : ¿ BC // (G1 G2 G 3) BC ⊂( BCD) Ta có : G ∈(G G G3 )∩(ABC) gt qua G // BC cắt AB và AC E và F ¿⇒ ¿{{ ¿ Tương tự : (G1 G2 G3) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD (G1 G2 G3) cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD Xét tam giác AMC và tam giác ABC AG AF (1) = = AM AC EF AF = (2) EF // BC BC AC AG EF Từ (1) và (2), ta = = AM BC EF= BC FG= CD Tương tự : GE= BD 2 2 EF+FG +GE= BC+ CD+ GE= (BC+ CD+GE) 3 3 Diện tích thiết diện : S EFG = √ ( EF+ FG+ GE).( EF+ FG − GE).( EF+ GE −FG ).( FG+GE − EF ) 4 √(BC+ CD+DB).(BC+ CD− DB).(BC+ DB− CD).( CD+DB − BC) = S = BCD Ta có : G F // MC Trang 33 (34) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Vậy : S EFG = S BCD Cho hai đường thẳng chéo Ax, By Hai điểm M, N di động trên Ax, By cho AM = BN Chứng minh đường thẳng MN luôn luôn song song với mặt phẳng cố định Giải Kẻ Bx’// Ax Trên Bx’ lấy điểm M’ cho AM = BM’ A ¿ AM // BM ' T a có : AM=BM ' ¿{ ¿ M ABM’M là hình bình hành B M' MM’//AB BM’N cân B Kẻ Bt là phân giác góc x’By M’N Bt Trong (x’By) , kẻ Bz Bt Từ (2) và (3) , ta Bz // M’N ¿ MM '// AB Từ (1) và (4) , M ' N // Bz ¿{ ¿ x x' (1) (2) (3) (4) z N t y (MNM ') // ( ABz) MN // (ABz) Vậy : MN // (ABz) cố định Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm AB và CD Một mặt phẳng qua IJ cắt các cạnh AD và BC N và M a Cho trước điểm M, hãy trình bày cách dựng điểm N Xét trường hợp đặc biệt M là trung điểm BC A b Gọi K là giao MN và IJ Chứng minh : KM = KN Giải a Hãy trình bày cách dựng điểm N : Điểm N phải nằm trên giao tuyến (MIJ) và (ACD) , giao tuyến này qua J I Ta có : J ∈( MIJ)∩(ACD) Gọi E=MI ∩ AC ¿ E ∈ MI mà ¿ MI ∈(MIJ) E ∈ AC mà AC ∈( ACD) ⇒ E ∈( MIJ) ∩(ACD) ¿{ ¿ EJ=( MIJ)∩(ACD) N=EJ ∩AD K M C E b Chứng minh : KM = KN Do I , J là trung điểm AB ,CD có thể dựng ba mặt phẳng chứa ba đường thẳng song song Áp dụng định lí Talet không gian Vậy : D B Gọi Trường hợp M là trung điểm BC: Nếu M là trung điểm BC IM // AC (IMJ ) // AC (IMJ ) cắt (ACD) theo giao tuyến JN // AC Ta : N MK BI = =1 ¿ ⇒ MK=KN KN IA MK=KN HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH HỘP Trang 34 J (35) Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Bài tập : 1.Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ và các điểm M , N thuộc các cạnh AB , DD’ ( M, N không trùng với các đầu mút A,B ,D ,D’ các cạnh ) Hãy xác định thiết diện hình hộp bị cắt : a Mặt phẳng (MNB) & Các thiết diện là hình g ì ? b Mặt phẳng (MNC) & Các thiết diện là hình g ì ? c Mặt phẳng (MNC’) Giải a Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNB) : Ta có : (MNB) (AA’B’B)= MB=BA (MNB) (AA’D’D) = AN (MNB) (DD’C’C) = NL (trong đó L = x CC’, L x // DC , x qua N ) (MNB) (BB’C’C) = LB thiết diện là tứ giác ABLN m ặt kh ác NL //= DC DC //= AB NL //= AB nên thiết diện ABLN l à h ình b ình h ành b A M c Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNC’) : C’N DC = K KM AD = P KM BC = R Kẻ RC’ Cắt BB’ Q Ta có : (MNC’) ( DD’C’C) = C’N (MNC’) ( DD’A’A) = NP (MNC’) ( ABCD) = PM (MNC’) ( AA’B’B) = MQ (MNC’) ( BB’C’C) = QC’ (MNC’) ( A’D’C’B’) = C’ thiết diện là tứ giác NPMQC’ Gọi Nối Trang 35 C D' B' T ơng T ự Ta có : (MNC) (BB’C’C)= BC (MNC) (CC’D’D) = CN (MNC) (DD’A’A) = NI (trong đó I = y AA’, I y // AD , y qua N ) (MNC) (BB’A’A) = IB thiết diện là tứ giác BCNI m ặt kh ác NI //= AD AD //= BC NI //= BC nên thiết diện BCNI l à h ình b ình h ành N B L A' Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNC) : D C' (36)