De thi HSG 20132014

b/ Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÚ QUỐC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP VÒNG HUYỆN NĂM HỌC: 2013-2014 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) √ x+13 √ x −2 √ x − + − Cho biểu thức A ¿ với x ≥ x +5 √ x+6 √ x +2 √ x +3 a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên Bài 2: (5 điểm) Ta đã biết: "- Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho - Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48." Chứng minh rằng với mọi số n lẻ thì: a/ A = n2 + 4n + chia hết cho b/ B = 3n3 + 9n2 - 3n - chia hết cho 144 c/ C = n2 + 4n + không chia hết cho Bài 3: (4 điểm) 1/ Tìm số nguyên dương n để p= n( n+ 1) − là số nguyên tố 2/ Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 60 0, các phân giác BD và CE cắt ở I Chứng minh rằng Δ IDE là tam giác cân Bài 5: (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) với C là tiếp điểm Đường vuông góc với AB O cắt BC ở N a/ Chứng minh tứ giác OMNB là hình bình hành b/ Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào M di động trên Ax …………….Hết………… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN Năm học 2013-2014 BÀI Đáp án Biểu điểm √ x+13 √ x −2 √ x − Bài + − a A ¿ với x ≥ x +5 √ x+6 √ x +2 √ x +3 (4điểm) √ x+13 x −2 √ x −1 ¿ +√ − ( √ x+2)( √ x+ 3) √ x+ √ x +3 (2 √ x +13)+( √ x − 2)( √ x +3)−(2 √ x −1)( √ x+ 2) ¿ ( √ x +2)( √ x+3) 9− x ¿ ( √ x +2)( √ x+ 3) ( 3− √ x )(3+ √ x) − √ x ¿ = ( √ x+ 2)( √ x +3) √ x +2 − √x ⇔ ∈Ζ = − 1∈ Ζ b A ¿ √ x +2 √ x+2 √ x +2 5 ≤ ⇒ =1 hoặc Có √ x+2 ≥ 2> ⇒ 0< √ x +2 √ x+2 Từ đó tính được: x1 = 9; x2 = 0,5 0,5 0,5 0,5 =2 √ x +2 0,5 0,5 0,75 0,5 0,75 Bài a) Đặt A = n + 4n + = (n + n) + (3n + 3) (5điểm) = n(n + 1) + 3(n + 1) = (n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên (n + 1)(n + 3) là tích của số chẵn liên tiếp nên chia hết cho Suy A chia hết cho b) B = 3n3 + 9n2 - 3n - = 3(n3 + 3n2 - n - 3) = 3[(n3 - n) + (3n2 -3)] 0,5 2 = 3[n(n - 1) + 3(n - 1)] = 3(n - 1)(n + 3) 0,5 = 3(n - 1)(n + 1)(n + 3) 0,5 Vì n lẻ nên (n - 1)(n + 1)(n + 3) là tích của số chẵn liên tiếp 0,5 nên chia hết cho 48 Suy B ⋮ 3.48 = 144 c) C = n2 + 4n + = (n2 + 4n + 3) + 0,5 Do n + 4n + ⋮ (theo câu a) và ⋮ nên C ⋮ 0,5 n( n+ 1) (n −1)(n+ 2) Bài 0,5 − 1⇔ p= 1) p= 2 (4điểm) ⇒ Với n = 2k (ĐK: k>0) p = (k+1)(2k-1) nguyên tố mà k+1>1 0,5 ⇒ 2k-1=1 ⇒ k = ⇒ n = 2; p = (thỏa mãn) 0,25 ⇒ Với n = 2k+1 (ĐK: k ) p = 2(2k +3) nguyên tố mà 2k+3>1 0,5 ⇒ k = ⇒ n = 3; p = (thỏa mãn) 0,25 2) Ta có b = –a, đó M = a3 + (1 – a)3 = 3a – 3a + = 3a – 3a + + = 3(a 2 − ) + 4 0,5 Bài (3 điểm) 1 Dấu bằng xẩy a ¿ Vậy minM ¿ ⇔ a=b= 0,5 Do  = 600 nên B + Ĉ = 1200 ⇒ B1 + C1 = 600 0,5 ⇒ BIC = 1200 ⇒ I1 + I2 = 600 Vẽ phân giác IK của góc BIC ⇒ I3 = I4 = 600 Khi đó: Δ BIE = Δ BIK (g-c-g) Δ CID = Δ CIK (g-c-g) ⇒ ⇒ IE = ID (cùng bằng IK) Δ IDE cân I (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài (4 điểm) a) Ta có OMAC; BCAC  OM//BC hay OM//BN (1) Lại có: ∆ AOM=∆ OBN (g-c-g)  OM=BN (2) Từ (1) và (2)  OMNB là hình bình hành b)Gọi H là trực tâm của ∆MAC nên AHMC Lại có: OCMC (MC là tiếp tuyến của (O) Suy ra: AH//OC (3) Tương tự: OA//CH (4) Từ (3) và (4)  AHCO là hình bình hành  AH=OC Mà OC=R nên AH=R Ngoài ra: A cố định Do đó: H di động trên đường tròn cố định tâm A, bán kính R Hình bài (0,5 điểm) A 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 E D I 1 B C K Hình vẽ bài 5: 0,5 điểm C H M A x N O B