b Xác đinh x để mặt phẳng MBC chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.... là hai điểm cực trị của hàm số, khi đó.[r]
(1)Câu (2,5 điểm) a) Cho hàm số : y = - x3 + 3x2 + 3(m + 1)x - 2m2 + ( m là tham số) Tìm m để cực trị hàm số cách đường thẳng d : 2x - y + = b) Cho hàm số y= x +1 x - có đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B nằm trên hai nhánh đồ thị cho A, B nhỏ Câu (2,0 điểm) a) Tìm tổng các nghiệm phương trình: cos2 x - cos3 x - cos2x - tan x = é1;2015ù ê ú cos2 x û trên đoạn ë n b) Xét khai triển Tìm n để Câu (1,5 điểm) (x + 4)n = å C nkxk 4n- k = a0 + a1x + + anxn k=0 max{a0,a1, ,an } = a10 ( hiểu theo nghĩa a10 > , " i = 1, n , i ¹ 10) ìï 2 2 ïï 10x + 4xy + 2y + 2x + 4xy + 10y = 4(x + y) (1) í ïï 2x + y + + 23 7x + 12y + = 2xy + y + (2) Giải hệ phương trình: ïî Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các đỉnh A(2;- 3);B(4;1),C(12;2) a) Viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác góc A tam giác ABC b) Tìm điểm D trên d cho tứ giác ABCD là hình thang Câu (1,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, có AB = a, AD = b , AM = x (0 < x < 2a) SA vuông góc với đáy và SA = 2a Lấy M Î SA với a) Tính diện tích thiết diện cắt mặt phẳng (MBC ) và hình chóp b) Xác đinh x để mặt phẳng (MBC ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích ìï y2 + xy + y2 = ï í ïï y + yz + z2 = 16 x , y , z Î ¡ Câu (1,0 điểm).Cho thỏa mãn điều kiện ïî Tìm giá trị lớn P = xy + yz + zx Hết - (2) Câu (2,5 điểm) Nội dung Điểm 1,5 điểm a) Tập xác định D = ¡ Ta có y¢= - 3x2 + 6x + 3(m + 1) 0,25 y¢= Û - x2 + 2x + m + = (*) Để hàm số có cực trị thì (*) có hai nghiệm phân biệt Û D ¢> Û m > - Gọi A(xA ;yA ), B(xB ;yB ) là hai điểm cực trị hàm số, đó xA , xB là nghiệm (*) Þ xA + xB = y = (x - 1)y¢+ 2( m + 2) x - 2m2 + m + Ta có A(xA ;yA ), B(xB ;yB ) Î (C) Vì 0,25 ìï ïï y = 1(x - 1)y¢(x ) + 2( m + 2) x - 2m2 + m + A A A A Þ ïí ïï ïï yB = (xB - 1)y¢(xB ) + 2( m + 2) xB - 2m + m + î AB : y = 2( m + 2) x - 2m2 + m + Suy Yêu cầu bài toán thỏa mãn hai điều kiện sau xẩy ra: TH1: AB song song trùng d Û 2( m + 2) = Û m = - 0,25 TH2: d qua trung điểm AB I (xI ;yI ) là trung điểm AB Þ I (1;- 2m2+ 2m + 4) Gọi Þ I( xA + xB yA + yB ; ) 2 ém = (tm) Û 2m2 - 2m = Û ê êm = (tm) ê I Î d Û + 2m2 - 2m - + = ë ém = ê êm = ë Vậy ê thì yêu cầu bài toán thỏa mãn b) 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm (3) Þ A (1 + a ;1 + ) a , với a > Gọi A là điểm thuộc nhánh bên phải (C ) Þ B (1- b;1- ) ( C ) b , với b > Gọi B là điểm thuộc nhánh bên trái 1 AB = (a + b)2 + 2( + )2 a b Ta có AB ³ 4ab + = 4(ab + ) ³ 4.2 ab ab ìï a = b ï Û ïí Û a =b= 2 ïï ab = ïî ab Dấu “=” xẩy 2 A(1+ 2;1+ );B(1- 2;1) 4 2 Khi đó AB nhỏ và AB nhỏ A(1+ 2;1+ );B(1- 2;14 Vậy ) thì khoảng cách AB nhỏ 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Nội dung a) cos2 x - cos3 x - cos2x - tan x = (1) cos2 x Xét phương trình p x¹ + kp , k Î ¢ (2) Điều kiện để (1) có nghĩa là: 2 Với điều kiện (2), ta có (1) Û cos2x - tan x = 1- cosx - (1+ tan x) Điểm 1,0 điểm 0,25 Û cos2x = - cosx Û 2cos2 x + cosx - = écosx = - ê p kp Û ê Û x = + , k Î ¢ êcosx = 3 ê ë p kp Û £ + £ 2015, k Î ¢ x Î [1 ;2015] 3 Xét 0,25 (4) 6045 ( - 1) £ k £ ( - 1), k Î ¢ p p k = 0,1,2, ,962 Vậy trên đoạn [1;2015] phương trình (1) có 963 nghiệm lập thành cấp số cộng với Û số hạng đầu u1 = 0,25 p 2p d= và công sai Vậy tổng các nghiệm trên đoạn [1;2015] là: [2u + (n - 1)d]n S= = [2 p 2p + 962 ].963 3 = 309123p b) 0,25 1,0 điểm n Xét khai triển (x + 2)n = å C nkxk 2n- k = a0 + a1x + + anxn k=0 a < a1 < < a9 < a10 > a11 > a12 > an , n Î ¥ Theo giả thiết ta có Từ hệ thức trên ta ìï a > a ï 10 Û í ïï a10 > a11 î ìï ïï ïï (ní ïï ïï ïî (n- 0,25 ïì C n104n- 10 > C n94n- íï 10 n- 10 ïï C n > C n114n- 11 ïî n! 4n ! > 10)!.10! (n- 9)!.9! Û 4n ! n! > 10)!.10! (n- 11)!.11! ìï ïï > ï 10 n- í ïï > ïï î n- 10 11 ìï n > 49 Û ïí Û 49 < n < 54 ïï n < 54 î n Î { 50,51,52,53} Vậy Câu (1,5 điểm) 0,25 0,25 thì yêu cầu bài toán thỏa mãn 0,25 Điểm Nội dung Ta có: 1,5 (1) Þ x + y ³ và 10x2 + 4xy + 2y2 + 2x2 + 4xy + 10y2 0,25 = (3x + y)2 + (x - y)2 + (x + 3y)2 + (x - y)2 (3x + y)2 + (x + 3y)2 =| 3x + y | + | x + 3y |³ 4(x+ y) Dấu “=” xẩy Û x = y ³ ³ 0,25 (5) 3x + + 23 19x + = 2x2 + x + (3) (2) y = x Thế vào , ta được: (3) Û 3x + - (x + 1) + 2[3 19x + - (x+ 2)] = 2x2 - 2x Û Û - x +x 3x + + (x + 1) x2 - x 3x + + (x + 1) + + - 2(x + 6x - 7x) (19x + 8)2 + 19x + + (x+ 2)2 2(x2 - x)(x + 7) (19x + 8)2 + 19x + + (x+ 2)2 0,25 = 2x2 - 2x + 2(x2 - x) = éx - x = ê 2(x + 7) Û ê (*) ê + + = ê (19x + 8)2 + 19x + + (x+ 2)2 ê ë 3x + + (x + 1) éx = (3) Û x - x = Û ê êx = (*) ê x ³ ë Vì nên vô nghiệm Do đó (x;y) Î {(0;0),(1;1)} 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (1,5 điểm) Nội dung a) 0,25 0,25 Điểm 0,75 điểm Đường phân giác AI, I là chân đường phân giác uur IB AB AB uur = IB = IC AC , Vì I nằm B và C nên AC Khi đó IC Ta có: uuur uuur AB = (2;4) ; AC = (10;- 5) 0,25 AB = 22 + 42 = AC = 102 + 52 = uur uur uur r uur IB = - IC Û 3IB + 2IC = Suy uur uuur uuur r Û 5AI - (3AB + 2AC ) = uur uuur uuur Û AI = (3AB + 2AC ) uur 26 Û AI = ( ; ) 5 Suy AI : (x - 2) - 13(y + 3) = Û x - 13y - 41 = 0,25 0,25 (6) b) A(2;- 3);B(4;1),C(12;2) Có hai trường hợp xẩy là: 0,75 ìï x = 12 + t Þ CD : ïí ïï y = + 2t AB / / CD î TH1: 49 12 P = CD Ç d Þ D( ;) 5 ìï x = + 2t Þ BD : ïí ïï y = 1- t î TH2: AC / / BD 32 P = BD Ç d Þ D( ;- ) 3 Vậy trên d có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán là: D( 0,25 0,25 0,25 D( 49 12 ;) 5 32 ;- ) 3 Câu (1,5 điểm) Điểm Nội dung 0,75 a) Theo giả thiết SA là đường cao hình chóp Hai mặt phẳng (SAD ) và (BCM ) chứa AD S và BC mà AD / / BC nên chúng cắt theo giao tuyến MN / / AD / / BC nên thiết diện là hình thang N 0,25 M BCNM D Lại có A C B AD ^ mp(SAB ) Þ MN ^ mp(SAB ) Þ MN ^ MB nên thiết diện là hình thang vuông B và M SBCNM = (BC+ MN )BM Nên Do Û MN / / AD Þ (1) SM MN = SA AD 2a - x MN b(2a - x) = Û MN = 2a b 2a 0,25 (7) 2 Tam giác vuông ABM có BM = a + x Thay vào (1) ta được: b) SBCNM 0,25 b(4a - x) = a + x2 4a 0,75 V = VS.ABCD Þ VS.ABC =VS.BCD = V Gọi Còn VS.MNCB = VS.M BC +VS.MNC Lại có (2) VSMBC SM SB SC SM 2a - x = = = = t > (0 < x < 2a) VSABC SA.SB SC SA 2a Þ VSMBC = 0,25 SM V SA 2 æ ö æ VSMNC SM SN SC SM ÷ SM ö ÷ ç ÷ ÷ = =ç Þ V = V ç ç ÷ SMNC ÷ ç ç SA ø ÷2 VSADC SA.SB SC èSA ÷ ø è Thay vào (2) ta VS.MNCB = V 2 æ æ ö æ öö ÷ ç SM SM ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ + ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ SA SA ç ÷ èè ø è øø 0,25 Theo giả thiết VS.MNCB = V 2 æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ÷ ÷ ç ç SM SM SM SM ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ +ç = V Û çç +ç =1 ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ SA SA SA SA è ø è ø è ø è ø ç ç ÷ ÷ è ø è ø ìï t2 + t - = 5- Û ïí Û t= ïï t > î Þ 2a - x 5- = Û x = (3 2a Vậy x = (3 - 5).a 0,25 5).a thì mặt phẳng (MBC ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm 1,0 điểm (8) ìï y2 + xy + y2 = ï Û í ïï y + yz + z2 = 16 ïî Ta có ìï x2 x ïï ïï 3(y- 2) + = í ï z2 ïïï z + (y + ) = 16 ïî 64 0,25 Cộng vế hai đăngr thức trên ta x x z (y- )2 + + z2 + (y + )2 = 64 16 2 x x z (y + )2 + + z2 + (y + )2 ³ 64 16 Lại có ³ (x y + yz + zx) Û P £ x= ,y = 31 Đẳng thức xẩy chẳng hạn MaxP = x = Vậy 31 ,y = 31 ,z = x z (y + )z + (y + )x 4 31 ,z = 20 31 ……… Hết……… 20 31 0,25 0,25 0,25 (9)