LTBai1 merged

❇➔✐ ✶ ●■❰■ ❚❍■➏❯ ❱➋ ❘ ✶ ✣æ✐ ♥➨t ✈➲ ứ t số ỗ ✤➣ ✤÷đ❝ t✐➳♥ ❤➔♥❤ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ ♠➲♠ t❤ỉ♥❣ ❞ư♥❣ ♥❤÷ ❙❆❙✱ ❙P❙❙✱ ❙t❛t❛✱ ❙t❛t✐st✐❝❛✱ ❙✲P❧✉s✳ ◆❤÷♥❣ ✈✐➺❝ ❞✉② tr➻ sû ❞ö♥❣ ❧➙✉ ❞➔✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ♥➔② ❣➦♣ trð ♥❣↕✐ ✈➻ ❝❤✐ ♣❤➼ ✤➸ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ tữỡ ố ợ õ tr ✤æ ❧❛ ♠é✐ ♥➠♠✮✱✳ ❉♦ ✤â✱ ❝→❝ ♥❤➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤è♥❣ ❦➯ tr➯♥ t❤➳ ❣✐ỵ✐ ✤➣ ❤đ♣ t→❝ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉ t tr ởt ợ ợ trữỡ ỗ s tt t tr♦♥❣ ♥❣➔♥❤ t❤è♥❣ ❦➯ ❤å❝ ✈➔ t♦→♥ ❤å❝ tr➯♥ t❤➳ ❣✐ỵ✐ ❝â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ♠ët ❝→❝❤ t❤è♥❣ ♥❤➜t ✈➔ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ♠✐➵♥ ♣❤➼✳ ❱➻ ✈➟②✱ tø ✤â ❘ ①✉➜t ❤✐➺♥✳ ❱➟② ❘ ❧➔ ❣➻ ❄ ❘ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ sû ❞ö♥❣ ❝❤♦ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤è♥❣ ❦➯ ✈➔ ✈➩ ❜✐➸✉ ỗ ữ t ởt ổ ỳ ♠→② t➼♥❤ ✤❛ ♥➠♥❣✱ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❝❤♦ ♥❤✐➲✉ ♠ư❝ t✐➯✉ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ tø t➼♥❤ t♦→♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝❤♦ ✤➳♥ ❝→❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤è♥❣ ❦➯ ♣❤ù❝ t↕♣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ✈➻ ❘ ❧➔ ♠ët ♥❣ỉ♥ ♥❣ú✱ ♥➯♥ ♥❣÷í✐ t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❘ ✤➸ ♣❤→t tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ❝❤✉②➯♥ ♠æ♥ ❝❤♦ ♠ët ✈➜♥ ✤➲ t➼♥❤ t♦→♥ ❝→ ❜✐➺t✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥❤÷đ❝ ✤✐➸♠ ♥❤÷♥❣ ❝ơ♥❣ ❧➔ ÷✉ ổ trữớ ợ ỳ ❞á♥❣ ❧➺♥❤✱ ❞♦ ✤â✱ t❛ ❝â t❤➸ t❤➜② ✤÷đ❝ ✈➔ ❧÷✉ ❧↕✐ ❞÷í♥❣ ♥❤÷ t♦➔♥ ❜ë q✉→ tr➻♥❤✱ tø ✤â t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❧↕✐✱ t➻♠ ❧é✐✱ sû❛ ❧é✐✱✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ❚↔✐ ✈➔ ❝➔✐ ✤➦t ❘ ✣➸ sû ❞ư♥❣ ❘✱ ✈✐➺❝ ✤➛✉ t✐➯♥ ❧➔ ❝❤ó♥❣ t❛ ♣❤↔✐ ❝➔✐ ✤➦t ❘ ✈➔♦ ♠→② ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ✣➸ ❧➔♠ ✤÷đ❝ ✈✐➺❝ ♥➔②✱ t❛ t↔✐ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ tr✉② ❝➟♣ ✈➔♦ tr❛♥❣ ✇❡❜✿ ❤tt♣✿✴✴❝r❛♥✳✉s✳r✲♣r♦❥❡❝t✳♦r❣✴ ❈❤å♥ ♣❤✐➯♥ ❜↔♥ ♣❤ị ❤đ♣ ✈ỵ✐ ❤➺ ✤✐➲✉ ❤➔♥❤ ✈➔ ✈ỵ✐ ♠→②✱ s❛✉ ✤â ♥❤➜♥ ❝❤å♥ ✏❉♦✇♥❧♦❛❞ ❘ ❬♣❤✐➯♥ ❜↔♥❪ ❢♦r ✳ ✳ ✳ ✑✳ ❑❤✐ tt ữợ t t t ✤➦t ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❧✐❝❦ ❝❤✉ët ♣❤↔✐ ✈➔♦ ❢✐❧❡ t↔✐ ✈➲ tr t ữợ t tr tt ữợ t ởt ữ s❛✉ s➩ ①✉➜t ❤✐➺♥ tr➯♥ ♠➔♥ ❤➻♥❤ ♠→② t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❜↕♥✳ ✣➳♥ ✤➙② ❝→❝ ❜↕♥ ❤➣② ❝❧✐❝❦ ✤ó♣ ✈➔♦ ✐❝♦♥ tr➯♥ ✈➔ tr➯♥ ♠➔♥ ❤➻♥❤ s➩ ❤✐➺♥ r❛ ♠ët ❝û❛ sê ❧➔♠ ✈✐➺❝ ♥❤÷ s❛✉ ✭ð ✤➙② ♣❤✐➯♥ ❜↔♥ sû ❞ư♥❣ ❧➔ ❘ ✸✳✺✳✶ ♥➯♥ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ t❤➜② ❞á♥❣ ❝❤ú ✏❘ ✈❡rs✐♦♥ ✸✳✺✳✶✑ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❤➻♥❤✮ ✶ ✸ ❈➜✉ tró❝ ❧➺♥❤ ❝❤✉♥❣ tr♦♥❣ ❘ ✸✳✶ ❈➜✉ tró❝ ❧➺♥❤ tr♦♥❣ ❘ ❘ ❧➔ ♠ët ♥❣ỉ♥ ♥❣ú ❝â t➼♥❤ t÷ì♥❣ t→❝ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❦❤✐ ❝❤ó♥❣ t❛ r❛ ♠ët ❧➺♥❤ ♥➔♦ ✤â ♥➳✉ ✤ó♥❣ ❝ó ♣❤→♣ ❘ s➩ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ✤→♣ ❧↕✐ ❦➳t q✉↔✳ ❈➜✉ tró❝ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ❝õ❛ ❘ tữớ t ữợ t tổ số ổ ❦❤✐ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ t❤æ♥❣ sè✮ ❦➧♠ t❤❡♦✱ ♥❤ú♥❣ t❤æ♥❣ sè ♥➔② ❧➔ ♥❤ú♥❣ t❤ỉ♥❣ sè ✤à♥❤ t➼♥❤ ❤❛② ✤à♥❤ ❧÷đ♥❣✳ ❈ư t❤➳✱ ❝➜✉ tró❝ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ❝❤✉♥❣ tr♦♥❣ ❘ ♥❤÷ s❛✉✿ ✤è✐ t÷đ♥❣ ← ❤➔♠ ✭t❤ỉ♥❣ sè ✶✱ t❤ỉ♥❣ sè ✷✱✳✳✳✱ t❤ỉ♥❣ sè ♥✮ ✤è✐ t÷đ♥❣ = ❤➔♠ ✭t❤ỉ♥❣ sè ✶✱ t❤ỉ♥❣ sè ✷✱✳✳✳✱ t❤ỉ♥❣ sè ♥✮ ❤❛② t❤÷í♥❣ ♥❣÷í✐ ❞ị♥❣ ✤÷đ❝ ❦❤✉②➳♥ ❦❤➼❝❤ sû ❞ư♥❣ ❞➜✉ ♠ơ✐ t➯♥ ❤ì♥✳ ❱➼ ❞ö ✶✿ ❃ ① ❁− ❝ ✭ ✮ ❃ ① ❁− s ❛ ♠ ♣ ❧ ❡ ✭ ✺ ✮ ❃ ① ❬✶❪ x ✷ ✶ ✺ ✹ ✸ ð ✤➙② ❧➔ ✶ ✤è✐ t÷đ♥❣✱ ❝á♥ ❝✭✮ ❧➔ ✶ ❤➔♠ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝â t❤ỉ♥❣ sè✱ s❛♠♣❧❡ ❧➔ ✶ ❤➔♠ ợ tổ số ữủ ❃ r ❡ ❣ ❁− ❧♠ ✭ ②⑦① ✮ r❡❣ ð ✤➙② ❧➔ ✶ ✤è✐ t÷đ♥❣✱ ❝á♥ ❧♠ ❧➔ ✶ ❤➔♠ ✈ỵ✐ t❤ỉ♥❣ sè ✤à♥❤ t➼♥❤ y ∼ x✳ ✣➸ ❜✐➳t ✶ ❤➔♠ ❝➛♥ ❝â ♥❤ú♥❣ t❤ỉ♥❣ sè ♥➔♦✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❞ị♥❣ ❧➺♥❤ ❛r❣s✭✳✳✳✮✱ ✈ỵ✐ ✏✳✳✳✑ ❝❤ù❛ ❤➔♠ t❛ q✉❛♥ t➙♠✳ ❱➼ ❞ö ✸✿ ✷ ❃ ❛ r ❣ s ✭ s❛♠♣❧❡ ✮ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭① ✱ s✐③❡ ✱ r ❡ ♣ ❧ ❛ ❝ ❡ ❂ ❋❆▲❙❊ ✱ ♣ r ♦ ❜ ❂ ◆❯▲▲✮ ◆❯▲▲ ✣➸ ❜✐➳t rã r➔♥❣ ❤ì♥ õ ỵ t ỷ ỵ t tỹ ú ? t ❤♦➦❝ ❤❡❧♣✭t➯♥ ❤➔♠✮ ❱➼ ❞ö ✹✿ ❃ ❄ s❛♠♣❧❡ st❛rt✐♥❣ ❤tt♣❞ ❤❡❧♣ s❡r✈❡r ✳✳✳ ❞♦♥❡ ▼ët tr❛♥❣ s❛♠♣❧❡✳❤t♠❧ s➩ ✤÷đ❝ ♠ð r❛ ✤➸ ♠æ t↔ ✶ ❝→❝❤ rã r➔♥❣ ❝→❝❤ t❤ù❝ ❞ị♥❣ ❤➔♠✱ ❝ó ♣❤→♣✱ t→❝ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠✱✳✳✳ t❤➟♠ ❝❤➼ ❝â ❝↔ ✶ sè ✈➼ ❞ö ❝ö t❤➸ ✤➸ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ✶ ❝→✐ ♥❤➻♥ trü❝ q✉❛♥ ✈➲ ❤➔♠ ✤â ❝❤♦ ♥❣÷í✐ ❞ị♥❣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝→❝ ❜↕♥ ❝â t❤➸ tü ❤å❝ ❘ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ♣❤➛♥ ❝❤➾ ❞➝♥ ✤÷đ❝ t➼❝❤ ❤đ♣ s tr rỗ ❍t♠❧ ❤❡❧♣ ✈➔ ❜➢t ✤➛✉ t➻♠ ❤✐➸✉✱ ❝→❝ ❜↕♥ ❝á♥ ❝â t❤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ❤➔♠ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ♠ư❝ ✏❘ ❢✉♥st✐♦♥✭t❡①t✮✳✳✳✑✱ ❝→❝ ❜↕♥ ❣ã ✈➔♦ t➯♥ ❤➔♠ tr♦♥❣ ❤ë♣ t❤♦↕✐ ✏❍❡❧♣ ♦♥✑✳ ❑❤✐ ❝→❝ ❜↕♥ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ✶ ❤➔♠ ♥➔♦ ✤â ❝→❝ ❜↕♥ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❤å❝ ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ✈➔ ❝ó ♣❤→♣ ❤➔♠ ❝õ❛ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ✤â✳ ◆❤÷ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ t❤➜② q✉❛ ♠ö❝ ❤❡❧♣ t❤➻ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ ❤➔♠ tr➯♥ ❘ ✤➲✉ ✤÷đ❝ ❤é trđ ❜➡♥❣ ❝→❝ tr❛♥❣ t ữợ õ t ử t ❉♦ ✤â✱ ❝→❝❤ tèt ♥❤➜t ✤➸ ❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ ✈➲ ❤➔♠ ❧➔ ❝→❝ ❜↕♥ ❝â t❤➸ ❝♦♣② ❝→❝ ✤♦↕♥ ✈➼ tr tr t ữợ tr ❝♦♥s♦❧❡ ❝õ❛ ❘ ✤➸ ❝❤↕② t❤û ✈➔ q✉❛♥ s→t ❦➳t q✉↔✳ ❈→❝ ❜↕♥ ❝â t❤➸ ❧➔♠ ✈✐➯❝ ♥➔② ♠ët ❝→❝❤ ♥❤❛♥❤ ❝❤â♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛♥ ❤➔♠ ❡①❛♠♣❧❡✭t➯♥ ❤➔♠✮✳ ❱➼ ❞ư ✺✿ ❃ ❡①❛♠♣❧❡ ✭ s ❡ q ✮ ❱➔ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ♠➔♥ ❤➻♥❤ ❝❤ó♥❣ t❛ q✉❛♥ s→t ✤÷đ❝ ❧➔ ❝→❝ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ✈➼ ❞ö ✈➔ ❦➳t q✉↔ sè t❤ü❝ t➳ ♠➔ ❘ ①✉➜t r❛ ✤➸ ♠æ t❛ ✈➲ ❤➔♠ s❡q ✭❤➔♠ t↕♦ r❛ ✶ ❞➣② sè ❝â t❤ü tü ♥➔♦ ✤â✮ s❡q❃ s❡q ✭ ✵ ✱ ✶✱ ❬✶❪ ✵✳✷ ✵✳✵ ✵✳✶ ❧ ❡ ♥ ❣ t ❤ ✳ ♦✉t ❂ ✶✶✮ ✵✳✸ ✵✳✹ ✵✳✺ ✶ ✷ ✸ ✹ s❡q❃ s❡q ✭ ✶ ✱ ✾✱ ❬✶❪ ✾ ✶ ✸ ✺ ✼ s❡q❃ s❡q ✭ ✶ ✱ ❬✶❪ ✾✱ ✶✳✵✵✵✵✵✵ s❡q❃ s❡q ✭ ✶ ✱ ❬✶❪ ✶ ✺ ✻ ✵✳✽ ✵✳✾ ✶✳✵ ✽ ✾ ✶✵ ✶✶ ✶✷ ✶✸ ✶✹ ❜② ❂ ✷ ✮ ★ ♠❛t❝❤❡s ✬❡♥❞ ✬ ❜② ❂ ♣ ✐ ✮ ★ st❛②s ❜❡❧♦✇ ✬❡♥❞ ✬ ✹✳✶✹✶✺✾✸ ✻✱ ✼ ✵✳✼ ★ ❡ ❢ ❢ ❡ ❝ t ✐ ✈ ❡ ❧ ② ✬ ❛❧♦♥❣ ✬ s ❡ q ❃ s ❡ q ✭ s t ❛ t s ✿ ✿ r♥♦r♠ ✭ ✷ ✵ ✮ ✮ ❬✶❪ ✵✳✻ ✶✺ ✶✻ ✶✼ ✶✽ ✶✾ ✷✵ ✼✳✷✽✸✶✽✺ ❜② ❂ ✸ ✮ ✹ s❡q❃ s❡q ✭ ✶ ✳ ✺ ✼ ✺ ✱ ✺✳✶✷✺ ✱ ❬✶❪ ✶✳✻✼✺ ✶✳✺✼✺ ✶✳✻✷✺ ❜② ❂ ✵ ✳ ✵ ✺ ✮ ✶✳✼✷✺ ✶✳✼✼✺ ✶✳✽✷✺ ✶✳✽✼✺ ✶✳✾✷✺ ✶✳✾✼✺ ✷✳✵✷✺ ✷✳✵✼✺ ✷✳✶✷✺ ❬✶✸❪ ✷✳✶✼✺ ✷✳✷✷✺ ✷✳✷✼✺ ✷✳✸✷✺ ✷✳✸✼✺ ✷✳✹✷✺ ✷✳✹✼✺ ✷✳✺✷✺ ✷✳✺✼✺ ✷✳✻✷✺ ✷✳✻✼✺ ✷✳✼✷✺ ❬✷✺❪ ✷✳✼✼✺ ✷✳✽✷✺ ✷✳✽✼✺ ✷✳✾✷✺ ✷✳✾✼✺ ✸✳✵✷✺ ✸✳✵✼✺ ✸✳✶✷✺ ✸✳✶✼✺ ✸✳✷✷✺ ✸✳✷✼✺ ✸✳✸✷✺ ❬✸✼❪ ✸✳✸✼✺ ✸✳✹✷✺ ✸✳✹✼✺ ✸✳✺✷✺ ✸✳✺✼✺ ✸✳✻✷✺ ✸✳✻✼✺ ✸✳✼✷✺ ✸✳✼✼✺ ✸✳✽✷✺ ✸✳✽✼✺ ✸✳✾✷✺ ❬✹✾❪ ✸✳✾✼✺ ✹✳✵✷✺ ✹✳✵✼✺ ✹✳✶✷✺ ✹✳✶✼✺ ✹✳✷✷✺ ✹✳✷✼✺ ✹✳✸✷✺ ✹✳✸✼✺ ✹✳✹✷✺ ✹✳✹✼✺ ✹✳✺✷✺ ❬✻✶❪ ✹✳✺✼✺ ✹✳✻✷✺ ✹✳✻✼✺ ✹✳✼✷✺ ✹✳✼✼✺ ✹✳✽✷✺ ✹✳✽✼✺ ✹✳✾✷✺ ✹✳✾✼✺ ✺✳✵✷✺ ✺✳✵✼✺ ✺✳✶✷✺ s❡q❃ s❡q ✭ ✶ ✼ ✮ ★ s❛♠❡ ❛s ✶✿✶✼ ✱ ♦r ❡✈❡♥ ❜❡tt❡r s❡q❴❧❡♥ ✭✶✼✮ ✸ ❬✶❪ ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽ ✾ ✶✵ ✶✶ ✶✷ ✶✸ ✶✹ ✶✺ ✶✻ ✶✼ ❘ ❝á♥ ❧➔ ✶ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú ✏✤è✐ t÷đ♥❣✑ ✭♦❜❥❡❝t ♦r✐❡♥t❡❞ ❧❛♥❣✉❛❣❡✮✱ ❝→❝ ❞ú ❧✐➺✉ tr♦♥❣ ❘ ✤÷đ❝ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ♦❜❥❡❝t✱ tù❝ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❦❤✐ t❛ ❦❤ð✐ t↕♦ ✶ ❜✐➳♥ t❤➻ ❘ s➩ tü ✤ë♥❣ t↕♦ r❛ ✶ ✈ị♥❣ ♥❤ỵ ✤➸ ❧÷✉ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❜✐➳♥✳ ❙❛✉ ❦❤✐ t❛ ❣→♥ ❣✐→ trà ♥➔♦ ✤â ❝❤♦ ❜✐➳♥ ✤÷đ❝ ❦❤ð✐ t↕♦ t❤➻ t❛ ❝â t❤➸ ❞ị♥❣ ❜✐➳♥ ✤â ♥❤÷ ❧➔ ✤è✐ t÷đ♥❣ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❝õ❛ t❛✱ ❝á♥ ♥➳✉ t❛ ổ tr trữợ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ t❤➻ ❘ s➩ tü ✤ë♥❣ ộ ữ ỵ r ố tữủ rt ✤❛ ❞↕♥❣✱ ❝â t❤➸ ❧➔ sè✱ ✈➨❝✲tì✱ ♠❛ tr➟♥✱ ❝❤✉é✐✱✳✳✳ ❱➼ ❞ö ✻✿ ❃ ① ❁− ✺ ❃ ② ❁− ✻ ❃ ① ✰ ② ❬✶❪ ✶✶ ❃ ③ ✰ ② ❊rr♦r ✿ ♦❜❥❡❝t ✬③ ✬ ♥♦t ❢♦✉♥❞ ❚❤❡♦ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❘ s➩ ❧➟♣ tù❝ ❜→♦ ❧é✐ ✈➻ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣→♥ ❣✐→ trà ❝❤♦ ❜✐➳♥ ③ ♥❤÷♥❣ ❧↕✐ ✤❡♠ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t➼♥❤ t♦→♥✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ tr♦♥❣ ❘ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â t❤➸ ✈ø❛ ❣→♥ ❣✐→ trà ❝❤♦ ❜✐➳♥ ✈ø❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥✳ ❱➼ ❞ö ✼✿ ❃ ✭ ③ ❂✺✮ ✰ ✭ t ❂✼✮ ❬✶❪ − ✭ ①✰② ✮ ✶ ✸✳✷ ▼ët sè ♣❤➨♣ t♦→♥ s♦ s→♥❤ ❤❛② ❧♦❣✐❝ tr♦♥❣ ❘ x == x! = xy x = y z = ✐s✳♥❛(x) A&B x ❜➡♥❣ x ❦❤→❝ x ♥❤ä ❤ì♥ y x ❧ỵ♥ ❤ì♥ y x ♥❤ä ❤ì♥ ❤❛② ❜➡♥❣ y x ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❤❛② ❜➡♥❣ y z ♥❤ä ❤ì♥ ❤❛② ❜➡♥❣ z ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❤❛② ❜➡♥❣ ❝â ♣❤↔✐ x ❧➔ ❜✐➳♥ trè♥❣ ❦❤æ♥❣ A ✈➔ B ✭s♦ s→♥❤ ❝❤➙♥ trà ✭❆◆❉✮ A&&B A tr➯♥ ♠é✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ✷ ✈❡❝tì ❆ ✈➔ ❇✮ ✈➔ B ✭s♦ s→♥❤ ❝❤➙♥ trà ✭❆◆❉✮ tr➯♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ❦➸ tø tr→✐ q✉❛ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✷ ✈❡❝tì ❆ ✈➔ ❇✮ A|B A ✈➔ B ✭s♦ s→♥❤ ❝❤➙♥ trà ✭❖❘✮ tr➯♥ ♠é✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ✷ ✈❡❝tì ❆ ✈➔ ❇✮ A||B A ✈➔ B ✭s♦ s→♥❤ ❝❤➙♥ trà ✭❆◆❉✮ tr➯♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ❦➸ tø tr→✐ q✉❛ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✷ ✈❡❝tì ❆ ✈➔ ❇✮ !A xor(x, y) ♣❤õ ✤à♥❤ A ✭◆❖❚ ❆✮ ❧➜② ❳❖❘ tr➯♥ ♠é✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ✷ ✈❡❝tì x ✈➔ y ❱ỵ✐ ❝→❝ ❧➺♥❤ tr➯♥✱ ❘ s➩ ①✉➜t r❛ ❦➳t q✉↔ ❧➔ ❚❘❯❊ ❤❛② ❋❆▲❙❊✳ ❱➼ ❞ö ✽✿ ❃ ①❂✺ ✹ ❃ ①❂❂✺ ❬✶❪ ❚❘❯❊ ❃ ①❂❂✻ ❬✶❪ ❋❆▲❙❊ ❃ ①❃② ❬✶❪ ❃ ❋❆▲❙❊ ✦ ✭ ①❂❂✺✮ ❬✶❪ ❋❆▲❙❊ ❃ ❆❂❝ ✭ ✶ ✱ ✷ ✱ ✸ ✮ ❀ ❇ ❂ ❝ ✭ ✸ ✱ ✵ ✱ ✹ ✮ ❃ ❆ ❬✶❪ ✶ ✷ ✸ ✸ ✵ ✹ ❃ ❇ ❬✶❪ ❃ ❆✫❇ ❬✶❪ ❚❘❯❊ ữ ỵ r t ố ❝á♥ ✈✐➳t x=3 x ❝â ❣✐→ trà ❧➔ t❤➻ ❘ s➩ ❤✐➸✉ ❧➔ t❛ ✤➣ ❣→♥ ❣✐→ trà ❦❤æ♥❣ t❤➻ ❘ ②➯✉ ❝➛✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ✈✐➳t x == 3✱ ố tữủ õ ỵ x ợ r trỏ tữỡ ữỡ ợ ữ ợ t tr ỡ ♥ú❛✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣→♥ ✶ ❣✐→ trà ♠ỵ✐ ✤➧ ❧➯♥ ✶ ❜✐➳♥ ♥➔♦ ✤â✱ R s➩ tü ❤✐➸✉ ❧➔ t❛ ①â❛ ❣✐→ trà ❝ơ ❧÷✉ tr♦♥❣ ❜✐➳♥ ✤â ✈➔ ữ tr ợ ỳ ❞ö tr➯♥ t❤➻ x trà ❦❤→❝ ❧➯♥ ❱➼ ❞ö ✾✿ ✈➔ y x = 5✱ ❝á♥ y = 6✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ✈➝♥ ❝â t❤➸ ❣→♥ ✤➧ ❣✐→ ♥❤÷ s❛✉✿ ❃ ①❂✾ ❃ ②❂✹ ❃ ①✰② ❬✶❪ ✶✸ ❚❛ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ❣→♥ ❝ị♥❣ ✶ ❧ó❝ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ tr➯♥ ❝ị♥❣ ✶ ❞á♥❣✱ ❝❤➾ ❝➛♥ ♥❣➠♥ ❝→❝❤ ♥❤❛✉ ❜ð✐ ❞➜✉ ❝❤➜♠ ♣❤➞② ❱➼ ❞ö ✶✵✿ ; ❃ ① ❂✷❀ ②❂✸ ❃ ① ❬✶❪ ✷ ❃ ② ❬✶❪ ✸ ❚r♦♥❣ ❘✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝↔ ❝→❝ ❝➙✉ ❝❤ú ✤✐ s❛✉ ❞➜✉ ❱➼ ❞ö ✶✶✿ ># # # ✤➸ ❣❤✐ ✈➔♦ ❝→❝ ❣❤✐ ❝❤ó r✐➯♥❣ ❝❤♦ ♥❣÷í✐ ❞ị♥❣✱ ✈➻ t➜t ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ❝â ❤✐➺✉ ❧ü❝✿ ▲➺♥❤ s❛✉ ✤➙② ♠æ t t r số ỗ ❃ ❦❂s ❛ ♠ ♣ ❧ ❡ ✭ ✶ ✷ ✱ ✽ ✮ ❃ ❦ ❬✶❪ ✼ ✶✵ ✶✶ ✻ ✶ ✸ ✷ ✾ ✺ sè ❝â ❣✐→ trà tứ tợ 12 t tữớ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❘✿ log(x) log10(x), log(x, n) exp(x) sqrt(x) f actorial(x) choose(n, k) f loor(x) ceiling(x) trunc(x) round(x, digits = n) signif (x, digits = n) sin(x), cos(x), tan(x) abs(x) x%/%y x%%y ❧♦❣❛r✐t ❝ì sè ❧♦❣❛r✐t ❝ì sè x ❝➠♥ ❜➟❝ n x✳ ❝õ❛ ❝õ❛ x x! tê ❤ñ♣ n ❝❤➟♣ ❣✐→ trà ♥❣✉②➯♥ ❣✐→ trà ♥❣✉②➯♥ k x ✭s➔♥ ❝õ❛ x✮ x✮ ✭tr➛♥ ❝õ❛ ❧➔♠ trá♥ tỵ✐ ❣✐→ trà ♥❣✉②➯♥ ❣➛♥ ♥❤➜t ❣✐ú❛ x ✤➳♥ n ❝❤ú số x ữợ x trỏ ❤✐➸♥ t❤à ❝❤➜♠ t❤➟♣ ♣❤➙♥✱ n tê♥❣ ❝❤ú sè ❤✐➸♥ t❤à ❤➔♠ s✐♥✱ ❝♦s✱ t❛♥ |x| ❧➜② ♣❤➛♥ ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ❧➜② ♣❤➛♥ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû t❤ù tr➼❝❤ x1 x/y x/y x✳ i ❝õ❛ ♠↔♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ❝❤♦ ✤➳♥ x x✳ trø ♣❤➛♥ tû t❤ù 1, ✈➔ r❛✳ 5✳ tr➼❝❤ t➜t ❝↔ ♥❤ú♥❣ ♣❤➛♥ tû ❧ỵ♥ ❤ì♥ tr➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ♣❤➛♥ tû ❈❤♦ ✈❡❝tì i x5 ✳ tr➼❝❤ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❤ù ▼ët sè ❤➔♠ ✈➲ ✈❡❝tì✿ max(x), min(x) sum(x) mean(x) median(x) range(x) var(x) sort(x) order(x) quantile(x) cumsum(x) cumprod(x) ❝ì sè e ▼ët sè ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ length(x) x[i] x[−i] x[1 : 5] x[c(1, 3, 5)] x[x > 3] x[x < −2|x > 2] e 10✱ 3✳ |x| > 2✳ x ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t✱ ❜➨ ♥❤➜t ❝õ❛ tê♥❣ ❝→❝ ❣✐→ trà tr♦♥❣ x✳ x✳ x✳ x✳ ❜➡♥❣ max(x)˘ min(x)✳ ♣❤÷ì♥❣ s❛✐ ❝õ❛ x✳ s➢♣ ①➳♣ x✱ ♠➦❝ ✤à♥❤ t❤❡♦ t❤ù tü t➠♥❣ ❞➛♥✳ tr↔ ✈➲ ❝→❝ ✈à tr➼ ❝õ❛ x ❦❤✐ ✤➣ s➢♣ t❤❡♦ t❤ù tü t➼♥❤ ❝→❝ ♣❤➙♥ ✈à ❝õ❛ x✳ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ tr✉♥❣ ✈à ❝õ❛ t➠♥❣ ❞➛♥✳ tê♥❣ t➼❝❤ ❧ô②✳ t➼❝❤ t➼❝❤ ❧ô②✳ ✸✳✹ ❈→❝❤ ✤➦t t➯♥ tr♦♥❣ ❘ ✣➦t t➯♥ ✶ ✤è✐ t÷đ♥❣ ✭♦❜❥❡❝t✮ ❤❛② ♠ët ❜✐➳♥ sè ✭✈❛r✐❛❜❧❡✮ tr♦♥❣ ❘ ❦❤→ ❧✐♥❤ ❤♦↕t✱ ổ õ ợ ữ ♠➲♠ ❦❤→❝✳ ❚➯♥ ♠ët ♦❜❥❡❝t ♣❤↔✐ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧✐➲♥ ♥❤❛✉ tự ổ ữủ ỵ tỹ trố ❈❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ ❘ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✏♠②♦❜❥❡❝t✑ ♥❤÷♥❣ s➩ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✏♠② ♦❜❥❡❝t✑✳ ❱➼ ❞ö ✶✿ ❃ ♠ ② ♦ ❜ ❥ ❡ ❝ t ❁− s ❛ ♠ ♣ ❧ ❡ ✭ ✻ ✱ ✹ ✮ ❃ ♠② ♦ ❜ ❥ ❡ ❝ t ❁− s ❛ ♠ ♣ ❧ ❡ ✭ ✻ ✱ ✹ ✮ ❊rr♦r ✿ ✉♥❡①♣❡❝t❡❞ s②♠❜♦❧ ✐♥ ✧♠②✥ ♦ ❜ ❥ ❡ ❝ t ✧ ✣ỉ✐ ❦❤✐ ✤➸ ✈✐➺❝ ❣å✐ t➯♥✱ ❣đ✐ ♥❤ỵ ❞➵ ỡ ữớ t õ t t rớ ỵ tỹ r ữ ữợ ố tữủ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ ✏♠②✳♦❜❥❡❝t✑✳ ✻ ❱➼ ❞ư ✷✿ ❃ ♠② ✳ ♦ ❜ ❥ ❡ ❝ t ❁− s ❛ ♠ ♣ ❧ ❡ ✭ ✻ ✱ ✹ ✮ ✣✐➲✉ ữ ỵ t t tr õ t ♠➝✉ tü ✈✐➳t ❤♦❛ ✈➔ ♠➝✉ tü ✈✐➳t t❤÷í♥❣ tù❝ ❧➔ ▼②✳♦❜❥❡❝t ❦❤→❝ ✈ỵ✐ ♠②✳♦❜❥❡❝t✳ ❱➼ ❞ư ✸✿ ❃ ♠② ✳ ♦ ❜ ❥ ❡ ❝ t ❁− ✼ ❃ ▼② ✳ ♦ ❜ ❥ ❡ ❝ t ❁− ✷✵ ❃ ♠② ✳ ♦ ❜ ❥ ❡ ❝ t ❂❂ ▼② ✳ ♦ ❜ ❥ ❡ ❝ t ❬✶❪ ❋❆▲❙❊ ❃ ♠② ✳ ♦ ❜ ❥ ❡ ❝ t ❂❂ ♠② ✳ ♦ ❜ ❥ ❡ ❝ t ❬✶❪ ❚❘❯❊ ❘ã r➔♥❣ t❤❡♦ ✈➼ ❞ö tr➯♥ t❤➻ ❘ ❝â sü ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❣✐ú❛ ✷ ✤è✐ t÷đ♥❣ ♠②✳♦❜❥❡❝t ✈➔ ▼②✳♦❜❥❡❝t✳ ▼ët ữ ỵ t t tr ã ổ t t ố tữủ ♠➔ tr♦♥❣ ✤â ❝â sü ①✉➜t ❤✐➺♥ ❝→❝ ❞➜✉ ✏ r sr ữ t t ã ổ ✤➦t t➯♥ ❜✐➳♥ ❤❛② ✤è✐ t÷đ♥❣ trị♥❣ ❧➢♣ ✶ ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ❞ú ❧✐➺✉✳ ❱➼ ❞ư ♥❤÷ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ✶ ❞ú ❧✐➺✉ ❝❤➾ ❝❤ù❛ ✶ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧➔ ❜✐➳♥ ❧❡♥❣t❤ t❤➻ ❦❤ỉ♥❣ ♥➯♥ ✤➦t ❜✐➳♥ ♠ỵ✐ ❝â t➯♥ ❧➔ ❧❡♥❣t❤ ♥ú❛✱ tù❝ ❧➔ ❧❡♥❣t❤ ← ❧❡♥❣t❤✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ trữớ ủ ỳ ỗ t tr õ ❝â t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧❡♥❣t❤ t❤➻ t❛ ❝â t❤➸ ✤➦t ✶ t t ữ s t t$t ữợ q ợ t tữ ❧➔♠ ✈✐➺❝ P❤➛♥ ♠➲♠ ❘ r❛ ✤í✐ ✈ỵ✐ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ỷ ỵ số tố õ ❘ ❝➛♥ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤➸ tr✉② ①✉➜t ❞ú ❧✐➺✉✳ trữợ sỷ t tt ❧➦♣ ✶ ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❝❤♦ ❘ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝ó ♣❤→♣✿ s❡t✇❞✭✧❚➯♥ ê ✤➽❛✿✴❚➯♥ t❤÷ ♠ư❝ ❧➔♠ ✈✐➺❝✧✮✳ ❃ s ❡ t ✇ ❞ ✭ ✧❉ ✿ ✴❘❴❲♦r❦s ✧ ✮ ❍❛② tr♦♥❣ t❤❛♥❤ ❝ỉ♥❣ ❝ư t❛ ❝❧✐❝❦ ❝❤✉ët ✤➸ ❝❤å♥ ❋✐❧❡ → ❈❤❛♥❣❡ ❞✐r ✈➔ t❛ ❝❤å♥ ❋♦❧❞❡r ♠➔ t❛ ♠✉è♥ ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ✈➔ ❝→❝ t❤❛♦ t→❝ ❝õ❛ ❘ s➩ ✤÷đ❝ t❤ü❝ ❤✐➯♥ ✈➔ ❧÷✉ ❧↕✐ ✤â✳ ❚r➯♥ ✤➙②✱ t❛ ❝❤å♥ ✏❉✿✴❘❴❲♦r❦s✑ ❧➔♠ ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❛✳ ✣➸ ①❡♠ ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❤✐➺♥ t❤í✐ ð ✤➙✉ t❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝ó ♣❤→♣✿ ❃ ❣❡t✇❞ ✭ ✮ ❬✶❪ ✧❉ ✿ ✴❘❴❲♦r❦s ✧ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♠➔ ❘ tr↔ ✈➲ ❧➔ ✏❉✿✴❘❴❲♦r❦s✑ ❝❤♦ t❛ ❜✐➳t t❤÷ ♠ư❝ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❤✐➺♥ t❤í✐ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧➔ ✏❉✿✴❘❴❲♦r❦s✑✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ♠ët sè t❤❛♦ t→❝ tr➯♥ t❤÷ ♠ư❝ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤÷ s❛✉✿ −▲✐➺t ❃ ❦➯ ❝→❝ ❢✐❧❡ tr♦♥❣ t❤÷ ♠ư❝ ❧➔♠ ✈✐➺❝✿ ❧ ✐ s t ✳ ❢ ✐ ❧ ❡ s ✭✮ ❤❛② ❃ − ❞✐r ✭✮ ▲÷✉ ❲♦r❦s♣❛❝❡ ✤❛♥❣ ❧➔♠ ữợ t t t ❧↕✐✿ ✼ ❃ s ❛ ✈ ❡ ✳ ✐ ♠ ❛ ❣ ❡ ✭ ✧ t ❡ ♥❴ ❢ ✐ ❧ ❡ ✳ r ❞ ❛ ✧ ✮ − ❑❤æ✐ ♣❤ö❝ ❜✐➳♥ x ✭t❤ü❝ ❝❤➜t ❧➔ t❛ ❧♦❛❞ ❧↕✐ ❢✐❧❡ ❝❤ù❛ ❜✐➳♥ x✮✿ ❃ ❧ ♦ ❛ ❞ ✭ ✧ t ❡ ♥❴ ❢ ✐ ❧ ❡ ✳ r ❞ ❛ ✧ ✮ − ❳â❛ ✶ ❜✐➳♥ ❦❤ä✐ ❜ë ♥❤ỵ✿ ❃ r♠ ✭ ① ✮ − ❳â❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜✐➳♥✿ ❃ r♠ ✭ ❧ ✐ s t − ❃ − ❃ − ❃ ❂ ❧s ✭✮✮ ▲✐➺t ❦➯ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜✐➳♥ ❤✐➺♥ ❤➔♥❤✿ ❧s ✭✮ ❳❡♠ t❤æ♥❣ t✐♥ ❝õ❛ ✶ ❜✐➳♥ ♥➔♦ ✤â✿ str ✭✮ ❳❡♠ t❤æ♥❣ t✐♥ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜✐➳♥ ✤❛♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝✿ ❧s ✳ str ✭✮ ✹✳✷ ◆❤➟♣ ❞ú ❧✐➺✉ ✹✳✷✳✶ ◆❤➟♣ sè ❧✐➺✉ trü❝ t✐➳♣ ❛✮ ❉ò♥❣ ❤➔♠ ❝✭✮ ❚❛ ❝â sè ❧✐➺✉ ✈➲ ✤ë t✉ê✐ ✈➔ ❤✉②➳t →♣ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ✤✐ ❦❤→♠ t↕✐ ✶ ♣❤á♥❣ ♠↕❝❤ ♥❤÷ s❛✉✿ ❆❣❡ ❇❧♦♦❞♣r❡ss 45 47 54 50 43 53 14 13 15 12 11 13 ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ♥❤➟♣ ♥❤ú♥❣ sè ❧✐➺✉ tr➯♥ ✈➔♦ ❘ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ư♥❣ ❤➔♠ ❝✭✮ ♥❤÷ s❛✉✿ ❃ ❛ ❣ ❡ ❁− ❝ ✭ ✹ ✺ ✱ ✹ ✼ ✱ ✺ ✹ ✱ ✺ ✵ ✱ ✹ ✸ ✱ ✺ ✸ ✮ ❃ ❜ ❧ ♦ ♦ ❞ ♣ r ❡ s s ❁− ❝ ✭ ✶ ✹ ✱ ✶ ✸ ✱ ✶ ✺ ✱ ✶ ✷ ✱ ✶ ✶ ✱ ✶ ✸ ✮ tr♦♥❣ ✤â ❞á♥❣ ❧➺♥❤ t❤ù ♥❤➜t✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ♠✉è♥ ❝❤♦ ❘ ❜✐➳t r➡♥❣ ❝❤ó♥❣ t❛ ♠✉è♥ t↕♦ r❛ ✶ ❝ët ❞ú ❧✐➺✉ ✭❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ✶ ❜✐➳♥ sè✮ ❝â t➯♥ ❧➔ ❛❣❡ ✈➔ ❞á♥❣ t❤ù ✷ ❧➔ t↕♦ r❛ ❝ët ❞ú ❧✐➺✉ ❝â t➯♥ ❧➔ ❜❧♦♦❞♣r❡ss✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ❧➔ t➯♥ ❜✐➳♥ ❝â t❤➸ t❤❛② ✤ê✐ tị② t❤➼❝❤ ♥❤÷♥❣ ♥➯♥ ❧➔ t➯♥ ❝â t❤➸ ❣đ✐ ♥❤ỵ ✤➳♥ ❞ú ❧✐➺✉✳ ✣➸ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ỷ ỵ q ỵ ữớ t tữớ ✤è✐ t÷đ♥❣ ♥➔② ❧↕✐ ♥❤❛✉ t❤➔♥❤ ✶ ❞❛t❛✳❢r❛♠❡ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ❤➔♠ ❞❛t❛✳❢r❛♠❡✿ ❃ ❜❡♥❤♥❤❛♥ ❁− ❞ ❛ t ❛ ✳ ❢ r ❛ ♠ ❡ ✭ ❛ ❣ ❡ ✱ ❜ ❧ ♦ ♦ ❞ ♣ r ❡ s s ✮ ❃ ❜❡♥❤♥❤❛♥ ❛❣❡ ❜❧♦♦❞♣r❡ss ✶ ✹✺ ✶✹ ✷ ✹✼ ✶✸ ✸ ✺✹ ✶✺ ✹ ✺✵ ✶✷ ✺ ✹✸ ✶✶ ✻ ✺✸ ✶✸ ✽ ◆❤÷ ✤➣ ♥â✐ ð ♣❤➛♥ ✤➦t t➯♥ tr♦♥❣ ❘✱ ♥➳✉ ❝❤➾ ♠✉è♥ ❧➔♠ ✈✐➺❝ tr➯♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❛❣❡ t❤æ✐✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣→♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❛❣❡ tr♦♥❣ ❞❛t❛✳❢r❛♠❡ ❜❡♥❤♥❤❛♥ tr➯♥ ❝❤♦ ✶ ❜✐➳♥ sè ✭❤❛② ✤è✐ t÷đ♥❣✮ ❝ơ♥❣ ♠❛♥❣ t➯♥ ❛❣❡✿ ❃ ❛ ❣ ❡ ❁− ❜❡♥❤♥❤❛♥ ✩ ❛ ❣ ❡ ❃ ❛❣❡ ❬✶❪ ✹✺ ✹✼ ✺✹ ✺✵ ✹✸ ✺✸ ❜✮ ❉ò♥❣ ❧➺♥❤ ❡❞✐t✭❞❛t❛✳❢r❛♠❡✭✮✮ ❑❤✐ ❣ã ❤➔♠ ♥➔② ✈➔♦ t❤➻ tr♦♥❣ ❝û❛ sê ❝õ❛ ❘ s➩ tü ✤ë♥❣ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♠ët ❝û❛ sê ♠ỵ✐ ợ ởt ỏ ố ữ tr ✈➔ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤➾ ✈✐➺❝ ♥❤➟♣ ❞ú ❧✐➺✉ ✈➔♦ tr♦♥❣ ❜↔♥❣ ♥➔②✳ ▼➦❝ ✤à♥❤ t➯♥ ❜✐➳♥ s➩ ❧➔ ✈❛r✶✱ ✈❛r✷✱✳✳✳ t❛ ✤ê✐ t➯♥ ❜✐➳♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ♥❤➜♣ ❝❤✉ët ✈➔♦ æ ✈❛r✶ ✈➔ t❤❛② ✤ê✐ ❜➥♥❣ ❝→❝❤ ❣ã ✈➔♦ ❛❣❡ ♥❤➜♥ ❊♥t❡r✱ ♥❤➜♣ ❝❤✉ët ✈➔♦ æ ✈❛r✷ ✈➔ t❤❛② ✤ê✐ ❜➡♥❣ ❣ã ❜❧♦♦❞♣r❡ss ♥❤➜♥ ❊♥t❡r✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ♥❤➟♣ ①♦♥❣ ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➜♥ ✈➔♦ ♥ót ❳ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ ✈➔ ❧➟♣ tù❝ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝â ✶ ❞❛t❛✳❢r❛♠❡ ♥❤÷ ❝❤ó♥❣ t❛ ♠✉è♥✿ ❃ ❜❡♥❤♥❤❛♥ ❁− ❡ ❞ ✐ t ✭ ❞❛t❛ ✳ ❢r❛♠❡ ✭ ✮ ✮ ❙❛✉ ❦❤✐ ♥❤➟♣ ❞ú ❧✐➺✉ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝â ❤➻♥❤ ↔♥❤ s❛✉✿ ✾ ✹✳✷✳✷ ◆❤➟♣ tø ❢✐❧❡ ❛✮ ◆❤➟♣ tø ❢✐❧❡ ✯✳t①t✿ ❉ò♥❣ ❤➔♠ r❡❛❞✳t❛❜❧❡ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ♥❤➟♣ sè ❧✐➺✉ tø ♠ët ❢✐❧❡ tt rt ợ ữ ỵ trữợ t ❝❤ó♥❣ t❛ ♣❤↔✐ ❝♦♣② ❢✐❧❡ ✳t①t ♥➔② ✈➔♦ t❤÷ ♠ư❝ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❝õ❛ ❘✮✳ ❱➼ ❞ö✿ ❚❛ ♠✉è♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè ❧✐➺✉ t❤è♥❣ ❦➯ sè ❧✐➺✉ ② ❦❤♦❛ ✤÷đ❝ ❧÷✉ ữợ tt ữ s s ó ú ♥❤÷ s❛✉✿ ❃ s ❡ t ✇ ❞ ✭ ✧❉ ✿ ✴❘❴❲♦r❦s ✧ ✮ ❃ s ♦ ❧ ✐ ❡ ✉ ❁− r ❡ ❛ ❞ ✳ t ❛ ❜ ❧ ❡ ✭ ✧ ❙ ♦ ❧ ✐ ❡ ✉ ✳ t ① t ✧ ✱ ❤ ❡ ❛ ❞ ❡ r ❂ ❚❘❯❊✮ ❉á♥❣ ❧➺♥❤ t❤ù ♥❤➜t ✤➸ ❘ tr✉② ❝➟♣ ✤ó♥❣ ✤à❛ ❝❤➾ ♠➔ ❢✐❧❡ ❙♦❧✐❡✉✳t①t ✤❛♥❣ ✤÷đ❝ ❧÷✉ ❣✐ú✳ ❉á♥❣ ❧➺♥❤ t❤ù ❤❛✐ ❧➔ ♠✉è♥ ❘ ♥❤➟♣ sè ❧✐➺✉ tø ❢✐❧❡ ❙♦❧✐❡✉✳t①t ✈➔ ❣→♥ ✈➔♦ ♠ët ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ❘ ♠❛♥❣ t➯♥ s♦❧✐❡✉✳ ✶✵ Cần kiểm định giả thuyết: : độc lập với (Đối thuyết: không độc lập với ) Phương pháp Chi – bình phương:  Tính giá trị Chi – bình phương thực nghiệm r c Q   n i 1 j 1 ij  n 'ij  n 'ij Trong đó: nij : tần số thực nghiệm n 'ij : tần số lý thuyết; n 'ij   Bác bỏ (Trong R, tìm ni  n j N  Tổng hàng  Tổng cột Tổng tất nếu: Q2  2,df với 2,df ( )( ) Kết luận dùng hàm qchisq(alpha, df, lower.tail = FALSE) ) Thực hành R: Cách 1: tính tốn bước để sử dụng hàm R để kiểm định Cách 2: sử dụng hàm chisq.test(M) Trong đó: M ma trận chứa tần số thực nghiệm Đọc  n11 n M   21    nr1 giá trị xuất từ hàm kết luận n12 n22 nr n1c  n2 c    nrc  Ví dụ: Một báo cáo khoa học y khoa tuyên bố việc sở hữu thú cưng nhà (chó mèo) làm tăng khả sống sót người chủ mà thường bị lên đau tim Một mẫu ngẫu nhiên gồm 95 người lên đau tim chọn để khảo sát Dữ liệu người khảo sát chia làm loại: - Những người sống sót/tử vong năm sau lên đau tim - Người sống sót/tử vong có ni thú cưng nhà hay khơng Bảng kết quả: Sống sót Tử vong Có ni thú cưng 28 Khơng ni thú cưng 44 15 Với mức ý nghĩa 5%, liệu liệu có ủng hộ kết luận sống sót (khi bị lên đau tim) ni thú cưng độc lập? Đặt giả thuyết H0: Sự sống sót lên đau tim ni thú cưng độc lập với > M = matrix(c(28,44,8,15),nrow=2,byrow=T) > M [,1] [,2] [1,] 28 44 [2,] 15 > chisq.test(M) Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: M X-squared = 0.0114, df = 1, p-value = 0.9152 P giá trị = 0.9152 > 0.05 kết luận: không bác bỏ H0 Tức việc nuôi thú cưng không ảnh hưởng đến khả sống sót bị lên đau tim Bài tập: Kiểm tra chất lượng sản phẩm nhà máy sản xuất hàng xuất ta ghi nhận bảng số liệu sau Chất lượng Nhà máy Tốt Đạt Nhà máy A 40 125 18 17 Nhà máy B 29 91 14 16 Nhà máy C 31 84 18 17 Phải sửa Thứ phẩm Với mức ý nghĩa 1%, xét xem chất lượng sản phẩm nhà máy có nhau? 10 Vé máy bay hãng hàng không Việt Nam Airline chia làm loại: Hạng thường (C), hạng trung (B) hạng doanh nhân (A) Hành khách máy bay VN Airlines nằm trong dạng sau: bay nội địa quốc tế Khảo sát 920 hành khách bay hãng, cho kết sau: Loại chuyến bay Loại vé Nội địa Quốc tế Hạng thường 29 22 Hạng trung 95 121 Hạng doanh nhân 518 135 Có ý kiến cho hành khách mua loại vé (A, B, C) phụ thuộc vào việc người bay nội địa hay quốc tế Với mức ý nghĩa 5%, kiểm tra ý kiến 11 Công ty B đặt hàng sản xuất loại yên xe đạp phù hợp cho người béo lẫn người gầy Họ đưa mẫu yên khác nhau, muốn thử chất lượng mẫu Họ cho người béo gầy khác ngồi thử lên xe phút (thứ tự người thử ngẫu nhiên) Những người ngồi thử sau cho điểm đánh giá mức độ thoải mái mẫu yên xe, với điểm tệ 10 điểm thoải mái kết cho bảng bên Từ kết với mức ý nghĩa 5%, ta bác bỏ giả thuyết gốc mẫu yên xe thoải mái không? Hãy lập thống kê đầy đủ kiểm định chi bình phương dẫn tới kết luận Seat Seat Seat Seat 7 8 10 8 10 7 10 12 Thực khảo sát ảnh hưởng việc có người yêu kết học tập sinh viên Kết khảo sát 50 sinh viên trường ĐH KHTN với câu hỏi là: - Bạn có người yêu chưa? Có mức độ: = "Chưa có"; = "Đã có"; = "Đang tìm hiểu" (Biến "Nguoi_yeu") - Kết học tập bạn? Có mức độ: = "Giỏi"; = "Khá"; = "Trung bình" (Biến "Hoc_tap") Số liệu cho file data61.txt a Chuyển giá trị 0,1,2 biến Hoc_tap thành mô tả tương ứng, Hoc_tap = (G, K, TB) b Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định xem việc có người yêu có ảnh hưởng đến kết học tập hay không? 13 Một công ty cần phát đoạn quảng cáo đài phát Trước thuê người đọc đoạn quảng cáo này, công ty kiểm tra bốn người với giọng đọc khác gọi A, B, C, D 10 người ngẫu nhiên chọn để nghe đoạn quảng cáo đánh giá chất lượng bốn giọng đọc Chất lượng giọng xếp loại từ tốt (1) đến dở (4) Số liệu cho bảng sau: Giọng đọc B C D A 4 3 4 3 4 4 Có ý kiến cho chất lượng giọng đọc nhau, kiểm tra ý kiến Mức ý nghĩa 5% Bài 11 Hồi quy tương quan Mơ hình hồi quy tuyến tính đơn Mơ hình hồi quy tuyến tính đơn cho cặp liệu ( Các hệ số ) sau chưa biết ước lượng từ liệu Người ta dùng phương pháp bình phương bé để tìm ước lượng Cụ thể, ̂ ∑( ̅ )( ̂ ̅) ∑( ̅) ̅ ̂ ̅ Ví dụ 1: Nhịp tim tối đa Nhịp tim tối đa người cho (theo kinh nghiệm) có mối quan hệ với tuổi tác theo phương trình sau Max = 220 – Age Người ta khảo sát nhịp tim tối đa của15 người có độ tuổi khác Dữ liệu sau ghi lại: Age Max Rate 18 202 23 186 25 187 35 180 65 156 54 169 34 174 56 172 72 153 19 199 23 193 42 174 18 198 Hãy biểu diễn liệu vẽ đường hồi quy đơn Max Rate theo Age đồ thị? Giải: x = c(18,23,25,35,65,54,34,56,72,19,23,42,18,39,37) #nhập liệu y = c(202,186,187,180,156,169,174,172,153,199,193,174,198,183,178) plot(x,y) # vẽ đồ thị abline(lm(y ~ x)) # vẽ đường hồi quy > lm(y ~ x) # giá trị phân tích hồi quy Call: 39 183 37 178 lm(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) 210.0485 x -0.7977 Hình: Hồi quy nhịp tim tối đa theo tuổi > result=lm(y ~ x) > summary(result) Call: lm(formula = y ~ x) Coefficients: Estimate Std Error t value Pr(>|t|) (Intercept)210.04846 2.86694 73.27 < 2e-16 *** x 0.06996 -11.40 3.85e-08 *** -0.79773 Nếu muốn lấy thông tin thặng dư (residuals) ta dùng resid, hệ số (coefficients) ta dùng coef Ví dụ, > coef(result) # sử dụng result[['coef']] (Intercept) x 210.0484584 -0.7977266 > res = resid(result) # result[['resid']] > summary(res) Min 1st Qu Median Mean 3rd Qu -8.926e+00 -2.538e+00 3.879e-01 -1.628e-16 3.187e+00 Max 6.624e+00 Phân tích thặng dư Ta dựa vào đồ thị biểu diễn thặng dư theo giá trị hồi quy ( ̂ ) đồ thị Normal Q-Q Ví dụ 2: Nhịp tim tối đa (tt) Hãy phân tích giá trị thặng dư mơ hình hồi quy Giải: x = c(18,23,25,35,65,54,34,56,72,19,23,42,18,39,37) #nhập liệu y = c(202,186,187,180,156,169,174,172,153,199,193,174,198,183,178) result = lm(y ~ x) par(mfrow=c(1,2)) #chuẩn bị vẽ hai đồ thị cửa sổ plot(result$fitted.values,resid(result),xlab ='Fitted values', ylab ='Residuals', main = 'Residuals vs Fitted') #đồ thị thặng dư theo giá trị hồi quy abline(h=0,lty=3) #đường thẳng y = với nét chấm qqnorm(res) #đồ thị Normal Q-Q qqline(res) #đường thẳng lí thuyết đồ thị Normal Q-Q Hình: Phân tích thặng dư Nhìn vào đồ thị Residuals vs Fitted ta thấy thặng dư phân tán quanh trục Ox cách ngẫu nhiên đồng Do thặng dư có kì vọng phương sai khơng đổi Nhìn vào đồ thị Normal Q-Q Plot ta thấy thặng dư gần xấp xỉ đường thẳng Do thặng dư tuân theo phân phối chuẩn Khoảng tin cậy cho mơ hình hồi quy: - Cho ̂ ̂ √ √ Trong đó, ̂) ∑( ∑ ̅) ∑( - Cho ̂ √ ( ̅ ̂ ) √ ( ̅ ) Cho trung bình biến đáp ứng - √̂ ( ̂ ( ̅ ) ) ̂ √̂ ( ( ̅ ) ( ̅ ) ) Trong đó, ̂ ̂ ̂ ̂ Dự báo giá trị quan trắc - ̂ √̂ ( ( ̅ ứng với ) ̂ ) √̂ ( ) Ví dụ 3: Nhịp tim tối đa (tt) Xác định khoảng tin cậy 95% cho Giải: x = c(18,23,25,35,65,54,34,56,72,19,23,42,18,39,37) #nhập liệu y = c(202,186,187,180,156,169,174,172,153,199,193,174,198,183,178) n = length(x) result = lm(y~x) res = resid(result) # thặng dư result b1 = (coef(result))[['x']] # hệ số độ dốc đường hồi quy MSE = sum( res^2 ) / (n-2) Sxx = sum((x-mean(x))^2) eps = qt(1-0.05/2,n-2)*sqrt(MSE/Sxx) #sai số ước lượng ci = c(can.duoi = b1 – eps, can.tren = b1 + eps) ci #khoảng tin cậy 95% cho hệ số độ dốc Kiểm định giả thuyết cho mơ hình hồi quy: - Cho Các giả thuyết { { { Thống kê kiểm định ̂ √ ̅ ( ( ) ) Miền bác bỏ (mức ý nghĩa ) Đối thuyết Miền bác bỏ p-giá trị ( ) ( ) ( ) - Cho Các giả thuyết { { { Thống kê kiểm định ̂ ( ) √ Miền bác bỏ (mức ý nghĩa ) Đối thuyết Miền bác bỏ p-giá trị ( ) ( ) ( ) Ví dụ 4: Nhịp tim tối đa (tt) Có người cho độ dốc đường hồi quy -1 Với liệu thu thập được, ta chấp nhận ý kiến không? Giải: Ta kiểm định giả thuyết { thủ tục R sau x = c(18,23,25,35,65,54,34,56,72,19,23,42,18,39,37) #nhập liệu y = c(202,186,187,180,156,169,174,172,153,199,193,174,198,183,178) n = length(x) result = lm(y~x) res = resid(result) # thặng dư result b1 = (coef(result))[['x']] # hệ số độ dốc đường hồi quy MSE = sum( res^2 ) / (n-2) Sxx = sum((x-mean(x))^2) t = (b1 - (-1) ) / sqrt(MSE/Sxx) alpha = 0.05 ifelse(abs(t) > qt(1-alpha/2,n-2), 'Bác bỏ H0', 'Chấp nhận H0') [1] "Bác bỏ H0" Kiểm định giả thuyết cho hệ số tương quan: Các giả thuyết { { { Thống kê kiểm định √ ( ) Với ∑( ̂ ̅) ∑( ̅) Miền bác bỏ (mức ý nghĩa ) Đối thuyết Miền bác bỏ Ví dụ 5: Nhịp tim tối đa (tt) p-giá trị ( ) ( ) ( ) Có người cho nhịp tim tối đa tuổi tác khơng có tương quan với Với liệu thu thập được, ta chấp nhận ý kiến khơng? Giải: Ta kiểm định giả thuyết { thủ tục R sau x = c(18,23,25,35,65,54,34,56,72,19,23,42,18,39,37) #nhập liệu y = c(202,186,187,180,156,169,174,172,153,199,193,174,198,183,178) n = length(x) result = lm(y~x) res = resid(result) # thặng dư result SST = sum((y - mean(y))^2) SSR = SST - sum(res^2) # SSR = SST – SSE r.sq = SSR/SST t # tính r^2 = sqrt(r.sq*(n-2)/1-r.sq) alpha = 0.05 ifelse(abs(t) > qt(1-alpha/2,n-2), 'Bác bỏ H0', 'Chấp nhận H0') [1] "Bác bỏ H0" Bài tập: Giá nhà (đv: 1000 USD) phụ thuộc vào số phịng ngủ nhà Giả sử liệu sau ghi lại cho nhà thành phố Price No bedrooms 300 250 400 550 317 389 425 289 389 559 (a) Vẽ đồ thị phân tán đường hồi quy hệ trục tọa độ (b) Kiểm định giả thuyết cho thêm phịng ngủ chi phí tăng thêm 60.000 USD với đối thuyết chi phí cao Ta biết uống nhiều bia, mức cồn máu (blood alcohol level - BAL) tăng Giả sử ta có liệu sau mức tiêu thụ bia mức cồn máu tương ứng 10 sinh viên khảo sát Student 8 10 Beers BAL 0.10 0.03 0.19 0.12 0.04 0.095 0.07 0.06 0.02 0.05 (a) Vẽ đồ thị phân tán đường thẳng hồi quy hệ trục tọa độ (b) Kiểm định giả thuyết cho uống thêm chai bia làm tăng BAL lên 0.02 với đối thuyết cho nhỏ Chọn mức ý nghĩa 5% (c) Kiểm định giả thuyết cho không uống bia mức cồn máu 0, với đối thuyết hai phía Chọn mức ý nghĩa 5% Khi độ cao tăng lên nhiệt độ khơng khí giảm xuống Theo kinh nghiệm số người, nhiệt độ giảm 9.8 /km Để kiểm tra xem nhận định có hay khơng, nhóm sinh viên mang theo nhiệt kế thiết bị đo độ cao ghi lại liệu sau chuyến leo núi họ Elevation(ft) Temperature(F) 600 56 1000 54 1250 56 1600 50 1800 47 2100 49 2500 47 2900 45 (a) Vẽ đồ thị phân tán đường hồi quy hệ trục tọa độ (b) Kiểm định giả thuyết tốc độ giảm nhiệt 9.8 /km với đối thuyết cho nhỏ Một động tên lửa chế tạo cách kết hợp hai loại chất nổ đẩy kíp nổ nhiên liệu đốt cháy Lực đẩy y cách kết hợp cho hàm tuyến tính theo tuổi (đv: tuần) chất nổ đẩy x động thử nghiệm Dữ liệu ghi lại file “rocket.motor.csv” (a) Vẽ đồ thị phân tán cho liệu thu Mơ hình hồi quy đơn có phù hợp trường hợp này? (b) Tìm ước lượng bình phương bé cho hệ số độ dốc (slope) hệ số chặn (intercept) đường hồi quy Tìm ước lượng cho (c) Ước lượng lực đẩy động làm từ chất nổ đẩy với 20 tuần tuổi (d) Vẽ đồ thị ̂ (giá trị hồi quy) theo (giá trị quan sát) Quan hệ tuyến tính lực đẩy tuổi có xác định cách hồn hảo (không sai số) hay không? Từ đồ thị, cho biết biến hồi quy tuổi (age) có phải lựa chọn hợp lí cho mơ hình này? (e) Kiểm định giả thuyết đối thuyết với Tìm p-value cho kiểm định (f) Kiểm định giả thuyết đối thuyết với Tìm pvalue cho kiểm định (g) Kiểm định giả thuyết đối thuyết với Tìm p-value cho kiểm định (h) Tìm khoảng tin cậy 95% cho hệ số độ dốc hệ số chặn (i) Tìm khoảng tin cậy 95% cho lực đẩy trung bình tuần tuổi (j) Tìm khoảng dự báo 95% cho lực đẩy tuần tuổi (k) Phân tích thặng dư mơ hình Một nghiên cứu xuất Natri clorua bề mặt dịng sơng trung tâm Rhode Island Dữ liệu ghi lại file “chloride.csv” nồng độ clorua (mg/l) y diện tích đường giao thơng đầu nguồn x (theo tỉ lệ phần trăm) (a) Vẽ đồ thị phân tán cho liệu Mơ hình hồi quy tuyến tính đơn có phù hợp hay không? (b) Vẽ đường hồi quy đồ thị câu (a) Tìm ước lượng (c) Ước lượng nồng độ clorua trung bình cho đầu nguồn có diện tích giao thơng chiếm 1% (d) Tìm giá trị hồi quy tương ứng với giá trị thặng dư (e) Kiểm định giả thuyết đối thuyết với Tìm pvalue cho kiểm định (f) Kiểm định giả thuyết đối thuyết với Hãy rút kết luận Mơ hình có phù hợp với liệu ta loại bỏ hệ số chặn (intercept) ? (g) Tìm khoảng tin cậy 99% cho (h) Tìm khoảng tin cậy 99% cho trung bình nồng độ clorua diện tích đường giao thơng (i) Tìm khoảng dự báo 99% cho nồng độ clorua diện tích đường giao thơng (j) Phân tích thặng dư mơ hình Dữ liệu nghiên cứu mối quan hệ phơi nhiễm tiếng ồn tăng huyết áp ghi lại file “noise.csv” (a) Vẽ đồ thị phân tán y (huyết áp tính milimet thủy ngân) theo x (cường độ âm tính decibels) Mơ hình hồi quy đơn có phù hợp trường hợp này? (b) Vẽ đường thẳng hồi quy hệ trục tọa độ câu (a) Tìm ước lượng (c) Tìm mức huyết áp trung bình tương ứng với cường độ âm 85 decibals (d) Kiểm định giả thuyết đối thuyết với Tìm pvalue cho kiểm định (e) Tìm khoảng tin cậy 95% cho (f) Tìm khoảng tin cậy 95% cho huyết áp trung bình cường độ âm 85 decibals (g) Tìm khoảng dự báo 95% cho huyết áp cường độ âm 85 decibals (h) Một người cho phơi nhiễm tiếng ồn tăng huyết áp không tương quan với Hãy kiểm định giả thuyết với mức ý nghĩa 5% (i) Phân tích thặng dư mơ hình 10 Khối lượng nước sử dụng hàng tháng nhà máy hóa chất cho có liên quan đến nhiệt độ mơi trường trung bình ( ) tháng Dữ liệu lượng nước sử dụng nhiệt độ ghi lại file “temperature.csv” (a) Giả sử mơ hình hồi quy tuyến tính đơn phù hợp, vẽ đồ thị phân tán đường hồi quy lượng nước sử dụng (y) theo nhiệt độ trung bình (x) đồ thị Tìm ước lượng (b) Lượng nước sử dụng nhiệt độ trung bình 55 bao nhiêu? (c) Khi nhiệt độ trung bình hàng tháng tăng lượng nước sử dụng trung bình thay đổi bao nhiêu? (d) Giả sử nhiệt độ trung bình hàng tháng 47 Tính giá trị hồi quy y giá trị thặng dư tương ứng (e) Kiểm định giả thuyết đối thuyết với Tìm pvalue cho kiểm định (f) Kiểm định định giả thuyết đối thuyết với Tìm pvalue cho kiểm định rút kết luận (g) Tìm khoảng tin cậy 99% cho (h) Tìm khoảng tin cậy 95% cho mức nước sử dụng trung bình nhiệt độ trung bình 55 (i) Tìm khoảng dự báo cho mức nước sử dụng nhiệt độ 55 Giải thích khoảng dự báo rộng khoảng tin cậy câu (h) (j) Phân tích thặng dư mơ hình Dữ liệu giá nhà thuế hàng năm cho 24 nhà ghi lại file “house.price.csv” (a) Giả sử mơ hình hồi quy tuyến tính phù hợp, vẽ đồ thị phân tán đường hồi quy giá nhà theo thuế đồ thị Tìm ước lượng (b) Tìm giá bán nhà trung bình biết thuế phải trả hàng năm (c) Tính giá trị hồi quy tương ứng với Tìm thặng dư tương ứng (d) Tính giá trị ̂ cho giá trị Vẽ đồ thị ̂ theo nhận xét hình dạng đồ thị quan hệ y x đường thẳng (khơng có sai số ngẫu nhiên) Từ đồ thị ta cho thuế hàng năm biến hồi quy hiệu để dự đốn giá nhà hay khơng? (e) Kiểm định giả thuyết , với (f) Kiểm định giả thuyết , với (g) Tìm khoảng tin cậy 95% cho (h) Tính khoảng dự báo cho giá nhà tiền thuế phải trả hàng năm (i) Từ liệu, cho giá nhà thuế hàng năm không tương quan hay không? Mức ý nghĩa 5% (j) Phân tích thặng dư mơ hình 11