Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó thường là hệ thứ[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC Kiến thức 1.1 Các khái niệm 1.2 Các phép toán trên số phức * Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: z z ' (a a ') (b b ')i z z ' (a a ') (b b ')i zz ' aa ' bb ' (ab ' a ' b)i * Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức là a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ là số 1 z 2z 2 a b z z-1= z' Thương z phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z' z '.z z z z z Các dạng bài tập 2.1 Dạng 1: Các phép toán trên số phức i Ví dụ 1: Cho số phức z = 2 Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 Giải: 3 i i *Vì z = 2 z = 2 (2) i i i i 2 4 =2 *Ta có z2 = = 3 i i i i 2 4 2 2 (z) = 1 3 i i i i i 2 2 4 ( z ) =( z ) z = Ta có: + z + z2 = 1 1 3 1 i i i 2 2 2 Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: Giải: z (1 i)(3 2i ) 3i 3 i 3 i 5 i (3 i )(3 i) 10 Ta có 53 z i 10 10 Suy số phức liên hợp z là: z 5 i z Ví dụ 3: Tìm phần ảo số phức z biết Giải: z 2i 2i 5 2i i 1 Suy ra, z 5 2i 2i Phần ảo số phức z Ví dụ 4: Tìm mô đun số phức Giải: Ta có: z z (1 i )(2 i) 2i 5i 1 i 5 26 1 z 1 5 Vậy mô đun z bằng: Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn 1 z 3i 1 i Tìm môđun số phức z iz Giải: Ta có: 1 3i 8 z 4i z 4i i Do đó (3) z iz 4i 4i i 8i Vậy z iz 8 Ví dụ 6: Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: a) 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i c) x 5i y 2i 35 23i Giải: a) Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i x 3x y 2 y y 4 x x y x 2 x y 3 x y x y 1 11 x y 4 x y x y y 11 b) Theo giả thiết ta có: 2i c) Ta có 2i 2i 4i 2i 2i 11 Suy x 5i y 2i 35 23i x 5i y 2i 11 35 23i 3x 11y 35 x 3 3x 11 y x y i 35 23i 5 x y 23 y 4 Bài tập tự luyện Bài Tìm các số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; Bài Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) là số thực x(3 2i ) y (1 2i )3 11 4i Bài Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: 3i Bài Cho hai số phức: z1 2 5i ; z 3 4i Xác định phần thực, phần ảo số phức z1.z2 Bài Tìm phần thực, phần ảo và mô đun số phức: a) z (2 3i )(1 i) 4i b) z (2 2i )(3 2i )(5 4i ) (2 3i ) c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i) 5i d) z = (1 3i )( i )(1 i ) (1 2i)( i ) e) z = (1 i )(4 3i) (4) 25i Bài Tìm các số phức: 2z z và z , biết z 3 4i w z i iz Bài Cho số phức z = + 3i.Tìm phần thực và phần ảo số phức 7i z (3 2i )( 3i ) 2i Bài Cho số phức Tính mô đun z và tìm tọa độ điểm biểu diễn hình học z hệ tọa độ Oxy 2(1 2i ) 7 8i Bài Cho z thỏa mãn (2 + i)z + i Tìm môđun số phức w = z + + i Bài 10 Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z Tìm phần thực, phần ảo z 2 i i z 2i z 1 i Bài 11 Cho số phức z thỏa mãn Tìm tọa độ điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy Bài 12 Tìm số phức z biết z3 = 18 + 26i, đó z = x + yi (x,y Z) n 2.2 Dạng 2: Tính i và áp dụng Chú ý: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; n N*Vậy in {-1;1;-i;i}, n N* 2 i 2i (1 i) 2i ; ; 3 Ví dụ 1: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Ta có i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = Ví dụ 2: Tính số phức sau: 16 15 a) z = (1+i) 1 i 1 i 1i b) z = i Giải: a) Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i i (1 i )(1 i ) 2i i i 2 b) Ta có: (5) 16 1 i 1 i 1 i i i =i16 +(-i)8 = 1 i Vậy i Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: i i i i 20 Giải: P 1 i i i 1 i 21 1 i 20 10 i i 2i i 210 i 10 1 i P 210 210 1 i i 10 10 Vậy phần thực là và phần ảo là Bài tập tự luyện Bài Tìm phần thực, phần ảo các số phức sau: 1 i 21 20 10 1 i i 3i 3i i z = 1 i Bài Tìm phần thực và phần ảo số phức z thỏa mãn: 19 Bài Tìm phần thực, phần ảo số phức z = (1 i) z 3i i (1 i )2011 2.3 Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: dụng Dạng đại số z là z x yi với x, y R z , z , z , z 3i z 1 9i Ví dụ 1: Tìm số phức z biết Giải: Gọi z= a+ bi (a,b R ) ta có: z 3i z 1 9i a bi 3i a bi 1 9i a 3b 1 a 3b 3a 3b i 1 9i 3a 3b 9 Vậy z= 2-i Ví dụ 2: Tính mô đun số phức z biết rằng: Giải: Gọi z= a+ bi (a, b R ) Ta có a 2 b z 1 i z 1 i 2 2i ta sẽ sử (6) z 1 i z 1 i 2 2i 2a 1 2bi i a 1 bi i 2 2i 2a 2b 1 2a 2b 1 i a b 1 a b 1 i 2 2i a 3a 3b 2 3a 3b a b i 2 2i a b b Suy mô đun: z a b2 2 Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: Giải z z.z z 8 Gọi z = x + iy (x, y R), ta có và z z 2 z x iy; z z z z x y 2 z z.z z 8 4( x y ) 8 ( x y ) 2 (1) z z 2 x 2 x 1 (2) Từ (1) và (2) tìm x = ; y = 1 Vậy các số phức cần tìm là + i và - i Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: ảo Giải Đặt z= x+ yi (x,y R ) Theo bài ta có z 2i z 4i x 1 y 2 i x y i 2 2 x 1 y x 3 y y x Số phức z 2i x y i x y y 1 x y i w x 1 y i z i x y 1 x y y 1 0 12 x x y 1 y x y 23 w là số ảo và 12 23 z i 7 Vậy z 2i và z i là số (7) Ví dụ 5: Tìm tất các số phức z biết Giải: Gọi z= a+ bi (a, b R ) ta có: z2 z z z z z a bi a b a bi a b 2abi a b a bi a b 0 2 2 a 2b a b a b a 1 a ; b 2 2ab b b 2a 1 0 1 a ; b 2 1 1 z i; z i 2 2 Vậy z=0; Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn Giải: z và z2 là số ảo 2 z a b2 R Gọi z= a+ bi (a, b ) Ta có và z a b 2abi 2 a b 2 a 1 a 1 2 a b b b 1 Yêu cầu bài toán thỏa mãn và Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i z 5i 0 z Ví dụ 7: Tìm số phức z biết Giải: 2 Gọi z= a+ bi (a, b R ) và a b 0 ta có 5i 5i 0 a bi 0 a b i a bi 0 z a bi a b a 0 2 a b a 5 b i 0 b 0 z a 1; b a a 0 b a 2; b Vậy z i z 2 i Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn Giải: Giả sử z= x+ yi (x, y R ) z i và z 1 z i là số thực (8) Khi đó, z i x y 1 2 1 z 1 z i x yi x y 1 i x x 1 y y 1 x y 1 i z 1 z i R x y 0 Từ (1) và (2) ta có x=1; y=0 x=-1; y=2 Vậy z=1; z=-1+ 2i Bài tập tự luyện z i 2 Bài Tìm số phức z thỏa mãn: Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Bài Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = – 2i z i 10 Bài Tìm số phức z thỏa mãn: và z.z 25 z 2i 26 Bài Tìm số phức z thỏa mãn và z.z 25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: z 2 z 5 a) và z là số ảo b) và phần thực z hai lần phần ảo nó Bài Tìm số phức z thoả mãn Bài Giải phương trình: z 2 a) z z 0 b) Bài Tìm số phức z biết Bài Tìm số phức z biết: z z z ( z 1)(1 i) z 1 Bài 10 Tìm số phức z thỏa mãn: và z2 là số ảo z1 | z |2 1 i và (1 i)( z 1) có phần ảo z 5 _ _ và 17( z z ) 5 z z z z i 21 i Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn 2.4 Dạng 4: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z đó số phức z thỏa mãn hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi đó ta giải bài toán này sau: Giả sử z = x+yi (x, y R) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề bài để tìm mối liên hệ x và y từ đó suy tập hợp điểm M Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn các điều kiện sau đây: a) z 1 i =2 b) z 1 i c) z 4i z 4i 10 (9) Giải: Đặt z = x +yi (x, y R) biểu diễn điểm M(x;y) z 1 i a) Xét hệ thức: =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y R) z – + i = (x – 1) + (y + 1)i 2 Khi đó (1) ( x 1) ( y 1) 2 (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm I(1;-1) và bán kính R = y B A -2 x O -1 -1 -2 2z z i b) Xét hệ thức |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| 2 2 (x+2) + y = x + (1-y) 4x + 2y + = Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x + 2y + = Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = chính là đường trung trực đoạn AB c) Xét hệ thức: z 4i z 4i 10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn các điểm 4i và -4i tức là F1 (0;4) và F2 =(0;-4) Do đó: z 4i z 4i 10 MF1 + MF2 = 10 Ta có F1F2 = Tập hợp tất các điểm M nằm trên (E) có hai tiêu điểm là F và F2 và có độ dài trục lớn 10 x2 y2 1 Phương trình (E) là: 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z i 1 i z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y R ) Ta có: z i i z x y 1 i x y x y i 2 x y 1 x y x y 2 x y xy 0 x y 1 2 (10) Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình 3i z Ví dụ 3: Cho số phức Giải t 0 t 4t 0 t 4 x y 1 2 (1 i)5 Tìm tập hợp điểm biểu diễn A z 2iz , biết x y 0 t 0 B 0; 1 , C 4; 1 t 4 B 4; 1 , C 0; 1 Giả sử z2 x yi x, y R biểu diễn điểm M(x;y) Khi đó ta có: nP a, b, c , a b c 0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z2 là đường tròn tâm O, bán kính z 4i z 2i Ví dụ 4: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y R) biểu diễn điểm M(x;y) 2 2 x ( y 4)i x ( y 2)i Ta có (1) ( x 2) ( y 4) x ( y 2) y x Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = Mặt khác z x y x x x 16 x x 16 Hay z x 2 Do đó z x 2 y 2 Vậy z 2 2i u z i z 3i Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn là số thực Tìm giá trị nhỏ z nhất Giải Đặt z= x+ yi (x, y R ) ta có u x 3 y 1 i x 1 y 3 i x y x y x y i Ta có: u R x y 0 Tập hợp các điểm biểu diễn z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn z thì mô đun z nhỏ nhất và độ dài OM nhỏ nhất OM d Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện 10 Z i 2i 13 (11) Giải Gọi z x yi ( x, y R ) z x yi z (1 i) 2i 13 39 x2 y x y 0 Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy M (C ) là đường tròn có tâm 26 I( ; ) R 2 và bán kính Gọi d là đường thẳng qua O và I d : y 5 x 15 M1 ( ; ) M ( ; ) 4 và 4 Gọi M1, M2 là hai giao điểm d và (C) Ta thấy OM OM OM OI R OM ( M (C )) 15 z i số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay 4 Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z cho Giải Đặt z= x+ yi (x, y R ), đó: u u z 3i z i là số ảo x y 3 i x y 3 i x y 1 i x y 1 i x y 1 x y x y 3 x y 1 i x y 1 x y x y 0 2 x y u là số ảo và 2 x 1 y 1 5 x; y 0;1 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1) Bài tập tự luyện Bài Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z (1 3i) z 2i b) Bài Trong các số phức thỏa mãn z i z z 2i z 3i 11 c) z 4i 2 Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất (12) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều z i z 3i kiện: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ nhất z 4i z 2i Bài Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất Bài Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện môđun nhỏ nhất z 5i z i Tìm số phức z có z 2i z i 52 Bài Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức z mà là nhỏ nhất Bài Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Trong tất các số phức z z 2i 1 z thỏa mãn , hãy tìm số phức có nhỏ nhất i z 1 Bài Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện nhất, lớn nhất 1 i .Tìm số phức có mô đun nhỏ 2.5 Dạng Phương trình bậc hai trên tập số phức 2.5.1 Vấn đề Tìm bậc hai số phức (Đọc thêm) Cho số phức w = a + bi Tìm bậc hai số phức này Phương pháp: +) Nếu w = w có bậc hai là +) Nếu w = a > (a R) w có hai bậc hai là a và - a +) Nếu w = a < (a R) w có hai bậc hai là và - +) Nếu w = a + bi (b 0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là bậc hai w z2 = w (x+yi)2 = a + bi x y a 2 xy b Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ này để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm đúng phương trình đó cho ta bậc hai w Nhận xét: Mỗi số phức khác có hai bậc hai là hai số đối Ví dụ: Tìm các bậc hai số phức sau: a) + i Giải: b) -1-2 i 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là bậc hai w = + i 12 (13) y (1) x y 4 x 2 xy 6 x 45 4 (2) 2 x2 Khi đó: z = w (x+yi) = + i 2 (2) x4 – 4x2 – 45 = x2 = x = ± x=3y= x = -3 y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i và z2 = -3 - i 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là bậc hai w = -1-2 i Khi đó: z2 = w (x+yi)2 = -1-2 i (2) x4 + x2 – = x2 = x = ± x= x y xy (1) y x x (2) x2 2 y=- x=- y= Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i và z2 = - + i 2.5.2 Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = (1) (A, B, C C, A 0) Phương pháp: Tính = B2 – 4AC B B *) Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = A , z2 = A (trong đó là bậc hai ) B 2A *) Nếu = thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức a ) z z 0 b) x x 0 c) z z 0 Giải: a ) z z 0 1 3i bậc hai là i 1 i 3 z1 i , z2 i 2 2 Phương trình có nghiệm: b) x x 0 13 (14) 4 20 16 16i Căn bậc hai là 4i Phương trình có nghiệm: x1 2i , x2 2i c) z z 0 Đặt t = z2 Phương trình trở thành: t 1 t 2t 0 t z 1 z z 1 z i Vậy phương trình có nghiệm: -1, 1, i 3, i Ví dụ 2: Giải các phương trình bậc hai sau: a) z2 + 2z + = b) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = (tham khảo) Giải: a) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có: = -4 = 4i2 phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i b) Ta có: = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2 nên 1+i là bậc hai số phức 2i 3i i 3i i 2i i 2 Phương trình có hai nghiệm là: z1 = ; z2 = Ví dụ 3: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z z 10 0 Tính giá trị biểu thức A z1 z2 Giải: Ta có 2 z z 10 0 z 1 z 1 3i z 3i z 3i z1 3i z1 1 32 10 z2 3i z2 10 Vậy A z1 z2 20 Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z z 13 0 Tính Giải: z z i z 3 2i 2 z z 13 0 z 3 z 3 2i z 3 2i 14 (15) Với z 3 2i ta có Với z 3 2i ta có z 6 2i i 17 z i 3i z 6 2i 24 7i 5 z i 3 i z 7i z 2i z i Ví dụ 5: Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: (tham khảo) Giải Điều kiện: z z 3i z 7i 0 Phương trình đã cho tương đương với Phương trình có biệt thức 3i 7i 3 4i i Phương trình có hai nghiệm là: z 1 2i và z 3 i Bài tập tự luyện Bài Cho z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình z z 11 0 Tính giá trị 2 z1 z2 biểu thức A = ( z1 z2 ) (1 i) 2009 z z 2i 0 2008 (1 i ) Bài Giải phương trình: trên tập số phức (Tham khảo) Bài Gọi z1; z2 là các nghiệm phức phương trình: z z 0 Tính: ( z1 1) 2011 ( z2 1)2011 2.5.3 Vấn đề 3: Phương trình quy bậc hai - Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt có thể quy bậc hai - Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai - Đối với số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải a Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Giải các phương trình: z3 – 27 = Giải: z3 – 27 = (z – 1) (z2 + 3z + 9) = z 1 z z 0 15 z 1 z 3 3i 2,3 (16) Vậy phương trình đã cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình trên tập hợp số phức: z z z z 16 0 Giải: Nhận biết hai nghiệm z=-1 và z=2 z z 1 z 0 Phương trình đã cho tương đương với Giải ta bốn nghiệm: z 1; z 2; z 2 2i Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1)biết phương trình có nghiệm ảo (Tham khảo) Giải: Đặt z = yi với y R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng nhất hoá hai vế ta được: y y 0 y y y 10 0 giải hệ này ta nghiệm nhất y = Suy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i vế trái (1) có thể phân tích dưới dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b R) đồng nhất hoá hai vế ta giải a = và b = (1) (z – 2i)(z2 +2z + 5) = Vậy phương trình (1) có nghiệm z 2i z z z 2i z 2i z 2i z i z i z 16 2i 0 Ví dụ 4: Giải phương trình biết phương trình có nghiệm thực (Tham khảo) Giải Gọi nghiệm thực là z0 ta có: z03 i z02 i z0 16 2i 0 z03 z02 z0 16 0 z0 zo z0 0 z z i z i 0 Khi đó ta có phương trình 16 (17) Tìm các nghiệm phương trình là z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i z 3i z 2i z 9i 0 Ví dụ 5: Giải phương trình biết phương trình có nghiệm ảo (tham khảo) Giải Giả sử phương trình có nghiệm ảo là bi, b R Thay vào phương trình ta được: bi 3i bi 2i bi 9i 0 2b 6b 0 2b 6b b 3b 3b i 0 b b 3b 3b 0 z 3i Phương trình có thể phân tích thành z 3i z z 3 0 Các nghiệm phương trình là z= -3i; z 1 2i b Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, đó phương trình đã cho có dạng: 23i z z z 0 t 23i z t 2 2 z z 0 z z t2 + 4t – 12 = Vậy phương trình đã cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang: t z t2 +2zt – 3z2 = (t – z)(t+3z) = t z z 5i 2 + Với t = z z + 3z +6 –z = z + 2z + = z 5i z 2 + Với t = -3z z + 3z +6 +3z = z + 6z + = z 17 (18) Vậy phương trình đã cho có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: ( z z )( z 3)( z 2) 10 , z C Giải: 2 PT z ( z 2)( z 1)( z 3) 10 ( z z )( z z 3) 0 Đặt t z z Khi đó phương trình (8) trở thành: Đặt t z z Khi đó phương trình (8) trở thành t 3t 10 0 t z i t 5 z Vậy phương trình có các nghiệm: z ; z i z2 z z z 0 Ví dụ 4: Giải phương trình sau trên tập số phức Giải: Nhận xét z=0 không là nghiệm phương trình (1) z 0 1 z ) ( z ) 0 z z Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được: ( (2) 1 t z z t z z Đặt t=z- z Khi đó 0 Phương trình (2) có dạng: t2-t+ (3) 1 9i 2 3i 3i PT (3) có nghiệm t= ,t= 3i 1 3i z z (1 3i ) z 0 z Với t= ta có (4) 2 Có (1 3i) 16 8 6i 9 6i i (3 i) (1 3i ) (3 i) (1 3i ) (3 i ) i 1 i 4 PT(4) có nghiệm: z= ,z= 3i 1 3i z z (1 3i ) z 0 z Với t= ta có (4) 2 Có (1 3i) 16 8 6i 9 6i i (3 i) 18 (tham khảo) (19) (1 3i ) (3 i ) (1 3i ) (3 i ) i 1 i 4 PT(4) có nghiệm: z= ,z= i i Vậy PT đã cho có nghiệm: z=1+i; z=1-i ; z= ; z= Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0., biết phương trình có nghiệm ảo.(tham khảo) Bài Cho phương trình: z3 – (4 + i)z2 + (3 + 8i)z – 15i = Biết phương trình có nghiệm thực Gọi z1, z2, z3 là các nghiệm phương trình Hãy tính Bài z1 z2 z3 Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phương trình z z z z 0 trên tập S 1 1 z12 z22 z32 z42 số phức tính tổng Bài Giải các phương trình trên tập số phức: z i 1 i z a) b) (z2+1)2+(z+3)2=0 c) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 19 (20)