b Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, t[r]
(1)Đề KS ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn: Toán Bài 1: a)Tìm các nghiệm nguyên phương trình: x xy y x y (1) b) Tìm tất các số chính phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vần số chính phương 1 1 1 2 2 b c Bài 2: Chứng minh rằng:Nếu a b c và a + b + c = abc thì ta có a Bài 3: a) Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 b)Cho phương trình: x+ x +1 = Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm x −m x −1 Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngoài hai tam giác ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF Chứng minh PBC là tam giác Câu 5: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm a Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC b Gọi CD là đường phân giác tam giác ACH Chứng minh BCD cân c Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Bài 6a)Cho a, b là các số dương t/m a3 + b3 = a5 + b5Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab b)Cho S = 101 + 102 + 103 +…+ Chứng minh S > 200 12 -Đề KS ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn: Toán Bài 1: a)Tìm các nghiệm nguyên phương trình: x xy y x y (1) b) Tìm tất các số chính phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vần số chính phương 1 1 1 2 2 b c Bài 2: Chứng minh rằng:Nếu a b c và a + b + c = abc thì ta có a Bài 3: a) Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 b)Cho phương trình: x+ x +1 = Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm x −m x −1 Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngoài hai tam giác ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF Chứng minh PBC là tam giác Câu 5: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm d Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC e Gọi CD là đường phân giác tam giác ACH Chứng minh BCD cân f Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Bài 6a)Cho a, b là các số dương t/m a3 + b3 = a5 + b5Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab b)Cho S = 101 + 102 + 103 +…+ Chứng minh S > 200 12 (2) Câu Nội dung bài giải a)Thêm xy vào hai vế: x xy y x y xy ( x y ) xy ( xy 1) (2) Ta thấy xy và xy + là hai số nguyên liên tiếp, có tích là số chính phương nên tồn số 2 Xét xy = Từ (1) có x y 0 nên x = y = Xét xy + = Ta có xy = -1 nên (x , y) = (1 ; -1) (-1 ; 1) Thửa lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) là nghiệm phương trình đã cho b) Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d Ta có: Câu ¿ abcd=k (a+1)(b+ 3)( c+5)(d+ 3)=m2 ¿{ ¿ ⇔ abcd=k abcd +1353=m2 ¿{ N, ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ với k, m N, 31<k <m<100 Do đó: m2 – k2 = 1353 ⇒ (m + k)(m – k) = 123.11= 41 33 ( k + m < 200 ) ⇒ ¿ m+ k=123 m− k=11 ¿{ ¿ ⇔ ¿ m=67 k=57 ¿{ ¿ ¿ m=37 k =4 (loại) ¿{ ¿ (thỏa mãn) Vậy số cần tìm là: Câu ¿ m+k =41 m− k=33 ¿{ ¿ abcd = 3136 1 2 Theo gt: a b c nên a ,b 0, c Ta có: 1 1 1 1 1 1 4 2 4 a b c ab bc ca a b c a b c 1 a b c 2 4 a b c abc (3) a b c 1 Vì a + b + c = abc (gt) nên abc 1 1 1 4 2 a b c a b c ( đpcm) 2 a/ ( x − x ) +2 ( x −2 )2=43 ⇔ ( x − x ) +2 ( x − x+ )=43 ; Đặt x2-4x = t Đk: t -4 Khi đó ta có phương trình: t2 + 2t - 35=0 ⇔ (t + 7)(t – 5) = ⇔ t = -7 ( loại) t = Với t = Khi đó: x2 - 4x - 5=0 ⇔ (x +1)(x – 5) = ⇔ x=5 x=-1 Vậy S = { 5; -1} x+2 x+1 b/ ĐK PT x - m x - Bài 3: (*) x m x–m x – 0 x Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) => mx = – m (**) - Với m = thì PT (**) có dạng : 0x = Trường hợp này PT (**) vô nghiệm (1) 2-m - Với m thì PT (*) có nghiệm: x = m 2-m Nghiệm x = m là nghiệm PT (*) nó phải thỏa mãn điều kiện: x m và x 2-m 1 2-m m m 1 Tức là : m 2-m m m + m - 0 m - 1 m + 0 m m , m -2 Như PT (*) vô nghiệm với các giá trị m {-2 ; ; 1} Bài 4: Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d Ta có: ¿ abcd=k (a+1)(b+ 3)( c+5)(d+ 3)=m2 ¿{ ¿ ⇔ abcd=k abcd +1353=m2 ¿{ N, ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ với k, m N, 31<k <m<100 (4) Do đó: m2 – k2 = 1353 ⇒ (m + k)(m – k) = 123.11= 41 33 ( k + m < 200 ) ¿ ¿ m+ k=123 m+k =41 m− k=33 ⇒ m− k=11 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ m=67 m=37 ⇔ k=57 (thỏa mãn) k =4 (loại) ¿{ ¿{ ¿ ¿ Vậy số cần tìm là: abcd = 3136 Câu 1: A E 1 F P B C Ta có: AEPF là hình bình hành nên A ^E P= A ^F P Bài 4: (6 đ) Xét EPB và FPC, ta có: EB = FP ( = AE) ; EP = FC (= AF) và P E^ B = P F^ C ( vì 600 - A ^E P =600 A^ FP ) ⇒ EPB = FPC ( c.g c ) Suy ra: PB = PC (1) Ta có: E ^A F + A ^E P=180 mà Ê1 + Ê2 = 600 Do đó Â3 = Ê2 ⇒^ A3 + ^ E1 =600 Xét EPB và ABC, ta có: EB = AB; EP = AC ( = AF) và Â3 = Ê2 ⇒ EPB = ABC ( cgc ) Suy ra: PB = BC (2) Từ (1) và (2) ⇒ PB = PC = BC Vậy PBC Câu 2: (5) C B A D H a Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được: AC.BC = Ta có: SABC = AB.CH ⇒ ABC CH= vuông C AC BC 20 15 = = 12 cm AB 25 b Dể dàng tính được; HA = 16 cm ; BH = cm CD là tia phân giác ACH nên suy AD = 10 cm ; HD = cm Do đó BC = BD ( = 15 cm ) BDC cân B c Xét các vuông : CBH, CAH Vậy Ta có: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) Từ đó suy BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 a)Với số a, b dương: 2 Xét: a b 1 ab ⇔ a2 + b2 – ab ⇔ (a + b)(a2 + b2 – ab) ⇔ a3 + b3 (a + b) ( vì a + b > 0) a+b ⇔ (a3 + b3)(a3 + b3) Bài : (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6 ⇔ 2a3b3 ab5 + a5b ⇔ ⇔ ab(a4 – 2a2b2 + b4) ab a b 0 đúng a, b > 2 Vậy: a b 1 ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5 1 1 1 A= 150 151 152 153 200 101 102 103 b)Ta có: Thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ta được: (6) 1 1 101 102 103 150 150 50 1 1 151 152 153 200 200 50 1 1 1 1 A= > + = 150 151 152 153 200 12 101 102 103 A= 1 1 101 102 103 200 12 (7)