dự bị a 2007 đề luyện thi đại học cao đẳng năm 2009 đề số 29 môn thi toán thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề i phần chung cho tất cả các thí sinh 7 0 điểm câu i 2 0 điểm cho hàm số y

ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn thi: TỐN Thời gian: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề ĐỀ SỐ 29 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) đường thẳng (d): y = mx + m + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm m để (d) cắt (C) M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc Câu II (2.0 điểm) ¿ ( x − 1)( y −1)(x+ y − 2)=6 Giải hệ phương trình: x 2+ y −2 x − y −3=0 ¿{ ¿ Giải phương trình : tan2x + cotx = 8cos2x Câu III (1.0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2x, y = – x , trục Ox trục Oy Câu IV (1.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, O giao điểm AC BD Biết mặt bên hình chóp tam giác khỏang cách từ O đến mặt bên d Tính thể tích khối chóp cho Câu V (1.0 điểm) Chứng minh tam giác ta có: π− A π −B π−C A B C sin sin sin ≥ sin sin sin 4 2 II PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm) x2 y2 Trong mặt phẳng với hệ tọa Oxy, cho elip (E): + =1 điểm M(1 ; 1) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (E) hai điểm A, B cho M trung điểm AB Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - √ z = góc 600 Câu VII.a (1.0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4x – 4m(2x – 1) = ( ) ( ) ( ) Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(1; 6) đường trịn có phương trình (C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = Lập phương trình đường trịn (C’) qua B tiếp xúc với (C) A Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c số dương thay đổi cho a2 + b2 + c2 = Xác định a, b, c để khoảng cách từ O đến mp(ABC) lớn Câu VII.b (1.0 điểm) Tìm m để phương trình: ( log √ x ) − log x +m=0 có nghiệm khỏang (0; 1) ………………………………Hết ………………………………… Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên:…………………………………………Số báo danh:…………… Hướng dẫn Câu I 1/ 2/ Phương trình hịanh độ giao điểm (C) (d): x3 – (m + 3)x – m – = x=−1 , y=3 ¿ x − x −m −2=0(∗) Hay : (x + 1)(x2 – x – m – 2) = ¿ ¿ ¿ ¿ (*) phải có hai nghiệm phân biệt ( m > − ¿ , xN xP nghiệm (*) ⇔ m +18 m+ 1=0 ⇔ − 3+2 √ m= ¿ −3 −2 √ Theo giả thiết: ( x 2N − )( x 2P − ) =−1 m= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Câu II ⇔ ( x − 1)( y −1)(x − 1+ y − 1)=6 y − 1¿ −5=0 ¿ ⇔ ¿ ¿ u=x −1 ¿ uv (u+ v)=6 1/ Hệ với v = y − ¿ ¿{ u2 + v −5=0 ¿ ¿ ¿ ⇔ x −1 ¿2 +¿ ¿ ¿ S=u+ v Đặt: P=u v ¿{ ¿ ¿ P S=6 S − P −5=0 ⇔ ¿ S=3 P=2 ¿{ ¿ u, v nghiệm phương trình: X2 – 3X + = ⇔ x −1=2 y − 1=1 x −1=1 y − 1=2 ¿∨ { ¿ X=1 ¿ X=2 ¿ ⇔{ ¿ ¿ Vậy nghiệm hệ: (3 ; 2), (2 ; 3) ¿ cos x ≠ 2/ ĐK: sin x ≠ ¿{ ¿ sin x cos x sin x sin x+ cos x cos x cos x + = = tan2x + cotx = cos x sin x cos x sin x cos x sin x ⇔ π x= + kπ ¿ π π 5π π Pt sin4x – 1) = x= +k ∨ x= + k ⇔cos x (8sin x cos x cos x −1)=0 ⇔cos x ¿ 24 24 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Câu III Phương trình : 2x = -x + có nghiệm x = Do đồ thị hai hàm số cắt điểm có hịanh độ x = Vậy diện tích cần tính là: x +2 S = ∫ dx +∫ (− x+3) dx= ln Câu IV S H A D d M O B x C ⇒ OM ⊥CD Gọi M trung điểm CD OS⊥ CD ⇒ CD ⊥(SOM)⇒ (SCD)⊥( SOM) ¿{ Kẻ đường cao OH tam giác SOM ⇒ OH ⊥(SCD)⇒ OH=d Gọi CM = x Khi đó: OM = x , SM = x √ SO = √ SM2 − x 2=√ x − x 2=x √ d √6 ⇒CD=d √ , SO=d √ Ta có: SM.OH = SO.OM hay x √ d=x √ x ⇒ x= 1 V = CD SO= d d √3=2 d √ 3 Câu V Theo bất đẳng thức Côsi: ¿ A B A B A+ B A−B π−C sin sin ≤ sin +sin =sin cos ≤ sin 2 2 4 B C B C B+C B −C π−A sin sin ≤ sin +sin = sin cos ≤ sin 2 2 4 C A C A C+ A C− A π−B sin sin ≤ sin +sin =sin cos ≤sin 2 2 4 ¿{{ ¿ Nhân vế với vế bất đẳng thức cần chứng minh Câu VIa 1/ Pt d: y = k(x – 1) + ¿ y=k (x − 1)+1 Tọa độ giao điểm d (E) nghiệm hệ x +6 y 2=24 ¿{ ¿ Suy ra: (6k2 + 4)x2 – 2(6k2 – k)x + 6k2 – 2k – 23 = (*) 2( k − k ) k2 − k =2 ⇔ =1 ⇔k =− Để thỏa YCBT từ (*) ta có: k2+ k +4 Vậy d : y = -4x + hay 4x + y – = √ √ √ [ [ [ ] ] ] → → 2/ Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, ⇒ n p=( A ; B ; 0) nQ =(2; ; − √ 5) → → |2 A+ B| cos (n = ⇔2|2 A + B|= √ 10 √ A 2+ B2 Theo gt: p , n Q )=cos 60 ⇔ 2 √ A + B √4 +1+5 ⇔ A2 +16 AB −6 B2=0 Chọn B = ta có : 6A2 + 16A – = suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = -3x + y = Câu VII a Đặt t = 2x (t > 0) ta có phương trình: t2 – 4mt + 4m = (*) t2 (*) ⇔ =4 m(t >0 ∧t ≠ 1) t −1 t −2 t t2 Xét y= có y ' = t −1 ( t=1 )2 y’ = ⇔ t=0 ∨ t=2 x - y' 0 + y - + - + Từ bảng biến thiên ta có : m < m≥ Câu VI b 1/ (C) có tâm I(2 ; 1) phương trình đường thẳng AI: x + y – = Pt (C’) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = có tâm I’(-a ; -b) A(1 ; 2), B(1 ; 6) thuộc (C’) tâm I’ thuộc đường thẳng AI Ta có hệ phương trình: ¿ a+ b+ c=−5 a+12 b+c=− 37 , giải hệ a = 1, b = -4, c = a+b+3=0 ¿{{ ¿ Pt (C’) : x2 + y2 + 2x – 8y + = |− 1| x y z + + =1 ⇒ d( O; (ABC))= 2/ Pt mp(ABC): a b c 1 + 2+ 2 a b c 1 1 + + ≥33 2 Theo bất đẳng thức Côsi : = a2 + b2 + c2 √3 a2 b2 c2 a b c ab c 1 1 1 + + ≥ ⇔ + + ≥ √3 ⇒ d ≤ Ta có : a b c a b c √3 2 Dấu = xảy a = b = c hay a = b = c = 1 Vậy d lớn bắng a = b = c = √3 Câu VII b 2 Pt cho ⇔ log x + log x +m=0 ∀ x ∈(0 ; 1)⇔ log x + log x +m=0 (*) Đặt t=log x , x ∈(0 ; 1)⇒ t ∈¿ √ √ ( √ ) (*) ⇔ t 2+ t+m=0 ⇔m=− t −t ∀ t ∈ ¿ Xét hàm số y = -t2 – t có y’ = -2t – 1 y’ = ⇔ t=− , y = t - ∞ y’ + - y ĐS : m - - ∞