ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian giao đề.. Chứng minh rằng:.[r]
(1)(Đề 1) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu I: Giải hệ phương trình: 2 x y xy 4 2 x y xy 2 Câu II: Tìm tất các nghiệm x (2009; 2011) phương trình : cos x sin x cos2 x sin x 0 Câu III: u1 1 u un (un 1)(un 2)(un 3) 1, n N * u n Cho dãy số ( ) xác định bởi: n1 n S n i 1 ui Đặt Tính lim Sn Câu IV: x2 y 1 Cho elip(E): 25 và điểm M(2;1) Viết phương trình đường thẳng ( ) qua M và cắt (E) hai điểm phân biệt A, B cho M là trung điểm AB Cho tứ diện ABCD, O là điểm bất kì nằm miền tam giác BCD Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) tai M, N, P OM ON OP Chứng minh rằng: AB AC AD không đổi Câu V: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b3 c 3abc a (b c ) b(c a ) c(a b ) -Hết (2) AnhTuấn info@123doc.org (Đề 2) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian đề) Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình : 3tan x cot x 2cos x 0 cos x cot x Câu 2: (2,5 điểm) Cho khai triển: (1 x x x3 x 2010 )2011 a0 a1 x a2 x a3 x3 a4042110 x 4042110 a Tính tổng a0 a2 a4 a4042110 b Chứng minh rằng: 2010 2011 C2011 a2011 C2011 a2010 C2011 a2009 C2011 a2008 C2011 a1 C2011 a0 2011 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác xuất để chọn số thuộc vào tập Avà số đó chia hết cho Câu 3: (2,5 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định sau: u1 2011, un n (un un ), n N *, n 2 Chứng minh dãy số ( un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó Tính giới hạn: A lim x x x 3x x2 Câu 4: (3 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất các mặt là hình vuông cạnh a Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD)và đường thẳng A’C qua trọng tâm tam giác A’BD Hãy xác định các điểm M, N nằm trên các cạnh A’D, CD’ cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) Tính độ dài đoạn MN theo a Hết (3) AnhTuấn info@123doc.org (Đề 3) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) sin 2a cot a 4 Chứng minh : sin 2a Cho: sinx + siny = 2sin(x + y), với x + y k ,k x y tan tan 2 Chứng minh rằng: Câu 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: sin A B B A cos sin cos 2 2 Chứng minh tam giác ABC cân Giải phương trình sau: 2(sin x cos x) 3cos x sin x Câu 3: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD Tứ giác đáy có AB và CD cắt E AD và BC cắt F AC và BD cắt G (P) là mặt phẳng cắt SA, SB, SC A’, B’, C’ Tìm giao điểm D’ SD và (P) Với điều kiện nào (P) thì A’B’C’D’ là hình bình hành Câu 4: (1 điểm) 2 Chứng minh rằng: x, y, z thì: x y z 2( xy xz ) -Hết (4) AnhTuấn info@123doc.org (Đề 4) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Cho dãy số ( un ),n=0,1,2… xác định sau: u0 0, u1 1, u2 0 (n n 1)(n 1) n 1 u un 2 (n n 1)un 1 un n 3 n n , n 0 Chứng minh (u n )là số chính phương với n * Câu 2: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng ( ) song song với hai đường thẳng AD và BC Gọi M, N, P, Q tương ứng là giao điểm ( ) với các đường thẳng AB, AC, CD, DB Xác định tất các vị trí ( ) để: a Tứ giác MNPQ là hình thoi b Diện tích thiết diện ( ) và tứ diện ABCD là lớn Câu 3: (3 điểm) 2 x y xy 1 x y x y Giải hệ phương trình: Cho x, y, z R Chứng minh : x y yz zx 1 2 xy z yz x zx y x y z Tìm a để bất phương trình đúng với x: 3sin x 2sin x.cosx cos2 x a 3 Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, độ dài ba đường phân giác tương ứng với các góc A, B, C là l a , l b , l c la lb lb lc lc la 3 a b Chứng minh rằng: c C a b tan (a tan a+btanb) 2 Nhận dạng tam giác, biết: (5) Hết AnhTuấn info@123doc.org (Đề 5) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: Cho a, b, c >0 và a + b + c = a Chứng minh rằng: b3 b c3 1 c a3 1 2 Câu 2: Giải phương trình: x x 3x 2 x x 16.( x ) x 2( x x y ) Câu 3: Giải hệ phương trình: y 2( y y x) Câu 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh Hai điểm M, N di chuyển trên cạnh AD và DC cho AM = x, CN = y với x, y và góc MBN 45 a Chứng minh : x y 1 xy b Tìm giá trị nhỏ diện tích BMN Câu 5: Tìm tất các giá trị thực tham số m để hệ sau có nghiệm thực: 4x2 5 x ( x 2) x x 16mx 32m 16 0 Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức : P 4a a a 4a a đó a là tham số thực và Hết - (6) AnhTuấn info@123doc.org (Đề 6) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2 điểm) Cho dãy ( xn ) lập theo quy tắc: x0 0 xn 1 5 xn 24 xn a Chứng minh số hạng dãy số đề là số nguyên b Tìm số hạng tổng quát dãy số Câu 2: (2 điểm) ax a y cos x 2 Định a để hệ: sin x y 1 có nghiệm cos x sin x 16 2 Chứng minh x x thì: sin x.cos2 x Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình: 3x x 4 x x x 6 x x x ( x 4)( x x 6) 2 x 1 x Giải hệ phương trình: x Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB=c, AC=b.Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; S là điểm di động trên (P) cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo là và Gọi H, I, J là hình chiếu vuông góc S trên BC, AB, AC a Chứng minh SH HI HJ b Tìm giá trị lớn SH và đó hãy tìm giá trị Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác: a Chứng minh rằng: 3 b c b 3 c a c 3 a b (7) Hết AnhTuấn info@123doc.org (Đề 7) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình: x( x 2) Giải bất phương trình: x x x Tìm điều kiện tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số cộng: x 3x ax b 0 Câu 2: (2 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với giá trị tìm m: s inx.cos2 y m 2m cos x.cos2 y m Câu 3: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương và thoả mãn a b c 1 3 Tìm giá trị lớn biểu thức: P 3a 3b 3c Câu 4: (2 điểm) AM AB Cho ABC Trên các cạnh AB và BC lấy các điểm M, N cho BN BC và Gọi I là giao điểm AN và CM Chứng minh BI vuông góc CM Câu 5: (2 điểm) Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 a (b c )3 b ( c a )3 c ( a b) Hết - (8) AnhTuấn info@123doc.org (Đề 8) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) Cho hai phương trình sau: 2sin x (1 sin a).sin x a.sin x (a 1)(1 cos x ) 2sin x 2sin x 2(a 1) (1) (2) a Giải các phương trình trên với a = b Tìm tất các giá trị a để hai phương trình (1) và (2) tương đương Câu 2: (2 điểm) 3 sin x sin y sin z cos x cos y cos z Giải hệ phương trình: Câu 3: (2 điểm) lim 1 1 n 1 3 5 2n 2n Tính giới hạn sau: 2 Giải phương trình: x 15 3 x x n Câu 4: (2 điểm) Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng các điểm M, N, P, Q Hãy xác định vị trí mặt phẳng (P) cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn Câu 5: (1 điểm) 1 2 Tìm tất các số nguyên dương a b c cho a b c (9) Hết - AnhTuấn info@123doc.org (Đề 9) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) cos x sin x sin x 2 x 0; 2 cho: Tìm tất các giá trị Giải và biện luận phương trình theo tham số a, b: 2( x x x a ) a 2( x x x a ) a x b x b Câu 2: (2 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng: 1 1 a b c 1 b c a x x y x y x y y 18 2 Giải hệ phương trình: x x y x y x y y 2 Câu 3: (2 điểm) u Cho dãy số n xác định bởi: un n a n với n 1, 2,3 ; a là tham số có giá trị thực a Với a ( 1) hãy tìm giới hạn dãy số n b Tìm tất các giá trị a để dãy số có giới hạn n Câu 4: (3 điểm) Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Qua A, B, C, D vẽ các đường thẳng d A OA, d B OB, d C OC , d D OD Các cặp đường thẳng d A và d B , d B và dC , dC và d D , d D và d A tương ứng cắt K, L, M, N a Chứng minh các đường thẳng KM và NL cắt O b Gọi p, q, r là độ dài các đoạn thẳng OK, OL, OM Tính độ dài đoạn ON (10) Hết - AnhTuấn info@123doc.org (Đề 10) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Tìm các giá trị a để phương trình sau có nghiệm: 1 5a 5(2a 1)(1 a) x a ( x a)( x 3a 1) Câu 2: (3 điểm) Tìm số tự nhiên a nhỏ để phương trình sau có nghiệm: cos 2 (a x) 2cos (a x) cos 3 x x cos 0 2a 2a Cho tam giác ABC có tan A tan C 2 tan B Chứng minh rằng: cos A cos C Câu 3: (3 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E là giao điểm AC và BD Chứng minh ba trung điểm AD, BC, OE thẳng hàng thì AB=CD AEB 900 Câu 4: (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x y z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z xy yz zx Câu 5: (1 điểm) 1 3 a b c Tìm ba số thực dương a, b, c thoả mãn hệ : a b c 12 (11) Hết - AnhTuấn info@123doc.org (Đề 11) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) BC AB BC AC Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: AB BC Tính tổng số đo góc: A B Câu 2: (2 điểm) Cho cấp số nhân biết tổng các số hạng chúng 11, tổng bình phương các số hạng chúng 341, tổng lập phương các số hạng chúng 3641 a Chứng minh công bội cấp số nhân đã cho khác b Xác định các số hạng cấp số nhân Câu 3: (2 điểm) an (0;1) , n an 1 (1 an ) Cho dãy số ( an ) thoả mãn các điều kiện: 1 an 2n a Chứng minh rằng: b Chứng minh dãy số ( an ) có giới hạn và tìm giới hạn đó Câu 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông và SAB là tam giác đều, mặt phẳng qua ba điểm A, B, C vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB Gọi M là điểm di động trên đoạn AB và P là hình chiếu vuông góc S lên CM a Tìm quỹ tích điểm P M di động b Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm đoạn SC đạt giá trị lớn (12) Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a a b c Hết - AnhTuấn info@123doc.org (Đề 12) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Max A, B, C Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Tìm giá trị lớn biểu thức: P sin A sin B sin C Câu 2: (3 điểm) x ( y z ) 2 y ( z x) 30 z ( x y )2 16 Giải hệ phương trình: Cho tam giác ABC có phương trình hai đường cao là AH : x y 0 và BK : x y 0 , trọng tâm tam giác G(1; 2) Viết phương trình các cạnh tam giác Câu 3: (2 điểm) an n 21 22 23 2n 2n 1 n Giả sử a an1 an , n 3 ; n 1, 2,3, Chứng minh rằng: a b Dãy n n 1 có giới hạn và tìm giới hạn đó Câu 4: (3 điểm) Gọi O là điểm trên cạnh AB tứ diện ABCD (O không trùng với A và B) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC và BD tứ diện ABCD M và N (M C, N D) Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC và AD tứ diện ABCD P và Q (P C, Q D) Chứng minh tam giác OMN đồng dạng với tam giác OQP (13) Hết - AnhTuấn info@123doc.org (Đề 13) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình: ( x 3) (4 x)(12 x) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: 3 x m y 1 1 m x y y y 1 Câu 2: (2 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2m 1)(sin x cos x) (sin x cos x) 2m 2m 0 Tính giới hạn: A lim x n nx n ( x 1) Câu 3: (2 điểm) a1 1 an2 a n 1 a a n Cho dãy số ( n ) xác định bởi: Tìm công thức tổng quát an Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có góc A không vuông; đường cao AH và trung tuyến AM Trên các tia AB và AC theo thứ tự lấy các điểm E và F cho ME=MF=MA Gọi K là điểm đối xứng H qua M Chứng minh E, F, M, K cùng thuộc dường tròn (14) Câu 5: (2 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn: xyz =1 x y x 1 yz zx 3 y 1 z 1 Chứng minh rằng: Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn ab bc ca 2 Tìm giá trị lớn của: P a a2 b b2 c c2 Hết AnhTuấn info@123doc.org ( MỘT SỐ ĐỀ DÀNH CHO LỚP 12) (Đề 14) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) sin x cos x 1 Chứng minh với x ta luôn có Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm m sin x cos x 1 sin x sin x cos x Câu 2: (2 điểm) Biết tam giác ABC có độ dài các cạnh và đường trung tuyến theo kí hiệu thông thường thoả mãn: a b; ma a mb b a Tìm số thực k cho: ma a mb b k (a b) b Tìm tất các giá trị có thể có tỉ số a : b Câu 3: (2 điểm) Một hàm số f : N * N * (N* là tập hợp các số nguyên dương) thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (1) f (ab) f (a) f (b) ước chung lớn a và b 1; (2) f ( p q) f ( p) f ( q) p, q là các số nguyên tố Chứng minh rằng: f (2) 2, f (3) 3, f (4) 4 và f (1999) 1999 Câu 4: (2 điểm) (15) Cho P là điểm cố định nằm bên hình cầu cho trước Ba đoạn thẳng PA, PB, PC đôi vuông góc với nhau, có ba đầu mút A, B, C nằm trên mặt cầu Gọi G là trọng tâm tam giác ABC a Tính PG theo PA, PB, PC b Tìm quỹ tích điểm G A, B, C thay đổi Câu 5: (2 điểm) Xét tất các số nguyên dương dạng 3n n , n N * Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số số 3n n a Tìm giá trị nhỏ S(n) b Chứng minh tồn n để S (n) 1999 Hết AnhTuấn info@123doc.org (Đề 15) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) x y x y x y x y2 Giải hệ phương trình: cos x log log cos x sin x Giải phương trình: Câu 2: (3 điểm) Tìm tất các cặp số thực (a;b) để với x ta có: a (cos x 1) b cos (ax b ) 0 2 2 Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện a b c 3 2 1 1 3(a b c )2 2 b c c a Chứng minh rằng: a b Câu 3: (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy hình chóp có độ dài 2, chiều cao h Gọi C1 (O; r ) là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2 (K;R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với cạnh hình chóp Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD) (16) r h2 h a Chứng minh rằng: b Tính giá trị h, từ đó suy thể tích hình chóp Câu 4: (2 điểm) Cho f là hàm liên tục trên [0; 1] thoả mãn f (0) f (1) Chứng minh với bất kì số nguyên dương n nào tồn số c 0;1 1 f (c ) f c n cho Hết - AnhTuấn info@123doc.org (17)