1 I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN DỰA VÀO TÍNH CHIA HẾT ĐƯA VỀ BÀI TỐN ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUN Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x 17 y 159 Lời giải Giả tồn số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: Dễ thấy: x 3;159 17 y y y 3k k Z thay vào ta tìm x 53 17 k x 53 17 k k Z y 3k Suy nghiệm phương trình là: Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy x y Lời giải x 3 x 1 Biến đổi phương trình thành: x y 1 y x 1 y 1 Từ dễ tìm nghiệm là: x; y 4; , 2; , 0; 2 ; 2; Ví dụ Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: x 2 y xy 26 Lời giải Đặt z y , phương trình cho trở thành: 2 x z z x 26 x z xz từ suy x z U Giải trường hợp thu cặp số x, y thỏa mãn điều kiện là: x; y 1; 1 , 3;3 , 10;3 , 1; 8 Ví dụ 4: Tìm cặp số ngun x, y thỏa mãn điều kiện: x x 1 x x y Lời giải Ta viết lại phương trình: x x x x y Đặt: z x 8x phương trình có dạng: 2 z z y z 28 z y z y 49 z y z y 49 Nhận xét: y nghiệm y nghiệm nên ta cần xét y * Khi ta thấy: z y z y nên suy ra: z y 1; 7; 49 tương ứng với giá trị 2z + 2y + ta có: z y 49; 7;1 Giải trường hợp ý nhận xét (*) ta suy phương trình có nghiệm là: 0; , 1; , 1;12 , 1; 12 , 9;12 , 9; 12 , 8; , 7; , 4;12 , 4; 12 Ví dụ 5: Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn điều kiện: x y 1 xy x y x y ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội , 2014) Lời giải Ta viết lại phương trình: x y 1 xy x y x y 1 x y 1 xy x y x y ước x y 1 xy x y + Giải x y ( Vô nghiệm) xy x y 2 x 1 y 1 xy xy x y + Giải x y 1 x y 1 x y x 1 y 1 xy x y xy + Giải x y 3 x y 4 (vô nghiệm) xy xy x y 1 + Giải Vậy: x; y 1; 1 , 1;1 Ví dụ 6: Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: x xy y x y ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán tin Amsterdam , 2018) Lời giải Ta viết lại phương trình: 16 y y y 1 y 1 x x y 1 y y x 2.2 x y y Hay: 4y 1 y2 y x 2 2 4x y y 2 x y x y 1 2 Ta có trường hợp xảy ra: y 2 2x y 2x y TH1: 2 x y 2 2 x y 3 x (loại) TH2: x y 1 x y 1 y 1 x 1 x y 2x 3y ( thỏa mãn) y 1 x y 2 x y 2 TH3: 2 x y x y x (loại) x y 2x y y 2 TH4: 2 x y 1 2 x y 2 x ( thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x; y 1;1 , (2; 2) Ví dụ 7: Tìm cặp số ngun x, y thỏa mãn điều kiện: x3 y 91 Lời giải Ta viết lại phương trình: x y x xy y 91 13.7 Vì 13, x xy y suy khả xảy là: x y7 x y 13 2 x xy y 13 x xy y Ta tìm nghiệm: x; y 6;5 , 5; 6 , 4; 3 , 3; 4 II BIỂU THỊ MỘT ẨN THEO ẨN CÒN LẠI RỒI DÙNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy x y Lời giải y2 Ta viết lại phương trình thành: x 1 y 1 y 1 Để x số nguyên chia hết cho y y 3; y 1 từ ta tìm cặp nghiệm tương ứng : x; y 4; , 2; , 0; 2 , 2; Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 xy y x Lời giải Ta viết lại phương trình: x x y x , để ý x khơng phả nghiệm phương trình nên suy y x2 x x x 2 x 2 x3 x hay y x2 x2 , , để x, y Z x U Từ ta tìm x2 x; y 11;149 , 7;39 , 5; 43 , 3; 29 , 1; 1 , 1;1 y x2 2x trình là: nghiệm phương Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: x y xy * Lời giải 3 Sử dụng đẳng thức: a b a b 3ab a b ta có: * tương đương với x y xy x y xy Đặt x y a, xy b với a, b Z phương trình trở thành: a 3ab b a b 3a 1 a 8 3a Suy 27 a 3a 27 a 215 3a Do 27 a 3a 1 a a 1 3a , suy điều kiện cần là: 215 3a , ý 215 43.5 Từ ta tìm a 2, b suy cặp nghiệm phương trình là: x; y 0; 2 , 2; Chú ý: Với phương trình đưa ẩn x y; xy x y ; xy ta dung phép đặt ẩn phụ để chuyển thành tốn chia hết Ví dụ Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x xy z Lời giải: Từ giả thiết ta suy x 2 xy hay y x xy Ta có phân tích sau: hay x y k xy với k N * *Nếu k x y k xy xy x y xy x 1 y 1 Điều vơ lí x, y Vậy k x y xy x y Từ tìm x; y 3; , 4;3 y x x xy x y suy x y xy Ví dụ Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: x 2 y xy 26 Lời giải Đặt z y , phương trình cho trở thành: x 2 2 z z x 26 x z xz từ suy x z U (6) Giải trường hợp ta thu cặp số x; y thỏa mãn điều kiện là: x; y 1; 1 ; 3;3 ; 10;3 ; 1; 8 III PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ KẾT HỢP TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG Để giải tốt toán theo dạng xét số dư ta cần lưu ý đến tính chất : + am bm c c m a md + a; b d b nd m; n + a; b : a ab b ;a b ; a a ab b ; b a ; b a ab b ; a b 1, + Số phương khơng tận 2, 3, 7, + Số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p + Số phương chia cho dư + Số phương chia cho dư + Số phương chia cho dư hoặc Ta xét ví dụ sau: Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: x y y Lời giải Ta viết lại phương trình thành: x y y 1 Ta thấy vế trái chia dư nên y y 1 chia dư Từ suy y 3k y 3k thay vào ta tìm x k k 1 Vậy nghiệm phương trình là: x k k 1 k y 3k Ví dụ Tìm số nguyên dương x; y thỏa mãn: x3 y 95 x y (Trích Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHSP Hà Nội, năm 2016) Lời giải Đặt d x, y ; d suy x ad ; y bd với a, b Từ phương trình ta có: d a b a ab b 95 a b Vì a, b nên a ab b ; a b ab; a b Suy a ab b U (95) Nếu a b2 ab a b2 ab 2a b 3b Một số phương chia dư 0; 1; Suy a, b5 điều trái với giả thiết a, b Vậy a ab b 19 , a b b 2; a cặp số thỏa mãn: Từ tính cặp nghiệm phương trình là: x; y 195;130 Ví dụ Tìm số nguyên tố x, y thỏa mãn điều kiện: x y 11y x y Lời giải Ta viết lại giả thiết thành: x 2 2 y 3 y x y y x y 3 y x y Hay x y x y 1 x y x 1 x 1 y Suy x 1 x 1 hay x x chia hết cho Mặt khác ta có: x x 1 2 nên số x 1, x chia hết cho Do x 1 x 1 y , mà y số nguyên tố nên y y Thay vào ta tìm x Ví dụ Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: x y 13 x y Lời giải Đặt x, y d suy x ad , y bd với a b, a, b thay vào phương trình ta có: a d b d 13 a d b d d a b a ab b 13 a b 13 a b a ab b Ta lại có: a b , a ab b a b , ab Thật giả sử a b , ab d1 a b d1 giả sử a d b d1 ab d1 Mà a, b d1 Như ta có: a2 b2 không chia hết cho a ab b Suy 13 a ab b a ab b 13 a 3, b x 15, y Ví dụ 4 Tìm tất cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình: 16 x y 14 y 2 49 16 x y2 7 17 Lời giải 2 Đặt x a y b ta viết lại phương trình thành 16 a b 14b 49 16 17 a b 7 2 Hay 16 a b 14b 49 16 16 a b 2 17.16 a 17 b 2 hay a b 7 2 256 a 32 b b 17 16 a b 16 a b hay 16 x y 4x y x 1 4 x y y Tức x y x y x, y số tự nhiên nên ta suy Ví dụ Phương trình Pitago: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y z * Lời giải 2 Đặt x, y, z d phương trình trở thành x y z x12 y12 z12 d d d Suy ta cần giải phương trình (*) trường hợp x, y , z Trong số x, y, z có số chẵn Nếu z chẵn x,y lẻ, x y mod z nên trường hợp xảy Suy x y số chẵn Ta giả sử x lẻ, y chẵn Ta có: x z y z y z y z y, z y z , z y suy z y , z y số phương lẻ Suy tồn số nguyên dương lẻ a,b cho x ab zya a2 b2 z y b y x ab a b2 a b, a , b z a b2 a b2 c; c với a, b Vậy nghiệm phương trình (*) là: x; y; z abc; số nguyên dương lẻ, a b c số nguyên dương Ta viết nghiệm tổng qt (*) theo cách: x; y; z 2abc; a2 b2 c; a2 b2 c Dùng điều kiện có nghiệm có phương tình bậc Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: x xy y x y Lời giải Ta viết lại phương trình thành: x x y 1 y y Coi phương trình bặc x điều kiện phương trình có nghiệm là: y thay vào ta tìm cặp nghiệm phương 3 y y y y 1 trình x; y 0; , 0;1 , 1; Ví dụ Tìm số ngun x, y thỏa mãn phương trình: x3 y x y y 13 Lời giải Đặt x y d với d Z thay vào phương trình ta có: 2y d y3 y d 1 y 13 8dy 5d 1 y d 13 * Nếu d y 13, x 26 Nếu d ta coi (*) phương trình bậc y Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 5d 1 32d d 13 7d 10d 416d Nếu d 1 7d 10d 416d (không thỏa mãn) Nếu d 7d 10d 416d 7.64d 10d 416d (không thỏa mãn) Xét d 0;1; 2;3 thử trực tiếp ta có d thỏa mãn: Khi x 3; y Vậy phương trình có nghiệm: x; y 3;1 , 26; 13 Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình x y x y x 1 (Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Vĩnh Phúc, 2018) Lời giải Ta có: x2 y x y x 1 x2 y 1 x y 1 1 Để phương trình (1) có nghiệm ngun x ' theo y phải số phương Ta có ' y y y y y y 1 ' phương nên ' 0;1; 4 + Nếu ' y 1 y thay vào phương trình (1), ta có x x2 x x x 4 x + Nếu ' y 1 y Z y3 y 1 + Nếu ' y 1 +Với y , thay vào phương trình (1) ta có: x2 8x 16 x x + Với y 1 , thay vào phương trình (1) ta có x x Vậy phương trình có nghiệm nguyên: x; y 0;1 , 4;1 , 4;3 , 0; 1