Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến bài toán giải phương trình nghiệm nguyên đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức. Chính vì vậy chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển tư duy cho học sinh, giúp học sinh rèn luyện cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo. Do đó việc dạy toán ở trường phổ thông bên cạnh truyền thụ những tri thức khoa học cơ bản cần phải dạy cho học sinh suy nghĩ cách phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong chương trình toán THCS không đề cập đến phương trình nghiệm nguyên. Tuy nhiên, trong các kì thi học sinh giải các cấp và đặc biệt trong các kì thi tuyển sinh vào các lớp chuyên toán cấp trung học phổ thông. Chính vì vậy, học sinh thường gặp khó khăn khi tiếp cận dạng toán này. Trong quá trình tham khảo các tài liệu dạy học tôi thấy có nhiều tài liệu đề cập đến phương trình nghiệm nguyên. Tuy nhiên, chưa có tài liệu nào đề cập đến việc hỗ trợ, định hướng học sinh giải các phương trình nghiệm nguyên phù hợp với học sinh vùng cao Hướng Hóa. Nhằm mục đích giúp học sinh bước đầu làm quen với phương trình nghiệm nguyên đồng thời định hướng cho việc học sinh tự học, tự nghiên cứu để chuẩn bị tốt cho các kì thi vì vậy tôi chọn đề tài “Một số định hướng giúp học sinh khágiỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên”
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG HĨA TRƯỜNG THCS TÂN LIÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GIÚP HỌC SINH KHÁ-GIỎI CẤP THCS TIẾP CẬN PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Mơn: Tốn Tên tác giả: TRẦN XN LINH Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Đơn vị cơng tác: Trường THCS Tân Liên NĂM HỌC: 2015 – 2016 SKKN Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên MỤC LỤC Mục lục A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Đối tượng khảo sát, thực nghiêm Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu Phạm vi kế hoạch nghiên cứu B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lí luận II Lịch sử vấn đề nghiên cứu III Thực trạng tình hình IV Một số định hướng hướng dẫn học sinh giải phương trình nghiệm nguyên Dạng phương trình axy bx cy d 0(a, b, c, d ) Dạng phương trình ax2 by cxy dx ey g (a, b, c, d , e, g ) Một số dạng phương trình thường gặp khác 14 V Giải pháp nhằm nâng cao hiệu công tác bồi dưỡng HSG với chủ đề nghiệm nguyên 15 C KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT 18 * Kết luận 18 * Kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo 19 Trần Xuân Linh Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên SKKN A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đất nước ta đường đổi mới, cần có người phát triển toàn diện động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi mặt như: Mục tiêu, chương trình, nội dung, phương pháp tổ chức quản lý Điều khẳng định nghị hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khoá VII "Đổi phương pháp dạy học tất cấp, bậc học, áp dụng phương pháp giáo dục bồi dưỡng tư sáng tạo, lực giải vấn đề" Với mục tiêu hoạt động dạy học khơng dừng lại việc truyền thụ cho HS kiến thức, kỹ mà đặc biệt quan tâm đến việc hình thành phát triển tư sáng tạo cho HS cách hiệu Việc giải vấn đề liên quan đến tốn giải phương trình nghiệm ngun đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức Chính chứa đựng nhiều tiềm phát triển tư cho học sinh, giúp học sinh rèn luyện cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo Do việc dạy tốn trường phổ thơng bên cạnh truyền thụ tri thức khoa học cần phải dạy cho học sinh suy nghĩ cách phát giải vấn đề, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Trong chương trình tốn THCS khơng đề cập đến phương trình nghiệm nguyên Tuy nhiên, kì thi học sinh giải cấp đặc biệt kì thi tuyển sinh vào lớp chun tốn cấp trung học phổ thơng Chính vậy, học sinh thường gặp khó khăn tiếp cận dạng tốn Trong trình tham khảo tài liệu dạy học tơi thấy có nhiều tài liệu đề cập đến phương trình nghiệm ngun Tuy nhiên, chưa có tài liệu đề cập đến việc hỗ trợ, định hướng học sinh giải phương trình nghiệm nguyên phù hợp với học sinh vùng cao Hướng Hóa Nhằm mục đích giúp học sinh bước đầu làm quen với phương trình nghiệm nguyên đồng thời định hướng cho việc học sinh tự học, tự nghiên cứu để chuẩn bị tốt cho kì thi tơi chọn đề tài “Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm ngun” Mục đích nghiên cứu Từ số dạng phương trình nghiệm ngun, cách giải thơng dụng điển hình, trình bày theo dạng để phù họp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7,8,9 để rút định hướng cho trình dạy học bồi dưỡng HSG phù hợp với nhiều lớp khác Nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng HSG Đối tượng nghiên cứu Học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, trường THCS Tân Liên Trần Xuân Linh Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên SKKN Các định hướng giải phương trình nghiệm nguyên phù hợp với HSG trực tiếp giảng dạy Đối tượng khảo sát, thực nghiêm Học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, trường THCS Tân Liên Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu Nhiệm vụ tổng quát: Tổng hợp dạng phương trình nghiệm nguyên phương pháp giải Nhiệm vụ cụ thể: Tìm hiểu thực trạng Đề xuất dạng phương pháp giải Đề xuất định hướng cho học sinh khối khác Quan sát chuyển biến học sinh sau học Đề xuất giải pháp dạy chủ đề nghiệm nguyên bồi dưỡng học sinh giỏi Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp nghiên cứu sản phẩm (bài làm học sinh) Phạm vi kế hoạch nghiên cứu Nội dung chương trình mơn tốn cấp THCS Các dạng phương trình nghiệm nguyên, phương pháp giải định hướng cho học sinh lớp giải Trong sáng kiến kinh nghiệm tập trung nghiện cứu số dạng phù hợp đối tượng học sinh giỏi bồi dưỡng trường, chuẩn bị thi học sinh giỏi cấp thi vào trường chuyên lớp chọn địa bàn tỉnh Quảng trị Thời gian từ tháng 9/2014 đến 3/2016 Trần Xuân Linh Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị SKKN Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lí luận Dạng tốn giải phương trình nghiệm ngun thuộc phân mơn số học dạng khó dạng bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS, việc giải phương trình nghiệm ngun đòi hỏi học sinh có khả huy động nhiều kiến thức số học đại số để giải Tuy nhiên, kiến thức trình bày khơng liên tục chương trình mơn học mà trình bày rải rác từ lớp đến lớp II Lịch sử vấn đề nghiên cứu Phương trình nghiệm nguyên nội dung nhỏ phân môn số học cấp trung học, khơng trình bày cách tường minh với kiến thức từ lớp chương trình hành học sinh bắt đầu làm quen qua tập 146 sách tập toán sau: “Tìm số tự nhiên x cho a ( x 1) ; b 14 (2.x 3) ” Và số kiến thức khác đưa vào chương trình tốn THCS giúp học sinh giải phương trình nghiệm ngun Chính nhiều nhà giáo hàng đầu biên soạn nhiều tài liệu giúp học sinh làm quen với dạng Trong số cần phải kể đến Hồng Chúng với “Số học - Bà chúa toán học” Vũ Hữu Bình với “Phương trình nghiệm nguyên kinh nghiệm giải” Nguyễn Vũ Lương cộng với “Các giảng số học đồng dư, phương trình nghiệm nguyên, hàm số học” Phạm Minh Phương cộng với “Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở” III Thực trạng tình hình Nội dung phương trình nghiệm ngun khơng trình bày cụ thể chương trình mơn tốn cấp THCS, kiến thức liên quan đến dạng toán trình rời rạc, khơng tập trung, tính chất chia hết dấu hiệu chia hết, ước bội số nguyên… trình bày lớp 6, tính chất lũy thừa, nghiệm đa thức… trình bày lớp 7, kiến thức đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành nhân tử, phép chia đa thức biến phương trình… trình bày lớp Khi giải phương trình nghiệm nguyên tập nghiệm S tập hợp tập số nguyên , việc hạn chế tập nghiệm S đủ nhỏ để trình thử nghiệm gặp khó khăn học sinh thường chọn theo cảm tính Ví dụ: Khi gặp tốn “Tìm số tự nhiên x, y cho (x – 1)y = 15” học sinh thử kết luận số tự nhiên x, y thỏa mãn Tuy nhiên nhận thấy y U (15) 1;3;5;15 từ tổ chức bảng để giải trình tìm nghiệm nhanh Với phương trình nhiều trường hợp biến học sinh khơng biết xét trường hợp không hết trường hợp xét Trần Xuân Linh Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị SKKN Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên Việc huy động kiến thức bất đằng thức để hạn chế tập hợp nghiệm gặp nhiều khó khăn Ví dụ: Khi gặp tốn “Tìm tất ba số ngun (x,y,z) thỏa mãn 3 y x 2x - Đề thi HSG Tỉnh Quảng Trị bảng A năm 2011, năm 2012” xy z Việc huy động kiến thức số học số nguyên tố, phân tích thành nhân tử hay điều kiện biến để giá trị biểu thức nguyên biểu thức nghiệm gặp nhiều khó khăn Ví dụ: Khi gặp tốn “Tìm số ngun x,y thỏa mãn 3xy + x +15y – 44 = - Đề thi HSG Huyện Hướng Hóa năm 2011” Kết học sinh giỏi năm học 2013 – 2014 trở trước Năm học Giải cấp huyện Giải cấp tỉnh 2011 – 2012 giải ba với số điểm 5,5; 5,5; 5,0 2012 – 2013 giải nhì (6,5 điểm), giải ba (6,0 HS tham gia điểm) 2013 – 2014 giải nhì với số điểm 7,5; 6,5 Trần Xuân Linh HS tham gia Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên SKKN IV Một số định hướng hướng dẫn học sinh giải phương trình nghiệm nguyên Trong phần này, tơi trình bày theo dạng, ví dụ dạng đưa định hướng nhằm hướng dẫn cho học sinh lớp khác giải phương trình nghiệm ngun Dạng phương trình axy bx cy d 0(a, b, c, d ) Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: xy x y Lời giải Ta có xy x y xy x y ( x 1)( y 1) 3.1 3.(1) x 1 x y y x 3 x 2 y 1 y x x y y x 1 x y 3 y 2 Vậy nghiệm (x,y) (4,2),(2,4),(0, 2),(2,0) Nhận xét: Nếu nhận thấy xy x y đối xứng x, y lúc giải sử x y nên x y giảm trường hợp thử lại trường hợp sau: x x 1 , y y 3 Khi kết luận lấy tất hốn vị (x,y) tìm Cách giải dành cho học sinh lớp 9, lớp 6,7,8 có cách trình bày khác giúp em tiếp cận Định hướng: Đối với lớp ta thay đổi sau: Tìm số tự nhiên x, y thảo mãn xy x y Lời giải: xy x y Trần Xuân Linh Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên SKKN x y x.1 y Tính chất nhân với x( y 1) y Tính chất phân phối, đặt thừa số chung x( y 1) y Để có thừa số chung y – (vì y số đó) ta cộng hai vế đẳng thức với số x( y 1) ( y 1) Áp dụng quy tắc dấu ngoặc x( y 1) ( y 1).1 Tính chất nhân với ( y 1)( x 1) Tính chất phân phối, đặt thừa số chung Đến biểu diễn số dướ dạng tích, số nguyên tố nên = 3.1 = 1.3 Xét hai trường hợp sau: + y x nên x=0; y=4 + y x nên x=4; y=0 Vậy có kết x,y x = 0, y = x = 4, y = Nhận xét: Như có cách hướng dẫn hợp lý HS giỏi lớp giải Ngồi ra, ta mở rộng tìm x, y nguyên để với tính chất tốn ban đâu Đối với lớp việc giải dễ HS lớp 6,7 học phân tích đa thức thành nhân tử Định hướng: Đối cách giải ta đưa vế trái dạng tích phân tích số vế trái thứa số nguyên tố Tuy nhiên, vận dụng tính chia hết, ước bội giải cụ thể sau: - Biểu diễn biến x theo biến y (hoặc y theo x) x biểu diễn dạng phân số (phân thức) - Tách phần nguyên sử dụng tính chia hết, ước để tìm y từ có x tương ứng Ta có cách giải khác xy x y x( y 1) y x 2 y 1 y 1 y 1 x 1 Trần Xuân Linh y 1 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên SKKN Vì x nguyên nên y ước nên tập nghiệm S 4,2 ; 2,4 ; 2,0 ; 0, 2 Ví dụ 2: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn 3xy + x +15y – 44 = (Đề thi HSG Huyện Hướng Hóa năm 2011) Lời giải 3xy x 15 y – 44 x y 1 15 y 49 x y 1 y 1 49 y 1 x 49 Từ ta có bảng sau: x5 3y 1 49 49 7 2 x y -1 -49 -49 -1 -7 -7 Vậy cặp (x,y) thỏa mãn (2,2) Nhận xét: Ta thấy x, y dương nên x > 5, y >3 có trường hợp x5 3y 7 2 x y Nhận xét: Trong giải phương trình nghiệm nguyên nhiều trường hợp việc tổ chức theo bảng dễ quan sát so với trình bày ví dụ 1.1 Định hướng: Bài tập việc phân tích thành tích khó thực hơn, nên dạy học lớp trở lên Định hướng: Việc hướng dẫn tìm cặp giá trị (x;y) theo dạng bảng ví dụ giúp HS Định hướng: Bài tập giải phương pháp tách phần nguyên Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x y 3xy Lời giải x y 3xy x(2 y) y 3x Trần Xuân Linh 24 15 y 15 y 10 34 34 5 3y 3y 3y Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên SKKN 3x 34 3y 34 nguyên suy y U(34) 3y Từ ta có bảng sau Vì x ngun nên 3x + -1 -34 17 + 3y -34 -1 17 x -2 -13 -1 y -12 -1 Vậy nghiệm phương trình ban đầu (-2,-12),(-13,-1),(-1,5),(4,0) Dạng phương trình ax2 by cxy dx ey g (a, b, c, d , e, g ) Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 xy y x y (1) Lời giải: x2 xy y x y y (3 x) y ( x x 2) (2) phương trình bậc hai ẩn y (3 x)2 4( x2 x 2) 3x2 x Để phương trình (2) có nghiệm 3x2 x x(3x 2) - Nếu x x(3x 2) 2.4 loại - Nếu x 1 x(3x 2) (1).(5) loại - Nếu x thay vào (2) ta phương trình y y ta có y 1 ; y 2 - Nếu x thay vào (2) ta phương trình y y ta có y 1 Vậy nghiệm phương trình 0; 1 , 0; 2 , 1; 1 Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x2 y 3xy x y Nhận xét: Khi xem x2 y 3xy x y phương trình bậc hai x2 x(3 y 2) y y ẩn x Trần Xuân Linh Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm ngun SKKN Có (3 y 2)2 4(2 y y 6) y y 28 đánh giá không giúp cho giới hạn tập hợp nghiệm Định hướng: Ta chun phương trình dạng tích cách phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thêm bớt Lời giải x y 3xy x y ( x xy 3x) (xy y2 y) ( x y 3) x( x y 3) y (x y 3) ( x y 3) x y 3 x y 1 Ta có bảng x 2y x y 1 x y 3 -6 -1 -3 -10 -3 -1 -4 Từ ta có kết ( x, y) 6,6 , 0,2 , 4,2 , 10,6 Nhận xét: Khi giải phương trình nghiệm nguyên dạng mà điều kiên không giới hạn tập nghiệm tìm điều kiện biến thứ hai để số phương, từ có định hướng sau Định hướng: Từ nhận xét trên, ta sử dụng tính chất Phương trình bậc hai dạng x2 bx c b, c có nghiệm nguyên số phương Ví dụ 6: Tìm cặp số ngun (x;y) thỏa mãn đẳng thức sau x2 y 3xy x y Lời giải x2 y 3xy x y x2 (3y 1) x (2 y y 3) (2) Có (3y 1)2 4(2 y y 3) y y 11 Phương trình (2) có nghiệm nguyên số phương, ta đặt y y 11 n2 k ( y 1)2 n2 12 ( y n)(y n) 12 Trần Xuân Linh 10 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm ngun SKKN Ta có ( y n) (y n) y chẵn nên y n y n tính chẵn lẻ Hơn thế, y n y n nên ta có bảng y n y n y y -2 -6 -4 -3 - Với y = 5, thay vào (2) ta phương trình x2 14 x 48 Ta có x=-8; x=-6 - Với y = -3, thay vào (2) ta phương trình x2 10 x 24 Ta có x=4; x=6 Vậy cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn (-8;5), (-6;5), (4;-3), (6;-3) Nhận xét: Thường đáp án số đề thi, lời giải số sách tham khảo giải phân tích thành nhân tử mà khơng có định hướng nên HS gặp nhiều khó khăn việc tự học Chính vậy, trình dạy HS GV cần phải định hướng cho HS Định hướng: Sử dụng nghiệm phương trình bậc hai để phân tích thành nhân tử Lúc đó, để biểu diễn nghiệm khơng có phép khai phương (căn thức) ta phần thêm bớt đề số phương Ta có x2 y 3xy x y x y x y y a a Xét phương trình x2 y x y y a (*) Có y y y a y y 4a Ta chọn a = -3 y y 16 y nên phương trình (*) có nghiệm x1 y 1, x2 2 y Nên x2 y x y y x y 1 x y 3 Từ suy x2 y 3xy x y x y 3xy x y x y 1 x y 3 Từ ta có kết ( x, y) 6,6 , 0,2 , 4,2 , 10,6 Nhận xét Trần Xuân Linh 11 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm ngun SKKN Nếu phương trình có bậc tối đa ẩn ta xem phương bậc hai sử dụng phân tích sau để giải: ax2 bx c có hai nghiệm x1 m, x2 n ax2 bx c a( x n)( x m) Sau chuyển phương trình ban đầu dạng tích Cách giải phù hợp với HS học phương trình bậc hai, sử dụng đẳng thức bậc hai để giải Định hướng: Phân tích thành nhân tử cách sử dụng hẳng đẳng thức A2-B2 Cách giải phù hợp với HS lớp x2 y 3xy x y x2 x(3 y 2) y y Gom biến x để có bình phương x2 x(3 y 2) y y 24 Nhân vào hai vế để xuất dạng A2±2AB lưu ý nhân (2 x)2 2.2 x.(3 y 2) (3 y 2)2 y y 16 12 Tách y y để xuất (3 y 2)2 để có dạng A2±2AB+B2 (2 x y 2)2 ( y 4)2 12 (2 x y y 4)(2 x y y 4) 12 (2 x y 6)(2 x y 2) 12 ( x y 3)( x y 1) Nhận xét: Ta thấy (2 x y 2)2 ( y 4)2 12 dạng toàn phương [1], để đưa đa thức dạng toàn phương ta sử dụng đẳng thức bình phương tổng hiệu Trước hết ta chọn biến để đưa đẳng thức chứa biến đó, phần lại đa thức ta làm với biến thứ hai (đối với đa thức hai biến) Với cách vận dụng linh hoạt đẳng thức ta đưa phương trình bậc hai hai biến x,y có dạng ax2 by cxy dx ey f dạng toàn phương A2 (x, y) B2 (x, y) m để giải toán Trần Xuân Linh 12 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên SKKN Bài tập đưa dạng toàn phương xuất hiệu hai bình phương ta đưa dạng tích (A2 – B2 = (A – B)(A + B) ), trường hợp xuất tổng hai bình phương (A2 + B2) ta làm sau: Ví dụ 7: Giải phương trình nghiệm nguyên sau x2 y xy x y y Lời giải x2 y xy x y y ( x y 1)2 ( y 2)2 12 22 Từ ta tìm nghiệm ngun phương trình Ví dụ 8: Tìm tất cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn x2 y 3xy x y (Đề thi HSG tỉnh Quảng Trị 3/2016) Lời giải x2 y 3xy x y x2 (3 y 2) x y y a a (1) Xét phương trình bậc hai x2 (3 y 2) x y y a (2) sau với ẩn x Ta có (3 y 2)2 4(2 y y a) y y 4a Ta chọn a cho 8 4a a 3 Lúc y y ( y 2)2 Phương trình (2) có hai nghiệm x 3y y 3y y y; x y2 2 Nên (2) ( x y)( x y 2) Suy (1) ( x y)( x y 2) 3 Ta có bảng x 2y x y2 x y -3 -6 -11 -3 -2 -3 -1 3 -1 Định hướng: Cách giải phù hợp với HS thục kiến thức phương trình bậc hai Chuyển vế phải phương trình dạng tồn phương ví dụ Trần Xuân Linh 13 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên SKKN x2 y 3xy x y x2 x(3 y 2) y y x2 x(3 y 2) y 16 y 12 (2 x)2 2.2 x(3 y 2) (3 y 2)2 y y (2 x y 2)2 ( y 2)2 12 (2 x y y 2)(2 x y y 2) 12 (2 x y 4)(2 x y) 12 ( x y 2)( x y) 3 Từ ta tìm cặp giá trị (x;y) thỏa mãn u cầu tốn Một số dạng phương trình thường gặp khác Ví dụ 9: Tìm tất ba số nguyên (x,y,z) thỏa mãn 3 y x 2x xy z (Đề thi HSG Tỉnh Quảng Trị bảng A năm 2011, năm 2012) Nhận xét: Với hệ nghiệm nguyên khó, tốn có nhiều cách giải Tuy nhiên, cách giải vận dụng nhiều kiến thức xét nhiều trường hợp Định hướng: Từ phương trình thứ ta có y3 x3 y x y x y3 ( x 1)3 nên x3 x2 ( x 1)3 3 x ta giới hạn giá trị x, ta có cách giải sau Lời giải Ta có y3 x3 x2 y3 x3 y x y x x3 x ( x 1)3 3 x X -3 -2 -1 x3 2x2 -8 Y -2 z xy 2,-2 Vậy (x,y,z) (-3,-2,-2) (-3,-2,2) Nhận xét: Bài tập có nhiều cách để giải, dùng đẳng thức đánh giá Tuy cách dài có nhiều trường hợp xẩy Ví dụ 10: Tồn hay khơng số tự nhiên n thỏa mãn phương trình : 2n 5 21n 20122013 (Thi chun Tốn, Chun Lê Q Đơn Quảng Trị năm học 2012 - 2013) Lời giải Trần Xuân Linh 14 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm ngun SKKN Với n lẻ ta có n = 2k +1, k N 2n2 +5 =8k2 +8k + 3(mod 4) (2n2 +5)6 36 1(mod 4) Với n chẵn ta có n = 2k, k N 2n2 +5 = 8k2 +5 1(mod 4) (2n2 +5)6 1(mod 4) Tóm lại (2n2 +5)6 1(mod 4),n N Lại có 21 1(mod 4) 21n 1(mod 4), n N (2n2 +5)6 +21n 2(mod 4) Để ý 2012 0(mod 4) 20122013 0(mod 4) Vậy không tồn số tự nhiên n thỏa mãn phương trình cho Định hướng: Bài tập tập dạng lũy thừa nên dùng kiến thức lớp 6, để hướng dẫn giải sau: Tìm chữ số tận vế phải phương trình Xét chữ số tận lũy thừa 22013 Lũy thừa 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 Chữ số tận 8 8 Từ bảng ta thấy từ 21 đến 22013 chữ số tận lặp lặp lại chu kỳ chữ số: 2; 4; 8; nên để biết 22013 có chữ số tận bao nhiều ta xét số dư phép chia 2013 : (dư 1) chữ số tận 22013 (*) Tìm chữ số tận vế trái phương trình Cũng với cách lập bảng ta xét chữ số tận n n n2 6 2n2 8 2 8 2n2+5 3 7 3 Ta có kết luận “ n có chữ số tận 0;1;4;5;6;9 nên 2n có chữ số tận 0;2;8 lúc 2n2 có chữ số tận 5;7;3” n có chữ số tận 0;1;4;5;6;9 nên 2n có chữ số tận 0;2;8 lúc 2n2 có chữ số tận 5;7;3 Ngồi ra, 21n có chữ số tận Từ 2n2 5 21n có chữ số tận 4;6;8.(**) Từ (*) (**) suy khơng có số tự nhiên n để 2n2 5 21n 20122013 V Giải pháp nhằm nâng cao hiệu công tác bồi dưỡng HSG với chủ đề nghiệm nguyên Trần Xuân Linh 15 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị SKKN Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên Trên sở định hướng trình dạy học ví dụ minh họa sau đề xuất số giải pháp giúp GV dạy tốt, học sinh học tốt chủ đề phương trình nghiệm nguyên Giải pháp Cung cấp kiến thức cho học sinh theo hệ thống kiến thức liên quan * Khi dạy phương trình nghiệm nguyên dạng axy + bx + cy + d = cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: - Tính chất phân phối phép nhân phép cộng - Cách đặt thừa số chung (đối với lớp 6,7), phân tích đa thức thành nhân tử - Phân tích số thừa số nguyên tố - Tính chất chia hết, ước a - Phân số giá trị nguyên a chia hết cho b b ước a b * Khi dạy phương trình nghiệm nguyên dạng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + g=0 (a, b,c,d,e,g ) cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: - Cách giải phương trình bậc hai biến ax bx c a , điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai - Số phương, dạng toàn phương bậc hai, phương pháp chuyển đa thức bậc hai dạng tồn phương - Phân tích đa thức dựa vào nghiệm đa thức đó: Đa thức f ( x) với hệ số nguyên có nghiệm x a f ( x) ( x a) g ( x) với g ( x) đa thức - Phương trình bậc hai dạng x2 bx c b, c có nghiệm nguyên số phương Và số dạng phương trình khác Giải pháp Khi dạy phương trình nghiệm nguyên giáo viên phải giải theo nhiều cách khác Khi giải phương trình dạng axy bx cy d 0(a, b, c, d ) Giáo viên hướng dẫn cho học sinh phương pháp đưa dạng tích, đưa dạng để tách phần nguyên cách giải khác Khi giải phương trình dạng ax2 by cxy dx ey g (a, b, c, d , e, g ) Giáo viên cần định hướng cho học sinh phương pháp đưa dạng tích cách xem phương trình phương trình bậc hai ẩn x (hoặc ẩn y) từ tìm nghiệm, đưa phương trình dạng tồn phương Trần Xuân Linh 16 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị SKKN Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên KẾT QUẢ Nội dung đề tài áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, năm học 2013 – 2014, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6, năm học 2014 – 2015, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, năm học 2015 – 2016 Kết học sinh giỏi năm học 2013 – 2014 trở trước (đối chiếu) Năm học Giải cấp huyện Giải cấp tỉnh 2011 – 2012 giải ba với số điểm 5,5; 5,5; 5,0 2012 – 2013 giải nhì (6,5 điểm), giải ba (6,0 HS tham gia điểm) 2013 – 2014 giải nhì với số điểm 7,5; 6,5 HS tham gia Cùng với việc áp dụng sáng kiến vào trình bồi dương, GV bồi dưỡng triển khai động nhiều giải pháp nên kết thi học sinh giỏi cấp có chuyển biến rõ rệt qua số giải số điểm giải tăng lên đáng kể Năm học Giải cấp huyện Giải cấp tỉnh 2014 – 2015 giải: giải (8,0 điểm), giải HS tham gia, đạt giải nhì (7,0 điểm), giải 3, giải (18,5 điểm), giải khuyến khích khuyến khịch (12,5 điểm) 2015 – 2016 giải nhì với số điểm: 9,25; 9,25; HS tham gia 9,0 Bước đầu cho thấy trình bày cách có hệ thống kiến thức liên quan tập theo dạng học sinh nhận dạng tập nhanh, lý luận chặt chẽ, trình bày súc tích Học sinh có định hướng gặp tập giải phương trình nghiệm nguyên lạ Trần Xuân Linh 17 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị SKKN Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên C KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT * Kết luận Trên số dạng, số phương pháp thường gặp, qua đề xuất định hướng giải phương trình nghiệm nguyên, chưa đầy đủ phong phú toán tiêu biểu giúp học sinh làm quen với dạng tốn Bên cạnh đó, sau giải thường nêu nhận xét, khai thác cho học sinh trình giải phương trình nghiệm nguyên Trong trình nghiên cứu cố gắng cập nhật nội dung, tập kì thi học sinh giỏi tuyển sinh trường chuyên năm vừa qua, chưa đầy đủ giúp cho học sinh có cách nhìn nhận với dạng tốn q trình ơn luyện Đây đề tài rộng, nội dung phong phú, cho cố gắng trình bày lựa chọn nội dung thích hợp với đối tượng học sinh Tuy nhiên, điều mong muốn đạt một, mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo, đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm ngày hoàn thiên * Kiến nghị Hàng năm tổ chức kì thi học sinh giỏi cấp trường nhằm đánh giá mức kết học tập phấn đấu học sinh, nhằm động viên, khích lệ trình tự học học sinh Bên cạnh việc tổ chức kì thi học sinh giỏi cấp trường mang tính định hướng cho q trình học tự học em Đối với phòng giáo dục tổ chức tập huấn chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi có chuyên đề nghiệm nguyên Tổ chức biên soạn tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi phù hợp với đối tượng học sinh kỳ thi mà học sinh tham gia hàng năm Trần Xuân Linh 18 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị SKKN Một số định hướng giúp học sinh khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên Tài liệu tham khảo Phạm Văn Binh (2014), Dạng toàn phương đa thức bậc hai và vài ứng dụng, Đặc san Toán học tuổi trẻ, số 12, trang 12-14 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm Văn Hùng (2009), Các giảng số học đồng dư, phương trình nghiệm nguyên, hàm số học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Phạm Thị Bạch Ngọc, Nguyễn Việt Hải, Hồ Quang Vinh, Nguyễn Thị Thanh (2012), Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kì thi vào trung học phổ thơng mơn Tốn, Tập hai số học – hình học, NXB giáo dục Việt Nam Phạm Minh Phương (2006), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở, NXB giáo dục Tạp chí Tốn học tuổi trẻ phát hành định kì hàng tháng Tạp chí Tốn tuổi thơ phát hành định kì hàng tháng Tân Liên, ngày tháng năm 2016 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN ĐƠN VỊ viết, không chép nội dung người khác Người viết Trần Xuân Linh Trần Xuân Linh 19 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị ... Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá- giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên SKKN IV Một số định hướng hướng dẫn học sinh giải phương trình nghiệm. .. đề nghiệm nguyên Trần Xuân Linh 15 Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị SKKN Một số định hướng giúp học sinh khá- giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên Trên sở định hướng trình. .. dưỡng học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, trường THCS Tân Liên Trần Xuân Linh Trường THCS Tân Liên, Hướng Hóa, Quảng Trị Một số định hướng giúp học sinh khá- giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên