Hsg t7 cđ8 phương trình nghiệm nguyên phanbienxong1docx

ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ĐS7 CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT * Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng ý số tính chất sau: Định nghĩa phép chia hết: a, b   ( b 0 )  q, r   cho a bq  r với r  b Nếu r 0  a b Nếu r 0  a  b Một số tính chất: a, b, c, d   Nếu a 0 a a 0a Nếu a b bc  a c Nếu a b b a  a b  a BCNN  b, c  Nếu a b a c b, c    a  b.c  Nếu a b , a c  Nếu a b  ac  b ( c  ) Một số định lí thường dùng Nếu a c bc  (a b)c Nếu a c bd  ab cd n n Nếu a b  a b ( n nguyên dương) - Một số hệ áp dụng: a n  bn    a – b   a , b   n  + nguyên dương ta có  a n  bn   a + b  + a, b   n chẵn ( n nguyên dương) ta có  a n  b n    a +b  + a, b   n lẻ ( n nguyên dương) ta có Các dấu hiệu chia hết cho 2,3,5,8,9,11 Số số nguyên tố chẵn Phương trình đưa dạng f  x  g  x   k với f  x Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ phương trình  f ( x ) m   g ( x ) n với m.n  k Sử dụng tính chất chia hết số phương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang g  x đa thức hệ số nguyên ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Số phương khơng tận 2, 3, 7, Số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p Số phương chia cho , cho dư Số phương chia cho , cho số dư 0; Số phương lẻ chia cho số dư Lập phương số nguyên chia cho dư 0; Khơng tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp -Ngồi ra: Cho ab c  a, b, c  Z  +Nếu a, b hai số nguyên liên tiếp a  b  a n , b m  m, n  N  +Nếu a, b hai số nguyên dương nguyên tố *Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt tính chất để tìm điểm đặc biệt ẩn số biểu thức chứa ẩn phương trình, sau đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Đưa phương trình ước số I.Phương pháp giải +Ta tìm cách đưa phương trình cho thành phương trình có vế tích biểu thức có giá trị nguyên, vế phải số nguyên + Thực chất biến đổi phương trình dạng: A( x; y ).B ( x; y ) c A( x; y ), B( x; y ) biểu thức nguyên, c số nguyên +Xét trường hợp A( x; y ), B( x; y ) theo ước c II.Bài toán Bài Tìm x, y  Z biết: xy  x  y 5 Lời giải Ta có: xy  x  y 5  x(y 2)  (y 2) 3  (x  1)(y 2) 3 (*) Vì x, y   số nguyên nên x  1, y    Do từ (*) ta có bảng sau: Vậy y+2 -1 -3 x-1 -3 -1 x -2 y -1 -3 -5  x; y     2;1 ;  4;  1 ;   2;  3  0;    Bài Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: x  xy  y  Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN x  xy  y  (*)  x  4xy  2y   x  – y   (1  2y )    – 2y   2x – 1  Vì x, y   số nguyên nên x  1,1  y  Z Do từ (*) ta có bảng sau: Ta có bảng: x -1 -1 – 2y -1 x y -1 x; y     1;0  ;  0;  1  Vậy  Bài Tìm x, y nguyên biết: xy  x – y  Lời giải Ta có: xy  x – y   x  y   – y  3  –   x – 1  y  3   1.3  3.1  – 1  –    –   – 1 Vì x, y   số nguyên nên x  1,1  y  Z Do từ (*) ta có bảng sau: x–1 –1 –3 y+3 –3 –1 x –2 y –2 –6 –4  x; y     2;  ,  4; –  ,  0;  ,  – 2; –   Vậy: Bài Tìm x, y nguyên biết: xy  x  y  Lời giải Ta có: xy  x  y   xy  x  y 4  x  y  1  y     y  1  x  1 5 Xét trường hợp tìm Vậy   x, y     1;3  ;  3;1 ;   2;   0;    x, y     1;3 ;  3;1 ;   2;0   0;    Bài Tìm số nguyên x, y biết: xy  x  y  21 Lời giải Ta có : xy  x  y  21 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN  x  y     y   15  ( x  3)  y   15 Vì x,y nguyên dương nên x  nguyên dương x  4 Vì  x  3  y   15  x    5;15  x   2;12  y    3;1  y   5;3 x ; y     ;  ;  12; 3  Vậy phương trình có nghiệm ngun dương  Bài Tìm tất cặp số nguyên x, y cho x  xy  y 0 Lời giải Ta có: x  xy  y 0  x (1  y )  y 0  (1  y )  x(1  y ) 1  (1  x)(1  y ) 1 1.1 ( 1).( 1) Vì x, y  Z số nguyên nên  x,1  y  Z Do ta có bảng sau: 1-x -1 1-y -1 x y Vậy  x, y     0;  ;  2;   Bài Tìm số nguyên x, y biết x  xy  y  0 Lời giải Ta có : x  xy  y  0  x  xy  y  0  x  xy  y  5  x(1  y )  (1  y ) 5  (2 x  1)(1  y ) 5 Vì x, y   số nguyên nên x  1,1  y  Z Do ta có bảng sau: 2x  1 2y x y Vậy 5 1 -2 Thỏa mãn  x, y     1;   ;  3;0  ;  0;3 ;   2;1  Thỏa mãn Bài Tìm nghiệm nguyên đa thức x  35 x  42 0 Lời giải Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang -1 -5 -5 -1 Thỏa mãn -2 Thỏa mãn ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN x  35 x  42 7( x  3)( x  2) 0  x 3    x 2 Vậy x   2;3 Bài Tìm x, y  Z thỏa mãn x  xy  y 9 Lời giải Từ x  xy  y 9  x( x  1)  ( y  1) 10  ( y  1)( x  1) 10 Vì x, y  Z số nguyên nên x  1,1  y  Z , ta có bảng sau Vậy x  -1 x -2 -2 -5 -10 10 -3 -6 -11 y  -10 10 -5 -2 -1 y -6 -3 -2 -11  x, y      2;  11 ;  0;9  ;   3;   ;  1;  ;   6;   ;  4;1 ;   11;   ;  9;0   Bài 10 Tìm x, y nguyên biết: xy  3x  y 6 Lời giải Ta có: xy  3x  y 6  x( y  3)  ( y  3) 6   ( x  1)( y  3) 3 1.3 3.1 (  1).( 3) (  3).(  1) Vì x, y  Z số nguyên nên x  1, y   Z Ta có bảng sau: x y 3 x y Vậy 1 3 3 1 0 2 6 2 4 3  x, y     2;0  ;  4;   ;  0;6  ;   2;    Bài 11 Tìm x, y  biết: xy  x  y 7 Lời giải Ta có: xy  x  y 7  x( y  2)  ( y  2) 5  ( x  1)( y  2) 5 5.1 1.5 ( 1).(  5) ( 5).( 1) Vì x, y  Z số nguyên nên x  1, y   Z nên ta có bảng sau y2 -1 -5 x x -5 -1 -4 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN y Vậy -1 -3 -7  x, y     2;3 ;  6;  1 ;   4;  3 ;  0;    Bài 12 Tìm x, y nguyên biết xy  x  y  Lời giải xy  x  y 2  xy  x  y   x  y  1  y     y  1  x  1  Vì x, y  Z  x, y     1;3 ;  3;1   2;0  ;  0;    x, y     1;3 ;  3;1   2;0  ;  0;    Vậy  Bài 13 Tìm số nguyên  x, y  biết: x – số nguyên nên xét trường hợp tìm xy  y –  Lời giải Ta có: x – xy  y –   x – xy  y –   x – xy  y –   x  – y  –  – y     x – 1  – y   Vì x, y  Z số nguyên nên x  1,1  y  Z nên ta có bảng sau Vậy  2x – 1 -1 -5 – 2y -5 -1 x -2 y -2 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn x, y     1;   ;  3;0   0;3 ;   2;1  Bài 14 Tìm tất cặp số nguyên  x, y  cho: xy  x  y 4 Lời giải Ta có: xy  x  y 4  x(2 y  1)  (2 y  1) 3  ( x  1)(2 y  1) 3  ( x  1)(2 y  1) 3 1.3 ( 1).( 3) 3.1 ( 3).( 1) Vì x, y  Z số nguyên nên x  1,1  y   nên ta có bảng sau x 1 -1 -3 x -2 y 1 y -3 -1 -2 -1 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN  Vậy x, y     2;0  ;  0;    4;  ;   2;1  Bài 15 Tìm cặp số nguyên  x, y  thoả mãn Ta có x  y  xy 2  x  y  xy 2 Lời giải x   y  x  1    x  1  y  1 3 Do x, y nguyên nên x  y  phải ước Lập bảng ta có: x 1 y 1 x y Vậy  -1 -3 -2 -4 -3 -1 -4 -2 x, y     0,  ;  2,  ;   2,   ;   4,    Bài 16 Tìm số nguyên x,y cho x  xy  y  Từ : Lời giải x  xy  y 0    y   x  1  Vì x,y số nguyên nên 1  y 1  x 0   sau : 2 x    y 0 1  2y  x  1 số nguyên ta có trường hợp 1  y   x 1   x     y 1 Hoặc x, y     1;1  Vậy  Bài 17 Tìm x, y   biết: x  y  xy  83 Lời giải  x  1  y  1  167   x, y     0; 83  ;   1;  84  ;  83;  ;   84; 1  2 Bài 18 Tìm giá trị nguyên x y biết: : x – y  Lời giải 2 x – y   x  y  x  y  Ta có: Vì x, y   số nguyên nên x  1,1  y  Z nên ta có bảng sau x+y x-y x y Vậy -5 -1 -3 -2 -2  x, y     3;  ;   3;   ;  3; -2  ;   3;   TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang -1 -5 -3 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Bài 19 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x  y  z  xyz Lời giải Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử  x  y  z 1 Theo 1 1 1        x 3  x 1 yz yx zx x x x x Thay vào đầu ta có:  y  z  yz  y  yz   z 0  y   z     z   0  ( y  1)  z  1 2 Th1: y  1  y 2 z  2  z 3 Th1: y  2  y 3 z  1  z 2 z  1  z 2 Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn  1; 2;3 ;  1;3;  Bài 20 Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  2014 x  2015 y  2016 0 Lời giải x  xy  2014 x  2015 y  2016 0  x  xy  x  2015 x  2015 y  2015 1  x ( x  y  1)  2015( x  y  1) 1  x  y  1  x  y  1      ( x  y  1)( x  2015) 1  x  2015 1  x  2015 1  x  y  1  x 2016    TH 1:  x  2015 1  y  2016  x  y    x 2014   TH2:  x  2015   y  2016 Vậy  x, y   2016;  2016   x, y   2014;  2016  x 1  y Bài 21 Tìm cặp số nguyên ( x,y ) thỏa mãn: Lời giải x z 5 1    y y    x    y  1 5 Do x, y  nên x  , y  số nguyên ước mà Ư(5)=  1; 5 Ta có bảng giá trị tương ứng sau x+5 -5 -1 y-1 -1 -5 x -10 -6 -4 y -4 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Vậy cặp số nguyên cần tìm :  x, y      4;  ;  0;  ;   6;  ;   10;   x x  1  x    x  3  y Bài 22 Tìm số x, y nguyên, biết  Lời giải 2  x  3x   x  3x    y Đặt x  x a ta a  a  2  y2  a  2a  y  a  2a   y 1   a   y   a   y  1 a 1  y ; a 1  y  Do x, y nguyên nên  số nguyên ước nên ta có trường hợp sau: a   y 1 a  y 0 a 0      a   y  a  y     y 0 Trường hợp 1:  x 0 x  x 0  x  x  3 0    x  Với a 0 ta  a   y  a  y  a       a   y  a  y     y 0 Trường hợp 2:  x  x  3x   x  x  0   x  1  x   0    x  Với a  ta x; y  0;  ;   3;  ;   1;0  ;   2;  Vậy cặp số  thỏa mãn  2 Bài 23 Tìm nghiệm nguyên phương trình xy  x  y   x  y  xy Lời giải 2 2 xy  x  y   x  y  xy  xy  y  x  x  y  xy  0   xy  y    xy  y    x  x    y  x  1  y  x  1  x  x  1    x  1  y  y  x    x  1 ;  y  Do x, y nguyên nên hợp sau:  x  1   2 y  y  x   Trường hợp 1: y y  1 1 Với  ta y 1 y  x số nguyên ước nên ta có trường  x 2  x 2    2 y  y 1  y  y  1 1  x    x 0     2 y  y  x 1 2 y  y 1  Trường hợp 2: y y  1 1 Với  ta y 1 Vậy cặp số  x; y  thỏa mãn  2;1 ;  0;1 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang  x 0   y  y  1 1 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 2 Bài 24: Tìm nghiệm nguyên phương trình x  3xy  y 7 Lời giải 2 2 x  xy  y 7  x  xy  xy  y 7  x  x  y   y  x  y  7   x  y   x  y  7 Do x,y  Z nên 2x  y , x  y số nguyên ước mà Ư(7)=  1; 7 nên ta có trường hợp sau:  x  y 1 1  x  y 7   Trường hợp 1:  Từ (1)  y 2 x  x   x  1 7  x  x  7  x 9  x 1,8 Thay y 2 x  vào (2) (loại) y y  1 1 Với x 1  y 1  2.1 3 ta có:Với  ta y 1  x  y  1 3  x  y    Trường hợp 2:  Từ (3)  y 2 x  x   x  1 7  x  x    x   x  1,8 Thay y 2 x  vào(4) (loại)  x  y 7    x  y 1  Trường hợp 3:  Từ (5)  y 2 x  x   x   1  x  x  14 1  x 15  x 3 Thay y 2 x  vào(4) (t/m) x   y  2.3   Với  x  y     x  y  1  Trường hợp 4:  Từ (7)  y 2 x  x   x   1  x  x  14   x  15  x  Thay y 2 x  vào(8) (t/m) x   y 2   3  1 Với x; y  3;  1 ;   3;1 Vậy cặp số  thỏa mãn  2 Bài 25 Tìm nghiệm nguyên phương trình 3x  xy  y 2 Lời giải 2 2 3x  xy  y 2  3x  3xy  xy  y 2  x  x  y   y  x  y  2   3x  y   x  y  2 Do x,y  Z nên 3x  y , x  y số nguyên ước mà nên ta có trường hợp sau: 3 x  y 1 1  x  y 2   Trường hợp 1:  Từ (2)  y 2  x TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 Ư(2)=  1; 2 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Vậy nghiệm phương trình là:  0;1 , (1;1) 2 Bài Giải phương trình nghiệm nguyên: x  x 19  y Lời giải 2  x  y   x y  xy  xy  xy  1 (1) Ta có: pt   xy 0  xy  1 Vì xy  hai số ngun liên tiếp có tích số phương =>  xy  0 Nếu xy 0 , từ (1) suy ra: x  y 0 Nếu xy  0  xy  , x y số nguyên nên từ (1) suy ra: 0;  , ( 1;1), (1;  1) Vậy nghiệm phương trình là:    x     y 1   x 1    y  Dạng 3: Sử dụng tính chất số phương I Phương pháp giải Sử dụng tính chất +  x a; x  Z để tìm giá trị nguyên x +Thay nghiệm tìm vào phương trình để tìm nghiệm cịn lại Để sử dụng tính chất số phương, ta áp dụng đẳng thức sau để biến đổi biểu thức: a  2ab  b  a  b  a  2ab  b  a  b  II Bài toán 2 Bài Tìm x, y nguyên biết: 25  y 4.( x  2016) Lời giải Ta có  x – 2016  0 2 với x nên 25  y 0  y 25 2 Mà 4.( x  2016) số phương chẵn  25  y chẵn  y lẻ y số phương lẻ, + Nếu y 25  y2   + Nếu  x  2016 2    x  2016    y 25  y   1;9; 25 x – 2016  0  x  2016 x – 2016  16   TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 x – 2016  4 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN  x 2018    x  2014 + Nếu y2    x – 2016  24   x – 2016  6 khơng phải số phương (loại) Vậy với y 3 x 2018; x 2014 Với y 5 x 2016 2 Bài Tìm x, y thuộc Z biết : 25  y 8( x  2018) Lời giải Ta có : 25 – y  25  8( x  2015)  25  ( x  2015)  2 Do x nguyên nên ( x  2015) số phương Có trường hợp xảy : TH : ( x  2015) 0  x 2015 , y  y   x  2015 1  x 2016 ( x  2015) 1      x  2015   x 2014 TH : Với x  2016 x  2014 y  17 (loại) Vậy x  2015, y  2 Bài Tìm x, y   biết: 36  y 8( x  2018) Lời giải 36  y 8( x  2018)  y  8( x  2018) 36 Vì 2  ( x  2018) 1  y 0   ( x  2018) 0  ( x  2018) 4  2 Với ( x  2018) 1  y 28( ktm)  x 2020 ( x  2018) 4    y 4  y 2 x  2016  Với x Với Vậy 2018  0  x 2018  y 36  y 6  x; y     2020;  ;  2016;  ;  2018;6   Bài Tìm cặp số tự nhiên  x; y  2 cho: 49  y 12.( x  2001) Lời giải 2 Xét đẳng thức 49  y 12.( x  2001) : Vế phải số chẵn không âm nên y số lẻ không lớn Khi y 1  x 2003 x 1999 Khi y 3 khơng có giá trị x  N Khi y 5 khơng có giá trị x  N TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Khi y 7  x 2011 Vậy cặp  x; y  cần tìm  2003; 1 ;  1999; 1 ;  2001;  2 Bài Tìm x, y   biết: 36  y 8.( x  2010) Lời giải Ta có: 36  y 8.( x  2010)  y  8.( x  2010) 36 Vì 2 y 0  8.( x  2010) 36  x  2010)  36 2 Vì ( x  2010) x  N , ( x  2010) số phương nên   x 2012  y 2 x  2010    y      y   ( x  2010) 4   x 2008   2   ( x  2010) 1   x  2010 1  y 28(ktm)   ( x  2010) 0   y 6   x  2010 0  x 2010  y 36    y   Vậy ( x, y ) (2012; 2);(2008; 2);(2016;6) 2 Bài Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x  y  77 Lời giải 77 x  y  77  y  77 – y  77  y   y  25 2  y   1;9; 25 Mà 2x chẵn; 77 lẻ  3y lẻ  y lẻ 2 + y   x  77   74  x  37  số tự nhiên x 2 + y   x  77  27  50  x  25  x  y  2 + y  25  x  77  75   x   x  y  2 x; y   5; 3 ;  1;  Vậy số tự nhiên x, y thỏa mãn x  y  77  2 Bài Tìm số x, y nguyên, biết: x  y  xy  y  0 Lời giải 2 x  y  xy  y  0  x  xy  y  y  y  0   x  xy  y    y  y  1 9 2   x  y    y  1 9 Mà  x  y  0 x, y;  y  1 0 y Do 4  x  y  9   x  y    x  y  ;  y  1 số phương nên ta có trường hợp sau Do x, y số nguyên nên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN  x  y  0  x  y 0  x  y 0  x   x 2  hoaëc  hoaëc      2 y    y 1  y   y  1 9 2 y  3  x   x 2 hoaëc    y  Vậy  y 1 2 Bài Tìm số x, y nguyên, biết: x  y  x  y 8 Lời giải 2 x  y  x  y 8  x  y  x  y 32  x  x   y  y  34   x  x  1   y  y  1 34 2   x  1   y  1 34 2  x  1 ;  y  1 số phương lẻ nhỏ 34 Do x, y số nguyên nên  x  1 9   y  1 25 Mà vai trò x, y nên khơng tính tổng qt ta có:  x   2;  1  x  3      y  5  y   3;  2 Hay x; y  Vậy cặp số nguyên  thỏa mãn  2;3 ;  2;   ;   1;3 ;   1;   ;  3;  ;   2;  ;  3;  1 ;   2;  1 Bài Tìm số x, y nguyên, biết: x  y  x y 64 Lời giải x  y  x y 64  x  y  x y  x 64    x3   y  x3 y   x3   64 t   y  t  64 Đặt x t ta Vì x nguyên nên t số ngun Khi t số phương khơng vượt 64  t 64  x 64 Do x   0;1 Với x 0 ta y 64  y 8  y  1 63 loại 63 khơng số phương Với x 1 ta x; y  0;8  ;  0;   Vậy cặp số  thỏa mãn  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 Bài 10 Tìm số x, y nguyên, biết: x  xy  y 169 x 2 y   y 169 HD : 2 Bài 11 Tìm số x, y nguyên, biết: x  y  y  xy  0 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN x 2 y    y  1 4 HD : 2 Bài 12 Tìm số x, y nguyên, biết dương: x  13 y  xy 100  x  3y  HD :  y 100 Dạng Sử dụng tính chất chia hết I Phương pháp giải - Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vơ nghiệm tìm nghiệm phương trình - Hai vế phương trình nghiệm nguyên chia cho số có số dư khác phương trình khơng có nghiệm ngun II Bài toán 2a   b   b  Bài Tìm tất số tự nhiên a, b cho : Lời giải x  x 2 x Nhận xét: với x 0 x  x 0 x x Với x  Do ln số chẵn với x   Áp dụng nhận xét b  b  số chẵn với b    a a Suy  số chẵn  lẻ  a 0 Khi b   b  8 Nếu b     b    b  8  8(ktm) Nếu b 5   b   8  b 9(tm) Vậy  a, b   0,9  Bài Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy –  x + y Lời giải xy – y  x   y  3x –   x +  1 Theo đề ta có Do x, y nguyên nên suy x  chia hết cho 3x –   x   (3x  2) 2  9.x  45 chia hết cho 3x –  9.x  x  x –  49 chia hết cho 3x –  3x  x     x –   49  49 chia hết cho chia hết cho 3x – x –  3x     49;  7;  1;1; 7; 49 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN  x    47;  5;1;3;9;51  x   1;3;17 Thay x vào (1) ta Vậy cặp số  x, y  y   6; 2;6  1;  ;  3;  ;  17;  Bài Tìm cặp số nguyên (x;y) biết: x  y  x y Lời giải x  y  xy  xy  x  y  x(1  y )  y  x  Ta có: x  Z  y ( y  1)  y    1( y  1) , y  1  y 2 y 0 y y1 Nếu y 2 x 2 Nếu y 0 x 0 Vậy cặp số nguyên  x; y  là:  0,   2;  2019 y 1 Bài Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : x  x 3 Lời giải +) Với y  y  , ta có: 2019 y  không số nguyên VP= VT= x  x số nguyên  Trường hợp loại +)Với y=0 ta có x  x 32019.0   x  x 2  x( x  1) 1.2 ( 2).(  1)  x 1 x 2 2019 y  chia cho dư +)Với y 1 , ta có VP= x y Bài Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn điều kiện  72 Lời giải Giả sử x  y ,ta có: x  y 2 x (2 x  y  1) 9.25 Do  x y số lẻ nên  x  y   1;3;9  x  y 1 y 9.23 (loại)  x  y 3 y 3.23 (loại)  x  y 9 y 23 (thỏa mãn) x y y Với 2  9  y 3; x 6 Vậy x 6; y 3 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Bài Giải phương trình nghiệm nguyên xy  xy  243 y  x 0 Lời giải 243 y x  y  1 243 y  x   y  1 (1) Ta có: pt    y  1  U  243 Do y nguyên nên (y;y +1) =  y  3  y 2  y  9   y 8  Suy ra:  x; y   54;  ;  24;8  Kết hợp với (1) ta có nghiệm pt :  2 Bài Giải phương trình nghiệm nguyên 15 x  y 9 (1) Lời giải 2 Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn pt (1) Ta thấy : 15x chia hết y 3 y 3  y 3  y 3 y1  x  21 y12 3  x 3  x 3 x1 Do (7;3) 1 , suy :  15 x12  y12 1  y12  1 mod  (vô lý) => pt (1) vô nghiệm 2 2 Bài Giải phương trình nghiệm nguyên x y  x  y 2 xy Lời giải 2 y x   x  y  Đưa phương trình dạng (1) Phương trình có nghiệm x  y 0 , xét x, y # => x  số phương  Đặt  x  a   x  a   x  a  7  ta có bảng sau : xa -1 -7 x a -7 -1 x -4 -4 4  y 1    y  Với x = -4, thay vào (1)  y     y 2 Với x = 4, thay vào (1) 0;  ,  4;  1 ,  4;  ,   4;1 ,   4;   Vậy nghiệm phương trình là:  Bài Giải phương trình nghiệm nguyên Lời giải  x  x  x 4 y  y    x  1 x   y  1 Phương trình x   x  x  4 y  y  1  x  1 ,  x  1  Vì VP PT số lẻ =>  số lẻ  x  1; x  1 d => d số lẻ Giả sử : 1  x d 1  x d      x d 1  x d => chia hết cho d Mà d lại số lẻ nên d = Mà :    x    x  số phương mà   x    x  = nên   x    x  số Do phương TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 ĐẠI 7-CHUYÊN ĐỀ 8-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 2 Ta thấy x ;1  x hai số nguyên liên tiếp mà số phương Suy x = Từ suy y = y = -1 Vậy PT cho có hai nghiệm (0;0), (0;-1) Bài tập tự luyện 2 Bài 10 Giải phương trình nghiệm nguyên 29 x  28 y 2000 (1) Lời giải 28 y  Ta có : , mà 2000 chia cho dư Nên từ (1) => 29 x 7 (theo tính chất chia hết tổng) 2 x 5  mod  Do (29; 7) 1 => x 7 => , mà x số phương, điều vơ lý => PT Vơ nghiệm 2 Bài 11 Giải phương trình nghiệm nguyên 1999 x  2000 y 2001 (1) Lời giải Ta có : 2000 y 4 , mà 2001 chia cho dư Nên từ (1) => 1999 x 4 (theo tính chất chia hết tổng) 2 x  1 mod  Do (1999; 4) 1 => x 4 => , mà x số phương, điều vơ lý => PT Vơ nghiệm Dạng Sử dụng tính chất Số hữu tỉ Bài Tìm số nguyên x, y thỏa mãn:  y  2 x2   y2 Lời giải Ta thấy y  không thỏa mãn đề Với y  : Biến đổi biểu thức thành : y  y   ( y  2)( y  2)  3 x2    y   y2 y2 y2 y2 y 2 Vì x nguyên nên x nguyên Để x nguyên y   U (3)  1;  1;3;  3 nguyên Suy y  nguyên hay Ta có bảng y2 y x2 x KL : 1 -3 -8 ( x; y )   (0;  1);(0;1) -1 0 thỏa mãn đề Bài Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x  y 2 xy  11 Lời giải y y   Vì nguyên nên Biến đổi biểu thức thành TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 y  nguyên, mà y nguyên nên y  -3 -5 -8 0