• Tính chất 3: [Đường tròn ngoại tiếp HBC] Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016... Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT [r]
(1)Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 CÁC TÍNH CHẤT HÌNH PHẲNG OXY (Phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng (ĐVH) – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN KHÔNG ĐỢI LÂU, CHÚNG TA SẼ BƯỚC VÀO PHẦN HẤP DẪN NHẤT CÁC TÍNH CHẤT ĐIỂN HÌNH VỀ CIRCLE • Tính chất 1: [Đường thẳng Euler, quan trọng nhé] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C), A’ là điểm đối xứng A qua I, H’ là giao điểm AH với đường tròn (C) Khi đó ta có các kết quả: +) Tứ giác BHCA ' là hình bình hành +) Ba điểm I, G, H thẳng hàng và IH = 3IG +) H và H’ đối xứng qua BC Chứng minh: ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… • Tính chất 2: [Mối quan hệ I – J] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I, J là tâm đường tròn nội tiếp (tức là giao ít đường phân giác nhá), D là giao điểm phân giác góc A với (C) Khi đó ta có D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC, tức D cách đỉnh đó, hay là dễ hiểu thì DB = DC = DJ Chú ý: ID ⊥ BC nhé Chứng minh: ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… • Tính chất 3: [Đường tròn ngoại tiếp HBC] Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (2) Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I, H là trực tâm tam giác Gọi J là điểm đối xứng I qua BC thì J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC hay JB = JC = JH = R Chứng minh: ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… • Tính chất 4: [Bài toán hai chân đường cao tam giác] Cho tam giác ABC, gọi D, E là chân đường cao kẻ từ B, C lên cách cạnh AC, AB Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I, đó ta có kết IA ⊥ DE hay A ' A ⊥ DE Chú ý: Tính chất này còn khai thác bài toán trục đẳng phương Ta dễ thấy D, E thuộc hai đường tròn - Đường tròn (C1) đường kính BC - Đường tròn(C2) đường kính AH (với H là trực tâm) Khi đó ta dễ dàng thu phương trình DE Chứng minh: ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… • Tính chất 5: [ĐVH1] Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (3) Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn (C) tâm I Gọi D, E là giao điểm đường tròn (C) với các đường cao qua A và C Khi đó I, B IB ⊥ DE cách E, D hay BD = BE Chứng minh: ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD có diện tích 50, đỉnh C (2; −5) , −1 AD = 3BC , biết đường thẳng AB qua điểm M ;0 , đường thẳng AD qua N (−3;5) Viết phương trình đường thẳng AB biết đường thẳng AB không song song với các trục tọa độ Lời giải 1 AB qua M − ; ⇒ AB : a x + + by = 2 AD qua N ( −3;5) và vuông góc với AB ⇒ AD : b ( x + 3) − a ( y − ) = Ta có AB = d ( C , AD ) = 5a + 10b a + b2 a − 5b BC = d ( C , AB ) = a2 + b2 ⇒ AD = a − 5b a2 + b2 Ta có S ABCD a − 4b 5a + 10b 5a − 10b = 50 ⇔ AB ( BC + AD ) = 50 ⇔ AB.BC = 50 ⇔ = 50 ⇔ =2 2 2 2 a + b a +b a +b a + 6b = ( l ) 2a + 2b = a − 4b ⇔ a − 4b = 2a + 2b ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 2 a + b = b − a a = b 2 2 • Với a = b chọn a = 2, b = ⇒ AB : x + y + a = b a = −b 2 =0 • Với a = −b chọn a = 2, b = − ⇒ AB : x − y + =0 Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (4) Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Vậy AB : x + y + FB: LyHung95 2 = AB : x − y + =0 2 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trinh đường cao AH và trung tuyến AM là: x − y − 13 = và 13 x − y − = Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác ABC là I (−5;1) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C Lời giải Ta có A = AH ∩ AM ⇒ A ( −3; −8 ) Đường thẳng IM qua I ( −5;1) và song song với đường thẳng AH ⇒ IM : x − y + = Ta có M = AM ∩ IM ⇒ M ( 3;5 ) Đường thẳng BC qua M ( 3;5 ) và vuông góc với đường thẳng AH ⇒ BC : x + y − 11 = Do B ∈ BC : x + y − 11 = ⇒ B ( t ;11 − 2t ) Ta có IB = IA ⇒ ( t + ) + (10 − 2t ) = 85 2 t = ⇒ B ( 2; ) ⇒ C ( 4;3 ) ⇔ 5t − 30t + 40 = ⇔ t = ⇒ B ( 4;3) ⇒ C ( 2; ) Vậy A ( −3; −8 ) , B ( 2;7 ) , C ( 4;3) A ( −3; −8 ) , B ( 4;3) , D ( 2; ) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) = Chứng minh từ điểm M trên đường thẳng d : x − y + = luôn kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) Gọi hai tiếp điểm A, B Tìm tọa độ điểm M để khoảng cách từ J (1;1) đến đường thẳng AB Lời giải Đường tròn ( C ) có tâm I (1; ) , bán kính R =1 Ta có d ( I , d ) = 2 = > R ⇒ từ điểm M bất kì trên đường thẳng d : x − y + = luôn kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn ( C ) Gọi M ( t ; t + 3) và A ( x; y ) là tọa độ tiếp điểm Ta có IA = ( x − 1; y − ) , MA = ( x − t ; y − t − 3) Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (5) Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 ⇒ ( x − 1)( x − t ) + ( y − )( y − t − 3) = ⇔ x + y − ( t + 1) x − ( t + 5) y + 3t + = (1) Mặt khác A ∈ ( C ) ⇒ ( x − 1) + ( y − ) = ⇔ x + y − x − y + = ( ) 2 Lấy ( ) − (1) ta ( t − 1) x + ( t + 1) y − 3t − = ⇒ AB : ( t − 1) x + ( t + 1) y − 3t − = Ta có d ( J , AB ) = ⇒ t+2 ( t − 1) + ( t + 1) = t+2 ⇔ 2t + 2 = ⇔ ( t + ) = ( 2t + ) t = ⇒ M (1; ) ⇔ 14t − 16t + = ⇔ 22 t= ⇒M ; 7 22 Vậy M (1; ) M ; 7 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) = và đường thẳng d : x + y + = Từ điểm A thuộc d kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) B và C Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC Lời giải: Gọi ( C ) tâm I, AI ∩ BC = {H } , tham số A ( a; −2 − a ) AI = ( a − 1)2 + ( a + )2 Ta có 2 2 AB = AI − IB = ( a − 1) + ( a + ) − Mặt khác ∆ABI vuông B có BH là đường cao nên ( a − 1) + ( a + ) 1 = + = BH AB IB ( a − 1)2 + ( a + )2 − 5 2 2 ( a − 1) + ( a + ) − 5 Suy → BH = 2 ( a − 1) + ( a + ) ( a − 1)2 + ( a + )2 − 5 2 Lại có AH = AB − BH = 2 ( a − 1) + ( a + ) Vì = S ∆ABC = S ABH = AH BH ↔ AH BH = 64 ( a − 1) + ( a + ) − 5 ( a − 1) + ( a + ) − a − 1) + ( a + ) − 5 ⋅ = 64 ↔ ( = 64 (*) Điều này ↔ 2 2 2 ( a − 1) + ( a + ) ( a − 1) + ( a + ) ( a − 1) + ( a + ) 25 25 2 Đặt ( a − 1) + ( a + ) = t → t = a + + ≥ 2 2 2 2 2 Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (6) Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (*) ↔ (t − 5) t FB: LyHung95 = 64 ↔ 5t − 139t + 375t − 625 = ↔ ( t − 25 ) ( 5t − 14t + 25 ) = ↔ t = 25 A (1; −3) a = 2 Điều này ↔ ( a − 1) + ( a + ) = 25 ↔ → a = −4 A ( 4; −6 ) Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu là A (1; −3) A ( 4; −6 ) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-2; 1), điểm A thuộc trục tung, điểm C thuộc tia Ox và góc BAC 30 độ Bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Xác định tọa độ điểm A và C Lời giải: Theo định lý hàm sin ∆ABC → BC = R → BC = sinBAC C ( 0; ) c = Gọi C ( c; ) → = BC = ( c + ) + ↔ → c = −4 C ( −4;0 ) AB = ( −2;1 − a ) Ta có: Gọi A ( 0; a ) , với C ( 0; ) → AC = ( 0; − a ) ( ( ) A 0; 12 + a = 12 + ↔ ↔ a = − 12 + A 0; − 12 + ( a − 1) + a AB = ( −2;1 − a ) Với C ( −4;0 ) → 4; AC a = − − ( ) a ( a − 1) + = Ta có: = cos BAC ↔ a − 2a3 + 5a + 32a + 16 = 2 ( a − 1) + a + 16 a ( a − 1) = = cos BAC ( ( )( ( ) ↔ a2 + 12 − a + − 12 a − ) ) ) 12 + a + + 12 = − 12 + 12 − 19 A 0; − 12 + 12 − 19 a = ↔ ↔ − 12 − 12 − 19 a = − 12 − 12 − 19 A 0; − 12 + 12 − 19 − 12 − 12 − 19 ; C ( −4;0 ) ∨ A 0; ; C ( −4;0 ) Vậy A 0; 2 A 12 + ; C ( 0; ) ∨ A 12 − ; C ( 0;0 ) là các điểm cần tìm ( ) ( ) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông A, D có B ( 8; ) , CD = AB và 82 phương trình đường thẳng AD là x − y + = Điểm M ; thuộc đường thẳng AC Tìm tọa độ các 13 13 điểm A, C, D Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (7) Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Lời giải: A là hình chiếu B lên đường thẳng AD → A ( 5; ) Phương trình AC qua A và M là AC : x + y − 32 = Gọi D ( d ; d + ) , vì DC = AB → C ( d + 6; d − ) C ∈ AC → ( d + ) + d − − 32 = → d = → D (1;3) ; C ( 7; −3) Vậy A ( 5; ) D (1;3) ; C ( 7; −3) là các điểm cần tìm Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C thuộc ∆ : x − y − = , đường thẳng BD có phương trình x − y − = Điểm E(-1; 2) thuộc cạnh AB cho EB = 3EA Biết B có tung độ dương Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D Lời giải: Gọi K là giao điểm BD và CE Khi đó ta có: KE BE 2 = = ⇒ KE = − KC Gọi K ( t ; 7t − ) ; C ( 2v + 1; v ) ta KC CD 3 − − t = − ( 2v + − t ) t = 11 11 có ⇔ ⇒ C ( 5; ) ; K ; 7 11 − 7t = −3 ( v − 7t + ) v = Khi đó gọi B ( u; 7u − ) Ta có: BE.BC = ⇔ ( u + 1)( u − ) + ( 7u − 11)( 7u − 11) = ⇔ u = ( yB > ) Do B ( 2;5 ) Lại có: BE = 3EA ⇒ A ( −2;1) ⇒ D (1; −2 ) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3; –1) Tọa độ điểm E(–1; –3) thuộc đường thẳng chứa đường cao qua đỉnh B Đường thẳng AC qua F(1; 3) Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kinh AD với D(4; –2) Lời giải: Gọi H là trực tâm tam giác ABC ta có: CH / / BD ⊥ AB và BH / / CD BHCD là hình bình hành suy M là trung điểm BC đồng thời là trung điểm HD Khi đó H ( 2; ) suy PT đường cao BH là: x − y − = Do AC : x + y − = và CD: x − y − = Suy C = CD ∩ AC ⇒ C ( 5; −1) ⇒ B (1; −1) ⇒ BC : y = −1 Khi đó AH : x = ⇒ A ( 2; ) Vậy A ( 2; ) ; B (1; −1) ; C ( 5; −1) Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (8) Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M (5;7) nằm trên cạnh BC Đường tròn đường kinh AM cắt BC B, cắt BD N (6; 2) , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x − y − = Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé Lời giải: Ta có tứ giác ABMN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM vây ANM = 900 Mặt khác AMN = ABN = 450 ( cùng chắn AN ) Do đó ∆ANM vuông cân N Ta có: AN : x − y + = Gọi A ( 5t − 4; t ) Khi đó: AN = MN ⇔ ( 5t − 10 ) + ( t − ) = 16 2 ⇔ t = ∨ t = ⇒ A (1;1) ( xA < 3) Gọi C ( u; 2u − ) Lại có: NA = NC ⇔ ( u − ) + ( 2u − ) 2 u = = 26 ⇔ 13 u = ( loai ) Do C ( 7; ) ⇒ K ( 4; ) ⇒ AC : x − y = 0; BD : x + y − = Lại có: BC : x = ⇒ B ( 7;1) ⇒ D (1; ) Vậy A (1;1) ; B ( 7;1) ; C ( 7;7 ) ; D (1;7 ) Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC Một đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt CD F Đường thẳng chứa đường trung tuyến AM tam giác AEF cắt CD K Tìm tọa độ điểm D biết A(−6;6), M (−4; 2), K (−3;0) Lời giải: Ta có: EAB = DAF ( cùng phụ với góc DAE ) Do ∆DAF = ∆BAE ⇒ AF = AE ⇒ ∆AEF cân A Ta có: AK : x + y + = ⇒ EF : x − y + = Gọi F ( 2t − 8; t ) đó: t = 2 AM = MF ⇔ ( 2t − ) + ( t − ) = 20 ⇔ t = +) Với t = ⇒ F ( −8; ) ⇒ CD : y = ⇒ AD : x = −6 Do đó: D ( −6; ) +) Với t = ⇒ F ( 0; ) ⇒ CD : x − y + 12 = −6 12 Suy AD : x + y − = ⇒ D ; 5 −6 12 Vậy D ( −6; ) D ; 5 Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-1; 5) và điểm M(0; -2) là trung điểm cắt cạnh BC Gọi D, E là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C Đường phân giác góc DME đường cao hạ từ đỉnh A điểm I(0; 3) Tìm toạ độ các đỉnh B, C biết điểm B có hoành độ âm Lời giải: Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (9) Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Gọi K là trung điểm AH (H là trực tâm ∆ABC ), J là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có: Vì ADH = AEH = 90o → ADHE nội tiếp ( K ; KD ) Suy KD = KE Lại có tứ giác EDCB nội tiếp ( M ; MD ) → MD = ME Suy MK là trung trực DE →K ≡I → MK là phân giác góc DME Vì I là trung điểm AH → H (1;1) Mà ta có AH = JM → J ( −1;0 ) Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: ( C ) : ( x + 1) + y = 25 Phương trình BC qua M vuông góc AH là BC : x − y − = Tọa độ B, C là nghiệm hệ: x = 4; y = x − y − = B ( −4; −4 ) → → ( xB < ) ( x + 1) + y = 25 x = −4; y = −4 C ( 4;0 ) Vậy B ( −4; −4 ) ; C ( 4;0 ) là các điểm cần tìm Câu 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có phương trình là 8 (C ) : ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 26 , G 1; là trọng tâm tam giác và M (7; 2) nằm trên đường thẳng qua A và 3 vuông góc với đường thẳng BC, M khác A Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn tung độ điểm C Lời giải Gọi A ( a, b ) ⇒ ( a − ) + ( y − 3) = 26 2 Gọi N là trung điểm BC 3 Ta có AG = 2GN ⇒ N − a;8 − b 2 1 ⇒ NI = + a; b − , MA = ( a − 7; b − ) 2 2 Mà MA / / NI ⇒ a−7 b−2 = ⇔ a+b = ⇔ b = 9−a 1 + a b −5 2 a = 2 ⇒ ( a − ) + ( − a ) = 26 ⇔ 2a − 16a + 14 = ⇔ a = ( l ) ⇒ A (1;8 ) , N (1; ) Đường thẳng BC qua N (1; ) và vuông góc với đường thẳng AM ⇒ BC : x − y + = Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (10) Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 t = + Do B ∈ BC ⇒ B ( t ; t + 3) Ta có IB = 26 ⇒ ( t − ) + t = 26 ⇔ 2t − 4t − 22 = ⇔ t = − ( ) ( ) Với t = − ⇒ B (1 − 3; − ) ⇒ C (1 + 3; +2 ) → loại Vậy A (1;8 ) , B (1 + 3; + ) , C (1 − 3; − ) Với t = + ⇒ B + 3; + ⇒ C − 3; − Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 (11)