Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình nghiệm nguyên hai biến x, y Một số phương pháp cơ bản tìm nghiệm nguyên của... sinxy chế độ rad..[r]
(1)TRƯỜNG THCS TRUNG BÌNH TỔ TOÁN NGUYỄN HOÀNG DUY BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY Dành cho GV ôn luyện hsg giải toán trên máy tính casio TRUNG BÌNH 2015 (2) HS chuẩn bị ít nhất một các loại máy sau để tham gia học tập:Casio fx 570MS, Casio fx 570ES, VinaCal 579MS, Casio fx 570 VN Plus, Casio fx 991ES (2 lượng) và các loại máy có chức tương đương Thông tin liên lạc với GV: 0904 743 092; 0919236300 Mục lục Mục lục Phần nội dung § Giới thiệu tổng quát về chức Casio fx 570MS và Casio 570ES § Đại số sơ cấp § Số học phổ thông § Hình học trung học sơ § Cấp số, dãy số và giới hạn dãy số § Toán phần trăm, toán kĩ thuật, tính thời gian § Một số dạng toán đại học § Giới thiệu các đề thi máy tính cầm tay THCS cấp khu vực và toàn quốc Tài liệu tham khảo Phụ lục (3) PHẦN NỘI DUNG § Giới thiệu tổng quát về chức Casio fx 570MS và Casio 570ES 0.1 Chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính Sinh viên có thể download các chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính tại trang www.bitex.edu.vn * Giả lập Casio fx 570MS: Ngoài chức tương tự một máy tính Casio fx 570MS, chương trình này cho phép gọi dãy phím vừa bấm trên máy (với thời gian cụ thể kèm theo) bằng chức “View log” Thuận lợi của chức này là người báo cáo thuyết trình về máy tính cầm tay có thể cho lại thao tác ấn phím một cách nhanh chóng để người nghe thực theo; nữa giáo viên có thể copy các phím này vào bài soạn máy tính cầm tay của mình Chương trình giả lập Casio fx 570MS được viết bơi một sinh viên khoa Toán – Tin, trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh với sự hướng dẫn của các giảng viên của trường Bạn có thể liên hệ qua địa chỉ “nguyendangkimkhanh info@123doc.org” để được cập nhật miễn phí chương trìh này * Giả lập VinaCal-579MS: 0.2 Máy Casio fx 570MS * Các chức Mode: MODE 1: COMP (COMPUTING) Tính toán thông thường MODE 2: CMPLX (COMPLEX) Tính toán với số phức MODE2 1: SD (STANDAR DEVIATION) Toán thống kê MODE2 2: REG (REGRESSIVE) Toán hồi quy, tương quan Một số chức cài đặt MODE REG sau: LIN (LINEAR): Hồi quy tuyến tính LOG (LOGARIT): Hồi quy logarit EXP (EXPONEENTIAL): Hồi quy mu MODE2 3: BASE Toán trên các hệ đếm 2-8-10-16 MODE3 1:EQN (EQUATION) Giải phương trình, hệ phương trình Một số chức cài đặt MODE EQN sau: (4) UNKNOWNS, UNKNOWNS: Hệ phương trình tuyến tính 2, ẩn (unknowns) DEGREE, DEGREE: Phương trình bậc (degree) 2, bậc MODE3 2: MAT (MATRIX) Toán ma trận MODE3 3: VCT (VECTOR) Toán véctơ MODE4 1: DEG (DEGREE) Cài đặt chế độ “độ” cho phép tính lượng giác MODE4 2: RAD (RADIAN) Cài đặt chế độ “radian” cho phép tính lượng giác MODE4 3: GRA (GRADE) Cài đặt chế độ “grát” cho phép tính lượng giác( 1gra = 0,90) MODE5 1: FIX (FIXED NUMERIC FORMAT) Cài đặt làm tròn kết hiển thị từ đến chữ số thập phân sau dấu phẩy MODE5 2: SCI (SCIENTIFIC NUMBER) Cài đặt hiển thị dạng số kỹ thuật a.10 x MODE5 3: NORM (NORMAL) MODE6 1: DISP (DISPLAY) Một số chức cài đặt MODE DISP sau: 1: ENG ON, 2: ENG OFF Bật, tắt chế độ hiển thị số kỹ thuật m ► 1: ab/c, 2: d/c Quy định một phân số n (có m > n) luôn hiển thị dạng hổn số hoặc không ►► 1: DOT, 2: COMMA Quy định hiển thị dấu phân cách các chữ số (bộ ba số: nghìn, triệu, tỷ, ) và dấu phân cách thập phân là dấu phẩy (comma) hay dấu chấm (dot) * Biến nhớ và cách sử dụng: Các biến gồm: A, B, C, D, E, F, X, Y, M, Ans, đó Ans là biến nhận giá trị hành của kết vừa thực xong trên máy ◊ Lưu giá trị vào biến: Lưu 10 vào biến A, thao tác 10 Shift Sto A, sau này ta viết tắc là 10 A Lưu 20 + 100 vào biến D, thao tác 20 + 100 Shift Sto D, viết tắc là 20 + 100 D Riêng biến M sẽ thay đổi giá trị ấn phím M + hoặc M – (5) Ví dụ: M, sau đó ấn M+, đó biến M lúc này nhận giá trị 12 ◊ Gọi giá trị biến ra: Ấn Alpha A , kết quả: 10 (vì đã lưu 10 A trên) Ấn Alpha A + Alpha D , kết quả: 130 ◊ Đối với biến Ans: Máy tự động lưu lại giá trị hành vào Ans Ấn + , ấn tiếp Ans + , kết quả: 15 * Một số phím chức thường dùng: AC (CANCEL): Hủy lệnh (công thức) vừa nhập DEL (DELETE), INS (INSERT): Xóa,chèn ký tự SHIFT: Gọi chức các phím màu vàng ALPHA (ALPHABET): Gọi chức các phím màu đỏ CLR (CLEAR): Xóa cài đặt các Mode để trơ về trạng thái mặc định ban đầu của máy CALC (CALCULATE): Tính giá trị biểu thức chứa biến (một hoặc nhiều biến) SOLVE: Giải gần đúng phương trình tùy ý Dấu “ = ” màu đỏ, dấu “ : ” màu đỏ: Dùng vào lập trình Chú y: Trong giải thuật lập trình sau này quy ước nếu viết = thì hiểu dấu bằng màu đỏ lập trình, nếu viết thì hiểu dấu bằng màu trắng CONV (CONVERT) Đổi các đơn vị vật lý (Yard m, mile km, hp KW ) Xem thông số chuyển đổi nắp máy CONST (CONSTANT) Hằng số vật lý quốc tế (Xem nắp máy) ab/c, d/c: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số LOGIC Thực phép toán logic và các hệ đếm DEC (DECIMAL) Hệ thập phân, HEX (HEXADECIMAL) Hệ lục phân, BIN (BINARY) Hệ nhị phân, OCT (OCTAL) Hệ bát phân e x e x e x e x sinh x , cosh x 2 Hyp (Hyperpolic): sin-1: arcsin Hàm ngược của hàm sin (6) 2 arcsin VD : sin 2 4 x ENG (ENGINE) Hiển thị kiểu số kỹ thuật a.10 i màu xanh (Imaginary): Đơn vị ảo i của số phức z r cos i sin Arg (Argument) Argument của số phức Abs (Absolute) Trị tuyệt đối, môđun số phức Conj (Conjugate) Số phức liên hợp Pol( (Polarity) Chuyển đổi dạng cực của số phức Rec( (Rectangle) Chuyển đổi dạng đại số của số phức z z bi Re Im (Real, Image): Gọi phần thực, phần ảo x EXP (EXPONENTIAL): 10 , ví dụ để nhập 90000, ấn EXP Rnd (Round): Làm tròn số tính toán Ran # (Random): Gọi một số ngẫu nhiên từ máy DRG (Dgree, Radian, Grade): Tính toán một biểu thức có nhiều chế độ A sin 300 cos tan 26 g 7r tính, ví dụ tính giá trị biểu thức MAT (Matrix): Tính toán với ma trận (Dim (chiều, cỡ), Edit (sửa), Det (định thức), Trn (vết), ) VCT (Vector): Tính toán với vectơ (Dim (chiều, cỡ), Edit (sửa), Dot (tích vô hướng), ) DT (DATA): Nhập số liệu (toán thống kê hoặc toán hồi quy) S-Sum (Sumary), S-Var (Variance): Gọi kết thống kê DISTR (Distribute): Tính giá trị hàm phân phối chuẩn tắc Anr nPr: Chỉnh hợp Cnr nCr: Tổ hợp n! n r! n! r ! n r ! x Các ký hiệu màu vàng: k (kilo) 103, M (mega) 106, G (giga) 109, T (tera) 1012, m (mili) 10-3, (micro) 10-6, p (pico) 10-12, n (nano) 10-9, f (femto) (7) 10-15 0.3 Máy Casio fx 570ES (= 991ES (máy lượng)) * Các Mode và phím chức năng: Ở đây chỉ nêu một số chức MODE khác so với máy 570MS ◊ Các chế độ MODE: MODE STAT (STATISTICS): Toán thống kê MODE TABLE: Liệt kê bảng giá trị của hàm số f(x) với các thông tin nhập vào như: Giá trị biến khơi đầu (Start); giá trị biến kết thúc (End) và bước nhảy (Step) Chức quan trọng nhất của TABLE giải toán là ứng dụng vào việc dò tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình, dò tìm cực trị của hàm số ◊ Các Phím chức năng: SETUP: Cài đặt các hiển thị Bấm Shift SETUP để chọn các chức cài đặt theo ý riêng sau: a 1: MthIO Chọn hiển thị phân số dạng sách giáo khoa (dạng b ) 2: LineIO Chọn hiển thị phân số trên một dòng (dạng a b ) 8: Deg, Rad, Gra, Fix, Sci, Norm Chức tương tự máy 570MS Ấn tiếp dấu mui tên ▼, chọn các chức sau: a b a 1, 2: ab/c, d/c Hiển thị phân số dạng b hay hổn số c tử số lớn mẫu số 3: CMPLX Hiển thị một số phức dạng đại số hay dạng lượng giác 4: STAT Bật hay tắt cột tần số trên màn hình nhập dữ liệu thống kê, hồi quy 5: Disp Cài đặt hiển thị dấu phẩy của số thập phân là dấu “,” hay “.” 6: CONST (Contrast) Tăng ►, giảm ◄ độ tương phản trên màn hình máy tính S D: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số Các chức còn lại có ký hiệu tương tự trên máy 570MS ◊ Chú y: Đối với máy 570ES, dùng phím Solve để giải ẩn thì ẩn cần (8) phải được dùng là biến X hoặc Y * Biến nhớ và cách sử dụng: Hoàn toàn tương tự máy 570MS * So sánh một số điểm yếu và điểm mạnh bản giải toán của hai loại máy 570MS và 570ES: + MS bấm lập trình nhanh ES (ES phải ấn thêm Calc) + MS có chức Copy dùng kết nối biểu thức (ES không có chức này) + MS nhập thống kê được nhiều bộ giá trị xi , ni ES + MS cho phép giải ẩn là các biến tùy ý biểu thức, đối với máy ES thì ẩn phải được dùng là biến X hoặc Y + ES có thêm chức Table có thể áp dụng tìm khoảng phân ly nghiệm hoặc tìm cực trị + ES được thiết kế tính toán thuận tiện MS, MS phải thao tác đúng theo cú pháp (VD tính tích phân, ma trận, vectơ) + ES cho kết nhiều chữ số MS a + ES hiển thị được phân số dạng b đối với số lớn mà trên máy MS không hiển thị được + ES có phím số chạy thuận lợi MS đối với việc tính tổng có biến chỉ (9) §1 Đại số sơ cấp 1.1 Tính giá trị biểu thức không chứa biến và chứa biến * Giải theo nhiều cách: Dùng các biến A, B, C, , Ans, dùng phím Calc, dùng Table Chú y: Thiết lập chế độ tính toán phù hợp (rad, độ, grad) đối với bài toán lượng giác Bài tập A log cot cosh tan sinh Cho biểu thức 5 , đó sinh x, coh x lần lượt là sinhyperpolic và coshyperpolic của x a) Tính A chế độ radian b) Tính A chế độ độ ĐS: 2 Tính giá trị biểu thức I 3a 2b 2ac 5abc 6ab ac tại a) a 1, b e, c 2; b) a sin , b log e, c C74 ĐS: 3 a) Tính giá trị hàm số f x sin x cos x 2 ex tại x = 10, x 1,572 , x b) Tính gần đúng giá trị của hàm số f x 2sin x sin x cos x tan x 2cot x sin x cos x 3 1, 25 ; Chế độ tính đối với câu a) và b) là radian ĐS: cos x tại x ; ; (10) 4 a) Cho biết b) Biết tan cos I sin , tính cos 2 , tính J sin x cos x ĐS: 5 Cho hàm số y f x x3 x 5e x , tính các giá trị của y x nhận giá trị từ đến với bước nhảy 0,5 Nêu ít nhất quy trình bấm phím ĐS: 6 * Cho hàm số f x sin x x , hãy tính tổng sau chế độ radian và đặt một số bài toán mơ rộng khác (nếu có thể)? a) A f 1 f f 3 f 40 B f 1 b) c) f 2 f 3 f 20 C f 1 f f 3 f f 40 D f 1 d) 1 f 2 HD: Dùng phím f 3 1 f 4 f 5 f 19 f 20 (máy ES), lập trình (máy ES và MS) ĐS: * Cho hàm số f x 4x x , tính 2009 i S f sin i 1 2010 2009 i S1 f 2010 ; i 1 HD: Không thể dùng phím x y 1 f x f y 1 (sẽ bị “treo máy”) Chứng minh được: , tách tổng thành nhiều cặp (x, y) có tổng ĐS: 1.2 Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình f x 0 (11) * Dùng phím Solve (chỉ dùng cho 570MS, 570ES) * Phương pháp lặp đơn (có thể áp dụng chung cho 500MS, 500ES) * Phương pháp Newton (pp tiếp tuyến) (có thể áp chung cho 500MS, 500ES) Chú y: Phím Calc được xây dựng trên sơ phương pháp Newton Bài tập 1 Tìm nghiệm của phương trình: x x ĐS: 2 x 5 3 x 2 Tìm nghiệm của phương trình: ĐS: 3 Tìm nghiệm của phương trình sau radian: 3cos3x x 0 ĐS: 4 Tìm nghiệm của phương trình: 3x ln x x2 0 ĐS: 5 x Chứng tỏ rằng phương trình 3sin x x có hai nghiệm khoảng (0, 4) Tính gần đúng hai nghiệm của phương trình đã cho ĐS: f 1 0; f 1 4,524412954 0; f 2, 270407486 x1 0,15989212; x2 3,728150048 2 1 15 11 x x 3 Tìm nghiệm của phương trình: ĐS: 7 Tìm một nghiệm gần đúng (ơ radian) của phương trình : sin 3x x 7 x log x 1 ĐS: 8 1 4448 Tìm nghiệm thực của phương trình x x x 6435 ĐS: 9 Tìm hai nghiệm thực gần đúng của phương trình x 70 x 45 x 20 10 x12 x 25 0 (12) ĐS: 10 Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình sau với hai số bé 10-9 (ơ chế độ radian) sin 2009 x sin 2007 x sin 2005 x sin 2003 x x 0 ĐS: 11 Tìm một nghiệm gần đúng (ơ radian) của phương trình: ln 3x x x sin x ĐS: 12 Tìm x , biết x a) x 142,717 x b) x 357, 2708 1 1 5 x c) d) 1 1 5 2! 3! x! HD: Lập trình, cho biến X chạy từ 1, quan sát giá trị của biến tổng để kết luận ĐS: 1.3 Phương trình nghiệm nguyên hai biến x, y Một số phương pháp tìm nghiệm nguyên của f x, y 0 * Dạng đặc biệt ax by c * Dạng tổng quát (1) có thể rút được biến biểu thị qua biến còn lại: Giả sử rút x được x g y , lập trình, cho x chạy, tìm y nguyên (kết hợp điều kiện từ đề bài để dừng) * Dạng tổng quát (1) có thể đưa về phương trình bậc hai theo biến: Giả sử A x y B x y C x 0 , giải tìm y theo công thức (13) nghiệm được y1 , y2 , sau đó lập trình cho x chạy tìm y nguyên (kết hợp điều kiện ) * Một số dạng giải nhờ suy luận, kết hợp suy luận và lập trình Bài tập Giải phương trình nghiệm nguyên x 20 thỏa A26x C15x x ! 57!9005 0 ĐS: 2 x y 7 Hãy tìm tất các cặp (x, y) Cho đường thẳng (d) : thuộc (d) thỏa: a) x, y đều nguyên dương b) x, y đều nguyên âm c) x, y tùy ý ĐS: 3 Tìm cặp số nguyên dương (x,y) với x nhỏ nhất thỏa 156 x 807 12 x 20 y 52 x 59 ĐS: 4 x 11, y 29 Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa phương trình 2 a) x y 2008 2 b) x y 2008 HD: b) Hằng đẳng thức x y x y x y ĐS: b) (503;501), (503; -501), (-503; 501), (-503; -501), (253; 249), (253; -249), (-253; 249), (-253; -249) 5 Tìm cặp số tự nhiên với x bé nhất có chữ số thỏa mãn phương trình x y xy HD: Đưa về dạng phương trình bậc hai theo y, x chạy từ 100 ĐS: (110, 1100) (14) 6 Tìm cặp số tự nhiên (x; y) biết x, y có hai chữ số và thỏa mãn phương trình x y xy 4 HD: Ta có: x y xy x y xy Vì x và y chỉ có chữ số, nên vế phải tối đa là 2.993, nên x tối đa là 2.993 38 suy 10 x 38 Dùng chức giải phương trình bậc ba để giải phương trình bậc ba, biến y: y by b 0 , (thử lần lượt các giá trị của b tìm y nguyên, với b 10,11, ,38 ) Hoặc nhập vào phương trình X BX B 0 , dùng chức Solve, lần lượt gán B từ 10 cho đến 38, gán giá trị đầu X = ĐS: (12; 24) 1.4 Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Để đắp đê, địa phương đã huy động nhóm người gồm học sinh, công nhân, nông dân và bộ đội Thời gian làm việc sau (giả sử thời gian làm việc của mỗi người một nhóm là nhau: Nhóm bộ đội mỗi người làm việc giờ; nhóm công nhân mỗi người làm việc giờ; nhóm nông dân mỗi người làm việc giờ; nhóm học sinh mỗi em làm việc 0,5 giờ Địa phương cung đã chi tiền cho từng người một nhóm theo cách: Nhóm bộ đội mỗi người nhận 50.000 đồng;nhóm công nhân mỗi người nhận 30.000 đồng; nhóm nông dân mỗi người nhận 70.000 đồng; nhóm học sinh mỗi em nhận 2.000 đồng Cho biết: Tổng số người của nhóm là 100; Tổng thời gian làm việc của nhóm là 488; Tổng số tiền của nhóm nhận là 5.360.000 đồng Hãy tìm số người từng nhóm? ĐS: 2 Theo di chúc, bốn người được hương số tiền 9902490255 đồng chia theo tỉ lệ giữa người thứ nhất và người thứ hai là 2:3; người thứ hai và người thứ ba là 4:5; người thứ ba và người thứ tư là 6:7.Tính (15) số tiền nhận được của mỗi người con? ĐS: 3 Tìm bán kính của hình cầu nội tiếp một hình lập phương, biết rằng tổng của thể tích, diện tích toàn phần và độ dài tất các cạnh của hình lập phương có giá trị gấp lần giá trị của thể tích của hình cầu này ĐS: 17,79151445 4 Một người nông dân có một cánh đồng cỏ hình tròn bán kính R 100m , đầy cỏ, không có khoảnh nào trống Ông ta buộc bò vào một cây cọc trên mép cánh đồng Hãy tính chiều dài đoạn dây buộc cho bò chỉ ăn được một nửa cánh đồng ĐS: 115,8728473 m 5 1000 1000 2000 2000 33,76244 Tính x3000 y 3000 Cho x y 6,912; x y ĐS: 6 Cho hai đường thẳng (d1), (d2), biết (d1) qua A(2; -3) và B(7; 7), (d2) có hệ số góc là – và qua C(-1;2) Gọi I là giao điểm của (d1) và (d2), tính độ dài AI ĐS: 1.5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số biến * Một số phương pháp thường dùng: Tam thức bậc hai; Đặt ẩn phụ; Dùng chức Table (máy 570ES); Đạo hàm; Bất đẳng thức Bài tập y 1,32 x 1 Cho hàm số 3,1 x 7,8 6, 7, a) Tính y x 2 b) Tính ymax ĐS: a) y = 2 b) ymax = Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x cos3 x 6cos x 9cos x (16) ĐS: 3 Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x 3x 5cos5 x ĐS: max 4 trên đoạn [0; ] f x 12,5759; f x 3,1511 Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x 2sin x 2cos x ĐS: 5 sin x cos x max f x 3,9465; f x 2,0125 Tính gần đúng cực đại và cực tiểu của hàm số f x x x 3x 12 x ĐS: 6 Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x esin x x cos x x2 1 trên đoạn [0; 1] ĐS: 3 Cho x, y nguyên dương thỏa x y 2009 , tìm giá trị lớn nhất của 7 sin(xy) (chế độ rad) Hãy tổng quát bài toán? ĐS: 1.6 Đa thức, sơ đồ Hoocne * Tính giá trị đa thức dạng đặc biệt * Tìm đa thức dư phép chia hai đa thức * Thao tác ấn phím nhanh đối với sơ đồ Hoocne tìm đa thức thương và dư * Tìm đa thức thỏa điều kiện ban đầu Bài tập 1 Tính giá trị của đa thức P x 1 x x x x 2009 x 1,570038 ĐS: và Q x x11 x12 x13 x 2010 tại (17) 2 P x x7 x5 3x x Tìm dư phép chia cho x 5 ĐS: 3 P x 3x 40 x11 x8 Tìm dư chia đa thức Q x 10 x 21x 11 cho đa thức ĐS: 4 Tìm dư chia đa thức Q x x3 x P x 3x 2009 x 2001 x1995 1990 cho đa thức ĐS: 5 f 10 f 1 12 f 4 f 3 1 , , , Tìm Cho đa thức bậc ba, biết f(10)? ĐS: 6 Khai triển biểu thức P x x x 15 ta được đa thức a0 a1 x a30 x 30 Tính giá trị biểu thức A a0 2a1 4a2 8a3 536870912a29 1073741824a30 HD: A P ? ĐS: 7 Khai triển A 1 x ax dưới dạng 10 x bx Hãy tìm các hệ số a,b HD: A x x C81ax C82a x 2 C81a 10 2 C8 a 7C8 a b ĐS: (18) Cho f x là đa thức bậc 3, biết rằng chia f x cho x 1 , x , x 3 đều được dư và f 1 18 Tính f 2009 ? ĐS: 9 Tìm m, n để đa thức sau có chung nghiệm P x 3x x 5m n; x với Q x x3 3mx n ĐS: P x x ax 2bx x c 10 Tìm a, b, c để đa thức chia hết cho đa thức 3x , x , x 1 ĐS: 11 Xác định các hệ số a, b, c của đa thức cho P x chia cho x 16 P x ax bx cx 2007 có số dư là 29938 và chia cho x để 10 x 21 10873 x 3750 có đa thức dư là 16 ĐS: 12 Tìm thương và dư phép chia P x x x x x x 5 cho bằng sơ đồ Hoocne, viết thuật toán ĐS: x 0, q x q x x 0, 13 Chia x cho được thương dư r1 , chia cho được thương là q2 x và dư r2 Tìm r2 bằng cách dùng sơ đồ Hoocne ĐS: 14 Cho đa thức a) Tính P x P x 13 82 32 x x x x x 630 21 30 63 35 x 4, 3, 2, ,3, b) Chứng minh rằng P x x (19) HD: 630 = 2.5.7.9 ĐS: 15 Cho đa thức bậc 5, P x x ax bx cx dx e P 9 P 3 19 P 33 P 51 , , , Tính Biết P 1 3 P 6 P , và , P 29 HD: Cách 1: Lập hệ phương trình ẩn a, b, c, d, e Khử lần lượt các biến để đưa về hệ phương trình ẩn, phương trình rồi giải Cách 2: Đặt Q x 2 x Khi đó P i Q i i , 1, 2, 3, 4, Suy P x x 1 x x 3 x x x ĐS: P 193; P 819; P 29 11795283 Suy các giá trị cần tính f n x0 f n f x0 , 1.7 Các lập trình tính giá trị hàm số tích tại x0, f n g m x0 f n g m x0 * , n, m * Dùng biến Ans (không an toàn nếu ấn dư phím hoặc thiếu phím) * Dùng lập trình trên các biến A, B, C, Bài tập 1 Cho hàm số f x 12 x x 2009 , tính f 25 0,5 ĐS: 2 Cho hàm số f 30 f x e sin 2009 x 7.x 5 (xét chế độ radian) Tính ĐS: Cho hai hàm số độ radian) Tính ĐS: f x 9 x5 x3 x f 12 g 12,56 , gf , , g x sin x f g 0, 259 (xét chế (20) 4 Cho hai hàm số f x sinh cos x , g x sin x , hãy tính a f 15 g 22 b g 15 f 22 , (xét chế độ radian) Trong đó sinh x là sinhyperpolic của x ĐS: -▲ - §2 Số học phổ thông 2.1 Số nguyên tố và các thuật toán kiểm tra nguyên tố Để kiểm tra số nguyên dương A có là số nguyên tố hay không ta chỉ cần kiểm tra A có ước từ * Thao tác 1: X , A hay không X X : A X 0=1 0=1 … A , nếu thấy thương đều lẻ thì KL A nguyên tố X chạy đến * Thao tác 2: Kiểm tra A có chia hết cho không, nếu không thì lập trình sau: 0 X , A A : X X 1 : X X 1 0=1 0=1 … Câu hỏi: Giải thích các thao tác ấn phím và 2? Bài tập Kiểm tra số 647 có phải là số nguyên tố không? ĐS: Kiểm tra số 2191 có phải là số nguyên tố không? ĐS: Phân tích thành thừa số nguyên tố các số sau: 252633033 và 8863701824 ĐS: a b 2.2 Tìm số dư chia số nguyên dương a cho số nguyên dương b r b Giả sử a chia b dư r , ta chia các trường hợp sau: * Trường hợp 1: a chia b có phần nguyên q không tràn màn hình (21) Ta có a bq r suy r a bq với q là phần nguyên của thương 2009 502, 25 Ví dụ: suy số dư chia 2009 cho là 2009 4.502 1 * Trường hợp 2: a chia b có phần nguyên tràn màn hình Giả sử a a1a2 a3 an n k = a1a2 a3 ak 10 + ak 1ak 2 an đó a1a2 a3 ak chia b có phần nguyên không tràn màn hình Như vậy ta có thể tìm được dư r1 chia a1a2 a3 ak cho b theo trường hợp Khi đó, a chia b dư r1.10 n k ak 1ak 2 an = r1ak 1ak 2 an , với r1 b Theo ta có quy tắc: Tách số bị chia a thành hai phần và lấy dư r1 của phần thứ nhất chia cho b Sau đó “gắn” số dư r1 này vào phần thứ hai còn lại để được số bị chia mới bé a, thực thao tác này một cách liên tục thì ta được số bị chia mới cung giảm liên tục, đến một lúc nào đó số bị chia mới đủ bé, đó ta tìm được dư r của bài toán theo trường hợp Câu hỏi: Giải thích ? Bài tập Tìm dư chia 123456789 cho 12345 ĐS: 6789 Tìm dư chia 111122223333444455556666777788889999 cho 2010 ĐS: 699 Tìm dư chia 9999999998888888877777776666665555544443332210 cho 123456789012345 ĐS: Tìm dư chia – 2008200920102011201220132014201520162017 cho 65432 ĐS: - 38649 (22) Tìm dư chia 987654321012345678903 cho 999997777755555333333 cho 2020 ĐS: 457 2.3 Liên phân số hữu hạn * Thuật toán tìm liên phân số hữu hạn Chia lấy dư liên tục Chia lấy dư liên tục a b r0 r1 … r2 q2 rn-1 rn qn+1 r0 b q0 q1 Khi đó ta có sự biểu diễn a q0 b q1 qn1 Sự biểu diễn này là nhất a * Thao tác bấm máy nhanh đưa liên phân số về dạng phân số b q0 q1 q2 q3 a b qn x qn x qn qn qn x qn ấn phím liên tục x q1 x q0 a Chú y: Một số liên phân số đưa về phân số thì máy không hiển thị dạng b a được trên màn hình Để đưa liên phân số này về dạng b ta cần thực quy trình bấm phím nhanh trên sau một số bước rồi thực thao tác thủ công trên máy Bài tập Biểu diễn số hữu tỷ sau dạng liên phân số (23) 275 453 a) ; b) 127 ; ĐS: a) 275 91 x 1 91 1 ĐS: a) 20092 c) 2007 b) 453 3 127 x x 1 1 * Tử > mẫu : a b phần nguyên x phần nguyên * Cách ghi kết dưới dạng LPS: Tử : Các phần nguyên cộng phần PS 1 3 4 ĐS: b) 3 1 1 3 453 Vậy 127 = ( 1 4 ) 1 1 3 = 3 1 x x 4 Cách bấm : phần nguyên lật ngược 3 4 Lập quy trình ấn phím liên tục để đưa liên phân số sau về dạng phân số tối a giản b 10 1 4 9 1 2 8 1 7 3 1 6 4 a) b) ĐS : Cách bấm : Từ dưới lên Lật ngược phần nguyên ; Lật ngược phần nguyên ; ĐS: a) 3,566929134 b) 10,1096148 Cách bấm: 4 Cách bấm: 5 x x x x x Kq:a) x x 10 (24) 5116 a) Biểu diễn phân số 2637 dưới dạng liên phân số sau 5116 1 2637 3 Hỏi dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 3? ĐS: Quy trình bấm phím: 1393 b) Biểu diễn phân số 985 dưới dạng liên phân số sau 1393 1 985 2 Hỏi dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 2? ĐS: Quy trình bấm phím: B k0 k1 27 k2 B 27 kn 15 kn 2009 , biết Cho Tìm dãy số k0 , k1 , , kn ĐS: Cho dãy số: u1 2 2; u2 2 u3 2 2 2; 2 2 ;… Hãy tính giá trị chính xác của u9 và giá trị gần đúng của u15 , u20 Dự đoán lim n un 5741 u15 , u20 2, 414213562 2378 ; ĐS: 2.4 Đồng dư số học, ứng dụng của hàm Ơle đồng dư số học Nếu a chia b dư r (hoặc a và r chia b có cùng số dư) thì ta viết a r (modb) Một số tính chất của đồng dư số học: u9 (25) 1) Nếu a b(modm) và c d(modm) thì ta có a c b d (modm) ac bd (modm) ak bk (modmk), k a k b k (modm), k f x x (modm), (là đa thức với hệ số nguyên) 2) Nếu ac bc(modm) và (c, m) = thì ta có a b(modm) 3) Nếu a b(modm) và là một ước chung của a, b, m thì ta có a b m (mod ) 4) Nếu a b( modmi ), i = 1, 2, …, k và m = BCNN( m1, m2, …, mk ) thì ta có a b(modm) 5) Nếu a b(modm) và là một ước dương của m thì ta có a b(mod ) Hàm Ơle số học 1) Định nghĩa: Cho m là một số tự nhiên khác không Với m = 1, ta định nghĩa (1) = 1; Với m 1, (m) là số các số tự nhiên bé m và nguyên tố cùng với m 2) Ví dụ: (4) = vì có số bé và nguyên tố cùng với là và k 1 3) Công thức tính: Giả sử m có dạng phân tích tiêu chuẩn là m p1 p2 pk f a f b (trong đó pi là các số nguyên tố, i , i = 1, 2, …, k ) đó ta có m m 1 p1 p2 pk 1 p p 1 p p Vậy nếu p là số nguyên tố thì ( m) 1(modm) 4) Định ly Ơle: Nếu (a, m) = thì a 5) Định ly Fecma: Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên tùy ý p đó ta có a a (modp) p Vậy nếu a không chia hết cho p thì a 1 (modp) (tính chất đồng dư) Chú y: Nếu p là số nguyên tố thì p thỏa (*), điều ngược lại là không đúng Một hợp số n thỏa (*) được gọi là số giả nguyên tố sở a 561 Ví du: 561 là số giả nguyên tố sơ vì 2 (mod561) Một số phương pháp tìm số dư chia a cho m (a, m nguyên dương) * Thao tác “thủ công”: Dùng tính chất của đồng dư số học, nâng luy thừa vế lớn dần (bằng thao tác tùy ý) Hạn chế của phương pháp này là đạt được kết rất lâu (26)