Tài liệu Chuyên đề Vector tham khảo pdf

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN TOÁN BÀI BÁO CÁO MƠN GIẢI TỐN PHỔ THƠNG NHĨM 03 CHỦ ĐỀ 1: VECTƠ GVHD: Lại Thị Cẩm Các thành viên: Trần Thị Kim Luyến Nguyễn Hoàng Anh Chế Ngọc Hà Lê Thúy Hằng Nguyễn Hòang Long Lý Sel Thạch Thanh Tâm MSSV: 1050042 MSSV: 1070109 MSSV: 1070126 MSSV: 1070127 MSSV: 1070142 MSSV: 1070157 MSSV: 1070163 Cần Thơ, ngày 26 tháng 08 năm 2009 TÓM TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ I Các định nghĩa:        Vectơ đoạn thẳng có định hướng Ký hiệu : AB ; CD a ; b   Vectơ – không vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Ký hiệu  Giaù vectơ đƣờng thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ  Hai vectô phương hai vectơ có giá song song trùng  Hai vectơ phương hướng ngược hướng  Hai vectơ chúng hướng độ dài II Tổng hiệu hai vectơ:            Định nghóa: Cho AB  a ; BC  b Khi AC  a  b      Tính chất : * Giao hoaùn : a  b = b  a       * Keát hợp ( a  b ) + c = a  (b + c )    * Tính chất vectơ –không a + = a  Quy tắc điểm :       Cho A, B ,C tùy ý Ta có : AB + BC = AC  Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành     AB + AD = AC  Quy taéc hiệu vectơ : Cho BC , với điểm O tùy ý ta có : OB  OC  CB  Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA  MB   Nếu G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC   Nếu AM trung tuyến tam giác ABC AB  AC  AM III Tích vectơ với số:  Cho kR , k a laø vectơ xác định: * Nếu k  k a hướng với a ; k < k a ngược hướng với a * Độ dài vectơ k a k  a   Tính chất : a) k(m a ) = (km) a b) (k + m) a = k a + m a c) k( a + b ) = k a + k b   d) k a =  k = hoaëc a =   AB        b cuøng phương a ( a  ) có số k thỏa b =k a  Điều kiện cần đủ để A , B , C thẳng hàng có số k cho   =k AC       Cho b không cùngphương a ,  x biểu diễn x = m a +  n b ( m, n nhaát ) IV Trục tọa độ hệ trục tọa độ:   Trục đường thẳng xác định điểm O vectơ i có độ dài  Ký hiệu trục (O; i ) hoắc x’Ox    A,B nằm trục (O; i ) AB = AB i Khi AB gọi độ dài đại số AB  Hệ trục tọa độ vuông góc gồm trục Ox  Oy Ký hiệu Oxy   (O; i ; j )       Đối với hệ trục (O; i ; j ), a =x i +y j (x;y) toạ độ   a Ký hiệu a = (x;y)    Cho a = (x;y) ; b = (x’;y’) ta coù :   a  b = (x  x’;y  y’)  k a =(kx ; ky) ;  k  R     b phương a ( a  ) có số k thỏa x’=kx vaø y’= ky  Cho M(xM ; yM) vaø N(xN ; yN) ta có: P trung điểm MN xp =   MN xM  xN y  yN vaø yP = M 2 = (xM – xN ; yM – yN)  Nếu G trọng tâm tam giác ABC x  xB  xC y  y B  yC xG = A vaø yG = A  MỘT SỐ DẠNG TOÁN VECTƠ Chứng minh đẳng thức vectơ:  Phƣơng pháp chung:    - Quy tắc điểm: AB  AC  CB    AB  AC  CB - Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta ln    có: AD  AB  AC - Quy tắc trung điểm: với điểm M tuỳ ý I trung điểm AB ln có:    2MI  MA  MB - Các tính chất phép cộng,trừ vecctơ phép nhân số với vectơ để thực biến đổi tƣơng đƣơng cho đẳng thức cần chứng minh ta lựa chọn biến đổi sau: + Biến đổi vế thành vế lại  Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiệnviệc đơn giản biểu thức  Xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực việc phân tích vectơ + Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biết + Biến đổi đẳng thức biết thành đẳng thức cần chứng minh + Tạo dựng hình phụ  Ví dụ 1:     Cho điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB Giải: Ta trình bày theo cách sau:  Cách 1: Thực phép biến đổI VT, ta có:             AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  ( DB  BD)  AD  CB Nhận xét: Thực việc biến đổI VT thành VP, ta cần tạo xuất   vectơ AD CB Do đó:   lời giải ta xen điểm D vào AB điểm B vào vectơ CD Ta sử dụng lựa chọn phép biến đổi VP thành VT Cụ thể cách  Cách 2: Thực phép biến đổi VP ta có:             AD  CB  AB  BD  CD  DB  AB  CD  ( BD  DB)  AB  CD  Cách 3: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biết           AB  CD  AD  CB  AB  AD  CB  CD  DB  DB  Ví dụ 2: Gọi M, N lần lƣợt trung điểm đoạn AB, CD Chứng minh rằng:      2MN  AC  BD  AD  BC Giải: Cách 1: Ta có M trung điểm AB , với N     NA  NB  NM  2MN (1) N trung điểm CD, với M    MC  MD  2MN (2) Lấy (2)-(1) ta đƣợc:      4MN  MC  MD  ( NA  NB)          MA  AC  MB  BD  ( NC  CA)  ( ND  DB)          MA  MB  AC  BD  ( NC  ND)  AC  BD       2( AC  BD)      MN  2( AC  BD)     MN  ( AC  BD)   Chứng minh tƣơng tự: VT = AD  BC Cách 2: Gọi O la 1điểm tuỳ ý vectơ MN Khi theo quy tắc trung điểm, ta có:    2OM  OA  OB(1)    2ON  OC  OD(2)       Lấy (2)-(1) ta đƣợc: 2(ON  OM )  (OC  OD)  (OA  OB)      MN = (OC  OA)  (OD  OB)     MN = AC  BD (1)    Ta cần chứng minh: AC  BD  AD  BC     VT= AD  DC  BC  CD   = AD  BC = VP (2)      Từ (1) (2) ta suy ra: 2MN  AC  BD  AD  BC  Ví dụ 3: Cho tam giác ABC.Gọi I tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác.CMR:     a.IA  b.IB  c.IC  ( a,b,c  R  ) Giải: Dựng hình bình hành AB2 IC2 có AB2 // CC1 , AC // BB1 Ta đƣợc:    IA  IB2  IC2 (1) Đặt: IB2 = b, IC2 = c IC = IB = IA = a IB2 C1 A b   IB C1 B a   IB2  IB IC B1 A c   IC B1C a   IC  IC  b   IB2   IB a ( 2)  c   IC   IC (3) a A B2 C2 B1 I C1 C Thay (2),(3) vào (1)  b  c   IA   IB  IC a a      a.IA  b.IB  c.IC  Dạng 2: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Phƣơng pháp chung    -Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho OM  v , điểm O v biết -Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng vectơ vectơ v Khi điểm vectơ điểm M  Ví dụ : Cho tam giácABC    a) Tìm điểm I cho: IA  2IB  (1)    b) Tìm điểm K cho: KA  2KB  CB (2) B Giải:    a) Theo quy tắc điểm, ta có: IA  IB  BA         (1)  3IB  BA   3IB  BA  AB  IB  AB  điểm I, A, B thẳng hàng hay điểm thuộc đoạn AB thoả điều kiện:   IB  AB b)Từ kết câu a ta suy ra:AI=2IB    AI  2IB    IA  2IB       VT(2)= KA  2KB  ( KI  IA)  2( KI  IB)     3KI  ( IA  2IB)      IA  2IB  IA  2IB  Vậy:    KA  KB  3KI       Theo giả thiết ta đƣợc: 3KI  CB  KI  CB  IK  BC   Kết cho ta vectơ IK BC vectơ phƣơng I  BC nên IK//BC Vậy K điểm thuộc miền tam giác, nằm đƣờng thẳng qua I song   song với BC cho : IK  BC Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phƣơng pháp chung: Muốn chứng minh điểm A,B,C thẳng hàng, ta chứng minh: AB  k AC ;(kR) (1) Để nhận đƣợc (1) ta lựa chọn hai hƣớng - Hƣớng 1: Sử dụng qui tắc biến đổi biết - Hƣớng 2: Xác định AB, AC thông qua tổ hợp trung gian Ví dụ: Cho  ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đƣờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm ABC Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng A O H B G C E A1 Giải Chọn tổ hợp vectơ OA, OB, OC Khi đó: OG   OA  OB  OC  (1) Chọn E trung điểm BC A1 điểm đối xứng với A qua O, ta đƣợc: BH // CA1 vng góc với AC CH // BA1 vng góc với AB  Tứ giác A1BHC hình bình hành  A1, E, H thẳng hàng  HB  HC  HA1     2OE  OB  OC  OA  AH  HB  OA  AH  HC  2OA  AH  HB  HC   A1 A  AH  HA1  HA  HA  AH  AH  2OE Ta có: OH  OA  AH  OA  2OE  OA  OB  OC (2) Từ (1) (2) suy ra: OG  OH  O, G , H thẳng hàng Dạng 4: Biểu diễn vectơ : Định lý: Cho trƣớc hai vectơ a b khác không phƣơng Với vectơ c tìm đƣợc cặp số thực  ,  ,sao cho: c =  a+ b Bây quan tâm tới phƣơng pháp thực đƣợc miêu tả toán sau: Bài toán: Biểu diễn vectơ thành tổ hợp vectơ PHƢƠNG PHÁP CHUNG : Ta lựa chọn hai hƣớng : Hƣớng1: Từ giả thiết xác định đƣợc tính chất hình học, từ khai triển vectơ cần biễu diễn phƣơng pháp xen điểm hiệu hai vectơ gốc Hƣớng 2: Từ giả thiết thiết lập đƣợc mối liên hệ vectơ đối tƣợng ,rồi từ khai triển biểu thức phƣơng pháp xen điểm hiệu hai vectơ gốc Chú ý: Trong vài trƣờng hợp cần sử dụng sở trung gian Ví dụ: Cho  ABC , gọi G trọng tâm tam giác B1 điểm đối xứng B qua G Hãy biểu diễn vectơ CB1 theo AB AC Giải: Từ giả thiết suy AB1CG hình bình hành Ta đƣợc: CB1 = GA = - AG =  2 1 AM =  ( AB + AC )= - ( AB + AC ) 3 Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng PHƢƠNG PHÁP CHUNG: Muốn chứng minh hai điểm A1 A2 trùng , ta lựa chọn hai hƣớng: Hƣớng 1: Chứng minh A1 A2  Hƣớng 2: Chứng minh OA1  OA2 với O điểm tùy ý Ví dụ 1: Cho ABC Lấy điểm A1  BC , B1  AC , C1 AB cho AA1  BB1  CC1  Chứng minh hai tam giác ABC A1B1C1 có trọng tâm Giải Gọi G,G1 theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1 ta có :  AA1  BB1  CC1  ( AG  GG1  G1 A1 )  ( BG  GG1  G1 B1 )  (CG  GG1  G1C1 ) =  (GA  GB  GC)  (G1 A1  G1 B1  G1C1 )  3GG1  3GG1  GG1   G  G1 Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M,N,P,Q lần lƣợt trung điểm AB, BC, CD, DA.Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm Giải : Gọi G1 ,G2 lần lƣợt trọng tâm tam giác ANP CMQ O điểm tùy ý Ta có: OA  ON  OP  3OG1   OC  OM  OQ  3OG2  OG1 = 1/3 ( OA  ON  OP ) (1) OG2 =1/3 ( OC  OM  OQ ) (2): Do N trung điểm BC :  ON = 1/2 ( OB  OC ) Và P trung điểm CD:  OP = 1/2 ( OC  OD ) (1) => OG1 = 1/3 OA + 1/6 OB +1/6 OC + 1/6 OD ( * ) Mặt khác ta lại có: M trung điểm AB : => OM = 1/2 ( OA  OB ) Q trung điểm DA : => OQ = 1/2 ( OD  OA ) ( 2) => OG = 1/3 OA + 1/6 OB +1/6 OC + 1/6 OD (**) Từ ( * ) ( ** ) :  OG1 = OG2  G1 Trùng G2 Dạng 6: Quỹ tích điểm Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện K  PHƢƠNG PHÁP CHUNG: Với tốn quỹ tích ta cần nhớ rằng: Nếu MA  MB với A, B cho trƣớc M thuộc đƣờng trung trực đoạn AB 2 MC  k AB với A, B, C cho trƣớc M thuộc đƣờng trịn tâm C, bán kính k.AB Nếu MA  k.BC ,với A,B,C cho trƣớc  Với k  R điểm M thuộc đƣờng thẳng qua A song song với BC  Với k  R  điểm M thuộc nửa đƣờng thẳng qua A song song với BC theo hƣớng BC  Với k  R  điểm M thuộc đƣờng thẳng qua A song song với BC ngƣợc hƣớng BC  Ví dụ: Cho ABC tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: MA  k MB  k MC  (1) Giải Ta biến đổi (1) dạng: MA  k ( MC  MB)  MA  k BC  M thuộc đƣờng thẳng qua A song song với BC PHẦN BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Bài tập 1: Cho điểm A, B, C, D, E CMR: AC  DE  DC  CE  CB  AB Giải: Cách 1: AC  DE  DC  CE  CB  AC  CE  CE  CB  Ta có:  AC  CB  AB.(dpcm) Cách 2: Ta có: CA  ED  CD  EC  BC  CA  CD  ED  EC  BC  DA  CD  BC  DA  BD  BA  AC  DE  DC  CE  CB  AB Bài tập 2: Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR: a) AB  CD  AC  DB b) AD  BE  CF  AE  BF  CD Giải: AB  CD  AC  CB  CD  AC  DB a)Cách 1: Ta có: Ngồi ra: Ta chèn điẻm B vào CD Nếu xuất phát từ vế phải ta chèn diểm B vào AC C vào DB Cách 2: CB  AB  AC  DB  DC  AB  CD  DB  AC b) AD  DC  BE  EA  CF  FB  AC  BA  CB   AD  BE  CF  AE  BF  CD  Chú ý: Ta sử dụng quy tắc chèn điểm để chứng minh Bài tập 3:Cho ABC Gọi M điểm đoạn BC cho MB=2MC CMR: AM  AB  AC 3 Giải: A Cách 1:Ta có: AM  AB  BM  AB  2CM  AB  CB  2  AB  CA  AB  AB  AC 3   B  N  M C Cách 2: Ta có: BC  AC  AB Mặt khác: MB=2MC  BM  BC CB  2  AB  AC  AB  AB  AC 3 AM  AB  MB  AB    Cách 3: Chọn N thỏa NC=2NB Khi đó: BN=NM=MC  NAC có: AM  AC  AN BAM có: AN  AB  AM 1  AN  AB  AM 2 1  AM  AC  AB  AM 2 AM  AB  AC 3 Bài tập 4: Cho điểm A, B, C, D Gọi E, F lần lƣợt trung điểm AB, CD O trung điểm EF Chứng minh rằng: ( AC  BD ) a) EF  b) OA  OB  OC  OD  c) MA  MB  MC  MD  4MO Giải: E A  D B O C F 2OE  OA  OB(1) a) Cách 1: Ta có: 2ỊF  OC  OD( 2)     2 ÒF  OE   OC  OA  OD  OB       ÈF  / AC  BD   1 AB  BD  DC  2  AC  BD Cách 2: Ta có: EF  EB  BD  DF    1 ( AC  CB)  BD  DB  BC 2    b) Cách 1: Sử dụng kết câu a: (1) + (2)  OA  OB  OC  OD  Cách 2: OA  OB  OC  OD   OE  EA  OE  EB  OF  FC  OF  FD         OE  OF  EA  EB  FC  FD  c) Cách : Sử dung kết câu b: OA  OB  OC  OD   OM  MA  OM  MB  OM  MCOM  MD   MA  MB  MC  MD  4MO Cách2: MA  MB  MC  MD  MO  OA  MO  OB  MO  OD  4MO  OA  OB  OC  OD  4MO Bài tập 5: Cho ABC Chứng minh rằng: a) G trọng tâm ABC GA  GB  GC  b) G trọng tâm ABC MA  MB  MC  3MG ( Với M điểm ) Giải: a) Gọi A’, B’, C’ lần lƣợt trung điểm BC, AC, AB Ta có: GA  GB  GC   / 3( AA'  BB '  CC ') ( tính chất đƣờng trung tuyến) Mà: A C’ B’ G AA'  BB '  CC '  AB  BA'  BA  AB '  CA  AC ' B A’  BA'  CB '  AC ' 1  BC  CA  AB 2 0 Do đó: GA  GB  GC  b) 3MG  MA  AG  MB  BG  MC  CG  MA  MB  MC ' ' ' ' Bài tập 6: Cho ABC A B C có trọng tâm lần lƣợt G G Chứng minh rằng: AA '  BB '  CC '  3GG' Từ đó, suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Giải: Ta có: AA'  BB'  CC '  AG  GG'  G' A'  BG  GG'  G' B'  CG  GG'  G' C'  3GG' Vì: AG  BG  CG  A' G'  B' G'  C ' G'  ' ' ' - ĐK cần đủ để tam giác ABC A B C có trọng tâm là: AA'  BB '  CC '  C Bài tập 7: Cho lục giác ABCDEFGH Gọi M, N, P, Q, R, S lần lƣợt trung điểm AB, BC, CD,DE, EF, FA Chứng minh rằng: Hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Giải: A M B N S C F P R E D Q Cách 1: Ta có: MN  PQ  RS  / 2( AC  CE  EA)  Do đó: theo tập MPR NQS có trọng tâm Cách 2: Gọi G trọng tâm MPR Khi đó: GM  GP  GR   MG  PG  RG  (1) Lấy mặt phẳng, ta có: OG  OM  MG OG  OP  PG OG  OR  RG  3OG  OM  OP  OR  MG  PG  RG (2)  OM  OP  OR Trong OAB : Có M trung điểm AB Kết hợp (2) (1) ta suy ra: OG    2OM  OA  OB Tƣơng tự, xét OCD OEF ta đƣợc: 2OF  OD  OC Thay vào (2) ta có: OG   2OR  OE  OF OA  OB  OC  OD  OE  OF  Gọi G ' trọng tâm NQS Tƣơng tự nhƣ trên: OG'  ON  OQ  OS = OA  OB  OC  OD  OE  OF     Vậy OG  OG'  G  G' Dạng 2: Xác định điểm thỏa mãn hệ thức vectơ Bài tập 1: Cho hai điểm A, B Xác định điểm M, biết: 2MA  3MB  (1) Giải: Ta có: 2MA  3MB     2MA  MA  AB    MA  AB   AM  AB Vậy điểm M hoàn toàn xác định đƣợc Bài tập 2: Cho điểm A, B vectơ v Xác định điểm M biết: MA  MB  v Giải: Gọi O trung điểm AB Khi đó: MA  MB  2MO 1 v Vậy điểm M hoàn toàn xác định đƣợc Bài tập 3: Cho ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC  NA Do đó: (1)  MO  a) Xác định điểm K cho: AB  AC  12 AK  b) Xác định điểm D cho: AB  AC  12KD  Giải:  AB  AM  AB  AM a) Ta thấy:   AB  AM  AC  AN  AC  AN   AC  AN Suy AM  AN  12 AK   AK   AM  AN   K trung điểm MN b) Ta có: KD  AD  AK  AD   AB  AC    4    Suy ra: AB  AC  12 AD   AB  AC      AD    AB  AC 4    D trung điểm BC Bài tập 4: Cho ABC Dựng điểm I, J, L thỏa đẳng thức: a) 2IB  IC  b) 3LA  LB  2LC  c) JA  JC  JB  CA Giải: a) Ta có: 2IB  IC   3IB  IC  IB   CB  3IB Nên điểm I hoàn toàn xác định đƣợc b) Có: BA  LA  LC     BA  4LM với M trung điểm AC Vậy L xác định đƣợc c) Ta có JA  JB  JA  JC  CA  BA  JC  CA  JA  BA  2CJ Vậy điểm J hoàn toàn xác định đƣợc Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD , M điểm tùy ý Trong trƣờng hợp tìm số k điểm cố định I, J, K cho đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với điểm M a) 2MA  MB  k MI (1) b) MA  MB  2MC  k MJ (2) c) MA  MB  MC  3MD  k MK (3) Giải: a) Vì (1) thỏa mãn , với M  I Khi đó: 2IA  IB  k II  Vậy điểm I xác định đƣợc Mặt khác: 2MA  MB  2MI  2IA  MI  IB  3MI  k MI  k  b) Vì (2) thỏa mãn M , với M  J , tức là: JA  JB  JC  k JJ  Khi đó: JE  JC  ( Với E trung điểm AB )  J trung điểm CE Ta xác định đƣợc J Tƣơng tự nhƣ câu a: MA  MB  2MC  4MJ  k MJ  k  c) Vì (3) thỏa mãn M , M  K Khi đó: KA  KB  KC  3KD  3KK  Gọi G trọng tâm ABC  3KG  3KD   K trung điểm GD Ta xác định đƣợc K Mặt khác: MA  MB  MC  3MD  6MK  k MK  k  DẠNG 3: Chứng minh điểm thẳng hàng Bài tập 1: Cho tam giác ABC a Gọi P,Q hai điểm lần lƣợt thỏa 2PB  PC  (1) 5QA  2QB  QC  (2) CMR:P, Q, A thẳng hàng b Gọi I điểm đối xừng với B qua C, J trung điểm A, C, K điểm AB cho AB = 3AK CMR:I,J,K thẳng hàng Giải: a ta cò: 2PQ  2QB  PQ  QC  3PQ  2QB  QC  Mà (2)  2QB  QC  5QA => 3PQ  5QA   PQ  QA Vậy P,Q,A thẳng hàng b A K J B JC  JB  JI Ta có:  JK  KB  JI  JK  AK  JI  JK  2( AJ  JK )  JI  2( JC  AJ)  3JK  JI  3JK  JI JI  3 JK Vậy điểm I,J,K thẳng hàng Bài tập 2: Cho tam giác ABC, lấy điểm I, J thỏa: IA  2IB  0(1)và3JA  JC  0(2) CMR: IJ qua trọng tâm cua tam giác ABC Giải: (1)  IG  GA  IG  2GB    IG  GA  2GB  0(1' ) ( 2)  JG  3GA  JG  2GC   JG  3GA  2GC  0( 2' ) (2)-(1)  JG  IG  2(GA  GB  GC)   5 JG  IG C I Vậy I, J,G thẳng hàng Bài tập 3: cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J cho: 2IA  3IC  0(1)và2 JA  5JB  3JC  0(2) a) CMR: M,N,J thẳng hàng, với M,N lần lƣợt trung điểm AB BC b) CMR: J trung điểm BI GIẢI a) Ta có JM, JN lần lƣợt trung tuyến tam giác AJB, BJC Nên A JM  JA  JB JN  JB  JC M I J Mà: JA  JB  JC   JA  JB  JB  JC  B N  JM  JN   JM   JN Vậy M, N, J thẳng hàng b) (1)  IJ  JA  3IJ  JC  Mà2 JA  JB  3JC   5IJ  JB  IJ  JB J trung điểm BI Bài tập 4: cho hình bình hành ABCD tâm O lấy điểm I, J cho : 3IA  IC  ID  0(1) JA  JB  JC  0(2) CMR: I, J, O thẳng hàng GIẢI: C (1)  3IO  3OA  IO  2OC  IO  2OD   3IO  OA  2OD  0(1' ) (2)  JO  OA  JO  2OB  JO  2OC   JO  OC  2OB  0(2' ) (1' )  (2' )  3IO  OA  2OD  JO  OC  2OB   3IO  JO  2(OD  OB)   3IO  JO Vậy I, J, O thẳng hang