Xeùt hình bình haønh APQB, ta coù I laø giao ñieåm cuûa BP vaø AQ gt I laø trung ñieåm cuûa BP vaø AQ.... COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG.[r]
(1)COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Trường NGUYỄN GIA THIỀU (2014-2015) Thời gian: 120 phút (NGAØY THI: 15/11/2014) Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 x 2001.2002 b) x3 5x2 8x c) x6 x4 x2 y y y Baøi 2: (2 ñieåm) Tìm x, bieát: a) x 1 x x 3 x 24 b) x2 a x 1 Bài 3: ( điểm) Cho số a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d; a2 b2 c2 d2 Chứng minh rằng: a202 b202 c202 d202 Bài 4: (1 điểm) Chứng minh với x, y nguyên thì: A x y x 2y x 3y x 4y y laø moät soá chính phöông Bài 5: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2014 Bài 6: ( 2,5 điểm) Cho ABC vuông A (AB < AC), có AH là đường cao Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chức C vẽ hình vuông AHKE a) Chứng minh: C 450 b) Gọi P là giao điểm AC và KE Chứng minh: AB = AP c) Gọi Q là đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm BP và AQ Chứng minh ba ñieåm H, I, E thaúng haøng d) Chứng minh: HE // QK Baøi 7: (1 ñieåm) Cho tam giaùc DBC nhoïn Keû BM CD M CD ,CA BD A BD Goïi I laø trung điểm AB, qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt CB O; qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MO cắt DA K Chứng minh: KA.KB KM2 HEÁT Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) (2) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 HƯỚNG DẪN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP Trường NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 x 2001.2002 x2 x 2001.2002 x 2001x 2002x 2001.2002 x x 2001 2002 x 2001 x 2001 x 2002 b) x3 5x2 8x x3 5x2 8x x3 x2 4x2 4x 4x x2 x 1 4x x 1 x 1 x 1 x2 4x x 1 x c) x6 x4 x2 y y y x6 x4 x2 y y y x6 y x4 x2 y y x2 y x4 x2 y y x x2 y y x4 x2 y y x2 y Baøi 2: (2 ñieåm) Tìm x, bieát: a) x 1 x x 3 x 24 x 1 x x 3 x 24 x 1 x x x 24 x 5x x 5x 24 x 5x 1 x 5x 1 24 x 5x 24 x 5x 25 x 5x hay x 5x 5 15 x 5x hay x 5x 10 x x hay x voâ lí 2 x hay x 5 2 Vaäy x = hay x = -5 b) x2 a x 1 1 TH1: a = 0, đó, (1) trở thành: x2 x2 x 1 TH2: a x 1 x x 1 Ta coù: x a x 1 a x x Vaäy: Khi a = thì x 1 Khi a thì x =1 Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) (3) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 Bài 3: ( điểm) Cho số a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d; a2 b2 c2 d2 Chứng minh rằng: a202 b202 c202 d202 Ta coù: a b c d a2 b2 2ab c2 d2 2cd 2ab 2cd 2 a b c d Maø a2 b2 c2 d2 neân a2 b2 2ab c2 d2 2cd a b c d a b d c TH1: a b d c Ta coù : 202 202 a b d c a b a b d c c d a d a d a202 b202 c202 d202 202 202 a b c d a b c d b c b c TH2: a b c d Ta coù : 202 202 a b c d a b a b c d c d a c a c a202 b202 c202 d202 202 202 a b c d a b c d b d b d Caùch 2: a c d b Ta coù: a b c d a d c b Ta coù: a2 b2 c2 d2 a2 c2 d2 b2 a c a c d b d b maø a c d b neân d b a c d b d b d b a c d b b d maët khaùc: a d c b neân d b c b c b d b c b … c b Bài 4: (1 điểm) Chứng minh với x, y nguyên thì: A x y x 2y x 3y x 4y y laø moät soá chính phöông A x y x 2y x 3y x 4y y A x y x 4y x 2y x 3y y A x 5xy 4y x 5xy 6y y Đặt t x2 5xy 5y , đó biểu thức trở thành: A t y2 t y2 y4 A t2 y y A t2 A x 5xy 5y là số chính phương với x, y là số nguyên Bài 5: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2014 Caùch 1: B 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2014 B x 2x 4x 4xy y y 4y 2009 B x 1 2x y y 2009 2009 Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) (4) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 x 12 x Vaäy Bmin 2009 Daáu ‘’=’’ xaûy 2x y y 2 y Caùch 2: 2B 10x 4y 8xy 4x 8y 4028 2B 4y 2y 2x 2x 4x 8x 10x 4x 4028 2B 2y 2x 6x 12x 4024 2B 2y 2x x 1 4018 4018 2 B 2009 2y 2x y 2 Daáu “=” xaûy x x x Vaäy GTNN cuûa B laø 2009 y 2 Bài 6: ( 2,5 điểm) Cho ABC vuông A (AB < AC), có AH là đường cao Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chức C vẽ hình vuông AHKE a) Chứng minh: C 450 A Xeùt ABC , ta coù: AB < AC (gt) E C B (quan hệ cạnh và góc đối diện tam giác) maø C B 900 ABC vuoâng taïi A neân 2C 900 C 450 P I B b) Gọi P là giao điểm AC và KE Chứng minh: AB = AP C K H Q AH AE vì AHKE laø hình vuoâng Xeùt AHC vaø AEP , ta coù: AHB AEP 90 HAB EAP cuøng phuï HAP AHB = AEP g c g AB AP c) Gọi Q là đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm BP và AQ Chứng minh ba ñieåm H, I, E thaúng haøng Xeùt hình bình haønh APQB, ta coù I laø giao ñieåm cuûa BP vaø AQ (gt) I laø trung ñieåm cuûa BP vaø AQ Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) (5) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 HA HK AHKE laø hình vuoâng Ta coù : EA EK AHKE laø hình vuoâng IA IK BP H, E, I cùng thuộc đường trung trực đoạn AK H, I, E thẳng hàng d) Chứng minh: HE // QK Xeùt hình bình haønh ABQP, ta coù BAP 900 ABC vuoâng taïi A hình bình hành ABQP là hình chữ nhật (tứ giác là hình bình hành có góc vuông) 1 KI BP KI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BP KI AQ Ta coù: BP AQ ABQP là hình chữ nhật KI là đường trung tuyến I là trung điểm AQ Xeùt KAQ , ta coù: KI AQ cmt KAQ vuoâng taïi K QK AK maø AK HE vì AHKE laø hình vuoâng neân HE // QK Baøi 7: (1 ñieåm) Cho tam giaùc DBC nhoïn Keû BM CD M CD ,CA BD A BD Goïi I laø trung điểm AB, qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt CB O; qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MO cắt DA K Chứng minh: KA.KB KM2 KA KI IA KA.KB KI IA KI IB Ta coù: KB KI IB maø IA = IB (I laø trung ñieåm cuûa AB) neân KA.KB KI IA KI IA KA.KB KI2 IB2 D 1 Ta coù: KM2 MO2 OK2 ñònh lí Pitago MKO vuoâng taïi M KM2 OK2 MO2 MO BO BC maø KO2 IO2 KI2 ñònh lí Pitago IKO vuoâng taïi I neân KM2 IO2 KI2 BO2 Maët khaùc: BO2 IB2 IO2 ñònh lí Pitago IBO vuoâng taïi I neân KM IO KI IB IO 2 2 K M A I B O KM2 IO2 KI2 IB2 IO2 KM2 KI2 IB2 2 Từ (1) và (2), ta suy ra: KA.KB KM2 HEÁT Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Tr NGUYỄN GIA THIỀU (14-15) C (6)