SH6 CD 21 Tinh chat chia het so tu nhien

SH6 CHUYÊN ĐỀ 2.3-PHÉP CHIA HẾT PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT Phép chia hết Với a, b số tự nhiên, b khác Ta nói a chia hết b tồn số tự nhiên q cho a = b.q Tính chất chia hết tổng a) Tính chất 1: Nếu a  m; b  m; c  m (a + b + c) : m; (a + b − c) : m b) Tính chất 2: Nếu a  m; b  m; c  m (a + b + c)  m c) Tính chất 3: Nếu a, b ∈  a  m ( a ⋅ b ) m Lưu ý: Nếu a  m; b  m ( a + b ) chưa có chia hết cho m hay khơng? Do ta cần tính tổng để kết luận Dấu hiệu chia hết a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận chữ số chẵn chia hết cho số chia hết cho b) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9): Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho 3(hoặc 9) Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại c) Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho ⇔ chữ số số có tận Số nguyên tố: a) Số nguyên tố Hợp số - Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước - Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước - Chú ý: + Số số số nguyên tố, hợp số + Số số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ + Các số nguyên tố nhỏ 20 : 2;3;5;7;9;11;13;17;19 b) Phân tích số thừa số nguyên tố: - Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số ngun tố - Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố - Muốn phân tích số thừa số nguyên tố ta dùng dấu hiệu chia hết cho số nguyên tố 2,3,5, … Phép chia dừng lại có thương - Dù phân tích số thừa số nguyên tố cách cuối ta kết PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1.Tính chất chia hết cảu tổng, hiệu, tích, luỹ thừa Dạng 1.1 Tính chia hết tổng, hiệu I Phương pháp giải.: Áp dụng tính chất Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c Hay a  b b  c ⇒ a  c • Nếu a chia hết cho b bội a chia hết cho b hay a  b ⇒ a.m b ( m ∈ Z ) • Nếu hai số a , b chia hết cho c tổng hiệu chúng chia hết cho c Ươm mầm tri thức – uommam.vn a  c, b c ⇒ ( a + b ) c ( a − b ) c II Bài toán Bài tập trắc nghiệm Hãy chọn câu trả lời Câu Điền từ thích hợp (chia hết, không chia hết) vào chỗ trống (…) A Nếu a  m, b  m, c  m a + b + c m B Nếu a  m, b  m, c / m a + b + c m C Nếu a  2, b / 2, c / a + b + c D Nếu a  4, b/ tích a.b Câu Các khẳng định sau hay sai? A Nếu số hạng tổng không chia hết cho tổng khơng chia hết cho B.Nếu tổng chia hết cho số hạng tổng chia hết cho C.Nếu a  b / tích a.b  Câu Nếu x  y  x + y chia hết cho A.4 B.6 C.10 D.2 Lời giải Câu A chia hết B Không chia hết C Chia hết D Không chia hết Câu A Sai B Sai Câu A Bài tập tự luận Bài Áp dụng tính chất chia hết, xét xem tổng (hoặc hiệu) sau có chia hết cho không? a) 25 + 24 d) 32 − 24 b) 48 − 40 e) 80 − 15 c) 46 + 24 − 14 f) 80 + 36 + Lời giải a) Tổng 25 + 24 không chia hết cho 258 ; 248 b) Hiệu 48 − 40 chia hết cho 488 ; 408 c) Vì 248 468 ; 148 nên ta xét 46 − 14 = 32 Từ suy ( 46 + 24 − 14 )8 d) Hiệu 32 − 24 chia hết cho 488 ; 248 e) Hiệu 80 − 15 khơng chia hết cho 808 ; 158 f) Vì 808 368 ; 68 nên ta xét ( 36 + ) 8 Từ suy ( 80 + 36 + ) 8 Bài Áp dụng tính chất chia hết, xét xem tổng sau có chi hết cho khơng? a) 56 + 28 ; b) 63 + 29 Lời giải a) Tổng 56 + 28 chia hết cho 56 ; 28 b) Tổng 63 + 29 chia hết cho 63 ; 29 Bài Áp dụng tính chất chia hết, xét xem tổng sau có chia hết cho không? a) 27 + 63 + 108 ; b) 54 + 35 + 180 ; c) 90 + 11 + ; d) 36 + 73 + 12 Lời giải a) Tổng 27 + 63 + 108 chia hết cho 27  ; 63 ; 108 b) Tổng 54 + 35 + 180 không chia hết cho 54 ; 35 ; 180 c) Tổng 90 + 11 + chia hết cho 90 ; (11 + ) Ươm mầm tri thức – uommam.vn d) Tổng 36 + 73 + 12 chia hết cho 36 ; 73 ; 12 Bài 4: Khơng làm tính , xét xem tổng sau có chia hết cho 12 khơng ? Vì ? b) 120a + 36 b (với a; b ∈ N) a) 120 + 36 Lời giải: a) 120 36 chia hết cho 12 nên tổng 120 + 36 chia hết cho 12 b) 12012 36 :12 => 120a :12 36a 12 ⇒ tổng 120a + 36a chia hết cho 12 Bài Điền dấu x vào ô thích hợp câu sau giải thích Câu Đúng Sai Giải thích a) 118 ⋅ + 16 chia hết cho b) ⋅100 + 44 chia hết cho c) ⋅ 222 + 87 chia hết cho Lời giải: Câu Đúng Sai Giải thích Vì 108.4 4; 16 a) 118 ⋅ + 16 chia hết cho x b) ⋅100 + 44 chia hết cho x Vì 6.100 ; 44 c) ⋅ 222 + 87 chia hết cho x Vì 4.2228 ; 878 Bài Cho tổng A = 12 + 15 + x với x ∈ N Tìm x để: a) A chia hết cho số 3; Lời giải: Ta có nhận xét 12 3;15 Do đó: b) A khơng chia hết cho số = x 3k ( k ∈ N ) a) Để A chia hết cho x  Vậy x có dạng: b) Để A khơng chia hết cho x  Vậy x có dạng: = x 3k + 3k + ( k ∈ N ) Bài Cho tổng A =8 + 12 + x với x ∈ N Tìm x để: a) A chia hết cho số 2; Lời giải: Ta có nhận xét 8 2;12 Do đó: b) A khơng chia hết cho số = x 2k ( k ∈ N ) a) Để A chia hết cho x  Vậy x có dạng: b) Để A khơng chia hết cho x  Vậy x có dạng: x =2k + 1( k ∈ N ) Dạng 1.2 Tính chia hết tích I Phương pháp giải.: Để xét tích có chia hết cho số hay khơng, ta làm sau: Cách Xét xem có thừa số tích chia hết cho số hay khơng Nếu tồn thì tích cho chia hết cho số Cách Tính tích thừa số xét tích có chia hết cho số cho hay khơng II Bài tốn Bài Các tích sau có chia hết cho khơng? a) 7.2018 b) 2020.56 c) 4.23.16 d) 12.8.721 Lời giải: a) Tích 7.2018 chia hết cho  b) Tích 2020.56 chia hết cho 56 c) Tích 4.23.16 khơng chia hết cho 4.23.16 = 1472 d) Tích 12.8.721 chia hết cho 721 Ươm mầm tri thức – uommam.vn Bài Các tích sau có chia hết cho không? a) 218.3 ; c) 279.7.13 ; Lời giải: a) Tích 218.3 chia hết cho 3 b) Tích 45.121 chia hết cho 45 c) Tích 279.7.13 chia hết cho 279 b) 45.121 ; d) 37.4.16 d) Tích 37.4.16 khơng chia hết cho 37.4.16 = 2368 3 Bài 10 Tích A = 1.2.3.4 10 có chia hết cho 100 khơng ? Lời giải: A chia hết cho 100 2.5.10 = 100100 Bài 11 Tích B = 2.4.6.8 20 có chia hết cho 30 khơng? Lời giải: Tích B = 2.4.6.8 20 chia hết cho 30 6.20 = 120 30 Bài= 12: Cho A 2.4.6.8.10.12 −40 Hỏi A có chia hết cho ; cho ; cho 20 không ? Vì sao? Lời giải: + Ta có tích 2.4.6.8.10.12 40 không chia hết cho => A không chia hết cho + Ta có tích 2.4.6.8.10.12 408 => số A chia hết cho + Ta có tích 2.4.6.8.10.12 10 => Tích 2.4.6.8.10.12 20 40 20 => số A chia hết cho 20 Bài 13: Khi chia số tự nhiên a cho 36 ta số dư 12 Hỏi a có chia hết cho ; cho khơng ? Lời giải: a : 36 thương k dư 12 ⇒ a= 36.k + 12 + Ta có 36.k  12 ⇒ Số a chia hết cho + Ta có 36.k  12 không chia hết cho => Số a không chia hết cho Bài 14: Điền dấu X thích hợp : Câu Đ S Nếu a  4 b 2 ( a + b ) 4 Nếu a  4 b 2 ( a + b ) 2 Nếu tổng hai số chia hết cho hai số chia hết cho số lại chia hết cho Nếu hiệu hai số chia hết cho số thứ chia hết cho số thứ hai chia hết cho Nếu a  5 ; b  ; c không chia hết cho abc khơng chia hết cho Nếu a 1 8 ; b  9 ; c không chia hết cho a + b + c không chia hết cho 125.7 – 50 chia hết cho 25 1001a + 28b – 22 không chia hết cho Nếu hai số hạng tổng khơng chia hết cho tổng khơng chia hết cho Để tổng n + 12 6 n 3 Lời giải: Câu Đ Nếu a  4 b 2 ( a + b ) 4 Nếu a  4 b 2 ( a + b ) 2 Ươm mầm tri thức – uommam.vn S X X Nếu tổng hai số chia hết cho hai số chia hết cho số cịn lại chia hết cho Nếu hiệu hai số chia hết cho số thứ chia hết cho số thứ hai chia hết cho Nếu a  5 ; b  ; c khơng chia hết cho abc không chia hết cho X Nếu a 1 8 ; b  9 ; c không chia hết cho a + b + c khơng chia hết cho X 125.7 – 50 chia hết cho 25 1001a + 28b – 22 không chia hết cho Nếu hai số hạng tổng không chia hết cho tổng khơng chia hết cho Để tổng n + 12 6 n 3 Bài 15: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + X X Tổng ba số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + = = X X X X ( a + a + a ) + (1 + ) ( 3a + 3) chia hết cho (Tính chất chia hết tổng) Bài 16: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho hay không ? Lời giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + Tổng số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + + a + = ( a + a + a + a ) + (1 + + 3) = ( 4a + ) Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết ( 4a + ) không chia hết cho ⇒ Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Kết luận: Vậy lúc tổng n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 17: Khi chia số cho 255 ta số dư 170 Hỏi số có chia hết cho 85 khơng? Vì sao? Lời giải: Gọi số a ( a số tự nhiên) Vì a chia cho 255 có số dư 170 nên a = 255.k + 170 ( k ∈ N ) Ta có 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85; 170 chia hết cho 85  ⇒ ( 255.k + 170 ) chia hết cho 85 (Tính chất chia hết tổng) Do a chia hết cho 85 Bài 18 Tìm x ∈ N cho: a) chia hết cho x Lời giải b) chia hết cho x + ; c) 10 chia hết cho x − a) chia hết cho x Vì 6 x ⇒ x ∈ {1; 2;3;6} b) chia hết cho x + ;Vì 8 ( x + 1) ⇒ ( x + 1) ∈ {1; 2; 4;8} ⇒ x ∈ {0;1;3;7} c) 10 chia hết cho x − Vì 10 ( x − ) ⇒ ( x − ) ∈ {1; 2;5;10} ⇒ x ∈ {3; 4;7;12} Bài 19 Tìm x ∈ N cho: a) x + chia hết cho x ; Lời giải b) x + chia hết cho x + ; c) x + chia hết cho x − a) x + chia hết cho x ;Vì x  x nên ( x + ) x 6 x ⇒ x ∈ {1; 2;3;6} Ươm mầm tri thức – uommam.vn ( x + 1) + Vì ( x + 1) ( x + 1) nên ( x + )( x + 1) 8( x + 1) ⇒ ( x + 1) ∈ {1; 2; 4;8} Từ tìm : ⇒ x ∈ {0;1;3;7} ( x + 1) − c) x + chia hết cho x − Ta có : x + = Vì ( x + 1) ( x + 1) nên ( x + 1) ( x + 1) 1 ( x + 1) ⇒ ( x + 1) ∈ {1} Từ tìm : ⇒ x ∈ {0} b) x + chia hết cho x + ;Ta có : x + = Bài 20 Biết a − b chia hết cho Chứng minh biểu thức sau chia hết cho 6: a) a + 5b b) a − 13b Lời giải: a) Ta có: a + 5b = a − b + 6b Mà a − b  6; 6b  Nên ( a − b + 6b ) Vậy a + 5b chia hết cho (đpcm) b) Ta có: a − 13b = a − b − 12b Mà a − b  6; 12b  nên ( a − b − 12b ) Vậy a − 13b chia hết cho (đpcm) Bài 21: Tìm số tự nhiên n để ( 3n + 14 ) chia hết cho ( n + ) Lời giải: Ta có 5n + 14 = ( n + ) + Mà ( n + ) chia hết cho ( n + ) Do ( 5n + 14 ) chia hết cho ( n + ) ⇔ chia hết cho ( n + ) ⇔ ( n + ) ước ⇔ ( n + ) ∈ {1; 2; 4} ⇒ n ∈ {0; 2} Vậy với n ∈ {0; 2} ( 5n + 14 ) chia hết cho ( n + ) Bài 22: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có ba chữ số tạo ba số Chứng minh tổng tất số chia hết cho 211 Lời giải: Tất số có ba chữ số tạo ba chữ 0, a, b là: a 0b ; ab0 ; ba ; b0a Tổng số là: a 0b + ab0 + ba + b0= a 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b = 211( a + b ) chia hết cho 211 Dạng 1.3 Xét tính chia hết tổng lũy thừa số I Phương pháp giải.: Để xét tổng lũy thừa số có chia hết cho số hay không, ta làm sau: Cách Xét số hạng tổng có chia hết cho số hay khơng Nếu tất các số hạng chia hết cho số tổng chia hết cho số Cách Sử dụng phương pháp tách ghép, ta làm theo bước: - Bước Tách ghép số hạng tổng cho nhóm tồn thừa số chia hết cho số - Bước Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) để xét II Bài toán Bài Cho A = + 22 + 23 + + 220 Chứng minh rằng: a) A chia hết cho 2; b) A chia hết cho 3; c) A chia hết cho Lời giải: a) A chia hết cho tất số hạng tổng chia hết cho b) Ta tách ghép số hạng A thành nhóm cho nhóm xuất thừa số chia hết cho Khi đó: A = + 22 + 23 + + 220 Ươm mầm tri thức – uommam.vn ( ) ( ) ( = + 22 + 23 + 24 + + 219 + 220 ) = (1 + ) + 23 (1 + ) + + 219 (1 + ) ( ) = + 23 + + 219 Từ A chia hết cho c) Ta có: A = + 22 + 23 + + 220 ( ) ( ) ( ) = 5 ( + 22 + 25 +…+ 217 + 218 ) ( )( = + 23 + 22 + 24 + 25 + 27 + + 217 + 219 +  218 + 220 ) Từ A chia hết cho Bài Cho B = + 32 + 33 + + 3120 Chứng minh rằng: a) B chia hết cho 3; b) B chia hết cho 4; c) B chia hết cho 13 Lời giải: a) B chia hết cho tất số hạng tổng chia hết cho b) Ta tách ghép số hạng B thành nhóm cho nhóm xuất thừa số chia hết cho Khi đó: B = + 32 + 33 + + 3120 ) ( ( ) ( = + 32 + 33 + 34 + + 319 + 3120 ) = (1 + 3) + 33 (1 + 3) + + 3119 (1 + 3) ) ( = + 33 + + 3119 Từ B chia hết cho c) Ta có: B = + 32 + 33 + + 3120 (3 + 32 + 33 ) + (34 + 35 + 36 ) + (37 + 38 + 39 ) + + (3115 + 3116 + 3117 ) + (3118 + 3119 + 3120 ) = 13 ( + 34 + 37 +…+ 2115 + 2117 ) Từ B chia hết cho 13 Bài Cho C = + 52 + 53 + + 520 Chứng minh rằng: a) C chia hết cho 5; b) C chia hết cho 6; c) C chia hết cho 13 Lời giải: a) C chia hết cho tất số hạng tổng chia hết cho b) Ta tách ghép số hạng C thành nhóm cho nhóm xuất thừa số chia hết cho Khi đó: C = + 52 + 53 + + 520 ( ) ( ) ( = + 52 + 53 + 54 + + 519 + 520 ) = (1 + ) + 53 (1 + ) + + 519 (1 + ) ( ) = + 53 + + 519 Từ C chia hết cho c) Ta có: C = + 52 + 53 + + 520 Ươm mầm tri thức – uommam.vn ( ) ( ) ( = + 53 + 52 + 54 + + 518 + 520 ) = (1 + 25 ) + 52 (1 + 25 ) + + 518 (1 + 25 ) ( ) = 26 + 52 + 55 +…+ 517 + 518 Từ C chia hết cho 13 Bài tập nhà Bài Áp dụng tính chất chia hết, xét xem tổng (hoặc hiệu) sau có chia hết cho 12 khơng? a) 24 + 36 ; b) 120 − 48 ; c) 255 + 120 + 72 ; d) 723 − 123 + 48 Hướng dẫn giải: a) Tổng 24 + 36 chia hết cho 12 2412 ; 3612 b) Hiệu 120 − 48 chia hết cho 12 12012 ; 4812 c) Vì 12012 ; 7212 25512 Từ suy 255 + 120 + 72 12 d) Hiệu ( 723 − 123)12 ; 4812 Từ suy 723 − 123 + 4812 Bài Cho A =5 + 70 + x với x ∈ N Tìm x để: a) A chia hết cho 5; Hướng dẫn giải: a) Ta có nhận xét để A chia hết cho x b) A không chia hết cho 5, = x 5k ( k ∈ N ) Vậy x có dạng: b) Để A khơng chia hết cho x  Vậy x có dạng: = x 5k + 5k + 2; 5k + 3; 5k + ( k ∈ N ) Bài Xét tích sau có chia hết cho khơng? a) 396.11 ; b) 2.4.6 12 ; c) 38.127.26 ; d) 1.3.5.7 Hướng dẫn giải: a) Tích 396.11 chia hết cho 369 b) Tích 2.4.6 12 chia hết cho 12.6 c) Tích 38.127.26 khơng chia hết cho khơng có thừa số chia hết cho d) Tích 1.3.5.7 khơng chia hết cho 105 Bài Cho A = 1.2.3.4.5 − 40; B = 4.7.5 − 34; C = 5.7.9.4.11 − 30 Hỏi biểu thức chia hết cho 2; chia hết cho 5; chia hết cho Hướng dẫn giải: A chia hết cho B chia hết cho C chia hết cho 2; Bài Cho A =2 + 22 + 23 + 24 + + 219 + 220 Chứng tỏ A 3 Hướng dẫn giải: Ta tách ghép số hạng A thành nhóm cho nhóm xuất thừa số chia hết cho Khi đó: A =2 + 22 + 23 + 24 + + 219 + 220 ( ) ( ) ( = + 22 + 23 + 24 + + 219 + 220 ) = (1 + ) + 23 (1 + ) + + 219 (1 + ) Ươm mầm tri thức – uommam.vn ( ) = + 23 + + 219 Từ A chia hết cho Bài Cho A = + + 32 + 33 + + 398 + 399 Chứng tỏ A 4 Hướng dẫn giải: Ta nhóm số hạng A thành nhóm cho nhóm xuất thừa số chia hết cho Khi đó: A = + + 32 + 33 + + 398 + 399 ( ) ( = (1 + 3) + 32 + 33 + + 398 + 399 ) = + 32 (1 + 3) + + 398 (1 + 3) ( ) = + 32 + + 398 Từ A chia hết cho Bài Cho A =1 + + 42 + 43 + + 458 + 459 Chứng tỏ A  5; A 21 Hướng dẫn giải: + Xét A 5 Tương tự 6: Ta nhóm số hạng liên tiếp A thành nhóm cho nhóm xuất thừa số chia hết cho + Xét A 21 Tương tự 6: Ta nhóm số hạng liên tiếp A thành nhóm cho nhóm xuất thừa số chia hết cho 21 Bài Cho A =5 + 52 + 53 + 54 + + 539 + 540 Chứng tỏ A  2; A 3 Hướng dẫn giải: Tương tự 6: Ta nhóm số hạng liên tiếp A thành nhóm cho nhóm xuất thừa số chia hết cho Dạng Dấu hiệu chia hết cho 2, Dạng 2.1 Dấu hiệu chia hết cho 2, I Phương pháp giải: Để nhận biết số có chia hết cho 2, cho 5, ta sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5: - Các số chia hết cho số có chữ số tận 0; 2; 4;6;8 - Các số chia hết cho số có chữ số tận - Các số chia hết cho số có chữ số tận II Bài toán Bài tập trắc nghiệm Câu Điền từ thích hợp (chữ số lẻ, chữ số chẵn) vào chỗ trống ( ) A.Các số có chữ sơ tận chia hết cho B Các số có chữ số tận khơng chia hết cho Câu Khẳng định sau hay sai ? A Số có chữ số tận chia hết cho B.Số chia hết cho có chữ số tận C Số chia hết cho có chữ số tận D Số có chữ số tận chia hết cho Câu Số sau chia hết cho mà không chia hết cho A 1230 B 1735 C 2020 Câu Số sau chia hết cho mà không chia hết cho Ươm mầm tri thức – uommam.vn D 2017 A 1230 B 2030 Lời giải Câu A Chữ số chẵn Câu A Đúng C.Sai Câu B Câu D Bài tập tự luận Bài Trong số sau: 120; 235; 476; 250; 423; C 2020 D 2018 B Chữ số lẻ B Sai D Đúng 261; 735; 122; 357 a) Số chia hết cho 2? b) Số chia hết cho 5? c) Số chia hết cho không chia hết cho 5? d) Số chia hết cho 5? Lời giải: a) Các số 120; 476; 250; 122 chia hết cho có chữ số tận số chẵn b) Các số 120; 235; 250; 735 chia hết cho có chữ số tận c) Các số 30; 476; 122 chia hết cho không chia hết cho d) Các số 120; 250 chia hết cho có chữ số tận Bài Trong số sau: 123;104;860;345;1345;516; 214; 410;121 a) Số chia hết cho ? b) Số chia hết cho ? c) Số chia hết cho không chia hết cho 2? d) Số chia hết cho 5? Lời giải: a) Các số 104;860;516; 214; 410 chia hết cho có chữ số tận số chẵn b) Các số 860;345;1345; 410 chia hết cho có chữ số tận c) Các số 104;516; 214; 410 chia hết cho không chia hết cho d) Các số 860; 410 chia hết cho có chữ số tận Dạng 2.2 Xét tính chia hết cho 2, cho tổng (hiệu) I Phương pháp giải: Để xét tổng (hiệu) có chia hết cho 2, cho hay không, ta thường làm sau: Cách Xét số hạng tổng (hiệu) có chia hết cho 2, cho hay khơng Cách Xét tổng (hiệu) số hạng có chia hết cho 2, cho hay không II Bài tốn Bài Xét tổng (hiệu) sau có chia hết cho khơng, có chia hết cho khơng? a) A b) = =  24 + 36 ; B 155 + 120 ; c) C = 120 − 43 + 59 ; d) D = 723 − 123 + 100 Lời giải: a) = A 24 + 36 chia hết cho 24 2;6 2; = A 24 + 36 chia hết cho 24 + 36 = 60 b) = B 155 + 120 khơng chia hết cho 155 2;120 2; = B 155 + 120 chia hết cho 155 5;120 c) C = 120 − 43 + 59 chia hết cho 120 2;59 − 43 = 16 2; C khơng chia hết cho 120 5;59 − 43 = 16  Ươm mầm tri thức – uommam.vn 10 Vậy ta có số thỏa mãn điều kiện là: 84;66; 48 Bài Tìm chữ Số a b cho a + b = ab chia hết cho không chia hết cho Lời giải:   {5} Lại có a + b = Vì ab chia hết cho không chia hết b∈ nên ta tìm a ∈ {1} Vậy ta có số thỏa mãn điều kiện là: 15 Dạng 2.5 Tìm tập hợp số tự nhiên chia hết cho 2, thỏa mãn điều kiện cho trước I Phương pháp giải: Để tìm tập hợp số tự nhiên chia hết cho 2, cho 5, ta thường sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, cho liệt kê tất số thỏa mãn điều kiện cho II Bài tốn Bài Tìm tập hợp số m thỏa mãn: a) Chia hết cho 510 ≤   525 ; m≤ b) Chia hết cho 510 ≤   525 ; m≤ c) Vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 510 ≤   525 m≤ Lời giải:  510;512;514;516;518;520;522;524 a) m∈ { } b) m ∈ 510;515;520;525 { } c) m ∈ {510;520} Bài Tìm tập hợp số x thỏa mãn: a) Chia hết cho 105 < x ≤1 25 ; b) Chia hết cho 105 < x ≤1 25 ; c) Vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 105 < x ≤1 25 Lời giải: a) x ∈ {106;108;110;112;114;116;118;120;122;124} b) x ∈ {110;115;120;125} c) x ∈ {110;120} Bài tập nhà Bài Cho số: 175; 202; 265;114;117; 460; 2020;3071; 263 Trong Số đó: a) Số chia hết cho 2? b) Số chia hết cho 5? c) Số chia hết cho 5? Hướng dẫn giải: a) Các số chia hết cho là: 202; 114; 460; 2020 b) Các số chia hết cho là: 175; 265; 460; 2020 c) Các số chia hết cho là: 460; 2020 Bài Xét tổng (hiệu) sau có chia hết cho khơng, có chia hết cho khơng? a) A b) = B 115 + 20 ; = 16 + 58 ; c) C = 136 − 26 + 50 ; d) D = 233 + 42 + 76 Hướng dẫn giải: a) A  2; A  b) B  2; B  c) C  2; C  d) D  2; D  Bài Dùng bốn chữ số 6;0; 4;5 viết thành số tự nhiên có bốn chữ số khác cho số thỏa mãn: Ươm mầm tri thức – uommam.vn 13 a) Số lớn chia hết cho 2; b) Số nhỏ chia hết cho 5; Hướng dẫn giải: a) 6540 b) 4065 c) 4560; 4650; 5640; 5460; 6450; 6540 Bài Điền chữ số thích hợp vào dấu * để số 65* : a) Chia hết cho 2; b) Chia hết cho 5; Hướng dẫn giải: a) * ∈ {0;2;4;6;8} b) * ∈ {0;5} c) Số chia hết cho c) Chia hết cho c) * ∈ {0} Bài Điền chữ số vào dấu * để số N = 3*8 thỏa mãn: a) N chia hết cho b) N chia hết cho Hướng dẫn giải: a) * ∈ {0;1;2; 9} b) *∈ {∅} Bài Tìm chữ số a b cho a − b = ab chia hết cho không chia hết cho Hướng dẫn giải:   {2; 4;6, 8} Lại có a − b = Vì ab chia hết cho khơng chia hết b∈ a;b chữ số nên ta tìm a ∈ {4;6;8} Vậy ta có số thỏa mãn điều kiện là: 42;64;86 Bài Tìm tập hợp số x thỏa mãn: ; a) Chia hết cho 467 < x  480 ≤ b) Chia hết cho 467 < x  480 ; ≤ c) Vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 467 < x  480 ≤ Hướng dẫn giải: a) x ∈ {468;470;472;474;476;478;480} b) x ∈ {470;475;480} c) x ∈ {470; 480} Dạng Dấu hiệu chia hết cho 3, cho Dạng 3.1 Dấu hiệu chia hết cho 3, I Phương pháp giải: Để nhận biết số có chia hết cho (cho 9) hay không, ta làm sau: Bước Tính tổng chữ số số cho; Bước Kiểm tra xem tổng có chia hết cho (cho 9) hay không Lưu ý: Nếu số chia hết cho số chia hết cho II Bài toán Bài tập trắc nghiệm Câu Các khẳng định sau hay sai ? A Số chia hết cho chia hết cho B Số chia hết cho khơng chia hết cho C Số chia hết cho tổng chữ số D Nếu tổng chữ số số mà chia hết cho số chia hết cho Câu Số sau chia hết cho mà không chia hết cho A 1230 B 2030 C 2520 Câu Số sau chia hết cho chia hết cho A 1230 B 2030 C 2520 Lời giải Ươm mầm tri thức – uommam.vn D 2018 D 2718 14 Câu A ĐÚNG B ĐÚNG C SAI Câu A Câu C Bài tập tự luận Bài Trong số sau: 178; 567; 930; 1257; 5152; 3456; 3285 D ĐÚNG a) Số chia hết cho 3? b) Số chia hết cho 9? c) Số chia hết cho không chia hết cho 9? Lời giải: Xét số 178 có + + = 16 mà 16!3 ⇒ 178!3 Xét số 567 có + + = 18 mà 18 ⇒ 567  Tương tự với số khác ta đáp số a) {567;930;1257;3456;3285} b) {567;3456;3285} c) {930; 1257} Bài Cho số: 178; 1257; 5152; 3456; 93285 a) Viết tập hợp A số chia hết cho có số b) Viết tập hợp B số chia hết cho có số Lời giải: a) A = {1257; 3456;93285} b) B = {3456; 93285} Dạng 3.2 Xét tính chia hết cho 3, cho tổng (hiệu) I Phương pháp giải: Để xét tổng (hiệu) có chia hết cho 3, cho hay không, ta thường làm sau: Cách Xét số hạng tổng (hiệu) có chia hết cho 3, cho hay không Cách Xét tổng (hiệu) số hạng có chia hết cho 3, cho hay không Lưu ý: Ta nên xét tổng (hiệu) chia hết cho trước Từ suy chia hết cho II Bài toán Bài Xét tổng (hiệu) sau có chia hết cho khơng, có chia hết cho khơng? a) = b) = B 120 − 48; A 24 + 36; c) C = 72 − 45 + 99 Lời giải: a) Cách Ta có 24 9; 36 => A d) D = 723 − 123 + 100 Ta có 24 3;36 => A Cách Ta có A = 24 + 36 = 60 ⇒ A 3; A!9 b) B  3; B  c) C  3; C  d) D  3; D  Dạng 3.3 Lập số chia hết cho 3, cho từ chữ số cho trước I Phương pháp giải: Để lập số chia hết cho (cho 9) ta thường làm sau: Bước Chọn nhóm chữ số có tổng chia hết cho (cho 9); Bước Từ nhóm liệt kê số thỏa mãn điều kiện đề Ươm mầm tri thức – uommam.vn 15 II Bài toán Bài Từ bốn chữ số 3; 4; 5; ghép thành số tự nhiên có chữ số khác thỏa mãn: a) Chia hết cho 3; b) Chia hết cho không chia hết cho Lời giải: a) Tìm ba số có tổng chia hết cho 3, ta được: ( 3; 4;5 ) ; ( 4;5;0 ) Từ ta có số chia hết cho là: 345; 354; 453; 435;543;534; 450; 405;540;504 b) Tìm ba số chia hết cho khơng chia hết cho Từ ta có số thỏa mãn: 345; 354; 453; 435; 543; 534 Bài Từ bốn chữ số 3;7; 2;0 ghép thành số tự nhiên có chữ số khác thỏa mãn: a) Chia hết cho 9; b) Chia hết cho không chia hết cho Lời giải: a) Tìm ba số có tổng chia hết cho 3, ta được: ( 3;7;5 ) ; ( 4;5;0 ) Từ ta có số chia hết cho là: 345; 354; 453; 435;543;534; 450; 405;540;504 b) Tìm ba số chia hết cho khơng chia hết cho Từ ta có số thỏa mãn: 345;354; 453; 435;543;534 Dạng3.4 Viết số chia hết cho 3, từ số chữ số cho trước I Phương pháp giải: Để tìm chữ số số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 3, cho 9, ta thường làm sau: Bước Tính tổng chữ số biết; Bước Tìm chữ số chưa biết thỏa mãn chữ số cộng với tổng chia hết cho 3, cho Lưu ý: - Đối với điền dấu * để số chia hết cho 2;3;5;9 xét điều kiện chia hết cho trước, sau xét điều kiện chia hết cho 3; - Đối với chia hết cho số khác 2;3;5;9 (chẳng hạn chia hết cho 45, cho 18, ) ta tách số để đưa số 2;3;5;9 Ví dụ: 45 tách thành 45 = 5.9 (5 không chia hết cho số khác ngồi 1); Để chia hết cho 45 phải chia hết cho II Bài toán Bài Điền chữ số thích hợp vào dấu * để Số M = 58* thỏa mãn điều kiện: a) M chia hết cho 3; b) M chia hết cho c) M chia hết cho không chia hết Lời giải: a) Để 58* ⇒ ( + + *) ⇒ (13 + *) ⇒ * ∈ {2;5;8} Tương tự b) * ∈ {5} c) * ∈ {2;8} Bài Cho 1số có chữ số: *26*  Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có chữ số khác chia hết cho tất số : 2;3;5 ;9 Lời giải: Số đảm bảo chia hết số số chẳn Ươm mầm tri thức – uommam.vn 16 Số chia hết số phải có chữ số tận số Số vừa chia hết cho nên số phải có tổng chữ số chia hết cho Vậy: Chữ số tận số ⇒ *260  Chữ số đầu số Do số cho 1260 Bài Tìm chữ số a, b để: a) A = 3ab chia hết cho 2;3;5;9 ; b) B = a 27b chia hết cho 2;3;5;9 ; d) D = 26a3b chia hết cho 18 c) C = 10a5b chia hết cho 45; Lời giải: a) Vì A chia hết cho 2;5 nên b = Vì A chia hết cho 3;9 nên a = b) Tương tự câu a) ta tìm được= b 0;= a c) Vì C chia hết cho 45 nên C chia hết cho 5;9 a 3) ;= a 7) Từ ta tính = ( b 0;= ( b 5;= d) Vì D chia hết cho 18 nên D chia hết cho 5; 2;9 Từ ta tìm được= b 0;= a Bài Tìm chữ số a b cho a − b = a 785b chia hết cho Lời giải: Để a 785b  ⇒ ( a + + + + b ) ⇒ ( a + b + 20 ) ⇒ a + b = {7;16} Trường hợp a + b = mà a − b = ⇒ a = 6; b = Trường hợp a + b = 16 mà a − b = ⇒ a = 10,5; b = 5,5 (loại) Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để số chia hết cho 5;7;9 Lời giải: Giả sử ba số viết thêm abc Ta có: 579abc  ; ; ⇒ 579abc chia hết cho 5.7.9 = 315 Mặt khác: 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hết cho 315 ( ) Mà 315.1838 chia hết cho 315 ⇒ 30 + abc chia hết cho 315 ⇒ 30 + abc ∈ B ( 315 ) Do 100 ≤ abc ≤ 999 ⇒ 130 ≤ 30 + abc ≤ 1029 ⇒ 30 + abc ∈ {315;630;945} ⇒ abc ∈ {285;600;915} Vậy ba số viết thêm vào 285;600;915 Bài tập nhà Bài Cho số: 864;752;931;357;652;756;685;1248;6390 Trong số đó: a) Số chia hết cho 3? b) Số chia hết cho 9? c) Số chia hết cho không chia hết cho 9? Hướng dẫn giải: a) 864; 357; 756; 1248; 6390 b) 864;756; 6390 c) 357; 1248 Bài Cho số: 268;357;652;756;1251;5435;9685 a) Viết tập hợp A số chia hết cho có số b) Viết tập hợp B số chia hết cho có số c) Dùng kí hiệu ⊂ để thể quan hệ hai tập hợp A B Ươm mầm tri thức – uommam.vn 17 Hướng dẫn giải: a) A = {357;756;1251} b) B = {756;1251} b) B ⊂ A Bài Xét tổng (hiệu) sau có chia hết cho khơng, có chia hết cho khơng a) A= + 93 b) = B 120 − 33 c) C = 86 − 36 + 27 d) A 3.4.5.6 + 27 = Hướng dẫn giải: a) A 3; A 9; b) B  9; B 3; c) C  3;C  9; d) D  3; D  9; Bài Từ bốn chữ số 1; 2;6;0 ghép thành số tự nhiên có chữ số khác thỏa mãn: a) Chia hết cho 3; b) Chia hết cho không chia hết cho Hướng dẫn giải: a) 126; 162; 216; 261; 612; 621; 120; 102; 210; 2.01 b) 120; 102; 210; 201 Bài Điền chữ số thích hợp vào dấu * để số M = 37 * thỏa mãn điều kiện: a) M chia hết cho 3; b) M chia hết cho 9; c) M chia hết cho không chia hết Hướng dẫn giải: a) * ∈ {2;5;8} b) * ∈ {8} c) * ∈ {2;5} Bài Tìm chữ số a, b để: a) A = 56a3b chia hết cho 18 ; b) B = 71a1b chia hết cho 45; c) C = 6a14b chia hết cho 2;3;5;9 ; d) D = 25a1b chia hết cho 15 không chia hết cho Hướng dẫn giải: a) Vì A chia hết cho 18 nên A chia hết cho 2;9 Từ ta tính (b = 0; a = 4); (b = 2; a = 2);(b = 4; a = 0); (b = 4; a = 9) b) Vì B chia hết cho 45 nên B chia hết cho 5;9 Từ ta tính (b = 0; a = 0); b= 0; a = 9); (b = 5; a = 4) c) Vì C chia hết cho 2;5 nên b = Vì C chia hết cho 3;9 nên a = d) Vì D chia hết cho 15 nên D chia hết cho không chia hết cho Từ ta tính b = Vì D chia hết tổng chữ số D chia hết cho Từ ta tính a ∈ {2;5;8} Vậy: (b = 5; a = 2); (b = 5; a = 5); (b = 5; a = 8) Bài 7* Từ đến 2020 có số: a) Chia hết cho 3; b) Chia hết cho Hướng dẫn giải: a) Có (2019 - 3): +1 = 673 số chia hết cho b) Có (2016 - 9): 9+1 = 224 số chia hết cho Dạng Số nguyên tố Hợp số Dạng 4.1 Nhận biết số nguyên tố, hợp số I Phương pháp giải: Để nhận biết số số nguyên tố hay hợp số, ta làm sau: Bước Kiểm tra điều kiện số phải lớn 1; Bước Tìm hai đến ba ước số Ươm mầm tri thức – uommam.vn 18 - Nếu số có hai ước số ngun tố - Nếu số có ba ước (trở lên) hợp số II Bài toán Bài tập trắc nghiệm Câu Các khẳng định sau hay sai ? A Số nguyên tố số tự nhiên chia hết cho B Hợp số sơ tự nhiên có nhiều hai ước Câu Có số nguyên tố có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị 1? A số B số C số D số Hãy chọn câu trả lời Câu Điền vào chỗ trống ( ) A Có hai số tự nhiên liên tiếp số nguyên tố B Có ba số lẻ liên tiếp số nguyên tố C Có số nguyên tố chẵn Câu Các khẳng định sau hay sai ? A Mọi số nguyên tố số lẻ B Khơng có số ngun tố có chữ số hàng đơn vị C Khơng có số ngun tố lớn có chữ sơ tận 0, 2, 4, 5, 6, Lời giải Câu A ĐÚNG B ĐÚNG Câu A Câu A 2;3 B 3;5;7 C Câu A.Sai B Sai C Đúng Bài tập tự luận Bài Dùng bảng số nguyên tố cuối SGK, tìm số nguyên tố số sau : 117;131;313; 469;647 Lời giải: Các số nguyên tố : 131;313;647 Bài Trong số sau, số số nguyên tố, số hợp số: 0;12;17; 23;110;53;63;31 Lời giải: Các số 17; 23;53;31 số nguyên tố số lớn có hai ước Các số 12;110;63 hợp số số lơn có nhiều hai ước Cụ thể là: ∈ Ư(12), Ư(110); ∈ Ư(63) Bài Các số sau số nguyên tố hay hợp số: 312; 213; 435; 417;3311;67 Lời giải Các số 312, 213, 435 417 hợp số chúng lớn chia hết cho Số 3311 hợp số số lớn 11 chia hết cho 11 Số 67 số ngun tố lớn 1, có hai ước Bài Gọi p tập số nguyên tố Điền kí hiệu ∈; ® ⊂ vào chỗ trống cho : 83 … P , 91 … P , 15 … N , P…N Lời giải: 83∈ P , 91∈ P , 15∈ N , P⊂N Bài Khơng tính kết quả, xét xem tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số? Ươm mầm tri thức – uommam.vn 19 A = 302 + 150 + 826 ; = B 5.7.9 − 2.5.6 ; Lời giải: Vì 302;150;826 chia hết A = C 12.13.14.17 + 91 ; = D 7.8.39 − 2.3.5 Mà A >  2 nên A có nhiều hai ưóc Vậy A hợp số B hợp số B  5; B > C hợp số C 1 3; C > 13 D hợp số D 3; D > Bài Khơng tính kết quả, xét xem tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số? a) 53 b) 45 + 56 + 729 ; c) 151 d) 5.7.8.11 − 132 Lời giải: a) 53 số nguyên tố b) 45 + 56 + 729 hợp số b) 151 số nguyên tố d) 5.7.8.11 − 132 hợp số Bài Tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số ? a) 3.4.5 + 6.7 ; b) 7.9.11.13 – 3.4.7 ; c) 5.7 + 11.13.17 ; d) 16354 + 67541 Lời giải a) Mỗi số hạng tổng chia hết cho Tổng chia hết cho lớn nên hợp số b) Mỗi số hạng hiệu chia hết cho Hiệu chia hết cho lớn nên hợp số c) Mỗi số hạng tổng số lẻ nên tổng số chẵn Tổng chia hết cho lớn nên hợp số d) Tổng tận nên chia hết cho Tổng lại lớn nên hợp số Bài Điền dấu “x ” vào thích hợp : Câu Đúng Sai a) Có hai số tự nhiên liên tiếp số nguyên tố … … b) Có ba số lẻ liên tiếp số nguyên tố … … c) Mọi số nguyên tố số lẻ … … d) Mọi số nguyên tố có chữ số tận chữ số 1,3, 7,9 … Trả lời a) Đúng, ví dụ: b) Đúng, ví dụ: 3, c) Sai, ví dụ: số nguyên tố chẵn Bổ sung thêm điều kiện để câu sau trở thành câu : Mọi số nguyên tố lớn số lẻ d) Sai, ví dụ số nguyên tố tận Bổ sung : Mọi số nguyên tố lớn tận chữ số 1,3, 7,9 Bài Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số ngun tố cịn lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn Bài 10 Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố Lời giải: Ươm mầm tri thức – uommam.vn 20 Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số ngun tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 11 Tổng số ngun tố 2003 hay khơng? Vì sao? Lời giải: Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số ngun tố cịn lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố Bài 12 Hãy chứng minh tích hai số nguyên tố hợp số Lời giải: Tích hai số nguyên tố giống p p có ba ước 1, p p Tích hai số nguyên tố khác p1 p  có bốn ước 1, p1, p2   p1 p2 Vậy tích hai số nguyên tố hợp số Bài 13 Cho p p + số nguyên tố ( p > 3) Chứng minh p + hợp số Lời giải: Vì p số nguyên tố p > , nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1,3k + với k ∈ N * - Nếu = p 3k + p + = 3k + = ( k + ) ⇒ p + 4 3  p + > Do p + hợp số (Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu = p 3k + p + = 3k + = ( k + 3) ⇒ p + 8 3 p + > Do p + hợp số Vậy số nguyên tố p có dạng: = p 3k + p + hợp số Bài 14: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n –1 Lời giải: Mỗi số tự nhiên n chia cho có số dư: 0;1; 2;3 Do số tự nhiên n viết dạng: 4k , 4k + 1, 4k + 2, 4k + với k ∈ N * - Nếu n = 4k ⇒ n  ⇒ n hợp số - Nếu = n 4k + ⇒ n  ⇒ n hợp số Vậy số nguyên tố lớn có dạng 4k + 4k − Hay số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n –1 với n ∈ N * Bài 15 Cho p p + số nguyên tố ( p > 3) Chứng minh p + 16 Lời giải: Vì p số nguyên tố p > , nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1,3k + với k ∈ N* - Nếu = p 3k + p + = 3k + = ( k + 1) ⇒ p + 2 3  p + > ⇒ p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu = p 3k + p + 1=3k + 3= ( k + 1)   (1) Do p số nguyên tố p > ⇒ p lẻ ⇒ k lẻ ⇒ k + chẵn ⇒ k + 12 (2) Từ (1) (2) ⇒ p + 1 Dạng 4.2 Tìm chữ số mội số cho số số nguyên tố hợp số I Phương pháp giải: Để tìm chữ số số thỏa mãn điều kiện số số nguyên tố hợp số, ta thường sử dụng kiến thức sau: - Dùng dấu hiệu chia hết - Dùng bảng số nguyên tố nhỏ 1000 SGK Ươm mầm tri thức – uommam.vn 21 II Bài toán Bài Thay dấu * chữ số thích hợp để số sau số nguyên tố: a ) 4* Lời giải: ∈{ a) * 1;3;7 } b) * c) *2 d) 1*9 ∈{ b) * 1;3;9 } c) * ∈ {0} d) * ∈ {0;3; 4;7;9} Bài 10 Thay dấu * chữ số thích hợp để số sau hợp số: a ) 4* Lời giải : a) * ∈ {0; 2; 4;5;6;8;9} b) 15* c) *3 b) * ∈ {0; 2;3; 4;5;6;8;9} c) * ∈{ 3;6;9} d) 2*9 ∈{ 4;5;7;8;9} d) * 0;1; Bài Thay chữ số vào dấu * để hợp số : 1* ; 3* Lời giải Trong bảng số nguyên tố có 11,13,17,19 số nguyên tố Vậy hợp số có dạng 1x số 10,12,14,15,16,18 Trong bảng có 31,37 số nguyên tố Vậy hợp số có dạng 3* 30,32,33,34,35,36,38,39 Cách khác: Với số 1* chọn * 0, 2, 4, 6,8 (để 1* chia hết cho 2) chọn * = (để 1* chia hết cho 5) Với số 3* chọn * 0, 2, 4, 6,8 (để 3* chia hết cho 2), chọn * 3,9 (để 3* chia hết cho 3), * = (để 3* chia hết cho 5) Bài Thay chữ số vào dấu * để số nguyên tố : 5* ; 9* Lời giải : 53 ;59;97 Bài Tìm số tự nhiên k để k số nguyên tố Lời giải: Với k ≥ 2.k có ba ước 1; 2; 2k nên 2.k hợp số (không thỏa mãn) Với k = ⇒ 2.k = số nguyên tố Vậy k = Bài a) Tìm số tự nhiên k để 3.k số nguyên tố b) Tìm số tự nhiên k để 7.k số nguyên tố Lời giải a) Với k = k = , khơng số nguyên tố, không hợp số Với k = k = , số nguyên tố Với k   2 ≥ k hợp số (vì có ước khác khác nó) Vậy với k = k số nguyên tố b) Với k = k = , không số nguyên tố, không hợp số Với k = k = , số nguyên tố Với k   2 ≥ k hợp số (vì có ước khác khác nó) Vậy với k = k số nguyên tố Bài 18 Tìm số nguyên tố p , cho p + p + số nguyên tố Lời giải: Giả sử p số nguyên tố - Nếu p = p + = p + = số nguyên tố Ươm mầm tri thức – uommam.vn 22 - Nếu p  3 ≥ số nguyên tố p có dạng: 3k ,3k + 1,3k + với k ∈ N * +) Nếu p = 3k ⇒ p = ⇒ p + = p + = số nguyên tố +) Nếu = p 3k + p + = 3k + = ( k + 1)  p + 2 3 p + > Do p + hợp số +) Nếu = p 3k + p + = 3k + = ( k + ) ⇒ p + 4 3  p + > Do p + hợp số Vậy với p = p + p + số nguyên tố Bài tập nhà Bài Tập hợp gồm số nguyên tố: A = {3;10;7;13} B = {13;17;15;19} C = {3;5;7;11} D = {1; 2;5;7} Hướng dẫn giải: Tập hợp C gồm số nguyên tố Bài Không tính kết quả, xét xem tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số? b) 45 + 56 + 729 ; c) 151 d) 5.7.8.11 − 132 a) 53 Hướng dẫn giải: a) 53 số nguyên tố b) 45 + 56 + 729 hợp số b) 151 số nguyên tố d) 5.7.8.11 - 132 hợp số Bài Thay dấu * chữ số thích hợp để số sau số nguyên tố: a) * Hướng dẫn giải: b) 1* c) *7 b) *∈ {∅} a) * ∈ {1;3;9} c) * ∈ {0;1;3; 4;6;9} d) 1*3 d) * ∈ {0;1;3;6;7;9} Bài Thay dấu * chữ số thích hợp để số sau số hợp số: a) 5* Hướng dẫn giải: b) 1* c) *7 d) 1*7 a) * ∈ {0;1; 2; 4;5;6;7;8} b) * ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} c) * ∈ {2;5;7;8} d) * ∈ {1; 4;7;8} Bài Tìm số tự nhiên k để 7.k số nguyên tố Hướng dẫn giải: Tương tự 5b, ta có k = Bài Tìm số ngun tố p cho p + số nguyên tố Hướng dẫn giải: Nếu p = ⇒ p + = 17 số nguyên tố Nếu p = ⇒ p + = 21 hợp số (loại) Nếu p > ⇒ p = 3k + 1; p = 3k + (k ∈ N ) Khi p + hợp số Vậy p = Dạng Phân tích số thừa số nguyên tố Dạng 5.1 Phân tích số thừa số nguyên tố I Phương pháp giải: Để phân tích số tự nhiên n(n > 1) thừa số nguyên tố ta thường phân tích theo cột dọc sau: Bước Chia số n cho số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn) Bước Lấy thương tìm chia tiếp cho số nguyên tố (cũng xét từ nhỏ đến lớn) Cứ tiếp tục thương Bước Viết n dạng tích thừa số nguyên tố Ví dụ: Phân tích 60 thừa số nguyên tố 60 30 15 60 = 22 Ươm mầm tri thức – uommam.vn 23 5 II Bài toán Bài Phân tích số sau thừa số nguyên tố: a) 46; b) 275; Lời giải: c) 98; d)1035 a) 46 = 2.23 b) 275 = 52.11 Bài Phân tích số sau thừa số nguyên tố: a) 32; b) 175; Lời giải: c) 98 = 2.7 d) 1035 = 32.5.23 c) 120; d) 2020 a) 32 = 25 b) 175 = 52.7 Dạng 5.2 Xác định ước số I Phương pháp giải: Để tìm ước số n(n > 1) , ta làm sau: c) 120 = 23.3.5 d) 2020 = 22.5.101 Bước Phân tích n thừa số nguyên tố; Bước Sử dụng nhận xét n = a.b a b ước n II Bài toán Bài Tìm ước số sau: a) 24 b) 63 c) 30 Lời giải: d) 124 a) 24 = 1.24 = 2.12 = 3.8 = 4.6 nên Ư(24) = {1; 2;3; 4;6;8;12; 24} b) Tương tự câu a) ta có Ư(63) = {1;3;7;9; 21;63} c) Ư (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} d) Ư (124) = {1; 2; 4;31;62;124} Bài Tìm ước nguyên tố số sau: a) 525 b) 144 Lời giải: c) 180 d) 76 a) Vì 525 = 3.52.7 nên ước nguyên tố 525 là: 3;5;7 b) Vì 144 = 24.32 nên ước nguyên tố 144 là: 2;3 c) Vì 180 = 22.32.5 nên ước nguyên tố 180 là: 2;3;5 d) Vì 76 = 22.19 nên ước nguyền tố 76 là: 2;19 Dạng 5.3 Xác định số lượng ước số I Phương pháp giải: Để tính số lượng ước số tự nhiên m(m > 1) , ta thường làm sau: Cách Liệt kê đem tất ước m Cách Ta xét dạng phân tích số m thừa số nguyên tố: - Nếu m = a x m có x + ước - Nếu m = a x b y m có ( x + 1)( y + 1) ước - Nếu m = a x b y c z m có ( x + 1)( y + 1) ( z + 1) ước II Bài toán Bài Các số sau có tất ước số? Ươm mầm tri thức – uommam.vn 24 a) 46; Lời giải: b) 34.52 ; c) 98; d) 29.31 a) Cách Ư(46) = {1; 2; 23; 46} Vậy 46 có tất ước Cách Ta xét dạng phân tích thừa số nguyên tố: 46 = 21.231 ước Vậy 46 có tất cả: (1 + 1) (1 + 1) = 15 ước b) Tượng tự câu a) 34.52 có tất cả: ( + 1) ( + 1) = ước c) 98 = 2.7 có tất cả: (1 + 1) ( + 1) = ước d) 29.31 có tất cả: (1 + 1) (1 + 1) = Bài Các số sau có tất ước số? a) 32; Lời giải: b) 52.7 ; c) 120; d) 22.5.13 a) Cách Ư(32) = {1; 2; 4;8;16;32} Vậy 32 có tất ước ước Cách Ta xét dạng phân tích thừa số nguyên tố: 32 = 25 Vậy 32 có tất cả: ( + 1) = ước b) Tượng tự câu a) có tất cả: ( + 1) (1 + 1) = c) 120 = 23.3.5 có tất cả: ( + 1) (1 + 1)(1 + 1) = 16 ước d) 22.5.13 có tất cả: ( + 1) (1 + 1)(1 + 1) = 12 ước Dạng 5.4 Bài tốn đưa việc phân tích số thừa số nguyên tố I Phương pháp giải: Để giải toán dạng này, ta thường làm sau: Bước Phân tích đề bài, đưa việc tìm ước số; Bước Tìm ước số cho trước cách phân tích số thừa số nguyên tố II Bài toán Bài Tích hai số tự nhiên 50 Tìm số Lời giải: Mỗi số ước 50 Ta có 50 = 2.52 nên Ư(50) = {1; 2;5;10; 25;50} Vậy số phải tìm là: 50; 25; 10 Bài Thay dấu * chữ số thích hợp: a) *. * * = 106 ; Lời giải: b) **.** = 377 a) Ta có Ư (106) = {1; 2;53;106} ⇒ 2.53 = 106 b) Tương tự, 13.29 = 377 Bài Bảo Ngọc có 50 bút chì màu muốn chia số bút cho em nhỏ Hỏi Bảo Ngọc chia cho em? (Kể trường hợp cho em hết bút chì màu) Lời giải: Số em nhỏ phải ước 50 Ta có 50 = 2.52 nên Ư (50) = {1; 2;5;10; 25;50} Vậy Bảo Ngọc chia cho 1; 2;5;10; 25;50 em nhỏ Bài Bạn Lan có 48 bơng hoa muốn chia số hoa vào hộp nhỏ để gói quà Hỏi Lan chia vào baọ nhiêu hộp? (Kể trường hợp cho hết hoa vào hộp) Lời giải: Bạn Lan chia Số hoa vào 1; 2;3; 4;6;8;12;16; 24; 48 hộp Ươm mầm tri thức – uommam.vn 25 ... khơng chia hết cho 4.23.16 = 1472 d) Tích 12.8. 721 chia hết cho 721? ?? Ươm mầm tri thức – uommam.vn Bài Các tích sau có chia hết cho không? a) 218 .3 ; c) 279.7.13 ; Lời giải: a) Tích 218 .3 chia. .. hai số chia hết cho hai số chia hết cho số cịn lại chia hết cho Nếu hiệu hai số chia hết cho số thứ chia hết cho số thứ hai chia hết cho Nếu a  5 ; b  ; c không chia hết cho abc khơng chia hết... + 27 + + 217 + 219 + ? ?218 + 220 ) Từ A chia hết cho Bài Cho B = + 32 + 33 + + 3120 Chứng minh rằng: a) B chia hết cho 3; b) B chia hết cho 4; c) B chia hết cho 13 Lời giải: a) B chia hết cho