W shape và s shape

Mục lục Trang Lời nói đầu 3 1. Những khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết co rút 5 2. W- trội và S- trội rel.M, N. W- tơng đơng và S- tơng đơng rel. M, N 15 3. Trờng hợp của các tập đóng và các ANR- không gian 17 4. Khái niệm W- shape và S- shape 23 5. Tích Đềcác của W- shape. Nhân tử của W- shape 26 6. S- shape của S- co rút biến dạng và S- shape của phân hoạch không gian 29 7. Phân hoạch đồng dạng của không gian Euclide. W- chiều và S- chiều 33 8. Tính W- tầm thờng và S- tầm thờng 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Lời nói đầu 2 Khái niệm về lý thuyết shape xuất hiện rất sớm. Từ năm 1968, đã có rất nhiều nhà toán học trên thế giới nh K. Borsuk, Ball, B.J, . quan tâm, nghiên cứu và phát triển. Lý thuyết shape là một bộ phận của lý thuyết tôpô vô hạn chiều, nên nó đang là một hớng phát triển của bộ môn giải tích hàm. Cho đến nay, nó đ- ợc nghiên cứu và phát triển với nội dung vô cùng phong phú. Mục tiêu của lý thuyết shape là phân loại các không gian tôpô thành từng lớp tơng đơng dựa trên các tính chất tôpô. Với đề tài W- shape và S- shape nội dung của luận văn đợc chia làm các phần sau 1. Những khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết co rút Trong phần này tác giả giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả đợc sử dụng trong tài liệu [1], làm cơ sở cho các phần tiếp theo. Các kết quả chính, định lý và tính chất trong các phần sau đợc sử dụng ở tài liệu tham khảo [4]. 2. W-trội và S- trội rel.M, N. W- tơng đơng và S- tơng đơng rel.M, N Tác giả trình bày các khái niệm, tính chất và mối liên hệ giữa W- trội và S- trội rel.M, N với W- tơng đơng và S- tơng đơng rel. M, N. 3. Trờng hợp của các tập đóng và các ANR - không gian Tác giả đã trình bày các trờng hợp của các tập đóng, mối quan hệ của nó với các tập trong không gian, mối quan hệ giữa AR- không gian và ANR- không gian. 4. W- shape và S- shape Tác giả giới thiệu chi tiết khái niệm và tính chất của W- shape và S- shape. 5. Tích Đềcác của W- shape, nhân tử của W- shape Tác giả trình bày khái niệm, tính chất và mối liên hệ giữa tích Đềcác của các cặp tập với W- shape, các phép toán với nhân tử của W- shape. 6. S-shape của S- co rút biến dạng 3 Tác giả trình bày rõ ràng mối quan hệ giữa S- shape của S- co rút biến dạng và S- shape của phân hoạch không gian. Mục đích của luận văn là trình bày rõ ràng một số khái niệm và tính chất của W- shape và S- shape, mối quan hệ giữa shape và không gian điểm, tích Đềcác của W- shape, nhân tử của W- shape Tác giả đã chứng minh đợc Định lý 3.4, Định lý 3.9, Nhận xét 3.10, Định lý 3.12, Nhận xét 4.2, Nhận xét 4.3, Nhận xét 4.4, Định lý 4.6 và Nhận xét 4.7 mà tài liệu cha chứng minh. Luận văn đợc trình bày và hoàn thành tại khoa Sau Đại học trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Tạ Khắc C. Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo hớng dẫn, khoa đào tạo Sau Đại học, các thầy cô trong tổ Giải tích, tập thể lớp K 12 - Giải tích đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Do thời gian và năng lực còn hạn chế, chắc chắn luận văn không tránh đợc những thiếu sót, rất mong đợc thầy cô giáo và bạn đọc đóng góp, xây dựng để luận văn ngày một hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 12 năm 2006 Tác giả 1. Những khái niệm và tính chất cơ bản 4 của lý thuyết co rút 1.1. Khái niệm cơ bản Trong mục này khi nói về không gian và ánh xạ, ta hiểu đó là không gian Tôpô Hausdorff và ánh xạ liên tục. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các T 2 - không gian. ánh xạ f : X Y đợc gọi là r- ánh xạ nếu tồn tại ánh xạ g : Y X sao cho fg: Y Y là ánh xạ đồng nhất trên Y. Nếu f : X Y là r - ánh xạ thì Y đợc gọi là r - ảnh của X. 1.1.2. Nhận xét. i) Mỗi phép đồng phôi là một r - ánh xạ. ii) Hợp của hai r - ánh xạ là r - ánh xạ. 1.1.3. Định nghĩa. Nếu tồn tại r- ánh xạ f : X Y thì ta gọi không gian Y là r- ảnh của X. Trong trờng hợp này ta cũng nói X là r- làm trội trên Y, và viết X r Y hoặc Y r X. Nếu X, Y là hai không gian đồng phôi với nhau thì X r Y và Y r X xảy ra cùng lúc. 1.1.4. Định nghĩa. Cho X, Y là các T 2 - không gian, Y là tập con của X. Khi đó, ánh xạ f : X Y đợc gọi là ánh xạ co rút (hay phép co rút) nếu ánh xạ lồng i : Y X là nghịch phải của f. Nghĩa là f(x) = x với mọi điểm x Y. Do f là ánh xạ lên nên ta nói f co X lên Y. 1.1.5. Định nghĩa. Tập con X 0 của T 2 - không gian đợc gọi là cái co rút của X nếu tồn tại phép co rút từ X lên X 0 . 1.1.6. Mệnh đề. Mỗi cái co rút Y của X là đóng trong X. 1.1.7. Ví dụ. 1) Mỗi không gian X là cái co rút của chính nó và phép co rút ở đây là phép đồng nhất trên không gian X. 2) Ký hiệu K n = {x E n : ||x|| 1} là hình cầu đóng đơn vị trong không gian Euclide n- chiều. Khi đó, E n co rút về K n . Thật vậy, đặt 5 r(x) = x nếu x K n x x nếu x E n \K n ta nhận đợc ánh xạ r(x) liên tục và r: E n K n thoả mãn điều kiện r(x) = x, với mọi x K n . Do đó, r là ánh xạ co rút từ E n lên K n và K n là cái co rút của E n . 1.1.8. Định nghĩa. Một tập con đóng X 0 của không gian X đợc gọi là co rút lân cận của không gian X nếu X 0 là cái co rút của một tập mở nào đó chứa X 0 trong không gian X. Rõ ràng, mỗi cái co rút của X cũng là co rút lân cận của X. 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian mêtric i) Không gian mêtric X đợc gọi là co rút tuyệt đối đối với mọi không gian mêtric, nếu với mỗi đồng phôi h từ X lên tập con đóng h(X) của không gian mêtric Y thì h(X) là cái co rút của Y, ký hiệu X AR hoặc X là một AR- không gian. ii) Không gian X đợc gọi là co rút lân cận tuyệt đối đối với mọi không gian mêtric, nếu với mỗi đồng phôi h từ X lên tập con đóng h(X) của không gian mêtric Y thì h(X) là cái co rút lân cận của Y, ký hiệu X ANR hoặc nói X là một ANR- không gian. Rõ ràng nếu X AR thì X ANR. 1.2. Thác triển ánh xạ 1.2.1. Định nghĩa. Cho X, Y là các T 2 - không gian, X 0 X, ánh xạ f : X Y đợc gọi là thác triển liên tục của ánh xạ f 0 : X 0 Y nếu 0 X f = f 0 . 1.2.2. Định lý. Cho X là T 2 - không gian. Tập con X 0 của không gian X là cái co rút của nó khi và chỉ khi mỗi ánh xạ f 0 : X 0 Y có thác triển liên tục f : X Y (Y là không gian tôpô tuỳ ý). 1.2.3. Định lý. Tập con Y 0 của không gian Y là cái co rút của nó khi và chỉ khi nếu với mỗi không gian X, mỗi tập con X 0 của không gian đó và mỗi 6 ánh xạ f 0 : X 0 Y sao cho f(X 0 ) Y 0 thì từ sự tồn tại một thác triển nào đó f : X Y sẽ kéo theo sự tồn tại thác triển f : X Y thoả mãn điều kiện f(X) Y 0 . 1.3. r dạng và r bất biến 1.3.1. Định nghĩa. Ta hiểu r- bất biến là những tính chất tôpô đợc bảo tồn qua r- ánh xạ. Trong trờng hợp riêng các tính chất tôpô di truyền từ không gian mẹ sang không gian con đợc gọi là các r- bất biến. 1.3.2. Định nghĩa. Hai không gian X và Y đợc gọi là r- bằng nhau, nếu mỗi không gian này là cái co rút của không gian kia, nghĩa là X r Y và Y r X. Trong trờng hợp đó, ta viết X r = Y. Dễ thấy quan hệ này có các tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Nh vậy, lớp tất cả các không gian đợc chia thành các lớp không gian r- bằng nhau không giao nhau từng đôi một. Lớp không gian nh vậy ta gọi là r- dạng. Dễ thấy hai không gian đồng phôi sẽ thuộc cùng một dạng. Nếu X r Y hay quan hệ X r Y không xảy ra thì ta viết X r < Y hay Y r > X. Khi đó ta nói X là r- nhỏ hơn Y và Y là r- lớn hơn X. 1.3.3. Định nghĩa. Tính chất tôpô đợc gọi là r- bất biến nếu đối với hai không gian X và Y là r- bằng nhau, và nếu X có tính chất thì Y cũng có tính chất . 1.4. Đồng luân 1.4.1. Định nghĩa. Cho hai không gian X, Y. Khi đó ta ký hiệu Y X là tập gồm mọi ánh xạ từ X vào Y. Trong không gian hàm Y X có thể trang bị tôpô bằng cách cho tiền cơ sở trong đó. Ta làm nh sau: Đối với mỗi tập compact X 0 X và mỗi tập mở V Y, ký hiệu G(X 0 , V) là tập tất cả các ánh xạ f Y X sao cho f(X 0 ) V. Họ tất cả các tập G(X 0 , V) nh 7 thế tạo nên tiền cơ sở của không gian Y X . Do đó, tôpô này đợc gọi là tôpô compact - mở. Nếu X compact, Y là không gian mêtric thì ta có thể trang bị mêtric trong Y X , sao cho mêtric đó tơng thích với tôpô compact - mở nói trên. Thật vậy, đặt ( , ) = Xx sup ( (x), (x)), với , Y X , là mêtric trong Y. Ký hiệu cặp không gian (X, X 0 ) gồm không gian X và tập con X 0 của nó. Cặp (X, ) ta xem nh X. 1.4.2. Định nghĩa. ánh xạ cặp : (X, X 0 ) (Y, Y 0 ) hiểu là ánh xạ : X Y, thoả mãn điều kiện (X 0 ) Y 0 . ánh xạ đợc gọi là r- ánh xạ nếu tồn tại ánh xạ : (Y, Y 0 ) (X, X 0 ) sao cho là ánh xạ đồng nhất trên (Y, Y 0 ). Trờng hợp riêng khi Y X, Y 0 X 0 , thì ánh xạ : (X, X 0 ) (Y, Y 0 ) đợc gọi là ánh xạ co rút nếu ánh xạ lồng i : (Y, Y 0 ) (X, X 0 ) là nghịch phải của . Trong trờng hợp này ta nói cặp (Y, Y 0 ) là cái co rút của (X, X 0 ). 1.4.3. Định nghĩa. Tập Y X gồm tất cả các ánh xạ Y X thoả mãn (X 0 ) Y 0 đợc ký hiệu là (Y, Y 0 ) ),( 0 XX . 1.4.4. Định nghĩa. Các ánh xạ f 0 , f 1 (Y, Y 0 ) ),( 0 XX đợc gọi là đồng luân nếu với mỗi t [0, 1], tồn tại ánh xạ f t (Y, Y 0 ) ),( 0 XX liên tục phụ thuộc vào t và thoả mãn 0 = t f = f 0 , 1 = t f = f 1 . Khi đó ta cũng nói họ {f t } là họ đồng luân nối f 0 với f 1 . Dễ thấy, quan hệ đồng luân có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu trong không gian (Y, Y 0 ) ),( 0 XX . Vì thế, quan hệ đó chia không gian (Y, Y 0 ) ),( 0 XX thành những lớp tơng đơng đồng luân. 8 Ta ký hiệu mỗi lớp tơng đơng này là [f], trong đó f đại diện của nó. Nh vậy, [f] = [f] khi và chỉ khi f đồng luân với f. 1.4.5. Định nghĩa. Ta nói f 0 , f 1 (Y, Y 0 ) ),( 0 XX là đồng luân yếu, nếu chúng thuộc cùng một thành phần liên thông của (Y, Y 0 ) ),( 0 XX . Dễ thấy, đồng luân suy ra đồng luân yếu. 1.4.6. Định nghĩa. Ta nói hai ánh xạ f 0 , f 1 đồng luân mạnh, nếu tồn tại ánh xạ : (X ì [0, 1], X 0 ì [0, 1]) (Y, Y 0 ) thoả mãn các điều kiện a) (x, t) Y 0 với mọi x X 0 , t [0, 1] b) (x, 0) = f 0 (x), (x, 1) = f 1 (x) với mọi x X. 1.4.7. Định lý. Hai ánh xạ f 0 , f 1 đồng luân mạnh thì đồng luân. Trong trờng hợp không gian X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất thì hai ánh xạ đồng luân sẽ đồng luân mạnh. 1.4.8. Định nghĩa. Ta nói ánh xạ f : (X, X 0 ) (Y, Y 0 ) là h- ánh xạ nếu tồn tại ánh xạ g : (Y, Y 0 ) (X, X 0 ) sao cho fg : (Y, Y 0 ) (Y, Y 0 ) đồng luân với ánh xạ đồng nhất. Khi đó ta nói g là nghịch phải đồng luân của f. Nếu tồn tại h- ánh xạ từ (X, X 0 ) lên (Y, Y 0 ) thì ta nói (X, X 0 ) làm trội đồng luân trên (Y, Y 0 ) và viết (X, X 0 ) h (Y, Y 0 ) hay (Y, Y 0 ) h (X, X 0 ). Dễ thấy, mỗi r- ánh xạ là h- ánh xạ. Vì từ (X, X 0 ) r (Y, Y 0 ) suy ra (X, X 0 ) h (Y, Y 0 ). Khi X 0 = , Y 0 = ta viết X r Y, X h Y. 1.4.9. Nhận xét. Nói chung từ (X, X 0 ) h (Y, Y 0 ) không suy ra đợc (X, X 0 ) r (Y, Y 0 ). Thật vậy, chọn X = {0}, Y = [0, 1]. Khi đó, quan hệ X r Y không xảy ra, nhng X h Y xảy ra, vì ánh xạ f : [0, 1] [0, 1] biến cả đoạn thẳng vào một điểm 0, đồng luân với ánh xạ đồng nhất. 9 Nếu hai quan hệ (X, X 0 ) h (Y, Y 0 ) và (X, X 0 ) h (Y, Y 0 ) đồng thời xảy ra thì ta nói (X, X 0 ) và (Y, Y 0 ) là đồng luân bằng và viết (X, X 0 ) h = (Y, Y 0 ). 1.4.10. Định nghĩa. Ta nói cặp (X, X 0 ) và (Y, Y 0 ) là tơng đơng đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ f : (X, X 0 ) (Y, Y 0 ) và g : (Y, Y 0 ) (X, X 0 ) sao cho fg và gf đồng luân với các ánh xạ đồng nhất. Trong trờng hợp đó ta viết (X, X 0 ) h ~ (Y, Y 0 ). 1.4.11. Nhận xét. Quan hệ tơng đơng đồng luân mạnh hơn quan hệ đồng luân bằng. Bởi vì hai quan hệ này đều là quan hệ tơng đơng và tất cả các không gian đều đợc phân chia thành từng lớp các không gian đồng luân bằng, cũng nh đợc phân chia thành lớp các không gian tơng đơng đồng luân. Lớp các không gian tơng đơng đồng luân này hẹp hơn lớp các không gian đồng luân bằng, vì từ khái niệm tơng đơng đồng luân suy ra đồng luân bằng. 1.4.12. Định nghĩa. Tập con A của T 2 - không gian X đợc gọi là co rút theo không gian X vào tập B X nếu ánh xạ lồng i : A X đồng luân với ánh xạ f : A X sao cho f(A) B. Nếu i : X X đồng luân với ánh xạ f : X X mà f(x) = a, với x X, a là một điểm nào đó của X thì ta nói X là co rút điểm. 1.4.13. Định lý. Nếu X là co rút điểm thì r- ảnh của nó cũng co rút điểm. 1.4.14. Định nghĩa. Không gian điểm (X, x 0 ) là một không gian X với một điểm x 0 X đã đợc chọn, x 0 đợc gọi là điểm cơ sở. Bao hàm (X, x 0 ) (Y, y 0 ) đ- ợc hiểu là X Y và x 0 = y 0 . Một tập con (U, u 0 ) gọi là lân cận của (X, x 0 ) trong một không gian M nếu U là lân cận của X và u 0 = x 0 . Ta viết f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) nếu f là một ánh xạ từ X vào Y sao cho f(x 0 ) = y 0 . Ta ký hiệu i X , ),( 0 XX i tơng ứng là ánh xạ đồng nhất của X, (X, x 0 ). 1.4.15. Định nghĩa. Cặp (A, A 0 ) (X, X 0 ) đợc gọi là cái co rút biến dạng của (X, X 0 ) nếu tồn tại họ đồng luân {f t } trong không gian (X, X 0 ) ),( 0 XX nối 10 ánh xạ f = i với ánh xạ f 1 sao cho ánh xạ r : (X, X 0 ) (A, A 0 ) cho bởi công thức r(x) = f 1 (x) với mọi x X là ánh xạ co rút. Ta nói (Y, Y 0 ) là r- ảnh biến dạng của (X, X 0 ) nếu tồn tại ánh xạ f : (X, X 0 ) (Y, Y 0 ), sao cho gf đồng luân với ánh xạ đồng nhất từ (X, X 0 ) vào chính nó. Khi đó ta nói f là r- ánh xạ biến dạng từ (X, X 0 ) lên (Y, Y 0 ). Trong trờng hợp riêng X 0 = Y 0 = , ta nhận đợc r- ánh xạ biến dạng thông thờng. 1.4.16. Định lý. Nếu Y là r- ảnh biến dạng của X thì X h ~ Y và do đó X h = Y. Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết thì tồn tại ánh xạ f : X Y với nghịch phải g : Y X sao cho gf : X X đồng luân với ánh xạ đồng nhất i X : X X và fg: Y Y đồng luân với i Y : Y Y. Khi đó, ta có X h ~ Y. 1.4.17. Hệ quả. Nếu Y là cái co rút biến dạng của X thì X h ~ Y. 1.4.18. Định lý (Định lý Dugundji). Giả sử A là một tập con đóng của không gian mêtric X, Y là không gian lồi địa phơng. Khi đó với mỗi ánh xạ f : A Y, đều tồn tại một thác triển liên tục f ~ : X Y của f. Hơn thế nữa tất cả các giá trị f ~ có thể lấy từ bao lồi C(f(A)) của f(A). 1.4.19. Định lý (Định lý Kuratowski). Đối với mỗi không gian mêtric X, tồn tại không gian định chuẩn và đồng phôi h : X h(X) sao cho h(X) đóng trong bao lồi C(h(X)). 1.5. Dãy cơ bản, tơng đơng cơ bản, khái niệm shape 1.5.1. Định nghĩa. Giả sử X, Y là hai không gian mêtric compact và X M, Y N trong đó M, N là các AR - không gian, khi đó dãy ánh xạ liên tục f k : M N, k = 1, 2, . đợc gọi là dãy cơ bản từ X vào Y nếu đối với mỗi lân cận V của Y trong N tồn tại lân cận U của X trong M sao cho U k f 11