6.1. S- shape của S- co rút biến dạng
6.1.1. Định nghĩa. Một tập con Y của không gian X đợc gọi là S- co rút biếndạng của X, nếu tồn tại không gian P chứa X nh tập con đóng và ánh xạ co rút r : dạng của X, nếu tồn tại không gian P chứa X nh tập con đóng và ánh xạ co rút r :
X →Y sao cho với mỗi tập con A của X tồn tại tập con B của X (B compact nếu A compact) thoả mãn, với mỗi lân cận U của B (trong P) tồn tại đồng luân
χ : Aì〈0, 1〉 → U
thoả mãn điều kiện
χ(x, 0) = x và χ(x, 1) = r(x), với mọi x∈A.
Điều kiện này có nghĩa ánh xạ f : X →X đợc xác định bởi công thức f(x) = r(x), với mọi x∈X là S- đồng luân với ánh xạ đồng nhất i : X→X.
Chú ý. Mỗi co rút biến dạng của X là S- co rút biến dạng của X và mỗi S- co rút biến dạng của X là co rút của X.
6.1.2. Định lý.Nếu Y là S- co rút biến dạng của X thì ShS (X) = ShS (Y).
Chứng minh. Giữ nguyên ký hiệu P và r, giả sử P là tập con đóng của không gian M∈AR. Khi đó tồn tại ánh xạ r : M→M sao cho
r (x) = r(x), với mọi x∈X. Đặt
fk(x) = r (x), g(x) = x, với mọi x∈M, k = 1, 2, ... ta thu đợc hai S- dãy
f = {fk, X, Y}M, M và g = {gk, Y, X}M, M.
Do fk(y) = r (y) = y, với mọi y ∈ Y nên ta có {fk, Y, Y}M,M là S- dãy liên kết với S- dãy đồng nhất i Y, M = {i, Y, Y}M,M . Mặt khác, ta có
f g = {fk, Y, Y}M, M ≃ iY, M (1) Giả sử A là tập con đóng của X. Khi đó tồn tại tập con B của X (B compact nếu A compact), sao cho với mỗi lân cận U của B trong P tồn tại đồng luân χ :
Aì〈0, 1〉→U sao cho
χ(x, 0) = x và χ(x, 1) = r(x), với x ∈ A.
Do A là tập đóng trong M ∈ AR, nên tồn tại đồng luân v : M ì 〈0, 1〉 → M
sao cho v(x, t) = χ(x, t), với mọi (x,t) ∈A ì 〈0,1〉, v(x, 0) = x và v(x, 1) = r (x), với mọi x ∈ M. Khi đó tồn tại lân cận U0 của tập A trong M sao cho v(U0 ì〈0, 1〉) ⊂
U.
Ta có gkfk|U0 = r |U0≃i/ U0 trong U, với hầu hết k. Do vậy g f iXM
S ,
~ (2) Từ (1) và (2) suy ra ShS(X) = ShS(Y).
6.1.3. Hệ quả.Nếu Y là co rút biến dạng của X thì ShS(X) = ShS(Y).
Dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Tạ Khắc C, sau một thời gian nghiên cứu các tài liệu tham khảo, luận văn đã thu đợc một số kết quả sau