DE DA HSG Quan 6 Vong 2 20142015

Bài 6: 4 điểm Gọi AD là đường phân giác trong góc A của ABC D thuộc đoạn BC.. Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N sao cho ABN  CBM.[r]

COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quaän (2014-2015) (NGAØY THI: 26/12/2014) Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác và 1   0 a b c bc ca ab   3 a2 b2 c2 Baøi 2: (4 ñieåm) Giaûi caùc phöông trình sau: a)  x   x   x   x  12   25x2 Chứng minh: b) x2  3x    x 3x  Baøi 3: ( ñieåm) Giaûi heä phöông trình: x  xy  y   x  y    2  x  xy  y   x  y  Baøi 4: (3 ñieåm) Cho x > 0, y > vaø x2  y   1  1 Chứng minh : S  1  x      1  y        y  x Baøi 5: (3 ñieåm) Cho a, b laø hai soá nguyeân Chứng minh  a  b  ab chia hết cho 441 thì ab chia hết cho 441 Bài 6: (4 điểm) Gọi AD là đường phân giác góc A ABC (D thuộc đoạn BC) Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N cho ABN  CBM BM cắt đường tròn ngoại tiếp ACM điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABN điểm thứ hai F a) Chứng minh: BCEF là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ba điểm: A, E, F thẳng hàng c) Chứng minh rằng: BCF  ACM Từ đó suy ACN  BCM   HEÁT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Quận (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quaän (2014-2015) (NGAØY THI: 26/12/2014) Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác và Chứng minh: 1   0 a b c bc ca ab   3 a2 b2 c2 3 1   1   1  1 1 1 Ta coù:                     a b c a b c  a b  c  ab  a b    1  1 1 1 abc abc abc bc ca ab               3   3 a b a b c abc a b c a b c  ab  c  c Baøi 2: (4 ñieåm) Giaûi caùc phöông trình sau: a)  x   x   x   x  12   25x2  x   x   x   x  12   25x     x2  10x  24 x2  14x  24  25x2 Đặt t  x2  2x  24 Khi đó., phương trình trở thành:  t  12x  t  12x   25x2  t2  144x2  25x2  t2 169x2    t 13x  t  13x   15  129 15  129 hay x  2 2 TH 2: t  13x   x  2x  24  13x   x  11x  24   x  3 hay x  8 TH 1: t  13x   x2  2x  24  13x   x  15x  24   x  15  129 15  129    Vaäy S   ; ; 3; 8 2     b) x2 3x   3x    x x   3x   Ñieàu kieän: x  pt  3x      x   x  1 x      x  1 3x    x  1 x   3x   x  x   x     x   x   x       2  x    x     x 1 x     x   3x    3x    x   3x     x   x  7x        x  Vaäy S  1 Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Quận (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 Baøi 3: ( ñieåm) Giaûi heä phöông trình: x  xy  y   x  y    2 x  xy  y  x  y     2 x  xy  y   x  y  x2  xy  y   x  y     x  xy  y   x  y       2 x  xy  y  x  2xy  y 2x  5xy  2y  x  xy  y  x  y          x  2y 2  x  xy  y  x  y   x2  xy  y   x  y   I x  xy  y   x  y       x  2y   x  2y  2x  y     y  2x   y  2x  x  xy  y   x  y   II     x  2y  x  2y x  2y   Giaûi heä (I),      2 2 2y  2y y  y   2y   y   x  xy  y   x  y  4y  2y  y  3y        x  x  2y   x  2y x  2y y     y     x  y  y  1  3y  3y y      y  y  2x  y  2x y  2x     Giaûi heä (II),   2 2   x  2x  4x  3x x  x  2x    2x    x  2x  x  xy  y   x  y    x  y  2x  y  2x  y  2x y     x     3x  3x   x  1  x  1 x  x  1     y  2 x  x  x  1 ; ; Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø  y  y  y  2 Baøi 4: (3 ñieåm) Cho x > 0, y > vaø x2  y   1  1 Chứng minh : S  1  x      1  y        y  x Ta coù :  1 x y  x y 1  1  1 S  1  x  1    1  y  1      x     y         x     y   y y x x x  y  x  y y x  1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, cho số dương, ta có:   x y xy Ta coù: x  y2  2xy   2xy  2 2 xy xy 1 Do đó:   2 x y Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Quận (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 Đến đây, ta dùng điểm rơi Cô-si, sau: Do vai trò x, y là nên ta dự đoán dấu ‘’=’’ xảy x = y maø x  y2  neân x  y  1   x  x    1   2 Từ đó, ta có:   ;cho k  k 2   k   k x    x Trình baøy tieáp: x y     11 1 S 2  x      y 2x   2y   x y  y x   22 x y 1  2 x  y  2 y x 2x 2y 1    43 2  1  1 Vaäy S  1  x      1  y        y  x =2   Baøi 5: (3 ñieåm) Cho a, b laø hai soá nguyeân Chứng minh  a  b  ab chia hết cho 441 thì ab chia hết cho 441 441  32.72 ; vaø laø caùc soá nguyeân toá  a  b  ab   a  b  21ab 441   a  b   21ab 2   a  b  vì 21ab    a  b   a  b 2   a  b maø  a  b  21ab neân 21ab  ab 2 Ta coù: a  b vaø ab  a vaø b  ab Maët khaùc, ta coøn coù  a  b  ab   a  b  21ab   a  b  vì 21ab  2   a  b 49 Maø  a  b  21ab 49 neân 21ab 49  ab 2 Ta coù: a  b vaø ab  a vaø b  ab 49 Ta có: ab 9, ab 49, ƯCLN  9,49   441 Do đó ab chia hết cho 441 Bài 6: (4 điểm) Gọi AD là đương phân giác góc A ABC (D thuộc đoạn BC) Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N cho ABN  CBM BM cắt đường tròn ngoại tiếp ACM điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABN điểm thứ hai F Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Quận (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 F A E N M C D B a) Chứng minh: BCEF là tứ giác nội tiếp   BFC  BAD goùc noäi tieáp cuøng chaén BN cuûa ABN     Ta coù: BEC  CAD goùc noäi tieáp cuøng chaén CN cuûa  ABN   BAD  CAD  AD là đường phân giác ABC     BFC  BEC  tứ giác BCEF nội tiếp  tứ giác có đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh góc b) Chứng minh ba điểm: A, E, F thẳng hàng   CFE  CBE goùc noäi tieáp cuøng chaén CE cuûa BCEF    Ta coù:  ABN  CBE vì ABN  CBM      CFE  ABN maø ABN  CFA goùc noäi tieáp cuøng chaén AN cuûa  ABN   neân CFE  CFA  tia FE  tia FA  A, E, F thaúng haøng c) Chứng minh rằng: BCF  ACM Từ đó suy ACN  BCM   BCF  BEF goùc noäi tieáp cuøng chaén BF cuûa BCEF    Tacoù:  ACM  BEF goùc noäi tieáp cuøng chaén AM cuûa  ACM     BCF  ACM  BCM  MCN  ACN  MCN  BCM  ACN   HEÁT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Quận (14-15)