DE DA HSG THCS Le Quy Don Q3 20142015

Chứng minh được: AEQ cân tại A  AD là đường phân giác cũng là đường cao.. Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BQ tại S, cắt CK tại T...[r]

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG LÊ QUÝ ĐÔN - QUẬN (2013-2014) (Thi ngaøy: ngaøy 29/3/2014) Thời gian: 120 Phút Baøi 1: a) Chứng minh: a3  b3  c3  3abc với a  b  c  b) Cho abc  1; a  b  c  1   Tính a29  b3  c2014  a b c     Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a)  xy  x  y 2 b) 1   xy  x  y 2 x y Baøi 4: Cho ABC vuông A có AH là đường cao BQ là tia phân giác góc B; AD là tia phân giác cuûa HAC BQ caét AD taïi K CK caét AB taïi L a) Chứng minh: DAQ là tam giác cân b) Chứng minh: DB LB QA   1 DC LA QC Baøi 5: Cho ABC có AB = 13; AC = 14; BC = 15; có đường cao AH Tính AH  HEÁT Đề Kiểm Tra, HSG LỚP Trường Lê Quý Đôn, Q.3 (2013-2014) Trang CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG HƯỚNG DẪN GIAÛI Baøi 1: a) Chứng minh: a3  b3  c3  3abc với a  b  c  Ta coù: a  b  c   a  b  c Do đó: a3  b3  c3   a  b  3ab  a  b  c3  c3  3ab  c  c3  3abc : đpcm 1 b) Cho abc  1;a  b  c    Tính a29  b3  c2014  a b c     1 Ta coù: a  b  c     a  b  c  ab  bc  ca  vì abc = 1 a b c  a  b  c  ab  bc  ca   abca  b  c  ab  bc  ca    vì abc = 1  ab  c  1  a  c  1  b  c  1   c  1    c  1 ab  a  b  1  a     a  1 b  1 c  1    b  c       Do đó: a29  b3  c2014   Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y > 0:  a) xy  x  y 2  x2  2xy  y  4xy  vì x, y > neân x + y > vaø xy >    x  y   : luôn đúng Vậy BĐT đã chứng minh b) 1   xy  x  y 2 x y AÙp duïng BÑT caâu a) vaø 1   a, b   , ta được: a b a b 1 1 4        : ñpcm 2 2 x  y xy x  y 2xy 2xy  x  y   x  y  x  y Baøi 3: Baøi 4: Cho ABC vuông A có AH là đường cao BQ là tia phân giác góc B; AD là tia phân giác cuûa HAC BQ caét AD taïi K CK caét AB taïi L Đề Kiểm Tra, HSG LỚP Lê Quý Đôn, Quận (2013-2014) Trang CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG A S T Q L K E H B C D a) Chứng minh: DAQ là tam giác cân Goïi E laø giao ñieåm cuûa AH vaø BQ Chứng minh được: AEQ cân A  AD là đường phân giác là đường cao Do đó: E là trực tâm ABD  DE  AB mà AC  AB nên AC // DE  QDA  DAE goùc so le  maø DAE  DAQ   b) Chứng minh: neân QDA  DAQ  DAQ caân taïi Q DC LB QA   1 DB LA QC Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BQ S, cắt CK T  DB DK  AS  AK  BD // AS DB DC DC AT     Ta coù:  AS AT DB AS  DC  DK  DC // AT  AT AK Ta coù: LB BC   BC // TA  LA AT 2 Ta coù: QA AS   AS // BC QC BC  3 Từ (1), (2) và (3) ta suy 1 DC LB QA   1 DB LA QC Baøi 5: Cho ABC có AB = 13; AC = 14; BC = 15; có đường cao AH Tính AH Đề Kiểm Tra, HSG LỚP Lê Quý Đôn, Quận (2013-2014) Trang CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG A H C B 15 - x x Tính AH Ta có: BC là cạnh lớn ABC nên A là góc lớn ABC  điểm nằm B và C Ñaët BH = x (x > 0)  CH  15  x AÙp duïng ñònh lyù Pytago, ta coù: 2 2  AH  AB  BH  13  x 2   169  x  196  225  30x  x 2 2  AH  AC  CH  14  15  x   33  3136 33 56  30x  198  x  x  AH2  196     25 5   Vaäy AH  56 cm  HEÁT Đề Kiểm Tra, HSG LỚP Lê Quý Đôn, Quận (2013-2014) Trang