su dung phuong phap tiep tuyen trong giai bat phuong trinh

Các ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán... Dấu hiệu lồi, lõm của đồ thị hàm số..[r]

BÀI THUYẾT TRÌNH MÔN ĐẠI SỐ SƠ CẤP TỔ CHÀO CÔ VÀ CÁC BẠN ĐỀ TÀI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG TIẾP TUYẾN NỘI DUNG I Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II Các ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử giải toán I Lý thuyết 1 Khái niệm tính lồi, lõm đồ thị hàm số Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên khoảng a ; b   a;b Đồ thị hàm số gọi là lồi trên khoảng  c; f  c   c   a; b  điểm M tiếp tuyến đồ thị hàm số nằm phía trên đồ thị hàm số  a; b  Đồ thị hàm csố  c  , c gọi ; f   alà ; b lõm trên khoảng điểm M tiếp tuyến đồ thị hàm số nằm phía đồ thị hàm số I Lý thuyết 2 Dấu hiệu lồi, lõm đồ thị hàm số Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng  a; b  Nếu f ''  x   với x   a; b  thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng  a; b  Nếu f ''  x  với x   a; b  thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng  a ; b  I Lý thuyết 3 Nhận xét  Cho các hàm số y  f  x  và y g  x  xác định trên khoảng  a; b  và có đồ thị là (C) và (G) Khi đó (C) nằm trên (G)  f  x  g  x , x   a; b   Nếu đồ thị hàm số y  f  x  lồi trên khoảng  a; b  và y  f '  c  x  c   f  c   c  , c của  a; đồ c; f tuyến b  thị hàm số là tiếp f  x  Mf '  c  x  c   f  c  điểm thì  Đối với đồ thị hàm số lõm ta có bất đẳng thức ngược lại  Bất đẳng thức cho phép ta đánh giá biểu thức f  x  thông qua biểu thức bậc Hơn nữa, ta có thể chọn c cho dấu đẳng thức xảy theo đúng yêu cầu bài toán II Ví dụ Bài Cho a, b, c  và a  b  c 3 CMR a  b  c ab  bc  ac Giải Dấu '' '' xảy a b c 1 BĐT  a  b  c 9  a  b  c Xét hàm f  x  x  x tiếp tuyến đồ thị hàm số f  x  điểm có hoành độ là y 3x Ta có f  x   3x x  x  3x 0; x   0;1 Suy a  a  b  b  c  c 9 (đpcm) II Ví dụ Bài Cho các số thực dương a  b  c 1 chứng minh  2a  b  c    2b  a  c    2c  b  a  2 2 2a   b  c  2b   a  c  2c   b  a  Giải Ta có a  b  c 1   a  Khi đó số hạng đầu tiên là 2a  1  a  tương tự có BĐT tương đương a  2a  b  2b  c  2c    8 3a  2a  3b  2b  3c  2c  8 (2.1) a  2a   3a  2a  (2.2) và hai số hạng II Ví dụ x  x 1 Xét hàm số f  x   3x  x  Phương tiếp tuyến f(x) Ta xét hiệu x  x 1  3x  x  1 x  là y 4 x  3 4  x    0 3  Áp dụng cho a, b, c   0;1 ta có f  a   f  b   f  c  4 a  b  c   8 BĐT (2.2) chứng minh Đẳng thức xảy Từ đó BĐT (2.1) đúng và đẳng thức xảy a b c  a b c  III Bài tập Bài CMR: a b c d     2 2  3a  3b  3c  3d a, b, c, d  0; a  b  c  d 4 Bài Cho a, b, c  a  b  c 1 1 1   CMR :    4    a b c a b c  a b b c c a  Bài Cho các số nguyên dương a  b  c 3 2    b  c  a c  a  b a  b  c CMR :   2 2 b  c  a  c  a   b  a  b  c  Cảm ơn theo dõi cô và các bạn